《图形的位似(知识解读).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《图形的位似(知识解读).pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题4.3图形的位似(知识解读)【直击考A【老 灯 目 标】1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；【知 汆 点 梳 理】考点1 位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.考点2位似图形的性质(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.注意：(1)位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.(2)位似变换中对
2、应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.考点3平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变,即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的考点4作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心;第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.【考
3、点1位似图形性质】【典 例 1】（2 0 2 2 重庆）如图，aABC与 尸位似，点。是它们的位似中心，且相似比为 1：2,则 A B C 与 O E F 的周长之比是（）【变 式 1-1 （2 0 2 1 秋瑞安市期末）如图，A B C 与 是 位 似 图 形，。为位似中心,位似比为2：3.若 A8=4,则。E的 长 为（）EA.6 B.8 C.9 D.10【变 式1-2（2022重庆）如图，4BC与）尸位似，点。为位似中心，相似比为2：3.若A8C的周长为4,则的周长是（）【典 例2】（2021 江北区校级模拟）如图，4B C与A A B C是位似图形，O是位似中心，若ABC与A A B
4、C的面积之比为1：4,贝l CO：C 0的 值 为（）【变式2-2（2021春渝中区校级期末）如图，ABC与OEF是位似图形，且位似中心【变式2-3（2021春沙坪坝区校级月考）如图，以点。为位似中心，将ABC放大后得到A 8 C,已知0 8：OB=2：3,则ABC与A B C的面积之比为（）AB f B、。A.1：3 B.1：9 C.2：3 D.4：9【考点2位似图形的点坐标】【典 例3 （2 0 2 2长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2,0）,B（4,3）,D（5,0）,A B C与O E尸位似，原点。是位似中心，则E点的坐标是（）【变式3-1 （2 0 2 2揭阳四模）在平面
5、直角坐标系中，已知点A （-4,2）,B （-6,-4）,以原点。为位似中心，相似比为工，把 A B O缩小，则点B的对应点8 的坐标是（）2A.（-3,-2）B.（7 2,-8）C.（-3,-2）或（3,2）D.（-1 2,-8）或（1 2,8）【变 式3-2 （2 0 2 2嘉兴二模）如图，在平面直角坐标系中，以P （0,-1）为位似中心,在y轴右侧作A B P放大2倍 后 的 位 似 图 形 若 点8的坐标为（-2,-4），则点B的对应点C的坐标为（）【考点3判定位似中心】【典例4】（2 0 2 2竦州市模拟）如图，在平面直角坐标系x O y中，Z V I B C与 O O E是位似图形
6、，则它们的位似中心的坐标是（)【变式4-1（2022路南区一模）如图，正方形OEFG和正方形ABCO是位似图形，且点【变式4-2（2020秋江阴市校级月考）如图，AOE尸是4BC经过位似变换得到的，位似中心是点0,请确定点。的位置，如果OC=3.6c/n,O F=2A cm,求它们的相似比.【考点4位似图形的判定】【典例5】（2019秋唐山期末）如图，BD,4 c相交于点尸，连接A3,BC,CD,DA,ZDAP=NCBP.(1)求证：A D P sW C P；(2)直接回答 4O P与B C P是不是位似图形?(3)若 AB=8,C D=4,D P=3,求 4P 的长.【变式5-1 (20 1
7、 8秋邵阳县期末)如图，如果AC B O,CE/DF,那么AC E与8D F【变式5-2】如图，点A,。在N X O F的边O X上，点8,E在O Y边上，射线O Z在/X O Y内，且点 C,F 在 O Z 上，AC/DF,BC/EF.旭=DF 7(1)试说明a A B C与A O E尸是位似图形；(2)求AB C与)尸的位似比.【考 点 5画位似图形放大后的的位似图形】【典例6】(20 1 9秋锡山区期末)己知48C三顶点的坐标分别为A(0,2)、B(3,3)、C(2,I).(1)画出AB C；(2)以B为位似中心，将A A B C放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形A1 B
8、。；似比为上.【变式6-2 (20 1 6春威海期末)如图 AB C的顶点坐标分别为A(1,1),B (2,3),C(3,0).(1)以点O为 位 似 中 心 画 使 它 与A A B C位似，且相似比为2.(2)在(1)的条件下，若 M (a,h)为AB C边上的任意一点，则 O EF的边上与点【变式6-3(2022马鞍山二模)如图11义7的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C都在格点上(两条网格线的交点叫格点)(1)在线段8 c下方用无刻度直尺作出一点O,使得OA=OC(2)以。为位似中心，将ABC放大为原来的2倍，得对应A 5 C,请在网格中作出A8C.【考点6平移、
9、轴对称、旋转和位似】【典例7】(2022雨山区二模)如图，在边长为1的正方形网格中，ABO的顶点均在格点上，点4,8的坐标分别是A(2,2),8(1,3),把ABO绕点。逆时针旋转90后得到A181O.(1)画出 48i。，直接写出点Ai，BI的坐标；(2)计算在旋转过程中，AB。所扫过的面积.(3)以原点。为位似中心，位似比为2,在第三象限画出 AB O 放大后的出历。【变 式 7-1 (20 22安徽三模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，AB C 的顶点均在格点(网格线的交点)上.(1)将 AB C 向右平移2 个单位得到 A1 8C 1,画出AAi 81 c l.(2)将 AB
10、 C 以点C为位似中心放大2 倍 得 到 282c 2,在网格中画出 AB 2c 2.【变式7-2(20 22广西模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,-5),B (-3,-1)、C (-5,-4).(1)画出将 AB C 向上平移6 个单位长度后对应的 A1 31 G；(2)以点0为位似中心,工为位似比，在第一象限内，画出A A BC的位似图形4282C 2；2(3)点 M 是 BC的中点，请直接写出点 分 别在 AB i C i 和282c 2 中的对应点M和M 2的坐标.【变 式 7-3 (20 22宾阳县二模)如图，在直角坐标系中，已知A A BC三个顶点的坐标分别为A(3,
11、3),8(4,0),C (0,2).(1)请画出与 AB C 关于x 轴对称的4B 1 C 1.(2)以 点。为位似中心，将 A3C 缩小为原来的，得到232c 2,请 在 y轴的右侧2画出Z A282c 2.(3)在 y 轴上存在点P,使得O Ai 尸的面积为6,请直接写出满足条件的点尸的坐标.专题4.3图形的位似(知识解读)【直 击 考 点】【皆 引 目 标】1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；【知 但 鱼 梳 理】考点1位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，
12、这个点叫做位似中心.考点2 位似图形的性质(2)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.注意：(1)位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.(2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.考点3 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变,即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放
13、大或缩小的，是相似的考点4作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心;第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.B(1)：-B A A，0 B，B(3)(4)L A M f】【考点i位似图形性质】【典 例 1】(2022重庆)如图，ABC与OEF位似,为 1：2,则ABC与OEF的周长之比是()C /是位似图形，O 为位似中心,位似比为2：3.若 AB=4,则 O E的 长 为（）A.6 B.8 C.9
14、D.1 0【答案】A【解答】解：.A B C 与AO EF是位似图形，位似比为2：3,：.Afi：D E=2：3.：AB=4,:.DE=6.故选：A.【变 式 1-2 （2 0 2 2 重庆）如图,Z X A 3 C 与 D E F 位 似,点。为位似中心，相似比为2：3.若 A 8 C 的周长为4,则Z J E F 的周长是（）【答案】B【解答】解：.,A B C 与 ：/位似，相似比为2：3.CA A B C：CADEF=2：3,的周长为4,二 /*的周长是6,故选：B.【典 例 2】（2 0 2 1 江北区校级模拟）如图，A B C 与a A B C是位似图形，O 是位似中心，若 A B
15、 C 与A A B1 C的面积之比为1：4,贝 I C O：C O 的 值 为（)B【答案】A【解答】解：如图，AABC与B C是位似图形，。是位似中心，若ABC与4B C 的面积之比为1：4,则A8C与/!B C 的相似比为1：2.ABC与B C是位似图形，:.丛B C O s丛B C O .：.C0-.C O=B C：B C=1：2.故选：A.【变式2-2（2021春渝中区校级期末）如图，ABC与 是 位 似 图 形，且位似中心为 O,O B：O E=2：3,若ABC的面积为4,则OEF的面积为（）A.2B.6C.8D.9【答案】D【解答】解：:ABC与：/是位似图形，且位似中心为O,OB
16、：0E=2：3,：.AB：DE=OB：0E=2：3,:ABC-XDEF、.SAABC _ (AB)2=(_2)2=生 A D E F D E 3 9SADF=_ 5ZABC=X 4=9.4 4故选：D.【变式2-3(2021春沙坪坝区校级月考)如图，以点。为位似中心，将48C放大后得【答案】D【解答】解：由位似变换的性质可知，A B/AB,A C /AC,.0 A =0 B =3OA OB 2.A C=0 A =3A C OA 2.ABC与ABC的相似比为3：2.,.ABC与ABC的面积之比为4：9.故选：D.【考点2 位似图形的点坐标】【典 例 3(2022长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中
17、，已知A(2,0),B(4,3),D(5,0),ABC与立似，原点O 是位似中心，则 E 点的坐标是()【答案】C【解答】解：A8C与AOEF位似，原点。是位似中心，而 A（2,0）,。（5,0）,二AABC与OEF的位似比为2,5,:B（4,3）,.E 点的坐标是为（4 x 8,3 x 5）,即（10,7.5）.2 2故选：C.【变式3-1（2022揭阳四模）在平面直角坐标系中，已知点4（-4,2）,8（-6,-4）,以原点。为位似中心，相似比为工，把ABO缩小，则点8 的对应点）的坐标是（）2A.（-3,-2）B.（-12,-8）C.（-3,-2）或（3,2）D.（-12,-8）或（12,
18、8）【答案】C【解答】解：以原点。为位似中心，相似比为工，把AABO缩小，点 B 的坐标为（-26,-4）,二点8的时应点8 的坐标为（-6X_1,-4X_1）或（6X工，4X_1）,即（-3,-2）2 2 2 2或（3,2）,故选：C【变 式 3-2】（2022嘉兴二模）如图，在平面直角坐标系中，以 尸（0,-1）为位似中心,在 y 轴右侧作ABP放大2 倍后的位似图形O C P,若点B 的坐标为（-2,-4）,则点B的对应点C的坐标为（）ycD(4,6)【答案】AA.(4,5)C.(2,4)D.(2,6)【解答】解：以点户为坐标原点，原），轴为），轴建立新的平面直角坐标系,则点B在新坐标系
19、中的坐标为（-2,-3）,/XABP与 D C P 的位似比为 1：2,.点C在新坐标系中的坐标为(4,6),则点C在原坐标系中的坐标为(4,5),故 选:A.【考点3判定位似中心】典例4 （2 0 2 2 竦州市模拟）如图,在平面直角坐标系x O y 中，A B C 与 OOE 是位似(【答案】C)C.(4,2)D.(3,4)【解答】解：连 接 并 延 长 交 于 点 P,则点P为位似中心,山平面直角坐标系可知，点 P的坐标为（4,2）,故选：C.【变式4-1 （2 0 2 2 路南区一模）如图，正方形O E F G 和正方形A 8 C。是位似图形，且点【答案】A【解答】解：点/与 点 C是
20、一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是C尸与x轴的交点，设直线G D解析式为y=kx+b,将。（2,2）,G （0,1）,代入，得 2 k+b=2,4I b=l解 得 2，b=l_即 y=JLx+l,2令 y=0 得 工=-2,：.0坐 标 是（-2,0）；故 选:A.【变式4-2 （2 0 2 0 秋江阴市校级月考）如图，四是 A 8 C 经过位似变换得到的，位似中心是点。，请确定点。的位置，如果O C=3.6c m,O F=2 A c m,求它们的相似比.【解答】解：连接A，C尸交于点则点0即为所求;O C=3.6。%,O F=2.4。?，A O C：OF=3：2,【考点
21、4位似图形的判定】【典例5】(2 0 1 9秋唐山期末)如图，BD,4 c相交于点尸，连接A 3,BC,CD,DA,ZDAP=ZCBP.(1)求证：A O PS/B CP；(2)直接回答 4 9 P与B C P是不是位似图形?(3)若 A 8=8,C =4,D P=3,求 A P 的长.【解答】(1)证明：/D 4 P=/C B P,ZDPAZCPB,二A D P s/X B C P；(2)解：A D P与8 C。不是位似图形,因为它们的对应点的连线不平行；解：ADPBCP,.星=里又NAPB=NDPC,D P C P/XAPBsADPC,A P -A B Hn A P -8P D C D 3
22、 4解得，AP=6.【变式5-1（2018秋邵阳县期末）如图，如果AC8。，CE/D F,那么ACE与8QF是位似三角形吗？为什么？【解答】解：/XACE与BO尸是位似三角形,理由：:AC/BD,CE/DF,.毁=叟 O E =O CtO B 0 D O F 0DA0A=0E,O B O F 又,:NAOE=NBOF,:.OAEs/OBF,:.NOAE=NOBF,J.AE/BF,又/XACE与ABDF对应点相交于点O,：./ACE与BOF是位似三角形.【变式5-2】如图，点A,。在/x o y的边o x上，点8,E在o y边上，射线o z在/x o y内，且点 C,尸在 OZ 上，AC/DF,
23、H C/E F.里=DF 7(1)试说明A8C与QEF是位似图形；(2)求ABC与OE尸的位似比.【解答】解:(I).AC/DF,HC/EF,：.ZDFO=ZACO,NOFE=NOCB,PA=OC=AC；殁=幽,OD OF DF OF EF：.ZDFE=ZACB,维 _=段，DF EF二/ABC与ADEF是位似图形;(2):八 钻。与OEF是位似图形，柜DF 7.ABC与OE尸的位似比为：A.7【考 点 5画位似图形放大后的的位似图形】【典例6】(2019秋锡山区期末)已知ABC三顶点的坐标分别为A(0,2)、B(3,3)、C(2,1).(1)画出ABC；(2)以B为位似中心，将ABC放大到原
24、来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形4 B C i；（3）写出点A的对应点A i的坐标：（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形.所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（-3,1）、（3,3）、（1,-1）.(3)利 用(2)中图象，直接得出答案.故答案为：(-3,1).【变式6-1(2 0 1 9秋西城区期末)如图，A B O三个顶点的坐标分别为A (-2,4),8(-4,0),。(0,0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与A B。的相似比为工【解答】解：如图所示：B。即为所求.【变式6-2(2 0 1 6春威海期末)如图 A B C的
25、顶点坐标分别为A (1,1),B (2,3),C(3,0).(1)以点。为 位 似 中 心 画 使 它 与A B C位似，且相似比为2.(2)在(1)的条件下，若 M (a,b)为a A B C边上的任意一点，则O E尸的边上与点M对应的点M的坐标为.【解答】解：(1)如图，和 E F 为所作;(2)点 M对应的点M的坐标为(2 ,2 b)或(-2 a,-2/?).故答 案 为(2a,2%)或(-2a,-2 b).【变式6-3(2 0 2 2 马鞍山二模)如图1 1 X 7 的网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，点 A、B、C都在格点上(两条网格线的交点叫格点)(1)在线段8c下方用
26、无刻度直尺作出一点。，使得O A=O C(2)以。为位似中心，将aABC放大为原来的2 倍，得对应 A E C,请在网格中作出A B C.【解答】解：(1)如图，点。为所作;【考点6平移、轴对称、旋转和位似】【典例7】(2 0 2 2雨山区二模)如图，在边长为1的正方形网格中，A 8 0的顶点均在格点上，点A,B的坐标分别是A (2,2),8(1,3),把 A B O绕点。逆时针旋转9 0 后得到A i B i O.(1)画出A 1 B 1 O,直接写出点4，B i的坐标；(2)计算在旋转过程中，A B O所扫过的面积.(3)以原点。为位似中心，位似比为2,在第三象限画出A B。放大后的A 2
27、&O.【解答】解：(1)如图所示，A iB。，即为所求；4,B 的坐标分别为(-2,2),(-3,1)；(2)0 5=(1 2 +32 =倔，A B=,0A=2五,.OB2=OA2+AB2,是直角三角形，/ZOAB=90,二 ABO 所扫过的面积=扇 形 BOB、的面积+5(3)如上图所示，历。即为所求.【变 式7-1 (2 0 2 2安徽三模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，4B C的顶点均在格点(网格线的交点)上.(1)将 A B C向右平移2个单位得到A iB iC i，画出A iB iC i.(2)将以点C为位似中心放大2倍得到A A 2 8 2 c 2，在网格中画出4 A
28、2 8 2 c 2.【解答】解：(1)如图所示：4B 1 Q即为所求:(2)如图所示：2 8 2 c 2即为所求.【变式7-2 (2 0 2 2 广西模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (-2,-5)、B -3,-l)、C(-5,-4).(1)画出将 A B C 向上平移6个单位长度后对应的 4 8 i G；(2)以点O为位似中心,工为位似比，在第一象限内，画出 A B C 的位似图形A A z B 2 c 2;2(3)点 M 是 8c的中点，请直接写出点M 分别在 48 1。和2 8 2 c 2 中的对应点陷和 好 的坐标.A(2)作图如图，2 8 2 c 2 即为所求.(3).点M是
29、 的 中 点，点M的坐标为(-4,-),2向上平移6个单位长度可得M i(-4,工)，2根据位似的性质，横纵坐标都变为原来的工，且在第一象限，2.,.M2(2,互).4【变 式7-3 (2 0 2 2宾阳县二模)如图，在直角坐标系中，已知A A B C三个顶点的坐标分别为 A (3,3),8 (4,0),C (0,2).(1)请画出与A B C关于x轴对称的A iB iC i.(2)以点。为位似中心，将 48 C缩小为原来的工，得到2 8 2 c 2，请在y轴的右侧2画出42历。2.(3)在y轴上存在点P,使得 0 4尸的面积为6,请直接写出满足条件的点P的坐标.【解答】解：(1)如图所示，4曲。即为所求.(3).O 4P的面积为6,点P在y轴上,二点P的坐标为(0,4)或(0,-4).