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1、22.1.二次根式(1)教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用G (a 2 0)的意义解答具体题目.2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键：L重点：形 如&(a 2 0)的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利 用“&(a0)”解决具体问题.教学过程：一、回顾当a是正数时，石 表 示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，石 等 于0,它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，人没有意义.二、概 括：&(a 0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，&(a 2 0)是一个非负数，它的平方等于 a.即有：(1
2、)0 (a 2 0)；(2)(V)2=a (a 0).形 如&(a 2 0)的式子叫做二次根式.注 意：在二次根式右中，字母a必须满足a 2 0,即被开方数必须是非负数.三、例题讲解例 题：x是怎样的实数时，二次根式G T有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数.解：被开方数x T0,即xl.所以，当x e l时，二次根式G万有意义.思 考：行 等 于 什 么？我们不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,分别计算对应的a 2的值，看看有什么规律:概 括：当a0时，a：当a 0 x+l w O3由得：X 2-二2由得：x#T当 x 2-旦 x WT时，j 2 x+3 +-在实数
3、范围内有意义.2x+1例：（1）已知y=J 7+JT+5,求工的值.（答案:2）y（2）若JH+JE=0,求 a?期+产”的值.（答案：2）5六、归 纳 小 结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1 .形如G（a 2 0）的式子叫做二次根式，“一”称为二次根号.2 .要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.七、布置作业：教材P 4：1、2八、反思及感想：2 2.1 二次根式（2）教学内容：1.4 a（a2 0）是一个非负数；2.（6）%620）.教学目标：1、理 解 右（a，0）是非负数和（&）a（a0）,并利用它们进行计算和化简.2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法
4、推出&（a2 0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（G）a（a0）；最后运用结论严谨解题.教学重难点关键：1.重点：&（a2 0）是一个非负数；（、7）2=a（a2 0）及其运用.2.难点、关键：用分类思想的方法导出J Z （a O）是一个非负数；用探究的方法导出（6）-a（a0）.教学过程：一、复 习 引 入（学生活动）口答1.什么叫二次根式？2.当a 2 0时，G叫什么？当a 0),2.()2,3.(yja2+2 a+l)2,4.(“4 9+)分析：(1)因为x 0,所以x+l 0；(2)a O；(3)a+2 a+l=(a+1)2 0；(4)4 x-1 2 x+9=(2 x
5、)-2 2 x 3+3=(2 x-3)2 0.所以上面的4 题都可以运用(G)2=a(a 0)的重要结论解题.解：(1)因为 x 0,所以 x+l 0,(VJC+T)2=X+1(2)V a O,(而 )2=a2(3)Va2+2 a+l=(a+1)2,又：(a+1)2 0,a+2 a+l 2 0 ,ja2+2 a +l=a2+2 a+l(4)V 4 x-1 2 x+9=(2 x)-2 2 x 3+3=(2 x-3)2,又；(2 x-3)2 0.,4X2-12X+90,/.(-12x+9)2=4XL12X+9例 3 在实数范围内分解下列因式：(1)x-3(2)x,-4(3)2X2-3六、归 纳 小
6、 结：本节课应掌握：1.4 c i(a 2 O)是一个非负数；2.(yfa)-a(aO);反之:a=(/a)2(a2 O).七、布 置 作 业：教材P 4：3、4八、反思及感想：22.1 二次根式(3)教学内容 J/=a(a 2 O)教学目标：1、理解J/=a (a2 0)并利用它进行计算和化简.2、通过具体数据的解答，探 究=a(a 0),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键：1.重点：J/=a(a N O).2 .难点：探究结论.3 .关键：讲清a 2 0时，=2才成立.教学过程：一、复习引入：(老师口述并板收上两节课的重要内容)1.形 如&(a2 0)的式子叫做二次根式；2.4a(
7、a2 0)是一个非负数：3.(6)2=a(a O).那么，我们猜想当a 0时，C=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.二、探究新知：(学生活动)填空：V?=：V o.o i2=：J(仿/=：；亚=；(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到：贬=2；V o.0 12=0.0 1；J(1)2 =木；(-|)2=-|：而=0；.因此，一般地：后=a(a2 0)三、例题讲解：例 1 化简：(1)M(2)J(-4)2 (3)7 2 5 (4)J(-3)2分析：因 为(1)9=-32,(2)(-4)2=,(3)2 5=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用J/=a (a2 0)去化简.解
8、：(1)次=疗=3 (2)J(T)2 =4(3)后=疗=5 (4)J(-3)2=疗=3四、巩固练习：(见小黑板)五、应用拓展例 2 填空：当 a 2 0 时，J/=；当 a a,则 a可以是什么数？分析：；J/=a(a 2 0),.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当 aWO 时，=J(-4 ,那么-a 2 0.(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根 据(1)、(2)可知|a|,而|aI 要大于a,只有什么时候才能保证呢？a a,即使a a 所以a不存在；当 a a,即使-a a,a 0 综上，a 2,化简 -
9、J(1 2X)2.六、归纳小结：本课掌握：J/=a(a O)及运用，同时理解当a 0)及其运用.教学目标：1、理解6&=瓢(a 2 0,b 2 0),jab-yc i ,J b(a-0,b 2 0),并利用它们进行计算和化简2、由具体数据，发现规律，导出G-4 b=4 a b(a)0,b 0)并运用它进行计算；利用逆向思维，得 出 而 =4 b(a 2 0,b 0)并运用它进行解题和化简.教学重难点关键1、重点：4 a,4 b ab(a 0,b 2 0),ab-4 a,4 b(a 0,b 2 0)及它们的运用.2、难点：发现规律，导 出&-网=瓢(a 2 0,b0).3,关键：要讲清，区(a
10、0,b 、0,b 0）及运用.六、作业设计（一）、选择题（写在小黑板上）1.直角三角形两条直角边的长分别为A c m和 巫c m,那么此直角三角形斜边长是（）A.3 s fl.c m B.3 V 3 c m C.9 c m D.27c m2.化 简aJZ Z的 结 果 是（）.A.4 -a B.a C.3.等式JT万=J x2 1成立的条件是（）A.x21 B.x 2 T C.一I W xW l D.x21 或 x WT4.下列各等式成立的是（）.D.-yc iA.4 V 5 X 2 4 5=8/5；B.5 百 X 4 后=20 底 C.4 6 X 3 0=7 石；D.5 也 X 4 垃=2
11、0 遍（二）、填 空 题：1.-014=.2.自由落体的公式为S=L g/（g为重力加速度，它 的 值 为10m/）,若物体下落的高度为720m,则下落的时间2是.（三）、综合提高题 探究过程：观察下列各式及其验证过程.(1)2验证：2 回=VFx 叵=x 2 =反 _-2)+2V 3 V 3 3 V 3 V 3=/23-2 2-2(221)2-b，222-1 V 3(2)34=F 1验证：3 叵=X 叵二 区:/33-34-3 V 8,A/V V 32-1-=/3(32-1)+3 6(3 2 1),3 二 L .3V 32-1 V 32-1 32-1 7 -8通过上述探究你能猜测出户 一。）
12、，并验证你的结论.七、反 思 及 感 想：22.2二次根式的乘除（2）教学内容：正=叵（a 0,b 0）,反过来 叵=1（a 0,b 0）及利用它们进行计算和化简.y/b V b V b教学目标；1、理 解 正=叵(a 2 0,b 0)和叵=逅(a 0,b 0)及利用它们进行运算./b V b V b y/fo2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化筒.教学重难点关键1 .重点：理解1=叵(a O,b 0),a-4 a(a 2 0,b 0)及用它们进行计算和化简.yJb V b v b yjh2 .难点关键：发现规律，归纳出二
13、次根式的除法规定.教学过程；一、设疑自探一一解疑合探自探.(学生活动)请同学们完成下列各题：每组推荐一名学生上台阐述运算结果.(老师点评)，根据大家的练习和回答,我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：1.填 空(1)=V 1 6(3)巫=_叵=;V16,卮；(2)尺二V 3 6(4):3 6 =_ /1=_；7 36,因=V81规律：J9_ 叵；V16 V16/T 6 ；V 3 6 A/3 6正y/16/36.X/8T V812.利用计算器计算填空：(1)6=,(2)V 2 =,(3)心=,(4)包=拜7 5V8规律：正巨；6 V 4迈 一昌鼻飞=(a 2 0,b 0
14、),4b b反过来-=(a 0,b 0)b&下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.分析：上面4小题利用fa(a 2 0,b 0)便可直接得出答案.分析：直接利用(a 2 0,b 0)就可以达到化简之目的.aa _ 4a二、应用拓展已知=巫三，且 x为偶数，求(1+x)x 6“5 x +4的值.x2 1分 析:式 子 祗 瞪只 有aNO,b0时才能成立.因此得到9-x0且x-60,即6xW9,又因为x为偶数，所 以x=8.三、归 纳 小 结（师生共同归纳）本 节 课 要 掌 握 需=3。,b0）和后手(aO,b0)及其运用.四、作业：（写在小黑板上）（一）、选择题：1.计算用十四的结果是（）
15、.A.2 石；B.2 ；C.V2；D.正7 7 72.阅 读 下 列运算过程：1 _ V3 _ 73,2 _ 2/5 2/5V3-73x73-3 y/5 y/5 xy/5 5数学上将这种把分母的根号去掉的过 程 称 作 分母有理化”，那么，化简京2的 结 果 是（).A.2 B.6 C.-V6 D.V63(二)、填空题 L 分母有理化：(1)=;(2)_!_=;(3)3/2VTo=_2/52.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+的最后结果是（三）、综 合 提 高 题 计 算3m2-3n2 3 m+n(a0)五、反思 及 感 想:2 2.2二次根式的乘除（3）教学内容最简二次根式的概念及利用最
16、简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.重难点关键：1.重点：最简二次根式的运用.2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、设疑自探解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）计 算（1）正，（2）三 色，（3）/5 V27 y/2a老师点评：正 =乂 叵，3 7 2=7 6,瓜=2右V5 5 V27 3 4 2 a a自探2.观察上面计算题的最后结果，可以
17、发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.合 探 1.把下面的二次根式化为最简二次根式：（1）3 后；（2）ylx2y4+x4y2；（3）合探 2.如图，在 R 3 A B C 中,Z C=9 0 ,A C=2.5 c m,B C=6 c m,求 A B 的长.A B=V 2.52+62=J(|)2+3 64 4 2因此A B 的长为6.5 c m.二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最
18、简二次根式的化成最简二次根式:1 _ i x（V 2-i）_V 2-1 17T7F（夜+1）（&-1）-T T 1 _ 卜（6一扬 万V 3 +V 2（V 3 +V 2）（-V2）3-2 同理可得：=A/4-7 3,从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（1+1 +1 +1 ）（V 20 0 2+1）的值.V 2+1 7 3+V 2 7 4+7 3 -2 0 0 2 +2001分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1 .如 果
19、/（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）.A.G （y0）B./汗（y0）C.（y0）D.以上都不对4 y y2.把（a-l）/1 中根号外的（a-1）移入根号内得（）.V a-lA.J a -1 B.a C.,c i D.-a3.在下列各式中，化简正确的是（）4.化 简 的 结 果 是（）A.；B.-；C.V 6 ；D.-/2V 27 3 7 3 3（二）、填空题1 .化简 Jd+尤2y2=.（x20）2.a_分化简二次 根 式 号 后 的 结 果 是.（三）、综合提高题1 .已知a为实数，化简：，万-a百,阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：解：J
20、 a3-a /_ _ L =a -a -J _ 4 a-(a-1)4 aNa 72.若 x、y 为实数，-v=-4+,4 X，+1 ,求 J x+y J x y 的值.x+2六、反 思 及 感 想：22.3 二次根式的加减（1）教学内容：二次根式的加减教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法.重难点关键：1.重点：二次根式化简为最简根式.2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.教学过程：一、设疑自探一一解疑合探自 探（学生活动）：计算下列各式.(1)2yp2+3yp2；(2)2-/8 -3/8+5/8；(3)A/7+2y/1+3 J 9x7；(4)3/3-2 V 3+/2因此，二次根式的被开方数
21、相同是可以合并的，如 2逝 与 血 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.（板书）3=3 V 2+2 5/2=5 y/2 和 3-s/3+y/2 1=3-3+3 3=6 y/3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.合探 1.计算：（1）V 8+V 1 8（2）y/l6 x+4 6 4 x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.合探2.计算（1）3 7 4 8-9 1+3 7 1 2 （2）（/48+V 20）+（71 2-75）二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与
22、同伴交流一下！三、应用拓展已知 4x 2+y 2-4x-6y+1 0=0,求（+y2 ）-（x2J-5x F ）的值.分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-l）2+（y-3）J O,即*=l，y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式,2最后代入求值.四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并.五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1 .以下二次根式：巫；亚;/|：J 万 中，与 G 是同类二次根式的是（）.A.和 B.和 C.和 D.和2.下列
23、各式：3 6+3=6 6；币=1；喜=2 a；叵 =2 0,其中错误的有7 /3（）.A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个（二）、填空题1 .在 次、而、2 灰、厄、2 J M、3 屈、-2 口 中，与 岛 是 同 类 二 次 根 式 的 有.3 3 a V 82.计算二次根式5右-3折-7右+9班 的最后结果是（三）、综合提高题1 .已 知 后 入 2.236,求（厢-旧）-（产+巴J 而）的值.（结果精确到0.01）2.先化简，再求值.（6 x 4 +3 J x y 3）-（4 x 产 +73 6 x y）,其中 x=3，y=27.六、反 思 及 感 想：22.3二次根式的加减(
24、2)教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标：运用二次根式、化简解应用题.重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学过程:一、设疑自探解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固.自探1.如图所示的R t Z X A B C中，/B=9 0 ,点 P从点B开始沿B A 边 以 1向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿B C边以2 厘米/秒的速度向点C 移动.问：面积为3 5 平方厘米？P Q 的距离是多
25、少厘米？(结果用最简二次根式表示)分析：设 x秒后P B Q 的面积为3 5 平方厘米，那么P B=x,B Q=2 x,根据三可以求出x的值.解：设 x后P B Q 的面积为3 5 平方厘米.则有P B=x,B Q=2 x厘米/秒的速度几秒后 P B Q 的角形面积公式就依题意，得：一x 2 x=3 5 x=3 5 x=52所 以 后 秒 后 P B Q 的面积为3 5 平方厘米.P Q=yjP B2+BQ1=VX2+4X2=氐7=V 5 x 3 5 =5 币答：后 秒 后 a P E Q 的面积为3 5 平方厘米，P Q 的距离为5 J7 厘米.自探2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢
26、材（精确到0.1 m）?解：由勾股定理，得 A B=，4+如=+22=而=2 后B C=y/B+C D2=也+俨=亚所需钢材长度为 A B+B C+A C+B D =26+有+5+2 =3 6+7 3 X 2.2 4+7七 1 3.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要1 3.7m 的钢材.）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展若 最 简 根 式+与根式，为/一 6 3+6/是同类二次根式,求a、b 的值.注：（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式，2 a
27、J?尖 3+6 才 2不是最简二次根式，因此把，2 次？式+6 从 化 简 成 山 J 2 T +6 ,才由同类二次根式的定义得3 a-b=-2,2 a-b+6=4 a+3 b.解：首先把根式J 2“根-4+6/7 2 化为最简二次根式:3 4 加2 1()是同类二次根式,求m、n的值.32 .同学们，我们以前学过完全平方公式a 2 2 a b+b?=(a b)2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方，如 3=(百)2,5=(6)2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：(V2-1)2=(V2 )-2 1 血+/=2-2 血+1=3-
28、2 0反之，3_2 A/2=2_2 A/2+1-(5/2 _1)3_2 V2 -(A/2 _1)3 2,/2,-V2 -1求：(1)+2 夜；(2)“+2 力；(3)你会算“一 疝 吗?(4)若da2 B =Gi土G,则 m、n与 a、b的关系是什么？并说明理由.六、反 思 及 感 想：2 2.3二次根式的加减(3)教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用.教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.重难点关
29、键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.教学过程一、设疑自探一一解疑合探自探1.(学生活动)：请同学们完成下列各题：1 .计算：(1)(2 x+y),z x(2)(2 x2y+3 xjr)4-xy2 .计算：(1)(2 x+3 y)(2 x-3 y)(2)(2 x+l)2+(2 x-l)2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)单项式X单项式；(2)单项式X多项式;(3)多项式+单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.整式运算中
30、的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.自探 2.计算：(1)X /3 (2)(4-/6 -3,/2 )4-2 /2分析：刚才己经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.自探 3.计算：(1)(V5+6)(3-V5 )(2)(V1 0+V7 )(V l O-V?)分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展：已知土心=2-土二0，其中a、b是实数，且 a+b*O,a b化简
31、J x+1 1 +,并求值.y/x-b 1+yfx y/x-h 1-V x分析：由 于（而T+）（J7 TT-4）=i,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到X的值，代入化简得结果即可.解:原式二(Jx+l-4)2+(A/X+1+VX)2(Jx+1 +1 /x)(1 y/x)(y/X+1 +Vx)(Jx+1 +(J X+1 +/x)(x+l)-x (x+1)X二(x+1)+x-2“(X +1)+x+2y/x(x+1)=4x+2*.*-=2-.b (x-b)=2 a b-a (x-a)b x-b2=2 a b-a x+a2a b(a+b)x=a+2 a b+
32、b (a+b)x=(a+b)V a+b O /.x=a+b原式=4x+2=4(a+b)+2四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1.（回-3 而+2 JJ2）x G 的 值 是（）.A.空 百-3 而 B.3 7 3 0-2 V 3 C.2 回-2.6 D.史百-而3 3 3 32 .计 算（石+J7 万）（4-4-1 ）的 值 是（）.A.2 B.3 C.4 D.1（二）、填空题1.（-L +昱）z 的计算结果（用最简根式表示）是.2 22 .（1-2A/3 ）（1+2 /3 ）-（2 x/3-l）2 的计算结果（用
33、最简二次根式表示）是.3 .若 x=6 T,贝!x+2x+l=.4.已知 a=3+2 血，b=3-2 /2 ,则 a b-a b .（三）、综合提高题1.化简 岳+5VTo 4-V14+V15+V212 .当 x=4 时，求 X +1 +J.+X+的 值（结果用最简二次根式表示）v 2 1 x+1 J +x x+y/x2+x六、反思及感想：2 3.1 一元二次方程教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式分 2+Z z x +c =(4#0)2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的
34、工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。重点难点：1.一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。2 .理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。教学过程：,做一做：1.问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为9 00平方米的一块长方形绿地，并且长比宽 多 1 0米，那么绿地的长和宽各为多少？分 析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x(x+1 0)=9 00整理可得 x2+l O x-9 00=0.(1)2 .问 题 2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解
35、：设这两年的年平均增长率为x,我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5 (1+x)万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1 +x)倍，即 5 (1+x)(l+x)=5(l+x)2 万册.可列得方程5 (1+x)2=7.2,整理可得 5X2+1 0X-2.2=0.(2)3 .思 考、讨论这样，问题1 和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？(学生分组讨论，然后各组交流)共同特点：(1)都是整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2二、一元二次方程的概念上述两个
36、整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程).通常可写成如下的一般形式：a x2+b x+c=0(a b、c是已知数，a#0)。其中叫做二次项，。叫做二次项系数；法 叫做一次项，沙叫做一次项系数，,叫做常数项。.三、例题讲解与练习巩固1 .例 1 下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。_X_-_ _2_ _j 2_(1)3 x+2 =5 x 3 (2)X2=4 (3)x +1 (4)x 4 =(x +2)2 .例 2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：1)6 y 2=y 2)(x-2)(x+3)=8 3)(x +
37、3)(3 x -4)=(x +2)-说明：一元二次方程的一般形式公2+b x +c =W0)具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。3.例 3方程(2 a 4)2 b x+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？本题先由同学讨论，再由教师归纳。解：当。2时是一元二次方程；当。=2,匕WO时是一元一次方程；4 .例 4已知关于x的一元二次方程(m 次方2+3 x-5 m+4=0有一根为2,求 m。分析：一根为2即 x=2,只需把x=2 代入原方程。5 .练
38、习一将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项2x2=2-3x 2X(X-1)=3(X-5)-4 0T)，+巾=0 +3*丁-2)练 习 二 关于工的方程(加一3)，+x +/=,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？本课小结：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为奴2+云+。=(W O),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型(一元二次 方 程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。布置作业：
39、课本第2 7 页习题1、2、323.2.2 一元二次方程的解法教学目标：1、会用直接开平方法解形如 瓮一(aW O,abe O)的方程；2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。重点难点：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。教学过程：I RJ：怎样解方程(”+1)=2 5 6 的？让学生说出作业中的解法，教师板书。解：1、直接开平方，得 x+l=1 6所以原方程的解是x l =1 5,x 2=-1 72、原方程可变形为(X+1)2-2 5 6 =0方程左边分解因式，得(x+1+1 6)(x
40、+1-1 6)=0即 可(x+1 7)(x-1 5)=0所以 x+1 7=0,x-1 5=0原方程的蟹x l =1 5,x 2 1 7二、例题讲解与练习巩固1 例 1 解下列方程(1)(x +1)2-4=0；(2)1 2 (2-x)2-9=0.分 析 两个方程都可以转化为05一6 2 =(aW O,abe O)的形式，从而用直接开平方法求解.解(1)原方程可以变形为(x+1)=4,直接开平方，得x+l =2.所以原方程的解是 x l =l,x 2=-3.原方程可以变形为有.所以原方程的解是x l=,x 2=2、说明：(1)这时，只要把(X +D看作一个整体，就可以转化为x?=b 3 2)型的方
41、法去解决，这里体现了整体思想。3,练习一解下列方程:(1)(x+2)2 1 6=0；(2)(X-1)2-1 8=0；(3)(1 -3X)2=1；(4)(2X+3)2-2 5=0.三、读一读四、讨论、探索：解下列方程(1)(x+2)J 3(x+2)(2)2 y(y-3)=9-3 y(3)(x-2)2 x+2 =0(4)(2X+1)2=(X-1)2(5)-2X+I=4 9。本课小结：1、对于形如“(X Q 2 =(aW 0,a0 0)的方程，只要把(”一行看作一个整体，就可转化为-=(n 2 0)的形式用直接开平方法解。2、当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解
42、法解。布置作业：课本第3 7 页习题1 (5、6)、P 3 8 页习题2 (1、2)23.2.3 一元二次方程的解法教学目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程.2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。3.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。重点难点：使学生掌握配方法，解一元二次方程。把一元二次方程转化为教学过程：一、复习提问解下列方程，并说明解法的依据:3 2 x 2=1 (x+l)2 6 =0 (3)(X-2)2-1=0通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：X2=。(。2 0)和(x-a)-=b(b0)根据平方根的意义，均
43、 可 用“直接开平方法”来解，如果b 0).先由学生讨论探索，教师再板书讲解。解：移项，得 x2+p x=-q,P _ P _ P _配方，得 X2+2 x 2+(2)2=(2 y q,P _ P?即(x+2)2=4因为 p 2 4 q N0时，直接开平方，得p_ 4qx+2 =2 .所以一 J/-4q即x=2思 考：这里为什么要规定p 2-4 q N0?七、讨 论1、如何用配方法解下列方程？4X2-12X-1=0;请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。先由学生讨论探索，再教师板书讲解。解：(1
44、)将方程两边同时除以4,得X2 3x =04移项,配方,X2-3x=!43x一3x+()(x-)22o_ 52-2(I)得得1=一+4即直接开平方，得3 Vi ox-=-2 2x=52 2所以3 +加所以X I=23-WX2=23,练习：用配方法解方程:(1)2X2-7X-2 =0(2)3X2+2X-3=0.(3)2 x 4 x+5 =0(原方程无实数解)本课小结：让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；如果方程的右边整理后是非
45、负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。布置作业：P38 页习题 224.(3)、(4)、(5)、(6),3,424.(1)、(2)2 3.2 .4 一元二次方程的解法教学目标：1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。重点难点：1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。教学过程：一、复
46、习旧知，提出问题1、用配方法解下列方程：,3x2-12x+-=0(1)+15=10%32、用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、探索同底数基除法法则,(x /)2,2 _产问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程2+b x+c =(a*0)转化为 a 4/呢？教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：因为a=0,方程两边都除以.，得2 b C ca a移项，得2b cx+x=a a配方，得2 c b/b、2 /b、2 cx +2 X
47、+()=()2 a 2 a 2 a a即 2 a 4a?b1-4 ac问题2：当匕2-4ac N 0,且时，4a2 大于等于零吗？匕 心 竺20让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当“一 4ac N 时，因为aw O,所以4 4 0,从而 4 a-。问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当 -4ac,2时，一 般 形 式 的 一 元 二 次 方 程+h yjh2-4 ac 一b yjh2-4 acx-=-x -的根为 2 2 a，即 2a o_ -b yjb2-4 ac由 以 上 研 究 的 结 果，得 到 了 一 元 二 次 方 程a*+x +c
48、 =(aH)的 求 根 公 式：2 a（从一 4ac 0）这个公式说明方程的根是由方程的系数匕、,所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、6、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。思考：当时，方程有实数根吗？三、例题例1、解下列方程:1、2x2+x-6 =0.2、X2+4X=2.3、5/-4 1 2 =0：4、4x2+4x+10=1-8%教学要点：（1）对于 方 程（2）和（4）,首先要把方程化为一般形式；（2）强调确定“、b、c值时，不要把它们的符号弄错；（3）先计算 4欧 的值，再代入公式。例2、（补充）解方程Y x+l=解：这里a=l,b=-,c=,b2-4
49、ac=（-1）?-4 x lx l=-3 时，方程有两个不相等的实数根；当 尸-4ac=时，方程有两个相等的实数根；当匕时，方程没有实数根。四、课堂练习1、P35练习。2,阅读P39“阅读材料”。小结：根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。作业：P38 习题 4.（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）,5。23.2.5一元二次方程的解法教学目标：1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。2、提高学生分析问题、解决问题的能力。3、培养学生数学应用的意识。重点难点：认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，
50、布列方程是本节课的重点，也是难点。教学过程：一、复习旧知，提出问题1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。2、用多种方法解方程（3 1）2=/+6无+9让学生尝试用多种方法解方程，归结为：解 法1：将方程化为（3 x T =（x+3）2,直接开平方，得3 x-l=（x+3）解 得*=2,X222X2-X-1 =O解 法2：将方程化为一般形式2 x -3 x 2 =0,进而转化为 2 ,用配方法可求方程的解。解 法3：将方程化为一-般 形 式2/_ 3X_2=0,用公式法求解，其 中 尸-4 a c =(-3y-4 x 2 x(2)=2 5提 问：用哪种方法解方程(3-1)2 =x?+6 x +9