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1、大招9 蒙日圆及其证明大招总结定理1曲线：，+方=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2+y2=a2+b2.定 理1的结论中的圆就是蒙日圆.证明当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标是（士。,份，或（a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为。时，可设点尸的坐标是（%，%）（七/。，且%。b），所以可设曲线的过点P的切线方程是y%=左（X%）伏牛0）.“2 2-1-=1由/H，得cTk2+b2x2-2ka2（Ax0-yo）j t +a2（x0-y0）-a2b2=0由其判别式的值为。得（-a）H-Q.xoyok+b=0（x；-a w 0）
2、因为他A，即B是这个关于左的一元二次方程的两个根，所以k.k 一三（PA 2B 2 2xQ-a由此得kPA-kPB=-1 XQ+yj=a2+/?2 进而可得欲证成立定理2（1）双曲线=的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆Y +2=一”；（2）抛物线/=2 p x的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.2 2定理3过圆/+y2=/+b2上的动点P作椭圆*+3=1（。0）的两条切线PA,PB,pl l J P A PB.证明:设P点坐标（天为）由，2 2土+匕=1a2 b 得(a*2 +卜2 _ 2/2z2(-y0)x+2(-y0)2-a2b2=0y-y0=kx-x0）由其判别式的值为0,得（
3、x；-cr）k _ 2XQyk+yj h=0（不 _cr*0）因为，%”是这个关于左的一元二次方程的两个根，所以kP A.kEB_ 巾 一 万2 2xo a一*0+X)=+，kpA kpB2=-l,PA l.PB2 2定理4设P为蒙日圆O:/+V =/+上任一点过点P作 椭 圆 力+/=1的两条切线，交椭圆于点A.B.O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值上op 心Ba22 2定理5设尸为蒙日圆O：V +J?=/+上任一点过点p作椭圆鼻=1的两条切线，切点分别为a bb2b2A,B,0为原点，则OA,PA的斜率乘积为定值府八%=一-T,且OB.PB的斜率乘积为定值勺屋岸8 二 -7（a6 r垂
4、径定理）定理6过圆/+y?=/+上的动点p作椭圆椭圆的切点弦AB.证明:P点坐标优,为），直线OP斜率kop=%xo由切点弦公式得到AB方 程 誓+誓 =1,kAB=a bx2 y2滔 +R =l（a 60）的两条切线,O为原点，则PO平分b%)。2yo%2 2定理7设尸为蒙日圆O:/+V =+上任一点过点p作椭圆_+2_=1的两条切线，切点分别为a bA B延长PA.PB交伴圆。于两点C,D,则CD/AB.证明:由性质2可知,M为AB中点.由蒙日圆性质可知，乙4PB=90,所以仞4=Affi=MP.同理 OP=OC=OD.因此有 Z P A M =Z A P M =Z C P O =Z P
5、C O,所以 A5/CZX典型例题v.2（例1.）（2020春-安徽月考）已知点P为直线+y-4=0上一点P A P B是椭圆C:-y+丁=1（。1）的两a条切线，若恰好存在一点P使得P A L P B，则椭圆C的离心率为解方法1：设P 5M 2），过点P的切线方程为y-=Z（x-优）,y-n =k（x-m）联立x2、彳 导（左）2+1卜2+2加（nkni）x+/（一Am）?-1J=0,、/+）直线与椭圆相切,A=4公/（初?）2 4/92 a 2+1）（一切?）2-1 =0,整理得（“2 一*2+2加成+1-2=0,若切线PA,PB的斜率均存在，分别设为与，女2，1 1PA _ L PB,k
6、1 k2=-二 -1,即加“+“=1 +a ,-a-m点P在以（0,0）为圆心，、/1 7/为半径的圆上，即（0,0）到直线o x+y-4=0的距离为Jl+a?,d-4=J1+J，解得 a=5/3,V2+ia,:.a=5/3,若切线PA,PB分别与两坐标轴垂直，则P（a,1）或（/）或（,-1）或（。，1）,存在点尸（。,1），将其代入直线以+y 4=0中，解得。=目.综上所述,。=若.又 =1,，c =J T斤=0,上 、F c叵 底离心率6=-=:-.a 6 3故答案为:2；.方法2：在方法1中，实际上证明了一遍蒙日圆，如果知道结论，可得P的轨迹光2 +/=/+,且此圆与a x+y-4=0
7、相仞.4其中（0,0）到直线以+-4 =0 的距离”V 2+i-1 d=/、=J1+/，解得 a=V3,7 7+1a=#，又 b =1,.,.c=，3-1=2,一、F c V2 V6离心率 6=7=二-.a 6 3X o（例 2.）（2020春-安徽月考）已知两动点A.B在椭圆C:_+V =1（。1）上，动点P 在直线3x+4 y-1 0=0a上，若 N A 必 恒 为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为解由结论可知:椭圆=+V =1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是家日圆/+丁=/+,a若 Z 4 P 8 恒为锐角,则直线3 x+4y-10=0 与圆/+2=/+相离故 J/+1，又例 3.已
8、知。：/+y2=1 若直线y=履+2 上总存在点P，使得过点P 的。的两条切线互相垂直，则实数%的取值范围是解（HO,-在下图中,若小圆（其圆心为点。，半径为r）的过点A 的两条切线AB,AD互相垂直（切点分别为E,F）得正方形AE OF,所以|Q A =4 2 O E|=后，即点4 的轨迹是以点。为圆心,出为半径的圆.由此结论可得:在本题中，点 P 在圆/+V =2 上.所认本题的题意即直线y=履+2 与圆V +/=2 有公共点，进而可得答案.例 4.已知椭圆C:+与=1（。b0）的一个焦点为（6,0），离心率为至.a2 b-3（1）求椭圆C 的标准方程；A(2)若动点P(x0,%)为椭圆C
9、外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.解 依 题 意 有，=技3 1=2故所求椭圆。的标准方程为(2)当两条切线的斜率存在时，设过尸(小,为)点的切线为旷一%=左(%一事)=心 一/)联立公2+=119 4消去y得(4+9 公+18 左(%5)2 36=0判别式=r+8 2 4%_辰0)2-36(4+9公)(%而。)2-4 =0,化简得(%也)2 9 F 4=0,即($一 9*一 2xyk+必-4.y2 4依题意得k 1k,=4=一1,即x：+y；=13(可由片+y；=/+直接可得答案)厮一9(例5.已知椭圆C:+/=1(。人 0)的一个焦点为(75,0)，离 心 率 为
10、 半 点P为圆M :F +V =13上任意一点，。为坐标原点.(I)求椭圆C的标准方程；(II)记线段O P与椭圆交点为。，求|PQ|的取值范围；(III)设直线I经过点P且与椭圆C相切,/与圆M相交于另一点A,点A关于原点。的对称点为6,试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.解 由 题 意 可 知:c =逐,6=且，则0=3,=2一。2=4,a 3JC v,椭圆的标准方程:工+工-二1 ；9 42 2(III)由题意可知：12。1=1。1一|0。1=旧 一|0。1,设。(%,%)，2 +?=1，9 4IOQ=&+上=Jx；+(4 _ =,4+署,由王G-3,3,当内=0时O Q|
11、n“n =2,当玉=3时,I O Q Im a x=3,P。|的取值范围 加 一 3,屈 一 2；(III)证明:由题意点8在 圆 例 上,且线段A B为圆M的直径，所以P A A.P B分3种情况讨论，(1)当直线PA J_ x轴时，易得直线PA的方程为=3,由题意得直线PB的方程为），=2,显然直线PB与椭圆C相切.（2）同理当直线PA/X轴时 直 线PB也与椭圆C相切.（3）当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，设点P（%,%）直 线PA的斜率为k，则 H 0,直线PB的斜率-所以直线2 4：尸 为=左（一七），直线2 8：丁 一%=-1（%-玉），Ky-y0 k x-xQ）由,J y2，
12、消去 y 得（9公+4卜2+18（%一 5）依+9（%-5）2-36=0.9 4因为直线PA与椭圆C相切，所以产 18（%_也,）寸4（%2+4）9（%-5）2-36卜0,整理，得 A =-144（$9*-+二-4 =0同理,由直线PB与椭圆C的方程联立，得 A 2=T 4 4 （片-9）/+2入0%；+），；-4.（2）因为点P为圆加：/+丁=13上任意一点，所 以*+*=1 3,即 巾=13-4.代 入 式，得（片一9*一2与 族+（9-片）=0,代 入（2）式 得4 =一 矍 （只一9）+2/%+（此 一4）灯=一 詈 （*一9）+2%女+（9学 快2,=0 （片-9）左 -2%0%k+
13、（9-x；）=0.K所以此时直线PB与椭圆C相切.综上，直 线PB与椭圆C相切.*2 2例6.（2021-安徽模拟）已知圆。：/+/=5 ,椭圆r：方+万=1（。b 0）的左，右焦点为6,弱，过G且垂直于X轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2拉.（I）求椭圆的标准方程；（I I）如图P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线切椭圆于A.B两点.（i）若直线PA的斜率为2,求直线PB的斜率；（i i）作P Q L A B于点。，求证：|。制+|。闾是定值.2,5-2 =2及解 由题意可得 一 ，化简得(1+4-)/+8左(%5)x +4(%5)2-4 =0,由4=0得=心 一 面)(4-片 居
14、+2依0%+1一%=0,设切线PA.PB的斜率分别为k,k则他=等=咔与又直线PA的斜率为2,则直线PB的斜率为-(II)当切线PAPB的斜率都存在时，设4(%,%),3(%,)，切线 PA,PB 的方程为 y-yi=ki(x-xi),i=l,2,由 得(4-x；R+2和 成+1 _才=0=1,2,(*)v-2又A.B点在椭圆上得,才+片=1,i=1,2,(*)得(2 +三=0,即 匕=一 兴=1,2,I 2)4%汾线PA.PB的方程为十+y j=l,z=l,2,又过，点 P，则?+yiy0=l,i=,2.所直线A B的方程为午+为y=1，(可直接代协点弦方程)由PQ_ L A 8的直线P Q
15、的方程为y-%=气 一/),联立直线A B方 程 为 瞥+为y=1,4X0(1+3 )_4%0 +3婿解传 加 一 片+16.一 二%,为 一 片+16.一 5%由 片+y：=5得 点。轨迹方程为3f +5/=1,且焦点恰为F、,F,16故+耳|=2 x 4 =,o尺当切线PA,PB的斜率有一个不存在时，易得|。制+|QK|=嗫综上.|。耳|+|。眉=苧.自我检测X VO 01.(2021-全国二模)已知双曲线二 一 一 =1(。1)上存在一点M，过点河 向 圆 V +V =1 做两条切线a 4MA,MB,若 M 4 M B =0,则实数a的取值范围是0A.(1,0)B.(1,V2|C.|V2
16、,+o o)D.(四,+8)答 案：2 2方法1：双曲线=一 =1(。1)上存在一点M ,过点M向圆V +V =1做两条切线M A、MB,若M Aa-4M B=0,可 知 M A 0 B 是正方形,M O =y2，所以双曲线的实半轴长的最大值为J 5，所以a e 故 选 B.方法2:过点M向圆f +V =1做两条切线M A、MB,若M A M B =0,M点轨迹即为蒙日圆V +尸=2,2 2且此圆与双曲线q J=l(a l)有 公 共 点 所 以 a e(l,0.故 选 Ba 42 2 _2.给定椭圆C：*+本=1(。b 0),称圆心在原点。，半径是的圆为椭圆c的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点
17、为F(V2,0)，其短轴的一个端点到点F的距离为由.求椭圆。及 其“准圆”的方程(II)若点4 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点B D 是椭圆C 上的相异两点，且 B O L x 轴，求A 8-A。的取值范围；(I I I)在椭圆C 的“准圆”上任取一点P(sj)，过点P 作两条直线4，匕使得4,12与椭圆。都只有一个公共点，且 4 4 分别与椭 圆 的“准圆”交于M,N 两点.证明:直线M N 过原点。.答 案：(I)解由题意知。=0,。=必品=6,解得人=1,2椭圆。的方程为方+2=1，其“准圆”为/+：/=4.2(II)解:由题意，设 8(九(一 G 2石，则有为-+2 =1,又
18、 A 点坐标为(2,0)，故 A B =(m-2,),A D=(m-2,-n),(2 A月 A)=(一2)2“2=加2 4加+4一 1 _&、3，4 2“.4(3 Ym 4/M+3=m,3 312)又 J s /?，=k(x-s)，代人椭圆C的方程得：x2+3k(x-s)+2=3，即(3左2+1)%2 6k(t ks)x+3(/kt)2 3=0,由 A=3 6k2(t抬了 4(3左2+1)3(/8了 3 =0,得(3产伙2+2$饮+*3=()其中3 r。0,设 的 斜 率 分 别 为 加 七，则 分别是上述方程的两个根，r.kk,2=-I,.-./1 -L/2.综上所述,4/2，M N是准圆的
19、直径,.直 线M N过原点O3.已知A是圆丁+丁=4上的一个动点，过点A作两条直线4,12，它们与椭圆y +/=l都只有一个公共点，且分别交圆于点M.N 若A(-2,0),求直线4,4的方程；(2)(1)求证:对于圆上的任意点A,都有乙_ L4成立；(2)求AW面积的取值范围.答 案：2解:设直线的方程为y=k(x+2)代人椭圆、+V =1，消去y，可得(1+3公 卜2+12公X+12二-3=0由 =(),可得左2一1=()设h,4的斜率分别为人,&勺=一1/2 =1直线4的方程分别为y=x-2,y=x+2；证 明:当 直 线12的斜率有一条不存在时,不妨设4无斜率4与椭圆只有一个公共点,所以
20、其方程为=土百当/,的方程为x=6时，此时/,与圆的交点坐标为（百.1）,所以4的方程为y=1（或y=T），4-L i2成立,同理可证，当 的方程为“=一6时，结论成立；当直线/）,12的斜率都存在时，设点A（m,n），且 裙+2 =4设方程为丁=攵*一加）+代人椭圆方程，可得（1 +3/卜2+6左（“k”）x+3（初?）2-3=0由 =（）化简整理得（32）炉+27“攵+1-2-Qnr+n2=4nrk2+2mnk+m2 3=0设4 4的斜率分别为占#2,空2=T，-L 4成立综上，对于圆上的任意点A,都有4 1 4成立；记原点到直线4,/2的距离分别为4,4，4 +d；=4,A M N 面积
21、 2=4d；&=4d;（4-J,2）=-4（J,2-2）2+16J；e 1,3,.-.S2 e 12,16.-.Se 2,4.4.过P点作椭圆两条切线,若椭圆的两条切线互相垂直，设圆心到切点弦的距离为4,P到切点弦的距离为&证明4 4之积为常数.答 案：X2 V2证明:如图所示，设椭圆方程为一+*=1（。人0），那么a b-在椭圆上A,B两处切线的交点P在圆V +丁=2+（xn e qa）,现设 P（y/a2+b2 c o s0,y/a2+b sin夕），那么A B的直线方程为xb2y/a2+b2 c o s0+ya2J a2+b2 sin0-crb1=0.原点到切点弦A B的距离d=_ 小_
22、 a2+b2 b4 c o s2 0+a4 sin2 6切线交点P到切点弦A B的距离是d_ 产（/+/6 +/（/+吁皿2 6-4词 _ 74c o s2 6+/sin-6+尸）（/?4 c o s6+a，sin 2 6）+6）仅4 c o s2A+a，sin 2 6）所以4 4=若（常数）.5.（2021贵州模拟）已知椭圆C:5+V =1,M是圆元2 +2=3上的任意一点,MA,MB分别与椭圆切于A.B.求.A O B面积的取值范围.答 案：设 M (%,%),4(%,y),必)设M 4 节+y y =i，M 8：号+y2y=L 且 片+y：=3由 M (%，%)，4 a，X)，g，%)得
23、 等 +=L 竽+%=1，从而 A B:当 +%=1将直线AB的方程与椭圆C的方程联立得(+3)X2-4XOX-4 +4 =O.所以,X|+X2=-,XyX2=-千,%+3%+3因此,A B2 6国+1+31D n又原点O到直线AB的距离d .-=/,考.2 3收+11所以2 北+3令/=辰=61,2得到c c f c 15OAB=2-=2 e/+_2 7235VJQ,y 6.（2021河北模拟）设椭圆7+一 =1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C,曲线C的两条切线PA.PB5 4交于点P,且与C分别切于A,B两点，求PA-P B的最小值.答 案：设两切线为4 4当4 _L x轴或4/无轴时，
24、对应l2/x轴或Z2 x轴，可知P（土底2）；当/,与x轴不垂直且不平行时,x丰土非，设（的斜率为k厕k丰0,/2的斜率为-的方程为y K,%2 V2%=攵（尤一/）,联立y+=l,得（5 左 2+4）/+1 0（为 一 线）履+5（%左O）2-2O=O,因为直线与椭圆相切，所以 =0得5（%5）晨2-（5/+4）（%-5）2-4=0,.一20女2 +4出 一5）2_ 4 =0,，（片 5k 2xoyok+4=0,所以k是方程（片 5快2 2x y k+尤 4=0的一个根，同理一:是 方 程（片一 5产2升 小+y：4=0的另一个根，一!=得 片+：=9,其中彳彳士百,I k）拓-5所以点P的
25、轨迹方程为V +丁=9（工75）,因为P（3,2）满足上式，综上知:点P的轨迹方程为Y+丁=9.设P M =PB=x,ZA PB=氏则在AAOB与.A P B中应用余弦定理知，A B2=0 A1+O B2-2 O A O B -c o s Z A O B=PA1+P B2-2PA-P B-c o s Z A P S,即33+33-2-3-3c o s（180-=x2+x2-2xc d o tx-c o s。，即2 _ 9（1 +c o s 6）l-c o s。P A P B =PA-PB c o s/A PB=x-xcos0_ 9（1 +c o s。）c o s。1-c o s 0令，=1 一
26、c o s 0 G（0,2,则 c o s 0=t.PA.P5 =9（2；）（lT）=9（3，+2）=9 1含）.9-2 7|-3 =9（2夜 3）且仅当，=2,即f=血 时,P A P B取得最小9（272-3）.tY y-7.（衡水中学模拟）如图，在平面直角坐标系xOy,设点M（天,为）是椭圆。：五+吉=1上一点，从原点0向圆 M（x-xo+（y-yo）2 =8作两条切线分别与椭圆C交于点P.Q.（1）若M点在第一象限，且直线OP.OQ互相垂直，求圆M的方程；（2）若直线O P Q Q的斜率存在,分别记为的斜2.求 匕 的 值;（3）试问IOPF+|。是否为定值?若是求出该定值若不是，说明
27、理由.yoX答 案：（1）由圆M的方程知圆M的半径r=2 C,因为直线O P Q Q互相垂直,且和圆M相切，所以|O M|=V2r=4，即+=16又点R在椭圆。上,所以x二2+My2=124 12联立，解得x0=2 5/2Jo =2y/2所以所求圆M的方程为（X-2血 产+（y-=8.因为直线。P：y=和。Q：y=&x都与圆R相切.所以佝=2 0,以：。一 对=272J1+F 戊+行化简得占%=*二1,工0 8因为点RCWO）在椭圆0上,所以或+会=1，即y；=i2 g*,4二片.O 0 1所以仁“2 =_2-f =一3XQ-o Z当直线O P Q Q不落在坐标轴上时，设尸（西,乂）,。（,丫
28、2），由（2）知2k、k,+1=0,所 以 幺 邑=1,X/2故犬只2 2 2 2因为1&,%）,。（孙 必），在椭圆c上，所 以 含+毛=1，篇+卷=1JL 4 1 JL 乙即 y：=12所以i24整 理 得 片+名=24,所以弁+=(1 2一 沁 +0 2一涧=12.2所以+OQ2=x：+y；+x；+y；=24+12=36.（2）当直线O P Q Q 落在坐标轴上时,显然有。尸+。之=36.综上:0尸 2+0。2=362 2结 论：设点M （小,%）是椭圆C ：5 +方=13 8 0）上任意一点,从原点。向圆M:（x-E丫+=?T 作两条切线分别与椭圆C 交于点p、Q,直线O P Q Q
29、的斜率分别记为k,kr8.（2021年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟）已知椭圆0：与+占=1（。匕0）的离心率e =中,且a b 3经过点”,手）抛物线。2：V =2py（p 0）的焦点F与椭圆G 的一个焦点重合.（I）过F的直线与抛物线G交于M.N 两点，过 M.N 分别作抛物线G的切线4,4,求直线4,4的交点。的轨迹方程；（I I）从圆+2=5上任意一点P 作椭圆G 的两条切线,切点为A B 证明:N A O 3 为定值，并求出这个定值.答 案：（I）设椭圆的半焦距为c,则:=乎，即a =G c,则b=4 2 c，椭圆方程为亲 +=1，将点，坐）的2 2坐 标 代 人 得=1 ,故所求
30、的椭圆方程为方+5 =1焦点坐标。D故抛物线方程为d=4 y.设直线M N:y=履+1,M（西,）N（w，必），代人抛物线方程得炉-4乙-4=0,1,1则3+*2=4 女,百=-4,由于y=，所以y=-x,故直线4 的斜率为的方程为1 2 1 /J 1 2y 万玉=5%（犬_ 玉），？=2%1%-4%11 1 ,同理4 的方程为y=人 1 1 2 1 1 2 c m令 5/一1 玉=3 赴 工 _ W，即（百一巧）=/（王一工2）（玉+%2），显然工1工 工 2,X=；（玉+%2），即点。的横坐标是;（内+赴），点 Q 的纵坐标是 y=-xlx-x f =（玉 +工2）-=xix2=-1即点0
31、（2匕一 1）,故点Q的轨迹方程是y=-1.（阿基米德三角形）（I I）证 明：当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P 在第一象限，则此时P 点横坐标为夜,代人圆的方程得P点的纵坐标为6.此时两条切线方程分别为X=J5,y=石，此时N A P B =|71若Z 4 P B的大小为定值，则这个定值只能是不.(2)当两条切线的斜率都存在时，即x#6时，设尸(与,%)，切线的斜率为七则切线方程为y-y0=k(x-x0),与椭圆方程联立消元得(3+2匕)x?+4k(y)-kx)+2(公o-%6 0.由于直线y%=左(%)是椭圆的切线，故 A=16/(丁一5)2-4(3+2公)2(5-为-6 =0,整理得(2-片 氏 +2xyk+$-3=0.切 线PA.PB的斜率。向是上述方程的两个实根，故-rr点 P在圆 V +y2=5 上故 y；-3=2-X；，所以 k&=-1，所以 Z A P B =-71综上可知:Z4P3的大小为定值不彳导 证.2