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1、正弦函数和余弦函数的图像与性质课题：正弦函数和余弦函数的图像与性质(1)一、教材地位和作用本节课的内容是选自上海教育出版社出版的高中一年级第二学期(试用木)中第六章 三角函数第一节。三角函数是把已经学习过的三角比的知识和函数知识结合起来，是刻画生活中周期现象问题的典型的函数模型，在高中数学知识体系中占有十分重要的地位。本节课作为 三角函数开篇的第课时，主要解决了正弦、余弦函数的定义和其图像的画法问题，为后面更好地学习三角函数的性质打下牢固的基础。二、教学目标分析教学目标：1.掌握正弦函数和余弦函数的概念。2.学会利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在 0,2可上的图像的方法；并正确运用五点法作出正
2、弦函数在 0,2可上的大致图像。3.利用诱导公式，通过图像平移作出余弦函数的图像。4.进一步形成数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力。教学重点、难点：重点：五点法作出正弦函数在 0,2可上的大致图像；通过图像平移作出余弦函数的图像。难点：利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在 0,2可上的图像。三、教学问题诊断高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角比知识，就要求学生有较高的理解和综合的能力。关于作图方面，在前面函数的章节中，学生已经学习了画函数图像的一些方法，如兼函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像。基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，
3、会有以下的一些困难：1.概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解正弦函数和余弦函数。2.利用单位圆的正弦线作出正弦函数在 0,2可上的图像。3.正确掌握五点法的作图步骤与要求。4.按照正弦函数的作图方法，学生自己解决画余弦函数图像的一些方法。四、教学特色1.引例的设计意图学生在物理学中已学习过圆周运动，创设摩天轮情境更能贴近学生实际，在解决这一问题的过程中，学生经历了运用数学模型来刻画周期现象的整个过程，既体会到三角函数的本质又调动了学生学习积极性。另外，从实际问题中抽象出的单位圆进行研究，起到了承上启下的作用，既复习了三角比的内容，又为正弦函数作图时所用到的正弦线打下伏笔。2.处理
4、一般方法与特殊方法的关系（1）在讲到作正弦函数的图像时，突出函数作图的一般方法（列表求值）与三角函数特殊 作 图 方 法（利用单位圆中的三角函数线）相结合，从代数和几何的角度实现描点。（2）在学生掌握了正弦曲线的形状后，利用连续函数的特点，抓住一个周期内五个关键点的位置进行五点作图的教学。使学生了解一般中蕴含特殊，用特殊体现一般的辩证关系。3.以问题驱动方式贯穿整节课以问题调动学生思维，以问题带动课堂教学。充分体现了教师主导作用，学生自主探究的教学方法。主要问题例举如下：其一：正弦函数的概念引例解决后：得/i =sinf（f，O）,教师提问：“这是否为函数关系式？”R说明启发学生从函数定义去思
5、考。当学生肯定了引例中 =sin/。2 0）是函数关系式后，教师再问：“如果把展改为必把分改为必将定义域范围变为R,那么还是函数吗？”K说明这样就从引例很自然的过渡到了正弦函数的定义。其二：作正弦函数的图像在开始引入正弦函数作图时，教师提问：“如何作出正弦函数y=sinx的图像？”E说明让学生回忆对于函数作图的般方法。在肯定了列表描点法是作函数图像的一般方法之后，教师再问：“那么，是否还有其他作图的方法？能不能不算出正弦值？三角比中的正弦三角比是否有其几何意义呢？”K说明】体现一般与特殊的关系，代数与几何的两个不同的角度思考问题。在引出利用单位圆的正弦线作图之后，教师再问：“在作图中，我们是否
6、直接作出整个定义域上正弦函数的图像？”K说明目的是为了简化作图，同时也体现了三角函数是解决周期现象的典型的数学模型。在学生已经了解了正弦函数图像的大致形状，也发现这是个连续的函数图像之后，教师再问：“那么，当作图的精确度要求不太高的时候，我们是否可以通过确定一些关键点的位置来快速的作出正弦函数的大致图像？请再来观察一下刚才在 0,2可 上作的图像，其中有哪几个关键点？并请说出它们的坐标。”K说明】解决问题要抓住事物的主要矛盾，这也是为了简化作图。其三：作余弦函数的图像在掌握了正弦函数的作图方法后，教师提问：“如何作出3；=(!0 5羽8氏图像？”，学生思考后教师再问：“正余弦之间关系密切，那么
7、能不能利用正弦函数的图像通过图形变换，来作出余弦函数的图像呢？”K说明引出余弦函数的图像可以说是本节课的高潮部分了。在这里，学生们可以畅所欲言，想出各种解决方法，也是学生综合能力地体现。4.计算机辅助教学与教师板书示范相结合本节课的重、难点是作函数的图像。因此，在教学中借助几何画板制作的动态作图演示，具有非常形象的效果。通过课件的动态表现，使抽象的问题具体化、形象化，有利于学生的理解和认知。数学课的教学离不开黑板上的规范板演，通过黑板的例题示范，弥补了课件演示一闪即过的不足，加深学生对正弦函数的印象，特别是五点确定以后，如何用光滑的曲线描点，在描点中应该注意图像递增递减的趋势，以求实现多媒体和
8、传统黑板教学两者的相互结合，互为补充，发挥彼此最大优势。五、预期效果分析在本堂课的教学中，以问题驱动为主，师生共同进行分析探究。着重体现了学生的独立思考，小组讨论和亲手体验作图的整个过程。教师通过提问、课件动态展示、黑板规范板书、学生练习点评等等多种教学形式，组织学生积极参与课堂活动，将教与学有效地结合起来。从思维深度上和动手实践上，充分激发了学生的学习和钻研兴趣，调动了学习热情。附：简案教学教学过程师生活动环节创设情景引入概念弓1例：如图，质点尸在圆周上作逆时针的匀速圆周运动。设 半 径（r为1个单位长，角速度3=1弧度/分钟，当时刻r =0时，尸在4处，/、求 经 过t（r0）分钟后，尸到
9、平台所在平面的相对高度h与力的关系式。教师引导学生共同分析.讲授新课探究方法1 .正弦、余弦函数的定义正弦函数y =s i n x,x e R。余弦函数y=c o s x,x e R。2.正弦、余弦函数的图像（1）正弦函数的图像思考:如何作出正弦函数y =s i n x的图像？探究:借助单位圆中的正弦线作出正弦函数在 0,2可上的图像，再作出正弦函数在R上的图像。（2）五点法思考：是否可以通过确定一些关键位置的点来作出正弦函数在 0,2兀 上的大致图像？（0，。）（，1）（兀，0），（与，-1），（2兀,0）（3）余弦函数的图像探究：如何作出余弦函数y =c o s R图像？教师引导学生共同探
10、究。例题示范练习巩固例题：作出函数y =s i n x 1,x e 0,2可上的大致图像。练习：作出函数 =2 4 1 1,%0,2兀 上的大致图像。教师与学生共同完成例题，并纠正常见错误，学生通过练 习 加 以 巩固。课堂小结：知识点、思想方法。学生小结，教小结师总结。提炼精华课后作业：书本P 8 3 练习6.1(1)作业正、余弦函数图像的教学设计本节内容是在初中函数图像及高中数学必修1中初等基本函数之后的又一函数类型，是三角函数的起始课，在整个知识系统中起着承上启下的作用。学情分析：学生已具有从函数图像着手研究函数的意识和用描点法、关键点法作函数图像的能力。因此，本节课我们从描点法探究锐角
11、函数图像着手，用 儿 何 法（利用正弦函数线）完善正弦函数（X为实数）的图像，最后用关键点法（五点法）及图像的平移变换来提高学生作有关正弦函数图像的能力。教学目标：知识与技能1 .能借助正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；2 .弄清正弦、余弦函数的图像之间的关系；记住正弦、余弦函数图像的特征；3 .会用五点画正弦、余弦函数的图像；4 .通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。过程与方法利用三角函数线，作正弦函数的图像；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的图像；能学以致用，尝试用
12、五点作图法作余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。情感、态度与价值观L通过作正弦函数和余弦函数图像，培养学生认真负责，一丝不苟的学习精神；2 .会用联系的观点看问题，培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系.，激发学生的学习积极性；3 .培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。4.通过对函数图像的欣赏，增强学生欣赏数学美的意识。教学准备：多媒体课件、圆规、波动演示仪、教学重点：正、余弦函数图像教学难点：将单位
13、圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点，正余弦函数图像间的关系。教学方法：启发与探究相结合教学过程：一、课题引语：（用幻灯片展示）一个学生在数学本上这样写道：老帅，馀总说剧学巧施、照玲肠美、数学的有用。可我总觉得他唯琐、枯燥、甚至可忍。就画晶去囹像来说吧，你总说它姜漏，可我总觉得它们是一条条光情的呢纵、我就是抓也抓兄弟师：看了这段话，我沉思良久，自责自己没能很好的激发同学们学习数学的兴趣，只顾自己对数学感受，而忽视了你们对数学的感受。今天，我想和同学们一起走近数学，寻找函数图像之美。我们都希望看到一条波澜起伏、周而复始、连绵不断的优美曲线。二、活动：鼓励学生试着画出符合条件的图像（如：心
14、电图，波动路线等）。三、活动探究师：初中所学以及我们刚学的三类（指数函数、对数函数、幕函数）函数的图像都不符合这种要求。曾记否，初中所学的哪一类函数,我们还未曾研究过它的图像？（锐角三角函数）活动一、请同学们作锐角正弦函数的图像（根据特殊角的三角函数，极其连续性单调性及其作用。）活动二、请同学们作产sinx,xe 0,2 n 的图像（之后，教师用flash课件演示图像的活动过程）活动三、请同学们作尸sinx,xG 2 n，4冗 的图像活动四、请同学们作产sinx,xe-2五，0 的图像活动五、请同学们作产sinx,xe R的图像活动六、引导学生欣赏y=sinx,xe R的 图 像（尸sinx的
15、图像叫做正弦曲线）让学生切身体会到其波澜起伏、连绵不断、特 别 优 美（轴对称、中心对称）的特点。（教师用物理器材演示正弦曲线的动中有静之美，这种美在蛇舞中的应用）思 考1:如何作正弦函数图像？（作函数图像的基本方法：关键点法）。练习：用五点法作下列函数的简图1 y=l+sinx x 0,2 n 2、y=sin（x+x 0,2 冗（学生作图后，教师引导用平移变换作图）思考2：如何作函数y=cosx的图像？活 动7、请同学们观察正、余弦函数图像的异同（鼓励学生用自己的语言表达）欣赏：用函数作图器在同一直角坐标系上作正、余弦函数图像让学 生 欣 赏（像DNA链条）练习：作函数y=-cosx xG
16、0,2冗 的图像师：艾滨浩斯的遗忘曲线揭示了人类的遗忘规律。正、余弦函数图像揭示的是人类或自然界的何种规律？日后，我们将继续探索。（设置教学悬念）四、学习小结请学生谈谈本节课的收获。五、作业分别用五点法和平移变换作下列函数的图像1 y=l-sinx,x-2 n,2冗2、y=cos（x+n）,x-n,3 n 活 动 内 容活请同学们作锐角正弦函数产s i n x,x e 0,-的图像动X07167147CT712y活动请同学6作y=s i n x,x 6 0,28的图像X02不I T3八1244264n8不 V 29万10乃127114万215乃n16乃V218万V220兀22br222JT2为
17、y02&2在21正2也2202_J22 一 走2-4_V23 一 也2 20请同学们作y=s i n x,x 2 n ,4 n 的图像活动请同学们作尸s i n x,x G 一2b，0 的图像活动四活请同学们作产s i n x,x e R的图像y f动0 x五练习用五点法作下列函数的简图：1 y=l+s i n x x G 0,2 n yoT C2、y=s i n(x+)x E 0,2 n A.y)X07C2713/rTyXXy010-10练 作函数y=-c o s x x E 0,2 J T 的图像A y 习-0 X分别用五点法和平移变换作下列函数的图像3、y=l-s i n x x E 0
18、,2兀 YA0作业4、y=c o s(x+n)，-冗xTiy=sinxy=cosx定 义 域最 大 值最 小 值值 域奇 偶 性单调区间对 称 轴对称中心本节课收获六、课后反思:2009年4月10日上午，我 在 高 一（1）班上了一节 正弦函数、余弦函数的图象公开课。在这之前，我先后在校内公开课初、复赛中讲解 了 几何概型、同角三角函数 关 系（1）两个课题。在此过程中，通过数学组的集体评课，我获益匪浅，清楚了自己的优、劣势以及改进方向。比如，对学情的把握，师生的互动，对细节方面的处理，过渡性语言的设计，等等。总体而言，这是两节令我满意的课，在课堂教学有效性方面对我的启迪很大，为我参加区公开课
19、比赛奠定了基础。然而，这次区公开课的准备过程并没有我想象的那样顺利。首先,三角函数这部分内容知识点较为琐碎，对学生的要求较高，而我们的学情是学生基础差，底子薄，理解、计算能力不强；其次，涉及到作图问题，我们的学生动手能力和积极性都很差。这两方面都给我教学环节的设计和教学语言的组织带来了困难。如何提升他们的学习兴趣，科学有效地引导他们，使 他 们“听得懂，学得会”，是我面临的最大问题。为了上好这节课，我在集体备课时进行说课，请大家批评指正，并在我的另一个班级先试讲再与老师们充分交流，最后确定了这堂公开课的主线：充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图的
20、画法安排），通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象特点。自我感觉这节课的亮点有以下儿个方面：1、整堂课的教学设计体现了充分备学生的特点。根据我校平行班学生数学基础比较薄弱的实际情况，对偏难繁杂的内容大胆地删减，如：利用正弦线作图的方法，将函数性质留待下节课讲解等等，使得教学难度适中，真正做到了因材施教。2、数学总是要在游戏中学习的，本课采用计算机绘图来增加学生的新鲜感，充分调动起学生的学习兴趣。在这四十分钟里，我先后采用让学生在电子白版上作图、利用计算机技术绘图、学生上台板演及用投影仪展示学生的典型错误等丰富多彩的手段，使学生积极而充分地参与到课堂活动中来，符合新课改的理念。3、在处理教材
21、上，我先让学生在函数丫=5：1悭h 0,2冗 的图象上直接找和读关键点的坐标，从而直观感知正弦曲线，再结合特殊角的三角函数值、诱导公式及简单的图象变换等旧知，让学生来探索余弦曲线及其作图方法。这种由特殊到一般，由结论到实例的直线型思维模式，一反数学的严格推理论证模式，由浅入深，使我们的学生在思维上易于理解与接受。4、板书设计工整，善于运用多媒体辅助教学；普通话标准，教态自然大方，有较好的教学基本功。尽管公开课上得比较顺利，但并没有达到最好的效果，主要存在以下儿个方面的不足，需要我认真反思，并在今后不断努力改进：1、在重点知识的强调上稍快，给学生的思考和发挥的空间不足。比如开头讲函数y=s i
22、nx,x 0,2 n 的图象时，给学生寻找关键点的时间不够长；应当多让他们去领悟“五点作图法”的思维过程，而且可以用小组讨论的方法调动他们去想问题，这样才能使他们对知识的理解更为深刻。2、时间安排上不够精当。在“师生探索”中给学生作正弦曲线的时间过长，而“学生活动”中给学生作余弦曲线的时间又相对显得短了点。应当反过来，这样学生才能有充分的独立思考时间；同时也可避 免“变式练习”讲解时间不够和拖堂两分钟的遗憾。好在我从之前的试讲中汲取教训，考虑到每个班接受能力不同，实际情况可能有变，老师讲多讲少必须根据课堂情况随机应变。所以我补充了一道变式题：“用五点法作y=2cosx的简图”备用。虽然这节课没
23、用上，但也可作为一道不错的思考题，给学生留下了回味的空间。3、教学语言还需要不断锤炼。数学这一门严谨的学科决定了老师的语言必须精确到位，不能含糊其辞，因为它对学生的逻辑思维起着潜移默化的影响。比如，我在描述直角坐标系的作法时，说：“作0,2兀 区间上的图象时，x轴左边可取短一点，右边可取长一点”。规范的语言应当是：“x轴负半轴画短一点，x轴正半轴画长一点”。在校级比赛时也出现过类似问题，我当时曾把“区间长度”说 成“横坐标长度”。这些细节方面都需要严格把关，平时要反复琢磨。因为说到底，教师是要靠语言艺术去感染学生的。4、板书需要提高。教师的魅力不仅仅是借助口头语言展示出来，摆在学生面前的板书也
24、是重要的一环。优秀的教师，粉笔字潇洒大方,作图时一气呵成，让学生赏心悦目，叹为观止。而我虽然经过半年多的锻炼，板书设计上工整了许多，但字体不够美观，作图时擦擦改改,因此这方面还需多下功夫去练习。教育人生的精彩源于课堂，新课改也对教师提出了越来越高的要求。面对过去自己经历过的刻板、死气、严肃的灌输式教育法，现在更提倡多给学生一点爱，让学生积极地参与到课堂活动中来；同时老师要做有效课堂的引导者，不断优化教学策略，体现良好的示范作用。作为一名教龄不足一年的年轻教师，我肩负着崇高的使命。必须不断学习，不断改进和超越自己，才能赢得学生的喜爱和社会的认可。这段时间的公开课提供给了我非常好的打磨和展示自我的
25、平台，我会以此为契机，在平日的教学实践中不断思考和创新，争取早日脱胎换骨,成为一名成熟并且优秀的数学教师！正弦、余弦函数的性质-周期性一、教材分析1、教材的地位和作用对三角函数又一深入探讨.正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充.通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础.所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用.2、教学重点和难点重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的
26、周期性.难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.二、目标分析学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想.本课的教学目标：（一）知识与技能1.理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性.2.会求一些简单三角函数的周期.（二）过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与尸sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数片sinx的周期性，通过类比研究余弦函数y=c。sx的周期性.（三）情感
27、、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.三、教法分析1.教学方法:引导发现法、探索讨论法为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维发展,着力于知识建构，就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现,再创造的过程.2.学法指导：问题探究法根据课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法.3.教学手段：
28、借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性.四、教学过程教学程序教学内容设计意图创设问题情境生活中有哪些周而复始现象？学生举例从实际问题引入，使学生了解数学来源于生活.问题的提出为学生的思维提供强大动力,激发学生的探究欲望.复习回顾引导学生回顾：1.诱导公式(-)2.正弦线3.利用正弦线画正弦函数图象(动画演示)引导学生回顾旧知为新课做准备.通过动画演示让学生直观感知周而复始的变化规律.由动画演示观察可得：正弦函数图象具有周而复始的变化规律问题：图象具有周而复始的变化规律如何用数学表达式来表达？正弦函数尸sinx 图象在区间 0,2句、2万,4句、4,6乃 内重复.构建周期函数定义由三角
29、函数图象和诱导公式可得：sin(2 K+x)=sinx,问：对 于 sin(2灾+x)=sinx,若 记 f(x)=sinx,则对于任意xeR,都有 f()=f()若记f(x)=sinx,则对于任意xGR,都有f(x+2n)=f(x)士周期函数及周期的定义周期函数定义如下：一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x 值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.教学程序通过对正弦函数尸sinx图象观察、分析，结合诱导公式,由生活中的周期现象到数学中的周期现象，山具体到抽象，构建出周期函数的定义，这样设计主要是立
30、足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力，并进一步渗透数形结合思想方法.设计意图教学内容正弦函数的周期和最小正周期的定义.函数尸sin x 的周期：2 乃、4 不、6兀、2km(kwz 且 kWO).VA最小正周期的概念.对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫的最小正周期.上面的函数产sin x 的最小正周期为2 乃.让学生理解最小正周期的定义，培养学生的数形结合能力.理解周期函数定义判断题：1-因为sin(工+工)=sin工，所以巳是y=sin x 的周期.4 2 4 22.周期函数的周期唯一.3.函数f(x)=5是
31、周期函数.(分四人一组进行讨论,再由学生发表看法)体会：1.周期的定义是对定义域中的每一个值来说的，只有个别的X 值满足：f(x +T)=f(x)不能说T 是)，=/(x)的周期.2.周期函数的周期不唯一.3.周期函数不一定存在最小正周期.说明：今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.设计判断题让学生去讨论主要是为了帮助学生正确理解周期函数概念,防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质.让学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，不断完善自己的认知结构，充分感受成功与失败的情感体验.探究余弦函数的周期问题：余弦函数片
32、COSX是周期函数吗？即能否找到非零常数T,使cos(T+x)=cosx成立？若是，请找出它的周期，若不是，请说明理由.通过对定义的理解、余弦函数图象，类比正弦函数，可以得到余弦函数是周期函数,这样使学生加深对定义的理解,培养学生类比思想和数形结合能力.教学程序教学内容设计意图应用例L求下列函数的最小正周期T.(1)f(x)=3sinx,x s R；(2)f(x)=sin2x f x e R；1 71(3)f(x)=2sin(x+,x e R；方法：函数图象观察得到周期 周期函数定义设 计 例1使学生加深对定义的理解,培养学生的数形结合能力.课堂反馈1.等 式sin(30+120)=sin30
33、0是否成立？如果这个等式 成 立，能 否 说1 2 0 是 正 弦 函 数y=sinx的一个周期？2.求下列函数的周期：y=cos 4x,x G R(2)y=cos-x,x G R通过课堂反馈能准确、及时地了解学生对本节课的掌握情况，做到及时反馈、评价,及时查漏补缺,达到堂堂清.回顾反思1.周期函数、周期概念.2.函 数y=sinx和函数y=cosx是周期函数，且周期均为23.周期的求法：图 象 法 定 义 法4.探索问题的思想方法引导学生对所学知识进行小结,有利于学生对已有的知识结构进行编码处理,加强记忆.课外作业与课外思课外作业：求下列函数的周期：JT(1)=3sin,x e/?；(2)y
34、=sin(x+而)，x e R；(3)y=cos(2x+y),x&R(4)y=6 sin(；x-：),x e 7?课外思考：1.求函数/(x)=Asin(yx+)和/(x)=Acos(yx+p)(其中4,。#为 常 数，且4/0,00)的周期.2.求下列函数的周期：课外作业的布置是为了进一步巩固课堂所学知识；课外思考题的布置是让学生把课堂探索拓展到课外探索，进一步激发学生探究欲望，进一步培养学生创造性思维.考(1)y=|sinx|,x e R；(2)y=cos2x,x s R附：板书设计课题：正弦、余弦函数的周期性设计意图1.周期函数定义 3.例 1版演及学生演示区2.正弦函数丫=$1 政的周
35、期为2 万为了使学生全余弦函数y=c o sx 的周期为2 ,面系统地了解本节内容的知识结构，达到突出重点，简洁明了的目的.五.评价分析：1 .个别学生建构周期函数概念时有困难，特 别 是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化”的本质学生感到有一定困难.上课时虽然借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维，但是还是有部分学生理解起来有困难.这方面的训练以后要加强.2 .部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，课后要及时对他们加强辅导.3 .学生运用定义求函数周期掌握得不是很好.上黑板板演的学生都出现了不同程度的错误.在以后的教学中还需进步加强.从位移、速度、
36、力到向量教学设计说明本节课的内容是北师大版数学必修4,第 二 章 平面向量的引言和第一节 从位移、速度、力到向量两部分，所需课时为1课时。一、教材内容分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之，它是沟通代数、儿何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是
37、不言而喻的。本课是“平面向量”的起始课，具 有“统领全局”的作用。本节内容，重要的不是向量的形式化定义及儿个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。二、教学目标分析根据以上的分析，本节课的教学目标定位：1）、知识目标通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。2）、能力目标培养用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；3）、情感目标运用实例，激发爱国热情；使学生自然的、水到渠成的实现“
38、概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。重难点:重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；三、教学诊断分析本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。具体教学中，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念
39、的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。这也是本堂课的核心目标。由于数学概念的高度抽象性，学生往往要费很多周折才能理解，教师应从学生的认知水平出发，针对学生的理解困难来展开教学，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是至关重要的。本课的教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪
40、里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，应强调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰如其分地 以问题引导学习”，在质疑一一反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为学生自己主动思维的结果。本课中出现的特殊向量零向量，很多教师都会在“零向量与任意向量平行上”花太多时间，原因是“这是考试中的一个陷阱”。这其实是对零向量的意义和作用理解不到位的表现：首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要；其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量
41、的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。四、本课教学特点及预期效果分析在学生建立向量的概念之初，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0 和 I 的特殊性、线段的平行与共线等。因此在具体教学中，我设计了一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而
42、不是停留在某个具体的概念学习上。在向量的几何表示中，我让学生大胆探索，而不是“全包全揽”，教师引导，学生补充改进，最终明确向量几何表示的正确方法。整个过程全体同学热情参与，自我教育，互帮互学，课堂气氛生动活泼。当同学们能将向量正确的儿何表示时，我又适时地提出问题：大家画出的线段长短不一，怎么解决？由此自然过渡到单位长度上，使得单位向量的引入也就顺理成章了。为了帮助学生学习相等向量、平 行（共线）向量的概念，本课设计了“传花游戏”，通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让学生积极参与，仔细观察，自己概括出概念的本质特征，将课堂气氛推向个新的高潮。在结束本课之前，为了让同学对向量加深印象，我让学生
43、先欣赏一首关于向量的诗歌,再让学生在课外动笔写出自己对向量的感受。本节课是从现实世界的常见实例出发，以学生自主探究的教学方式为主。在课堂上，创建了一个以全班学生共同参与的向量游戏平台，让学生在轻松愉悦的课堂环境中，共同参与，共同讨论，共同分析，让学生自然地、水到渠成的完成本节内容的学习。整节课，我留给学生充足的时间，让学生参与概念本质特征的概括活动过程，从而达到培养学生创新精神和实践能力的最终目的！向量的加法教学设计说明 向量的加法是人教版高一下第五章第二节第一课时 向量的加法。下面，我从三个方面来对本节课的设计进行说明：1.教材分析教材的地位和作用向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟
44、通代数、几何、三角的一种工具，其工具作用主要体现在向量的运算方面.向量的加法运算是向量运算的基础，它在学生已学物理知识后，以力的合成、位移的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算.向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则画图求和法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破.是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进 步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，因此我认为，向量的加法在这里起着承上启下的作用。教学目标根据学生已有的知识结构及本节课教材的作用和地位，依据新课程标准的
45、具体要求，我从三方面确定本节课的教学目标：（1）知识与技能方面：使是学生经历从实际问题抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算，养成敢高于探索勇于创新的良好习惯，以及善于用数学方法解决实际问题的能力（2）能力目标在具体的分析过程中，使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。（3）情感目标注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。教学
46、重点和难点重点：向量加法的两个法则及其应用：难点：对向量加法定义的理解。突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识。2.学情分析本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大。学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，认识了矢量与标量的区别，在生活中对位移与路程也有了一定的体验，这为学生学习向量知识提供了实际背景。所以对数学中向量与数量的概念是比较容易理解接受的.并能够从物理的力和位移的合成中去感受向量的加法的含义，总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则.通过与数的加法的类比，学生也能够较容易的猜想出向量加
47、法的交换律与结合律.学生在学习过程中会遇到的困难山于学生对向量的理解还处于初级阶段，会有部分学生忽略零向量与数零的区别，以及向量的表示不是很规范.有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平，表现在平移向量时，不能够根据情况灵活地选择起点，特别是共线反向向量在求和向量的忖候会遇到问题。对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往不能在同一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难.对向量式的化简过程中，对交换律、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题.我会在在课堂教学过程中给学生以适时的点拨与提醒.教法特点：1.内容重组教学的过程，
48、不能只是对教材上知识点和结论的简单罗列与再现，而应是对教材知识的重组，是一个再加工，再创造的过程，是把已经浓缩为结论的这本来富有生命力的知识的形成过程重新演绎的过程，因此在本节课中，我对教材的知识进行了重组，根据学生在己有的平行四边形法则求合力的知识基础上，引出不共线的两个向量用平行四边形求和向量，再让学生自己发现，对于共线向量，平行四边形法则不适用，则要用三角形法则。2.不断探究让学生随意画出两个向量，长度和方向由学生自己确定，然后用平行四边形法则求和向量，此时我发现在这个过程中，有的同学画成不共起点、不平行；共起点、不平行；同向；反向儿种情况，此时的情况刚好是我想要的。让同学们自己去黑板上
49、展示怎样用平行四边形法则去求它们的和向量。在此过程中，同学们不仅自己能总结出平行四边形法则的特点，还发现：对于共线向量，此法则已经不适用了，顺势引出向量加法的定义：三角形法则。引导学生发现平行四边形法则与三角形法则在作图时的区别，通过动画演示：两者在求和的本质上是相同的，当向量不共线时，两种法则都适用，同时在动画演示平行四边形变三角形的过程中，让学生发现向量加法的运算律3.大胆创新本节课最大的亮点就是实现让学生大胆创新。在给学生的巩固练习中，学生很顺利地完成向量加法的运算，我通过引导让学生发现，任何一个向量都可以拆成多个向量的和向量。以此激发学生的好奇心与求知欲。这是一个逆向思维的训练过程，并
50、且这种思维在立体几何里面得到加强，为学生学习以后的知识奠定了基础。总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终，联系，发展贯穿始终.学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系.关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观.通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加