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1、精品文档等差数列及其前n项和【考纲说明】1、理解等差数列的概念，学习等差数列的根本性质.2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3、体会等差数列与一次函数的关系.4、本局部在高考中占5-10分左右.【趣味链接】 高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比拟的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚表达完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊
2、的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分冲动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。【知识梳理】一、等差数列的相关概念1、等差数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差通常用字母d表示。2、等差中项 如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或推广：3、等差数列通项公式 假设等差数列的首项是，公差是，那么 推广：，从而。4、等
3、差数列的前项和公式 等差数列的前项和的公式：；5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为).二、等差数列的性质 1、等差数列与函数的关系 当公差时， (1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为； (2)前和是关于的二次函数且常数项为0。 2、等差数列的增减性 假设公差，那么为递增等差数列，假设公差，那么为递减等差数列， 假设公差，那么为常数列。 3、通项的关系 当时,那么有， 特别地，当时，那么有.注： 4、常见的等差数列 1假设、为等差数列，那么都为等差数列。 2假设是等差数列，那么，也成等差数列。 3数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。 5、前n项和的性质
4、 设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.当项数为偶数时，那么 当项数为奇数时，那么 其中是项数为的等差数列的中间项6、求的最值或求中正负分界项1因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.2“首正的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和 即当，由可得到达最大值时的值.“首负的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和. 即当，由可得到达最小值时的值.三、等差数列的判定与证明1、等差数列的判定方法：1定义法：假设或(常数)是等差数列；2等差中项：数列是等差数列；3数列是等差数列其中是常数；4数列是等差数列,其中、是常
5、数.2、等差数列的证明方法：定义法：假设或(常数)是等差数列【经典例题】【例1】2006全国设an是公差为正数的等差数列,假设a1+a2+a315，a1a2a380，那么a11+a12+a13等于 A.120 B.105 C【解析】B【例2】(2021重庆)an为等差数列，a2+a8=12,那么a5等于 A.4 B.5 【解析】C【例3】2006全国设是等差数列的前项和，假设，那么 A B C D【解析】D【例4】2021四川设函数，数列是公差不为0的等差数列，那么 A.0 B.7 C【解析】D【例5】2021湖南设是等差数列的前n项和，那么等于( ) A13 B35 C49 D 63 【解析
6、】C【例6】2021全国理 设等差数列的前项和为，假设,那么= . 【解析】24【例7】2021辽宁理等差数列的前项和为，且那么 .【解析】【例8】2021福建等差数列an中，a1=1，a3=-3. I求数列an的通项公式； II假设数列an的前k项和Sk=-35，求k的值.【解析】I设等差数列an的公差为d，那么an=a1+n-1d由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2，从而，an=1+n-1-2=3-2n；II由I可知an=3-2n，所以Sn=n1+(32n)2=2n-n2，进而由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5，又kN+
7、，故k=7为所求【例9】2021山东等差数列满足：，的前项和为. 求及； 令，求数列的前项和为.【解析】，【例10】2021浙江设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数an的前n项和Sn，满足S2S6150.假设S5S.求Sn及a1;求d的取值范围.【解析】因为SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d28.故d的取值范围为d-2 或d2.【课堂练习】1、2021江西卷设为等差数列，公差d = -2，那么= A.18 B.20 2、2006重庆在等差数列中，假设a4+a6=12，Sn是
8、数列的前n项和，那么S9的值为 A.48 B.54 3、2021福建设Sn是等差数列an的前n项和，假设，那么 A1 B-1C2 D4、2021上海设数列的首项，那么_. 5、(2021海南)an为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，那么a5 = _.6、2021北京an为等差数列，Sn为其前n项和，假设，S2=a3，那么a2=_，Sn=_.7、2021浙江数列an的前n项和为Sn，Sn=，nN，数列bn满足an=4log2bn3，nN.1求an，bn；2求数列anbn的前n项和Tn.8、2021北京理是等差数列，；也是等差数列，.1求数列的通项公式及前项和的公式；2数列与是否有
9、相同的项？ 假设有，在100以内有几个相同项？假设没有，请说明理由.9、2006北京设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.()假设a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()假设a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.【课后作业】1、(2007安徽)等差数列的前项和为，假设 A12B10C.8D62、(2021广东)记等差数列的前n项和为，假设，那么该数列的公 差d= A7 B. 6 C. 3 D. 23、2021全国等差数列中，那么n为 A48 B49 C.50 D514、2007四川等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn
10、=100,那么n= A9 B10 C.11 D12 5、2021福建设Sn是等差数列的前n项和，假设 A1 B1 C2 D6、2021北京等差数列an满足1231010那么有( )A11010 B21000 C3990 D5151 7、2021全国II理如果，为各项都大于零的等差数列，公差，那么( ) A B C.+ D=8、2021北京理假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有 A13项 B12项项 D10项9、2007全国数列的通项an= -5n+2,那么其前n项和为Sn= . 10、2006山东设为等差数列的前n项和，14，那么.11、
11、2021全国等差数列的前n项和记为Sn.求通项； 假设Sn=242，求n.12、(2021宁夏理)数列是一个等差数列，且，.1求的通项；2求前n项和的最大值.13、2021全国设为等差数列，为数列的前项和，为数列的前项和，求.【参考答案】【课堂练习】1、B 2、B 3、A 4、153 5、15 6、 ，7、1由Sn=，得：当n=1时，；当n2时，nN.由an=4log2bn3，得，nN.2由1知，nN所以，nN.8、解：1设an的公差为d1，bn的公差为d2 由a3=a1+2d1得 所以，所以a2=10, a1+a2+a3=30依题意，得解得，所以bn=3+3(n-1)=3n2设an=bm,那
12、么8n-6=3m, 既，要是式对非零自然数m、n成立，只需 m+2=8k,所以m=8k-2 ， 代入得，n=3k, ,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切都成立。所以，数列与有无数个相同的项。令24k-6100,得又，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。9.解：由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通项公式是an=222n,n=1,2,3由 得 即由+得7d11。即d.由+得13d1 即d于是d又dZ, 故d=1将代入得10a112. 又a1Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,【课后作业】1、C 2、C 3、C 4、B 5、A 6、C 7、B 8、A 9、 10、 54 11、解：由得方程组 4分 解得 所以 由得方程 10分 解得 12、解：设的公差为，由条件，得，解出，所以所以时，取到最大值13、解：设等差数列的公差为，那么 ， 即 解得 ，. ， ， 数列是等差数列，其首项为，公差为， .