《2022年等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等差数列及其前 n 项和【考纲说明】1、懂得等差数列的概念,学习等差数列的基本性质 . 2、探究并把握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 . 3、体会等差数列与一次函数的关系 . 4、本部分在高考中占 5-10 分左右 . 【趣味链接】高斯 7 岁那年, 父亲送他进了耶卡捷林宁国民学校,读书不久, 高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋,最能证明这一点的是高斯十岁那年,老师彪特耐尔布置了一道很繁杂的运算题,要求同学把 1 到 100 的全部整数加起来,老师刚表达完题目,高斯即刻把写着答案的小石板交了上去；彪特耐尔起初并不在
2、意这一举动,心想这个小家伙又在捣乱,但当他发觉全班唯独正确的答案属于高斯时,才大吃一惊； 而更使人惊讶的是高斯的算法,他发觉：第一个数加最终一个数是 101,其次个数加倒数其次个数的和也是 101, 共有 50对这样的数,用 101 乘以 50 得到 5050；这种算法是老师未曾教过的运算等级数的方法,高斯的才华使彪特耐尔非常兴奋,下课后特地向校长汇报,并声称自己已经没有什么可教高斯的了；【学问梳理】一、等差数列的相关概念1、等差数列的概念假如一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,就这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差通常用字母 d 表示；2、等差中项假如
3、a , A ,b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即：Aa2b或2Aab推广：2 a na n-1a n1 n22 a n1a na n23、等差数列通项公式名师归纳总结 如等差数列an的首项是1a ,公差是d,就a na 1n1d 1d 第 1 页,共 9 页；na 1n n推广：a na m nm d,从而dana mnm4、等差数列的前n 项和公式；S n等差数列的前n 项和的公式：S nn a 1a n22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、等差数列的通项公式与前学习必备欢迎下载n 项的和的关系a ns 1,s nn12
4、 数列 a n的前 n 项的和为s na 1a 2a . 1 ,ns n二、等差数列的性质 1 、等差数列与函数的关系当公差d0时,dn a 1d 是关于 n 的一次函数 , 斜率为 d ； 1等差数列的通项公式a na 1 n1 d 2前 n 和S nna 1n n1ddn2a 1dn 是关于 n 的二次函数且常数项为0；222 2 、等差数列的增减性,就为递减等差数列,d0如公差d0,就为递增等差数列,如公差如公差d0,就为常数列； 3 、通项的关系a q,当 m np q时 , 就有a manap特殊地,当mn2p 时,就有a ma n2 a . 注：a 1a na 2a n1a 3a
5、n2 4 、常见的等差数列（1）如a n、b n为等差数列,就a nb,1 a n2b n都为等差数列；3k,仍为等（2）如 a 是等差数列,就S n,S 2nS n,S 3nS 2n, 也成等差数列；（ 3）数列 a n为等差数列 , 每隔k kN*项取出一项a m,am k,am2k,am差数列； 5 、前 n 项和的性质设数列 a n 是等差数列, d 为公差,S 奇 是奇数项的和,S 偶 是偶数项项的和,S 是前n 项的和 . 当项数为偶数 2 时,就n a 1 a 2 n 1S 奇 a 1 a 3 a 5 a 2 n 1 na n2n a 2 a 2 nS 偶 a 2 a 4 a 6
6、 a 2 n na n 12S 偶 S 奇 na n 1 na n n a n 1 a nS 奇 na n a nS 偶 na n 1 a n 1当项数为奇数 2n 1 时,就S 2 n 1 S 奇 S 偶 2 n 1 a n+1 S 奇 n 1 a n+1 S 奇 n 1S 奇 S 偶 a n+1 S 偶 na n+1 S 偶 n（其中 an+1 是项数为 2 n 1 的等差数列的中间项）6、求 S 的最值（或求 a n 中正负分界项）（1）因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要留意数* 列的特殊性 n N . （2）“ 首正” 的递减等差数列中,前n
7、项和的最大值是全部非负项之和名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即当a 10,d0学习必备00欢迎下载n 值. ,由an1可得S 达到最大值时的na“ 首负” 的递增等差数列中,前1n 项和的最小值是全部非正项之和. 即当a 10,d0,由a n00可得S 达到最小值时的n 值. a n三、等差数列的判定与证明1、等差数列的判定方法：（1）定义法：如anan1d或an 12and 常数nNan是等差数列；（2）等差中项： 数列an是等差数列2a nan-1an1n22 an1a nan2（3）数列an是等差数列ankn
8、b （其中k,b是常数）；（4）数列an是等差数列S nAnBn , （其中 A 、 B 是常数） . 2、等差数列的证明方法：定义法：如a nan1d或an 1and常数nNan是等差数列【经典例题】【例 1】（2006 全国）设a n 是公差为正数的等差数列等于（）, 如 a1+a2+a315,a1a2a380,就 a11+a12+a13A.120 B.105 C.90 D.75 【解析】 B 【例 2】 2022 重庆 已知 an为等差数列,a2+a8=12, 就 a5等于（） A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】 C 【例 3】（2006 全国）设S 是等差数列a n的前 n 项和
9、,如S 735,就a 4（）A 8 B 7 C 6 D 5【解析】 D 【例 4】（2022 四川）设函数f x x23 3x1,数列 an是公差不为0 的等差数列,f a 1f a2f a714,就a 1aa7（） A.0 B.7 C.14 D.21 【解析】 D 【例 5】（2022 湖南）设S 是等差数列a n的前 n 项和,已知a23,a611,就S 等于 A13 B35 C 49 D 63 【解析】 C 名师归纳总结 【 例6 】（ 2022 全 国 理 ）设 等 差 数 列a n的 前 n 项 和 为S , 如S 972, 就第 3 页,共 9 页a2a 4a = . - - -
10、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】 24 【 例7 】（ 2022辽 宁 理 ） 等 差 数 列a n的 前 n 项 和 为S n, 且6S 55S 35,就a4 . 【解析】1 3【例 8】（2022 福建）已知等差数列an 中, a1=1, a3=-3. （I ）求数列 a n 的通项公式；（II ）如数列 a n 的前 k 项和 Sk=-35 ,求 k 的值 . 【解析】（I）设等差数列 an 的公差为 d,就 an=a1+（ n-1）d 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2,从而, an=1+（n-1）（
11、-2）=3-2n；（II ）由（ I）可知 an=3-2n,所以 Sn=n1+3- 2n2=2n-n2 ,进而由 Sk=-35,可得 2k-k2=-35 ,即 k2-2k-35=0 ,解得 k=7 或 k=-5 ,又 k N+,故 k=7 为所求【例 9】（2022 山东）已知等差数列a n满意：a37,a 5a726,an的前 n 项和为S . （）求a 及S ；n,N*）,求数列bn的前 n 项和为T . （）令b n11（a n 2【解析】（）an2n1Snn n2（）Tnn1 4 n【例 10】（2022 浙江）设 a1,d 为实数,首项为 满意 S2S6150. （）如 S5S. 求
12、 Sn 及 a1; （ ）求 d 的取值范畴 . 【解析】由于 SS+15=0, a1,公差为 d 的等差数 an 的前 n 项和 Sn,所以 5a1+10d6a1+15d+15=0, 即 2a12+9da1+10d2+1=0. 故 4a1+9d2=d2-8. 所以 d28.名师归纳总结 故 d 的取值范畴为d-2 或 d2.第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【课堂练习】1、（ 2022 江西卷）设 a 为等差数列,公差 d = -2 ,S 为其前 n 项和 .如 S 10 S ,就 1a=（）A.18 B.20
13、 C.22 D.24 2、（ 2006 重庆）在等差数列 a n 中,如 a4+a6= 12,Sn是数列 a n 的前 n 项和,就 S9的值为（）A.48 B.54 C.60 D.66 3、（ 2022 福建）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和,如 a 5 5,就 S 9（）a 3 9 S 51A1 B-1 C2 D24、（ 2022 上海）设数列 a n 的首项 a 1 7 , 且满意 a n 1 a n 2 n N ,就a 1 a 2 a 17 _. 5、2022 海南 已知 a n 为等差数列, a3 + a8 = 22,a6 = 7,就 a5 = _. 6、（ 2022 北京）已
14、知 a n 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,如a 11,S2=a3,就 a2=_,2Sn=_. 7、（ 2022 浙江）已知数列an 的前 n 项和为 Sn,Sn=2n2n ,nN ,数列 b n满意an=4log2bn3,nN . （1）求 an,bn；（2）求数列 a n bn 的前 n 项和 Tn. 8、（2022 北京理）已知an是等差数列,a12,a318；b n也是等差数列,a2b 24,b 1b2b 3b4a 1a2a 3. 100 以内有几个相同项？如没有,请说（1）求数列bn的通项公式及前n 项和S 的公式；n（2）数列an与b n是否有相同的项？如有,在明理由 . 9
15、、（ 2006 北京）设等差数列 an 的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. 如 a11=0,S14=98,求数列 an的通项公式；如 a16,a110,S1477,求全部可能的数列an的通项公式 .【课后作业】名师归纳总结 1、2007 安徽 等差数列ana的前 n 项和为S ,如a 2S21 ,a3,3就S 4（）第 5 页,共 9 页A12 B10 C.8 D6 4S 420,就该数列的公n的前 n 项和为S ,如2、2022 广东 记等差数列差 d=（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A7 B. 6 学习必备D. 2 欢
16、迎下载C. 3 3、（ 2022 全国）等差数列an中,已知a11,a2a54,an33,就 n 为（） 3A 48 B49 C.50 D514、（ 2007 四川）等差数列 an 中, a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,就 n=（）A9 B10 C.11 D12 5、（ 2022 福建）设 Sn是等差数列an的前 n 项和,如a55,就S 9（）a3S 59A1 B 1 C2 D126、（ 2022 北京）已知等差数列a n 满意 123 101 0 就有 A1101 0B21000C3990D5151 7、（2022 全国 II 理）假如a ,a , ,8a 为各项
17、都大于零的等差数列,公差d0,就 A 1aa8a a 5Ba81aa a5C.a +a 8a +5aDa 1a =a a 58、（ 2022 北京理）如一个等差数列前 为 390,就这个数列有（）3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和名师归纳总结 A13 项B12 项C.11 项D10 项. ,就S 975,第 6 页,共 9 页9、（ 2007全国）已知数列的通项an= -5n+2,就其前 n项和为 Sn= 10、（2006 山东）设S 为等差数列 nan的前 n 项和,S 14,S 10S730. 50.,S 1511、（2022 全国）等差数列a 的前 n 项和记为
18、 Sn.已知a 1030,a20（）求通项a ；（）如 Sn=242,求 n. 12、 2022 宁夏理 已知数列 a n是一个等差数列,且a21,a55. 7（1）求 an的通项a ；（2）求 an前 n 项和S 的最大值 . 13、（2022 全国）设an为等差数列,S 为数列 nan的前 n 项和,已知S 7T 为数列 nSn的前 n 项和,求T . nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【参考答案】【课堂练习】名师归纳总结 1、B 2、B 3 、 A 4 、153 5、15 6、a21,Sn1n21 4na 18第 7 页,共
19、 9 页47、（ 1）由 Sn=2n2n ,得：当 n=1 时,a 1S 13；1,nN . 当 n2 时,a nS nS n122 nn2n2 1n14n由 an=4log 2bn3,得nb2n1,nN . d1a32（2）由（ 1）知a b n4n1 2n1, nN所以T n372 2 11 2.4 n1 2n1,2 T n3 272 23 11 2.4 n12n,2 T nT n4 n1 2n3422 2.n 214n52n5T n4nn 525,nN . 8、解：（1）设 an 的公差为 d1, bn 的公差为 d2 由 a3=a1+2d1得- - - - - - -精选学习资料 -
20、- - - - - - - - 所以a n28 n1 学习必备6,欢迎下载8n所以 a2=10, a1+a2+a3=30 230解得b13,b 1d26依题意,得4b 1423dd23所以 bn=3+3n-1=3n n b 1 b n 3 2 3S n 2 2 n2 n .（2）设 an=bm, 就 8n-6=3m, 既 n 3 m 2 ,要是式对非零自然数 m、n 成立,只需8 m+2=8k, k N , 所以 m=8k-2 ,k N 代入得, n=3k, k N , 所以 a3k=b8k-2=24k-6, 对一切 k N 都成立；所以,数列 a n 与 b n 有很多个相同的项；令 24k
21、-6100, 得 k 53 , 又 k N,所以 k=1,2,3,4. 即 100 以内有 4 个相同项；129. 解：（）由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0, 故解得 d=2, a1=20. 因此, an的通项公式是 an=222n, n=1,2,3 S 14 77 , 2 a 1 13 d 11 , 2 a 1 13 d 11 ,（）由 a 11 0 , 得 a 1 10 d 0 , 即 2 a 1 20 d 0 ,a 1 6 a 1 6 2 a 1 12由 +得 7d11；即 d11 . 7由 +得 13d 1 即 d1 于是11 d113 7 1
22、3又 dZ, 故 d=1 将代入得 10a112. 又 a1 Z, 故 a1=11 或 a1=12. 所以,全部可能的数列 an 的通项公式是 an=12- n 和 an=13- n, n=1,2,3,【课后作业】名师归纳总结 1、C 2 、C 3 、 C 4 、B 5 、A 6 、C 7 、B 8 、A 9 、5n2n 10、 54 第 8 页,共 9 页211、解：（）由a na 1n1 d,a 1030,a2050,得方程组2n10.a 19 d30 , 4 分解得a112 ,d2 .所以ana 119 d50 .（）由S nna 1nn1 d,S n242得方程舍去.212nnn1 2
23、242. 10 分 解得n11 或n22212、解：（）设a n的公差为 d ,由已知条件,得a 1d15,a 14 d解出a 13,d2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以a na 1n1学习必备n5欢迎下载d2名师归纳总结 （）S nna 1n n1dn24n4n221d21n1,第 9 页,共 9 页2所以n2时,S 取到最大值 4 13、解：设等差数列an的公差为 d ,就Snna 11nn1d2S 77,S 1575,7 a121 d7,即a 13 d1,15a 1105 d75a 17d5,解得a 12,d1. Sna 11nn22S n1S n1,数列Sn是等差数列,其首项为2 ,公差为1 ,2n1n2nTn1n29n. 44- - - - - - -