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1、数学试题 第 1 页，共 5 页 惠州市惠州市 2023 届高三第一次模拟考试试题届高三第一次模拟考试试题 数数 学学 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5
2、分，共分，共 40 分。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分。分。1已知复数满足(1+2)=|4 3|(其中为虚数单位)，则复数的虚部为()A.2 B.1 C.2 D.2设集合=|100 2 1000，则的元素个数为()A3 B4 C9 D无穷多个 3数据68，70，80，88，89，90，96，98的第 15 百分位数为()A69 B70 C75 D96 4如图1，在高为的直三棱柱容器 111中，=2，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当
3、倾斜到某一位置时，水面恰好为11(如图2)，则容器的高为()A.22 B.3 C.4 D.6 5若costan3 sin=，则sin 22+=()A.23 B.13 C.89 D.79 6“家在花园里，城在山水间。半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园.”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境。下图 3 是惠州市风景优美的 数学试题 第 2 页，共 5 页 金山湖片区地图，其形状如一颗爱心。图 4 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为()A=|4 2 B=4 2 C=2+2|D=2+2 7已知二
4、项式12nxx+()的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取 2 项，则取到的项都是有理项的概率为()A.27 B.37 C.14 D.38 8若函数()f x的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有()0,f xxD，且()()1fx f x=，则称函数()f x为“类奇函数”。若某函数()g x是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A若0在()g x定义域中，则()01g=B若()()max44g xg=，则()()min144g xg=C若()g x在()0,+上单调递增，则()g x在(),0上单调递减 D若()g x定义域为R，且函数()h x也是定义域为R的“类
5、奇函数”，则函数()()()G xg x h x=也是“类奇函数”二、多二、多项选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9下列四个命题中为真命题的是()A若随机变量服从二项分布14,4B，则()=1 B若随机变量服从正态分布(3,2)，且(4)=0.64，则(2 3)=0.07 C已知一组数据12310,x x xx的方差是3，则123102,
6、2,2,2xxxx+的方差也是3 图 3 图 4 数学试题 第 3 页，共 5 页 D对具有线性相关关系的变量,x y，其线性回归方程为0.3yxm=，若样本点的中心为(),2.8m，则实数m的值是4 10若6=2，6=3，则()A1ba B 14 C2+215 11已知抛物线：2=2(0)的焦点为，过且斜率为22的直线交抛物线于、两点，其中点在第一象限，若|=3，则下列说法正确的是()A=1 B|=32 C =3 D以为直径的圆与轴相切 12在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，1，1，1均与底面垂直，且1=1=1=2=43，点，分别为线段，1的中点，则下列说法正确的是()A直线1与
7、 所在平面相交 B三棱锥1 的外接球的表面积为80 C直线1与直线所成角的余弦值为2 3535 D二面角1 中，平面1，平面，为棱上不同两点，若=2，=1，则=7 三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分。分。13若2,9成等差数列，则 =_ 14过点(1,1)的弦将圆2+2=4的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则|=.15函数()=sin(+3)(0)的非负零点按照从小到大的顺序分别记为1，2，.，若3 2=2，则的值可以是 (写出符合条件的一个值即可)数学试题 第 4 页，共 5 页 16已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足 =
8、+(|ADACADAC+)(0)，|=6，|=14，设=，则 在 上的投影向量为 (结果用 表示).四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）已知数列的前项和为，且=2+2 5（1）求数列的通项公式；（2）记=log2(+1 2)，求数列11nnbb+的前项和 18（本小题满分 12 分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质。如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知=2，=23 （1）当长度变化时，3cos cos是否为一个定值？若是，求
9、出这个定值；若否，说明理由。（2）记 与 的面积分别为1和2，请求出12+22的最大值 19（本小题满分 12 分）如图，在四棱台 1111中，底面是菱形，1=11=1，=2，=60，1平面（1）若点是的中点，求证：1/平面11；（2）棱上是否存在一点，使得二面角 1 的余弦值为13？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由 A B D C A D B C A1 C1 D1 B1 M 数学试题 第 5 页，共 5 页 20（本小题满分 12 分）已知函数()2+=xxaxaf xe （1）当2=a时，求()在(1,(1)处的切线方程；（2）当 0时，不等式()2恒成立，求的取值范围 21（本小
10、题满分 12 分）已知双曲线：的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线 是曲线在点处的切线，且 分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，求的面积 22（本小题满分 12 分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第天
11、选择米饭套餐的概率为，()证明：25nP为等比数列；()证明：当 2时，512 数学试题答案第 1页，共 8页惠州市惠州市 2023 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试数学试题参考答案与评分细则一、一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分。分。题号12345678答案AABBDCAC1.【解析】两复数相乘为实数，则复数?1 2i，?复数?的虚部为?故选?2.【解析】由?h?18?1?1t?1th 得?8?，则其元素个数为?，故选?3.【解析】因为 8?1?1?，所以该数学成绩的 1分位数为第 2 个数据?t，选?4.【解析
12、】由图 知无水部分体积与有水部分体积比为 1:2，所以图 1 中高度比为 1:2，得?选 B5.【解析】因为?cos?sin?，所以sin?cos?cos?sin?，即?sin?cos?，所以?sin?cos?1，即?1?，所以?1?，故选?6.【解析】由图 4 可知，“心形”关于?轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除?，?；又“心形”函数的最大值为 1，而?选项中?1 时，?h?1?1，排除?故选?7.【解析】由已知得总项数?项，则?，展开式的通项?1?1?，当?是偶数时该项为有理项，?=0,2,4,6 从中任取 2 项，则都是有理项的概率为?h?选?8.【解析】对于 A，由函数 g x是
13、“类奇函数”，所以 1g x gx，且 0gx，所以当0 x 时，100gg，即 01g，故 A 正确；对于 B，由 1g x gx，即 1gxg x，gx随 g x的增大而减小，若 max44g xg，则 min144g xg成立，故 B 正确；对于 C，由 g x在0,上单调递增，所以 1gxg x，在0,x上单调递减，设,0tx ，g t在,0t 上单调递增，即 g x在,0 x 上单调递增，故 C 错误；对于 D，由 1g x gx，1h x hx，所以 1G x Gxg x gx h x hx，所以函数 G xg x h x也是“类奇函数”，所以 D 正确；故选 C二、多项选择题：本
14、题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。题号9101112全部正确答案ACABDBDBCD数学试题答案第 页，共 8页9.【解析】对于?，由于?h?1h?，则?h?t?1，故?正确；对于?，?，?h?t?h?t?t?1h，故?h?t?1h，故 B 错误，对于?，?1?1t的方差是 3，则?1?1t?的方差不变，故?正确；对于?，?回归方程必过样本
15、中心点，则?8?t?，解得?h，故 D 错误，10.【解析】?，?，?log?，?log?，则1ab对于?，?log?log?1，故 A 正确，对于?，?log?log?log?1，且?t，?t，?h?1h，故 B 正确，对于?，?1?1?1h?1，故 C 错误，对于?，?h?1，故 D 正确，故选：?11.【解析】数形结合作出抛物线图象，由过焦点直线斜率及抛物线定义可得?，故 A 错误?由图知?为钝角知 C 错误，故选：?12.【解析】对于?，连接?1?，?1?，可证得?1?，?1四点共面，又可证得?1?1?，所以?1?平面?，故 A 错误；对于?，三棱锥?1?的外接球半径?1?1?1h?h
16、?h?，三棱锥?1?的外接球的表面积为 h?8t?，故 B 正确；对于?，?1?1?8,?1?1?1?8t 8?，故 C 正确；对于?，设二面角?1?的平面角为?，则?1?，所以?1?，于是?t?，?，且?，?，?1t?，?，故 D 正确故选?三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.?；14.；15.?（答案一般形式*26nnxnN）；16.27ar13.【解析】设公差为?，?h?，?h，故?故答案为：?14.【解析】因为弦?将圆分成两段弧长之差最大，此时?垂直?，由圆半径为，?，由勾股定理得?h?15.【解析】由?，?，故?，
17、?sin?，令?，即?，?(?1?)，H数学试题答案第?页，共 8页【答案的一般形式】【答案的一般形式】26nnx(?1?)，对n取特殊值即可，取1n，得13x；取2n，得256x，(答案不唯一)16.【解析】由?1h，得?1h，设?t?、?t?，由?，得点?的轨迹是以?、?为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支(不含右顶点)，因为?是?的角平分线，且?t?，?为?的内心，设?t?t?，由内切圆的性质得，?t?t?，得?t?，?在?上的投影长为?h，则?在?上的投影向量为27ar四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答
18、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分，其中第一小问 6 分，第二小问 4 分）【解析】（1）当?1 时，?1?1?1?，解得1?，.1 分当?时，?1?1?1?，.2 分可得?1?1?1?，整理得：?1?，.3 分从而?1?，.4 分又1?1，所以数列?是首项为 1，公比为 的等比数列；.5 分【注：无首项公比【注：无首项公比对数列下定义，则对数列下定义，则不得此分不得此分；若无下定义，用累乘法也可得此分若无下定义，用累乘法也可得此分】所以?1?1?1，所以?1?，.6 分（2）由（1）得?1，所以?1?，所以?1?，.1 分?1?1?1?1?1?1?1，.2 分所以
19、?1?1?1?1?h?1?1?11?1?1?1?1?1h?1?1?1?.3 分?1?1?1?1.4 分【注：结果没有通分【注：结果没有通分，不扣分】不扣分】18（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）【解法一解法一】在?中，由余弦定理222cos2ADABBDAAD AB.1 分【写出定理表达式可得写出定理表达式可得 1 分分】得2222 32cos2 2 32BDA,即2163cos8BDA，.2 分数学试题答案第 h页，共 8页同理，在?中，22222cos2 2 2BDC，.3 分即28cos8BDC.4 分得3coscos1AC，所以当 BD 长度
20、变化时，?为定值，定值为 1.5 分【解法二解法二】在?中，由余弦定理2222cosBDADABAD ABA.1 分【写出定理表达式可得写出定理表达式可得 1 分分】得2222 322 2 32 cosBDA ,即2168 3cosBDA，.2 分同理，在?中，?8?8?，.3 分所以 1?8?8?8?，.4 分化简得?1?，即?1所以当 BD 长度变化时，?为定值，定值为 1.5 分?1?1h?sin?1h?sin?.1 分?1?h?1?h?h?.2 分?1?h?h?1?h?8?1.3 分令?1?1?（或写出0,1t），.4 分【注：无【注：无 t 的取值范围不得此分】的取值范围不得此分】所
21、以?h?8?1?h?1h.5 分所以?即?时，.6 分【注：无【注：无此步骤此步骤不得此分】不得此分】?1?有最大值为 1h.7 分19（本小题满分 12 分，其中第一小问 4 分，第二小问 8 分）【解析】（1）【解法一解法一】连接?1?，由已知得，?1?1?，且?1?1?1?，所以四边形?1?1?是平行四边形，.1 分即?1?1?，.2 分又?1?平面?1?1?，?1?平面?1?1?，.3 分【注：辅助条件不齐【注：辅助条件不齐不得此不得此分】分】所以?1?平面?1?1B.4 分【解法二解法二】连接11,AB MD，由已知得11/AAMD，.1 分数学试题答案第 页，共 8页1111MCM
22、DDCuuuu ruuuu ruuuu r1111AAABABuuu ruuuu ruuur，即?1?1?，.2 分又?1?平面?1?1?，?1?平面?1?1?，.3 分【注：辅助条件不齐【注：辅助条件不齐不得此不得此分】分】所以?1?平面?1?1B.4 分（2）取?中点?，连接?，由题易得?是正三角形，所以?，即?，.1 分由于?1?平面?分别以?，?，?1为?、?、?轴，建立如图空间直角坐标系，.2 分?t?t?t?，?1?t?t?1?，?1?t?1?1?，?t?t?，假设点?存在，设点?的坐标为?t?，?1?1，?t?，?1?t?1?1?，.3 分设平面?1?的法向量?，则?t?1?t，
23、即?t?t，可取?，.4 分又平面?1的法向量为?t?t?，.5 分所以?cos?1?，解得：?，.6 分由于二面角?1?为锐角，则点?在线段?上，所以?，即?1?.7 分故?上存在点?，当?1?时，二面角?1?的余弦值为1?.8 分【注注：无无此步骤此步骤不得不得此分】此分】20（本小题满分 12 分，其中第一小问 4 分，第二小问 8 分）【解析】（1）当?时，?e?，?e?，.1 分?切?1?，.2 分又?1?，?切点为?1?.3 分?切线方程为?1?，化简得?t.4 分（2）【解法解法一一】当?t 时，?恒成立，故?e?，也就是?e?，即?1?e?，由?1?t 得?e?1，.1 分令?
24、e?1（?t），则?e?1?e?1?e?1，.2 分令?e?，则?e?1，.3 分可知?在 t?单调递增，则?t?1，即?t 在 t?恒成立，.4 分故?在 t?单调递增.5 分所以?t?t，故?t 在 t?恒成立.6 分数学试题答案第?页，共 8页所以?在 t?单调递增，而?t?，所以?，.7 分故?.8 分【解法解法二二】因为当?t 时，?恒成立，故?max?由?t?(?t)，.1 分令?t，得?t 或?，.2 分当?t，即?时，?t 在?t?上恒成立，?在?t?上单调递减，?max?t?t?，.3 分?当?时合题意，当?时不合题意；.4 分当?t，即 时，?在?t?上单调递增，在?上单调
25、递减，?max?h?，.5 分设?t，?，则?1?t 恒成立，?在?t?上单调递减，.6 分?t?t?，即?max，合题意；.7 分综上，?.8 分【解法三】解法三】因为当?t 时，?恒成立，也就是?e?，即 e?t 恒成立，令?e?，?t?，.1 分?e?，?e?t，?e?1，?t 恒成立，?在?t?上单调递增，.2 分?min?t?.3 分当?t，即?时，?min?t，?在?t?上单调递增，?min?t?t，合题意；.4 分当?t，即?时，存在?t?t?，使得?t?t，即 e?t?t?.5 分?在?t?t?上单调递减，在?t?上单调递增，.6 分?min?t?e?t?t?t?t?t?t?t
26、?t t，不合题意.7 分综上，?.8 分21（本小题满分 12 分，其中第一小问 4 分，第二小问 8 分）【解析】（1）双曲线的渐近线方程为和，.1 分所以有.2 分【注：【注：点线距离公式点线距离公式正确可正确可得此分】得此分】由题意可得，又，则，解得，.3 分【注：【注：只需一个正确可只需一个正确可得此分】得此分】数学试题答案第?页，共 8页则双曲线的方程为；.4 分（2）【解法解法一一】当直线斜率不存在时，易知此时，直线：，不妨设，得；.1 分当直线斜率存在时，设直线 的方程为，与双曲线的方程联立，可得，.2 分直线与双曲线的右支相切，可得，故.3 分设直线 与轴交于，则，.4 分又
27、双曲线的渐近线方程为，联立，可得，.5 分同理可得，.6 分.7 分综上，面积为.8 分【解法解法二二】当直线斜率不存在时，易知此时，直线：，不妨设，得；.1 分当直线斜率存在时，设直线 的方程为，与双曲线的方程联立，可得，.2 分直线与双曲线的右支相切，可得，故.3 分设直线 与轴交于，则，.4 分又双曲线的渐近线方程为，联立，可得，.5 分同理可得，设渐近线12yx的倾斜角为角则1tan2所以21242tan23112.6分数学试题答案第 8页，共 8页又2222431 41 4cos2cos2cos2mmOM ONkkOMONuuur uuu ruuuruuu r所以113334sin2
28、sin2tan2222cos2223OMNSOMONuuuruuu r.7分综上，面积为.8 分22（本小题满分 12 分，其中第一小问 4 分，第二小问 8 分）【解析】（1）设?1?“第 1 天选择米饭套餐”，?“第 天选择米饭套餐”，?1?“第 1 天不选择米饭套餐”.1 分根据题意?1?，?1?1?，且?1?1h，?1?1?1?1.2 分由全概率公式，得?1?1?1?1?.3 分?1h?1?1?1?.4 分?设?“第 天选择米饭套餐”，则?，?1?，根据题意?1?1h，?1?1?1?1.1 分由全概率公式，得?1?1?1?1h?1?1?1h?1.2 分即?1?1h?1，因此?1?1h?.3 分因为?1?h1?t，所以?是以h1为首项，?1h为公比的等比数列.4 分?由(i)可得?h1?1h?1.5 分当 为大于 1 的奇数时，?h1?1h?1?h1?1h?1.6 分当 为正偶数时，?h1?1h?11.7 分因此?当时，?1.8 分