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1、解析几何小题拔高练解析几何小题拔高练-2023年-2023年新高考数学复习分层训练新高考数学复习分层训练(新高考通用新高考通用)一、单选题单选题1.1.(2023(2023湖南常德 统考一模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)，直线y=12x+a与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为()A.14B.12C.22D.322.2.(2023(2023湖北 校联考模拟预测)过点 M-1,y0作抛物线 y2=2px(p 0)的两条切线，切点分别是 A，B，若MAB面积的最小值为4，则p=()A.1B.2C.4D.163.3.(2023(2023山东青岛 统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=
2、1 a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=3x与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形AF1BF2为矩形，则C的离心率为()A.3+12B.3C.3+1D.5+14.4.(2023(2023湖北 校联考模拟预测)已知O为坐标原点，F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，若POF2是面积为2 3 的正三角形，则b2的值为()A.2B.6C.4 3D.8-4 35.5.(2023(2023湖南 校联考模拟预测)双曲线 C:x23-y2=1 的左焦点为 F，过点 F 的直线 l 与双曲线 C 交于A，B两点，若过A，B和点M(7
3、,0)的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为()A.22B.2C.1D.326.6.(2023(2023湖南郴州 统考三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点为F1,F2，过F1作直线与椭圆相交于A,B两点，若 AF1=2 BF1且 BF2=AB，则椭圆的C的离心率为()A.13B.14C.33D.637.7.(2023(2023湖南常德 统考一模)已知抛物线的方程为 x2=4y，过其焦点 F 的直线与抛物线交于 M、N 两点，且 MF=5，O为坐标原点，则MOF的面积与NOF的面积之比为()A.15B.14C.5D.48.8.(2023(2023广东深圳 深圳中学校联考模拟
4、预测)若圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为5，则实数a的取值范围是()A.-,-132172,+B.-132,172C.-,-3272,+D.-32,729.9.(20232023 浙江 校联考三模)在平面直角坐标系上，圆C:x2+y-12=1，直线y=a x+1与圆C交于A,B两点，a 0,1，则当ABC的面积最大时，a=()A.22B.3-1C.2-3D.1210.10.(20232023 江苏 统考一模)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0的两条弦AB，CD相交于点P(点P在第一象限)，且ABx轴，CDy轴.若 PA:PB:PC:PD=1:3
5、:1:5，则椭圆E的离心率为()A.55B.105C.2 55D.2 10511.11.(20232023 江苏南通 模拟预测)双曲线C1:x2a2-y2b2=1(ab0)和椭圆C2:x2a2+y2b2=1的右焦点分别为F,F，A(-a,0)，B(a,0)，P,Q 分别为 C1,C2上第一象限内不同于 B 的点，若 PA+PB=QA+QB,R，PF=3QF，则四条直线PA,PB,QA,QB的斜率之和为()A.1B.0C.-1D.不确定值12.12.(20232023 江苏宿迁 江苏省沭阳高级中学校考模拟预测)椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦
6、点(如图).已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线与椭圆 E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若|AB|=3a2,BF1MF1=57，则SMABSAF1F2=()A.8135B.3516C.95D.45二、多选题多选题1.1.(20232023 江苏南通 模拟预测)过平面内一点P作曲线y=lnx两条互相垂直的切线l1、l2，切点为P1、P2(P1、P2不重合)，设直线l1、l2分别与y轴交于点A、B，则()A.P1、P2两点的纵坐标之积为定值B.直线P1P2的斜率为定值C.线段AB的长度为定值D.ABP面积的取值范围为
7、0,12.2.(20232023 江苏 统考一模)已知点 A-1,0，B 1,0，点 P 为圆 C：x2+y2-6x-8y+17=0 上的动点，则()A.PAB面积的最小值为8-4 2B.AP的最小值为2 2C.PAB的最大值为512D.AB AP 的最大值为8+4 23.3.(20232023 江苏 二模)已知椭圆x216+y212=1，点 F为右焦点，直线 y=kx k0与椭圆交于 P，Q两点，直线PF与椭圆交于另一点M，则()A.PQM周长为定值B.直线PM与QM的斜率乘积为定值C.线段PM的长度存在最小值D.该椭圆离心率为124.4.(20232023 湖北 荆州中学校联考二模)已知椭
8、圆 C:y23+x2b2=1 0b0)，点P在椭圆C上，点Q是圆E:x2+y-42=1上任意一点，PQ+PF2的最小值为2，则下列说法正确的是()A.椭圆C的焦距为2B.过F2作圆E切线的斜率为2 2C.若A、B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为-15D.PQ-PF2的最小值为4-2 35.5.(20232023 湖北武汉 华中师大一附中校联考模拟预测)已知P，Q是双曲线x2a2-y2b2=1上关于原点对称的两点，过点P作PMx轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是()A.k的取值范围是-bak 0)与圆 M:x2+y-4
9、2=4，P，Q 分别为圆C和圆M上的动点，下列说法正确的是()A.过点(2，1)作圆M的切线有且仅有一条B.存在实数a，使得圆C和圆M恰有一条公切线C.若圆C和圆M恰有3条公切线，则a=3D.若 PQ的最小值为1，则a=17.7.(20232023 浙江嘉兴 统考模拟预测)已知椭圆C:x24+y23=1，A1，A2分别为椭圆C的左右顶点，B为椭圆的上顶点.设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，则()A.若直线A1M与A2M的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-34B.直线PQ与x轴垂直C.BP=BQD.MP=MQ8.8.(2023
10、2023 浙江温州 统考二模)已知圆的方程为(x-m)2+(y-m)2=m2，对任意的m0，该圆()A.圆心在一条直线上B.与坐标轴相切C.与直线y=-x不相交D.不过点 1,1三、填空题填空题1.1.(20232023 江苏 二模)设过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，若FN=3FM，且OM FN=0(O为坐标原点)，则C的离心率为2.2.(20232023 江苏南通 模拟预测)弓琴(如图)，也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸在我国古籍 吴越春秋 中，曾记载着：
11、“断竹、续竹，飞土逐肉”弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳下图是一弓琴琴腔下部分的正面图若按对称建立如图所示坐标系，F1(-c,0)为左焦点，Pi(i=1,2,3,4,5,6,7)均匀对称分布在上半个椭圆弧上，PiF1为琴弦，记ai=|PiF1|(i=1,2,3,4,5,6,7)，数列an前n项和为Sn，椭圆方程为x2a2+y2b2=1，且a+64c=4ac，则S7+a7-128取最小值时，椭圆的离心率为.3.3.(20232023 江苏南通 二模)已知点 P 在抛物线 C
12、:y2=2px p0上，过 P 作 C 的准线的垂线，垂足为 H，点F为C的焦点若HPF=60，点P的横坐标为1，则p=.4.4.(20232023 湖北 荆州中学校联考二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A 1,a，B 3,a+4，若圆x2+y2=4上有且仅有四个不同的点C，使得ABC的面积为5，则实数a的取值范围是5.5.(20232023 湖北武汉 华中师大一附中校联考模拟预测)过点 2,0的直线与抛物线 y2=4x 交于 A，B 两点，若M点的坐标为-1,0，则 MA2+MB2的最小值为6.6.(20232023 湖南郴州 统考三模)已知点M 1,2，若过点N 3,0的直线m交圆C:(
13、x-5)2+y2=6于A,B两点，则 MA+MB 的最小值为.7.7.(20232023 湖南长沙 湖南师大附中校考一模)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1F2，椭圆C1的离心率为 e1，双曲线 C2的离心率为 e2，点 P 为椭圆 C1与双曲线 C2在第一象限的交点，且 F1PF2=3，则1e1+1e2的最大值为.8.8.(20232023 广东 校联考模拟预测)已知动圆N经过点A-6,0及原点O，点P是圆N与圆M:x2+(y-4)2=4的一个公共点，则当OPA最小时，圆N的半径为.9.9.(20232023 广东深圳 深圳中学校联考模拟预测)已知点M为抛物线 y2=8x上的动点，点
14、N为圆x2+(y-4)2=5上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为.10.10.(20232023 浙江金华 浙江金华第一中学校考模拟预测)已知 O 0,0、A 3,0，直线 l上有且只有一个点 P满足 PA=2 PO，写出满足条件的其中一条直线l的方程解析几何小题拔高练解析几何小题拔高练-新高考数学复习分层训练新高考数学复习分层训练(新高考通用新高考通用)一、单选题单选题1.1.(20232023 湖南常德 统考一模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)，直线y=12x+a与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为()A.14B.12C.22D.32【答案】B【分析】由椭圆
15、E和直线y=12x+a相切，联立椭圆E和直线y=12x+a的方程消y得到14a2+b2x2+a3x+a4-a2b2=0，令=0，化简得到b2a2=34，即可求解.【详解】由题意，联立椭圆E和直线y=12x+a的方程得：b2x2+a212x+a2=a2b2,整理得：14a2+b2x2+a3x+a4-a2b2=0，因为椭圆E和直线y=12x+a相切，则=a32-414a2+b2a4-a2b2=0，化简得：b2a2=34，则椭圆E的离心率e=ca=1-b2a2=1-34=12，故选：B.2.2.(20232023 湖北 校联考模拟预测)过点 M-1,y0作抛物线 y2=2px(p 0)的两条切线，切
16、点分别是 A，B，若MAB面积的最小值为4，则p=()A.1B.2C.4D.16【答案】B【分析】设出切点坐标，求出直线AB的方程，将其代入抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出AB的表达式，再利用点到直线的距离和三角形面积公式求出面积的表达式，进而求解即可.【详解】设A x1,y1,B x2,y2(y10,y20)，以A为切点的切线斜率为k1，则以A x1,y1为切点的切线方程为y-y1=k1(x-x1)，与抛物线y2=2px(p0)联立可得：k1y2-2py+2py1-2k1px1=0，由=0，即4p2-8k1py1+8k21px1=0，则4p2-8k1py1+8k21y21=0，即(2p
17、-2k1y1)2=0，解得k1=py1，则以A x1,y1为切点的切线方程为y-y1=py1(x-x1)，即y1y-y21=p(x-x1)，所以y1y-2px1=p(x-x1)，整理可得y1y=p(x+x1)，同理B x2,y2为切点的切线方程为y2y=p(x+x2)，因为点M-1,y0在切线y1y=p(x+x1)和y2y=p(x+x2)，所以y0y1=p(x1-1)，y0y2=p(x2-1)，故直线AB的方程为：y0y=p(x-1)，联立y0y=p x-1,y2=2px,消去x，得y2-2y0y-2p=0=4y20+8p0由韦达定理，得y1+y2=2y0,y1y2=-2p，于是|AB|=1+
18、y20p24y20+8p点M到直线AB的距离：d=y20+2py20+p2，于是MAB的面积S=12d|AB|=12y20+2py20+p21+y20p24y20+8p=y20+2p3p，当y0=0时，MAB面积最小为2 2p=4,p=2，故选：B3.3.(20232023 山东青岛 统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=3x与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形AF1BF2为矩形，则C的离心率为()A.3+12B.3C.3+1D.5+1【答案】C【分析】联立直线y=3x与C的方程，求出弦AB长，由 AB=F1F2求解即得.【详解
19、】显然直线y=3x与F1F2交于原点O，由双曲线对称性知，若四边形AF1BF2是矩形，则 AB=F1F2，设点A(x1,y1),B(x2,y2)，而F1(-c,0),F2(c,0)由y=3xx2a2-y2b2=1 得(b2-3a2)x2=a2b2，解得x1=-abb2-3a2,x2=abb2-3a2，则|AB|=1+(3)2|x1-x2|=4abb2-3a2，则4abb2-3a2=2c，化简得b4-6a2b2-3a4=0，即b2a22-6b2a2-3=0，b2a20，解得b2a2=3+2 3，则e=ca=c2a2=1+b2a2=4+2 3=3+1.故选：C.4.4.(20232023 湖北 校
20、联考模拟预测)已知O为坐标原点，F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，若POF2是面积为2 3 的正三角形，则b2的值为()A.2B.6C.4 3D.8-4 3【答案】C【分析】由三角形的面积公式得到c，再由正三角形得到点P的坐标，将点P的坐标代入C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)中，即可得到b2.【详解】POF2是面积为2 3 的正三角形，即S=12ccsin60=2 3，所以c2=8,c=2 2，所以POF2的边长为2 2，高为6，所以P(2,6)，所以2a2-6b2=1.又a2+b2=8，所以b2=4 3，故选：C.5.5
21、.(20232023 湖南 校联考模拟预测)双曲线 C:x23-y2=1 的左焦点为 F，过点 F 的直线 l 与双曲线 C 交于A，B两点，若过A，B和点M(7,0)的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为()A.22B.2C.1D.32【答案】A【分析】利用韦达定理结合PGAB可得t=8mm2-3，再根据弦长公式表示得 AB,结合r2=d2+12|AB|2即可求直线l的斜率.【详解】由题意可知：F(-2,0)，设A x1,y1，B x2,y2，AB的中点为P，过点A，B，M的圆的圆心坐标为G(0,t)，则|GM|=t2+7=r，由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x=my
22、-2，联立方程组x=my-2,x23-y2=1,化简整理可得，m2-3y2-4my+1=0，则m2-30，=16m2-4 m2-3=12m2+120，y1+y2=4mm2-3,y1y2=1m2-3，故AB的中点P的纵坐标yp=y1+y22=2mm2-3，横坐标xp=myp-2=6m2-3，则P6m2-3,2mm2-3，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以kPG=2mm2-3-t6m2-3-0=-m，化简整理可得：t=8mm2-3，则圆心G(0,t)到直线AB的距离d=|mt-2|1+m2，|AB|=1+m2y1+y22-4y1y2=1+m216m2+12m2-32=2
23、 3 1+m2m2-3，r2=d2+12|AB|2，即t2+7=(mt-2)21+m2+3 m2+12m2-32，将代入可得：64m2m2-32+7=8m2m2-3-221+m2+3 1+m22m2-32，即64m2m2-32+7=36m2+36m2-32+3 1+m22m2-32，整理可得：m4-5m2+6=0，则 m2-2m2-3=0，因为m2-30，所以m2-2=0，解得m=2，k=1m=22.故选:A.6.6.(20232023 湖南郴州 统考三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点为F1,F2，过F1作直线与椭圆相交于A,B两点，若 AF1=2 BF1且 BF2=
24、AB，则椭圆的C的离心率为()A.13B.14C.33D.63【答案】C【分析】由题意设 BF1=x,由椭圆的定义可求出x=a2，再由cosF1AF2=AF12+AF22-F1F222 AF1 AF2=AB2+AF22-BF222 AB AF2，代入化简即可得出答案.【详解】因为过F1作直线与椭圆相交于A,B两点，若 AF1=2 BF1且 BF2=AB，设 BF1=x,AF1=2 BF1=2x，BF2=AB=3x，由椭圆的定义知：BF1+BF2=x+3x=2a,解得：x=a2，AF1+AF2=2a AF2=2a-2a2=a,所以 AF2=AF1=a,BF1=a2,BF2=3a2,AB=3a2，
25、所以cosF1AF2=AF12+AF22-F1F222 AF1 AF2=AB2+AF22-BF222 AB AF2，则a2+a2-4c22aa=3a22+a2-3a2223a2a，则a2-2c2a2=13，e=ca=33.故选：C.7.7.(20232023 湖南常德 统考一模)已知抛物线的方程为 x2=4y，过其焦点 F 的直线与抛物线交于 M、N 两点，且 MF=5，O为坐标原点，则MOF的面积与NOF的面积之比为()A.15B.14C.5D.4【答案】D【分析】通过抛物线的定义及解析式可得M的坐标，从而求得N的坐标,将面积比转化为坐标关系即可.【详解】由解析式可知：焦点F 0,1，准线为
26、y=-1，设M x1,y1、N x2,y2,lMN:y=kx+1，MF=y1+1=5，y1=4,x1=4由抛物线的对称性，不妨设M在第一象限，则M 4,4联立y=kx+14y=x2,x2-4kx-4=0,x1x2=-4，即x2=-1，所以SMOFSNOF=OF x1OF x2=4故选：D8.8.(20232023 广东深圳 深圳中学校联考模拟预测)若圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为5，则实数a的取值范围是()A.-,-132172,+B.-132,172C.-,-3272,+D.-32,72【答案】D【分析】将圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个
27、点到直线2x-y+1=0的距离为5，转化为圆心到直线的距离d5，从而利用点到直线的距离公式求出结果.【详解】因为圆的方程为(x-a)2+(y-3)2=20，所以圆心为(a,3)，半径为2 5，又圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为5，所以圆心到直线2x-y+1=0的距离d5，所以2a-255，即 2a-25，得到-32a2，d 0,1，AB=2 r2-d2=2 1-d2，SABC=12ABd=d 1-d2=d21-d2d2+1-d222=12(当且仅当d=22时取等号)，则当ABC的面积最大时，a-1a2+1=22，又a 0,1，解得：a=2-3.故选：C
28、.10.10.(20232023 江苏 统考一模)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0的两条弦AB，CD相交于点P(点P在第一象限)，且ABx轴，CDy轴.若 PA:PB:PC:PD=1:3:1:5，则椭圆E的离心率为()A.55B.105C.2 55D.2 105【答案】B【分析】设P m,n,PA=t，进而得A,B,C,D的坐标，进而根据对称性得A 3t,t,C 2t,2t，再代入椭圆方程整理得b2a2=35，最后求解离心率即可.【详解】解：设P m,n,PA=t，则A m,n+t,B m,n-3t，C m+t,n,D m-5t,n，由题知A,B关于x轴对称，C,D关于y轴对称，所以
29、n+t+n-3t=0，m+t+m-5t=0，即n=t，m=2t，所以C 3t,t,A 2t,2t，所以9t2a2+t2b2=14t2a2+4t2b2=1，即9a2+1b2=4a2+4b2，所以5a2=3b2，即b2a2=35，所以椭圆E的离心率为e=1-b2a2=25=105.故选：B11.11.(20232023 江苏南通 模拟预测)双曲线C1:x2a2-y2b2=1(ab0)和椭圆C2:x2a2+y2b2=1的右焦点分别为F,F，A(-a,0)，B(a,0)，P,Q 分别为 C1,C2上第一象限内不同于 B 的点，若 PA+PB=QA+QB,R，PF=3QF，则四条直线PA,PB,QA,Q
30、B的斜率之和为()A.1B.0C.-1D.不确定值【答案】B【分析】设O为原点，则PA+PB=2PO，QA+QB=2QO，结合题意可得PO=QO，即可得到PA+PB=QA+QB.由PF=3QF 可得OFOF=3，进而得到a2=2b2.设P x1,y1，Q x2,y2，分别代入双曲线C1和C2方程，可得x21-2b2=2y21x22-2b2=-2y22，再表示出kPA+kPB和kQA+kQB，进而求解.【详解】设O为原点，则PA+PB=2PO，QA+QB=2QO，而PA+PB=QA+QB，得PO=QO，所以O、P、Q三点共线.因为PF=3QF，所以PFQF，且 PF=3 QF，得=OPOQ=PF
31、QF=OFOF=3，所以a2+b2a2-b2=3，即a2=2b2.设P x1,y1，Q x2,y2，分别代入双曲线C1和C2，则x212b2-y21b2=1x222b2+y22b2=1 ，即x21-2b2=2y21x22-2b2=-2y22，所以kPA+kPB=y1x1+a+y1x1-a=2x1y1x21-2b2=x1y1，kQA+kQB=y2x2+a+y2x2-a=2x2y2x22-2b2=-x2y2，因为O、P、Q三点共线，所以x1y1=x2y2，即kPA+kPB+kQA+kQB=0.故选：B.12.12.(20232023 江苏宿迁 江苏省沭阳高级中学校考模拟预测)椭圆具有光学性质：从椭
32、圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线与椭圆 E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若|AB|=3a2,BF1MF1=57，则SMABSAF1F2=()A.8135B.3516C.95D.45【答案】A【分析】结合题目所给信息及图形可得 AB=AM，后由椭圆定义及条件可得 BF2=a3，AF2=7a6，AF1=5a6.最后由SMABSAF1F2=|AB|AM|AF1AF2可得答案.【详解】如图，由椭圆的光学性质可得M,A,F1三点共线.设 BF2=
33、x，则 BF1=2a-x，MF1=AF1+|MA|=AF1+AF2+BF2=2a+x.故BF1MF1=2a-x2a+x=57，解得x=a3.又|AB|=3a2，所以 AF2=7a6，AF1=5a6.所以SMABSAF1F2=12|AB|AM|sinMAB12AF1AF2sin(-MAB)=|AB|AM|AF1AF2=3a225a67a6=8135.故选：A.二、多选题多选题1.1.(20232023 江苏南通 模拟预测)过平面内一点P作曲线y=lnx两条互相垂直的切线l1、l2，切点为P1、P2(P1、P2不重合)，设直线l1、l2分别与y轴交于点A、B，则()A.P1、P2两点的纵坐标之积为
34、定值B.直线P1P2的斜率为定值C.线段AB的长度为定值D.ABP面积的取值范围为 0,1【答案】BCD【分析】根据切线方程的定义，利用分类讨论的思想，可得整理切线方程，根据直线垂直可得切点横坐标的乘积，进而可得纵坐标的乘积，利用直线斜率公式，等量代换整理，可得其值，利用切线方程，求得A,B,P的坐标，可得答案.【详解】由函数y=lnx=lnx,x1-lnx,0 x1-1x,0 x1，设P1x1,y1，P2x2,y2，当0 x11，10，所以，函数 f x在 0,1上单调递增，则当x 0,1时，f x 0,1，所以，SABP=12AB xP=2x1x12+1 0,1，故D正确.故选：BCD.2
35、.2.(20232023 江苏 统考一模)已知点 A-1,0，B 1,0，点 P 为圆 C：x2+y2-6x-8y+17=0 上的动点，则()A.PAB面积的最小值为8-4 2B.AP的最小值为2 2C.PAB的最大值为512D.AB AP 的最大值为8+4 2【答案】BCD【分析】对于A，点P动到圆C的最低点M时，PAB面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到R点时，AP取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 AP运动到与圆C相切时，PAB取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.【详解】x2+y2-6x-8y+17=0(x-
36、3)2+(y-4)2=8，圆C是以 3,4为圆心，2 2 为半径的圆.对于A，PAB面积的最小值为点P动到圆C的最低点M时，yM=4-2 2，SPAB=12AByM=122 4-2 2=4-2 2，故选项A错误；对于B，连接A,C交圆于R点，当点P动到R点时，AP取到最小值为AC-RC=(3+1)2+42-2 2=2 2，故选项B正确；对于C，当 AP运动到与圆C相切时，PAB取得最大值，设切点为Q,sinCAQ=QCAC=2 24 2=12,CAQ=6，sinCAN=CNAN=44=1,CAN=4，PAB=CAQ+CAN=512，故选项C正确；对于D，AB AP=AB AP cosPAB，当
37、点P动到S点时，AP cosPAB取得最大值，即AS 在AB 上的投影，AB AP=AB AP cosPAB=AB AN=2(1+3+2 2)=8+4 2，故选项D正确；故选：BCD.3.3.(20232023 江苏 二模)已知椭圆x216+y212=1，点 F为右焦点，直线 y=kx k0与椭圆交于 P，Q两点，直线PF与椭圆交于另一点M，则()A.PQM周长为定值B.直线PM与QM的斜率乘积为定值C.线段PM的长度存在最小值D.该椭圆离心率为12【答案】BCD【分析】通过k取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B，确定线段PM取最小值的条件即可判断C，确定a、c的
38、值即可求出离心率从而判断D【详解】该椭圆中a=4，b=2 3，c=2，则F 2,0，所以离心率为12，故D正确；设M x1,y1，P x2,y2，Q-x2，-y2，则在PM、QM斜率都存在的前提下有kPM=y1-y2x1-x2，kQM=y1+y2x1+x2，于是kPMkQM=y1-y2y1+y2x1-x2x1+x2=y12-y22x12-x22=12-3x124-12-3x224x12-x22=-34为定值，故B正确；由题意可设PM的方程为x=my+2，联立x216+y212=1x=my+2，消x得 3m2+4y2+12my-36=0，则y1+y2=-12m3m2+4,y1y2=-363m2+
39、4，所以 PM=1+m2y1+y22-4y1y2=1+m2144m23m2+42+1443m2+4=24 m2+13m2+4=243m2+4m2+1=243+1m2+1，则当m=0时，PMmin=6，所以线段PM的长度存在最小值，故C正确.当k=216时，直线y=216x与椭圆x216+y212=1交于点 3，212和-3，-212，不妨取点P为 3，212，得直线PF方程为y=212x-2，求得交点M为12，-3 214，则 PM=254，QM=2174，PQ=57，此时PQM的周长为254+2174+57，当k=32时，联立x216+y212=1y=32x，解得x=2，不妨取P 2,3，则
40、PM垂直于x轴，此时 PM=6，QM=4，PQ=2 13，此时PQM的周长为10+2 13，显然PQM周长不为定值，故A错误；故选：BCD4.4.(20232023 湖北 荆州中学校联考二模)已知椭圆 C:y23+x2b2=1 0b0)，点P在椭圆C上，点Q是圆E:x2+y-42=1上任意一点，PQ+PF2的最小值为2，则下列说法正确的是()A.椭圆C的焦距为2B.过F2作圆E切线的斜率为2 2C.若A、B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为-15D.PQ-PF2的最小值为4-2 3【答案】ABD【分析】由圆的性质结合给定的最小值求出c判断A；设出切线方程
41、结合点到直线的距离计算判断B；利用斜率坐标公式结合椭圆方程计算判断C；利用圆的性质及椭圆的定义计算判断D作答.【详解】圆E:x2+y-42=1的圆心E(0,4)，半径r=1，显然圆E与椭圆C相离，而点P在椭圆C上，点Q在圆E上，于是 PQ+PF2|PE|-r+PF2|EF2|-1=4-c-1=3-c，当且仅当P,Q分别是线段EF2与椭圆C、圆E的交点时取等号，因此3-c=2，解得c=1，则椭圆C的焦距为2，且椭圆C的方程为y23+x22=1，A正确；显然过F2(0,1)的圆E切线的斜率存在，设此切线方程为y=kx+1，于是31+k2=1，解得k=2 2，B正确；设P(x0,y0),A(x1,y
42、1)，有B(-x1,-y1)，且3x20+2y20=63x21+2y21=6，即y20-y21=-32(x20-x21)，直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB，因此kPAkPB=y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21=-32，C错误；|PQ|-|PF2|PE|-r-(2 3-|PF1|)=|PE|+|PF1|-1-2 3|EF1|-1-2 3=4-(-c)-1-2 3=4-2 3，当且仅当P,Q分别是线段EF1与椭圆C、圆E的交点时取等号，D正确.故选：ABD5.5.(20232023 湖北武汉 华中师大一附中校联考模拟预测)已知P，Q是双曲线x2a2-y2
43、b2=1上关于原点对称的两点，过点P作PMx轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是()A.k的取值范围是-bakba且k0B.直线MN的斜率为k2C.直线PN的斜率为2b2ka2D.直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为ba【答案】ABC【分析】因为直线与双曲线两支各有一个交点，则斜率k在两条渐近线斜率之间可判断A；设点P x0,y0，Q-x0,-y0，M x0,0，表示出kMN=y02x0=k2可判断B；由双曲线的第三定义知b2a2=kNPkNQ，再结合kMN=kNQ=k2，求出kNP=2b2ka2可判断C；由均值不等式可判断D.【详解】设点P x0,y0，Q
44、-x0,-y0，M x0,0，直线与双曲线两支各有一个交点，则斜率k在两条渐近线斜率之间，即-bak 0)与圆 M:x2+y-42=4，P，Q 分别为圆C和圆M上的动点，下列说法正确的是()A.过点(2，1)作圆M的切线有且仅有一条B.存在实数a，使得圆C和圆M恰有一条公切线C.若圆C和圆M恰有3条公切线，则a=3D.若 PQ的最小值为1，则a=1【答案】BC【分析】对于选项A，通过判断点(2,1)在圆M外，则可判断选项A错误；对于选项BC，可通过两圆内切和外切求出a的值，从而判断BC的正误；对于选项D,利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得出当P、Q两点在两圆心连线段上时 PQ取得
45、最小值，也即 PQ=CM-r1-r2，从而求出a，判断出选项D的正误.【详解】选项A，点(2,1)到M(0,4)的距离为(2-0)2+(1-4)2=13 2，所以点(2,1)在圆M外，可作2条切线，故选项A错误；选项B，当圆C和圆M内切时，圆C和圆M只有一条公切线，此时有 CM=r1-r2，即 2-a=a2+16，解得a=-3，故选项B正确；选项C，当圆C和圆M外切时，圆C和圆M只有3条公切线，此时有 CM=r1+r2，即2+a=a2+16，解得a=3，故选项C正确；选项D，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得出当P、Q两点在两圆心连线段上时PQ取得最小值，即 PQ=CM-r1-r2
46、时，PQ取得最小值为1，所以 CM-2-a=1，得到3+a=a2+16，解得a=76，故选项D错误.故选：BC7.7.(20232023 浙江嘉兴 统考模拟预测)已知椭圆C:x24+y23=1，A1，A2分别为椭圆C的左右顶点，B为椭圆的上顶点.设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，则()A.若直线A1M与A2M的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-34B.直线PQ与x轴垂直C.BP=BQD.MP=MQ【答案】ABC【分析】设M x,y，由斜率公式及点在椭圆上可得k1k2判断A，联立直线的方程求出Q、P坐标，由条件可得xP=xQ即
47、可判断B，求出PQ中点在y=3 上，即可判断CD.【详解】如图，设M x,y，则k1k2=yx+2yx-2=y2x2-4=3 1-x24x2-4=-34，故A正确；直线A1M的方程为y=k1x+2，直线A2B的方程为y=-32x+3，联立y=k1x+2y=-32x+3 得x=-4k1+2 32k1+3y=4 3k12k1+3，即Q-4k1+2 32k1+3,4 3k12k1+3，同理可得P4k2+2 32k2-3,4 3k22k2-3，因为k1k2=-34，所以4k2+2 32k2-3=-3k1+2 3-32k1-3=2 3-4k12k1+3，所以xP=xQ，则直线PQ与x轴垂直，故B正确；同
48、理4 3k22k2-3=-3 3k1-32k1-3=62k1+3，所以yP+yQ=4 3k12k1+3+62k1+3=2 3 2k1+32k1+3=2 3，故PQ的中点在直线y=3 上，故C正确；D错误，故选：ABC.8.8.(20232023 浙江温州 统考二模)已知圆的方程为(x-m)2+(y-m)2=m2，对任意的m0，该圆()A.圆心在一条直线上B.与坐标轴相切C.与直线y=-x不相交D.不过点 1,1【答案】ABC【分析】对A：显然圆心 m,m在y=x上；对B：用圆心到坐标轴的距离判断；对C：用圆心到直线y=-x的距离判断；对D：将点 1,1代入圆方程看是否有解.【详解】对于A：显然
49、圆心 m,m在y=x,故A对；对于B：圆心 m,m到坐标轴的距离均为m，等于圆的半径m，故该圆与坐标轴相切，B正确；对于C：圆心 m,m到直线y=-x距离d=2m2=2mm，故相离，C对；对于D：将点 1,1代入圆方程得(1-m)2+(1-m)2=m2m2-4m+2=0，显然=80，故有解，所以可能过点 1,1,D错；故选：ABC三、填空题填空题1.1.(20232023 江苏 二模)设过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，若FN=3FM，且OM FN=0(O为坐标原点)，则C的离心率为【答案】7【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于a、c的
50、方程即可求出离心率【详解】如图，设P为MN中点，MF=t，由FN=3FM 可知 FN=3t，MP=PN=t，由双曲线的定义可知 MF2=t+2a，NF2=3t-2a，由OM FN=0可知OMFN，又O为FF2中点，M为FP中点，可知OMPF2，则PF2FN,从而PF2为线段MN的垂直平分线，MF2=NF2，即t+2a=3t-2a，所以t=2a，则MNF2为正三角形，PF2=2 3a，在直角FPF2中，FP2+PF22=FF22，即(4a)2+(2 3a)2=(2c)2，所以e=7故答案为：72.2.(20232023 江苏南通 模拟预测)弓琴(如图)，也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖古代