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1、2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题10 平面向量小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1（2023浙江永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，则（）ABCD12（2023浙江模拟预测）已知在三角形ABC中，点M，N分别为边AB，AC上的动点，其中，点P，Q分别为MN，BC的中点，则的最小值为（）ABCD3（2023浙江温州统考二模）已知向量，满足，且对任意实数，的最小值为，的最小值为，则（）ABC或D或4（2023江苏苏州苏州中学校考模拟预测）已知，若，则（）ABCD5（2023江苏徐州徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，分别在边上，与相
2、交于点，记，则（）ABCD6（2023江苏南通海安高级中学校考一模）已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，垂足为，当时，（）ABCD7（2023福建泉州统考三模）已知平面向量、满足，则的最小值为（）ABCD8（2023福建漳州统考二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，则（）ABCD9（2023福建泉州校考模拟预测）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由个全
3、等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，为的中点，则（）ABCD10（2023山东威海统考一模）已知向量，若，则（）ABCD11（2023山东潍坊一中校联考模拟预测）已知等边三角形的边长为1，动点满足若，则的最小值为（）ABC0D312（2023山东淄博统考一模）已知中，过点作垂直于点，则（）ABCD13（2023山东枣庄统考二模）已知，是同一平面内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是（）ABC存在不全为0的实数，使D若，则14（2023山东沂水县第一中学校联考模拟预测）已知等腰直角三角形中，分别是边，的中点，若，其中，为实数，则（）AB1C2D15（2023湖北宜昌市一中校联考模拟预
4、测）已知平面非零向量满足，则的最小值为（）A2B4C8D1616（2023湖南湖南师大附中校联考模拟预测）如图，是平行四边形所在平面内的一点，且满足，则（）A2BCD117（2023广东校联考模拟预测）已知向量，满足，则（）ABCD18（2023广东江门统考一模）设非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）ABCD二、多选题19（2023河北石家庄统考模拟预测）设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（）A若，则存在实数使得B若，则C若，则在方向上的投影向量为D若存在实数使得，则20（2023江苏连云港统考模拟预测）设，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则
5、不与垂直D不与垂直21（2023河北河北衡水中学校考模拟预测）在中，且，则（）ABCD，使得22（2023福建统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（）A与的夹角为B为定值C的最小值为D在上的投影向量为23（2023山东烟台二中校考模拟预测）已知向量满足，且，则（）ABCD24（2023江苏宿迁江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）已知向量，则下列命题正确的是（）A存在，使得B当时，与垂直C对任意，都有D当时，与方向上的投影为25（2023浙江统考一模）已知O为坐标原点，点，则（）ABCD26（2023浙江校联考三模）在平面直角坐标系中，已知点，则（）AB是直角三角形C在方向上的投影向量
6、的坐标为D与垂直的单位向量的坐标为或27（2023江苏南通模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则CD三、填空题28（2023山东青岛统考一模）已知，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为_29（2023湖南郴州统考三模）已知点，若过点的直线交圆于两点，则的最小值为_.30（2023浙江温州统考二模）若向量满足，且
7、，则在方向上的投影的取值范围是_.2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题10 平面向量小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1（2023浙江永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，则（）ABCD1【答案】A【分析】根据题意画出图像，即可得出，再得出，代入计算即可得出答案【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示：因为，根据上图可知故选：A2（2023浙江模拟预测）已知在三角形ABC中，点M，N分别为边AB，AC上的动点，其中，点P，Q分别为MN，BC的中点，则的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】根据，再计算，得到函数，最后根据二次函数在区间
8、最值的求法即可求解.【详解】，则，而，而的对称轴为，故当时，故选：B3（2023浙江温州统考二模）已知向量，满足，且对任意实数，的最小值为，的最小值为，则（）ABC或D或【答案】C【分析】不妨设向量，求出，的坐标，表示为关于x的二次函数，根据二次函数的图象与性质可利用最小值列出等式，同理，表示为关于y的二次函数，利用最小值列出等式，两式联立求出m，n，即可求得【详解】不妨设向量，则，所以，又对任意实数有的最小值为，所以，化简得又，对任意实数有的最小值为，所以，所以，即由，可得或3，故或故选：C【点睛】本题主要考查平面向量与二次函数最小值的综合问题，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能
9、力，属于中档题本题求解的关键：一是设出向量，的坐标，有利于从“数”的角度加以分析；二是在“平方”变形的基础上，灵活运用二次函数的最小值4（2023江苏苏州苏州中学校考模拟预测）已知，若，则（）ABCD【答案】B【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以或，又，所以，所以，所以，故选：B.5（2023江苏徐州徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，分别在边上，与相交于点，记，则（）ABCD【答案】D【分析】根据题意过点作平行于，交于点，先利用三角形相似求出，然后利用向量的线性运算即可求解
10、.【详解】过点作平行于，交于点，因为，则为的中点，所以且，因为，所以，由可得：，所以，因为，所以，故选：.6（2023江苏南通海安高级中学校考一模）已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，垂足为，当时，（）ABCD【答案】B【分析】设，由求出，得到为的重心，为的中点，再利用平面向量基本定理求解即可【详解】解：设，则，或（舍去），为的重心，为的中点，故选：B7（2023福建泉州统考三模）已知平面向量、满足，则的最小值为（）ABCD【答案】C【分析】不失一般性，在平面直角坐标系中，设，根据平面向量数量积的坐标运算可得出、的值，以及的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得的最小值.【详解
11、】不失一般性，在平面直角坐标系中，设，因为，所以，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选：C.8（2023福建漳州统考二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，则（）ABCD【答案】C【分析】根据向量的运算法则得到，得到答案.【详解】，故.故选：C9（2023福建泉州校考模拟预测）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的
12、，若，为的中点，则（）ABCD【答案】A【分析】根据相似三角形，利用向量的分解可得解.【详解】如图所示，过点分别作，分别交，于点，则，所以，由已知得，则在中，所以，即，所以，即，所以，故选：A.10（2023山东威海统考一模）已知向量，若，则（）ABCD【答案】B【分析】由求得，再用倍角公式求即可.【详解】因为，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故选：B11（2023山东潍坊一中校联考模拟预测）已知等边三角形的边长为1，动点满足若，则的最小值为（）ABC0D3【答案】B【分析】利用平方的方法化简已知条件，结合基本不等式求得的最小值.【详解】，由两边平方得，即，当且仅当时等号成立，所以，所以的
13、最小值为.故选：B12（2023山东淄博统考一模）已知中，过点作垂直于点，则（）ABCD【答案】A【分析】根据求得，再用余弦定理求得，利用等面积法求得，勾股定理求得，从而，最后分解为已知向量即可.【详解】即，又因为，所以.在中，根据余弦定理可得：，即，根据三角形面积公式，解得，.故选：A13（2023山东枣庄统考二模）已知，是同一平面内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是（）ABC存在不全为0的实数，使D若，则【答案】D【分析】由平面向量数量的定义、共线向量定理可判断A，B，C；由可得，两边同时平方可得，同理可得，由向量的模长公式可求出可判断D正确.【详解】对于A，由可得，因为所以，故，
14、共线，共线，故A不正确；对于B，若，则，则，由向量共线定理可知，共线，故B不正确；对于C，存在不全为0的实数，使，由向量共线定理可得，共线，不满足，是不共线的向量，故C不正确；对于D，由可得，两边同时平方，则，则同理可得，所以，故D正确.故选：D.14（2023山东沂水县第一中学校联考模拟预测）已知等腰直角三角形中，分别是边，的中点，若，其中，为实数，则（）AB1C2D【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析运算.【详解】由题意可得：，若，则，可得，故.故选：D.15（2023湖北宜昌市一中校联考模拟预测）已知平面非零向量满足，则的最小值为（）A2B4C8D16【答案】
15、C【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可【详解】设非零向量，的夹角为.，所以，由两边平方得：，即，即，即当时，取得最小值，最小值为8.故选：C16（2023湖南湖南师大附中校联考模拟预测）如图，是平行四边形所在平面内的一点，且满足，则（）A2BCD1【答案】D【分析】运用向量线性运算及数量积运算求解即可.【详解】由已知，可得，又四边形为平行四边形，所以，所以.故选：D.17（2023广东校联考模拟预测）已知向量，满足，则（）ABCD【答案】D【分析】由数量积运算律及向量夹角公式可得，后可得.【详解】由题可知，所以，则为锐角，得，则.故选：D18（202
16、3广东江门统考一模）设非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）ABCD【答案】B【分析】根据向量模的性质由已知可求得，则按照在方向上的投影向量的定义求解即可.【详解】因为，所以，则，解得，所以在方向上的投影向量为.故选：B.二、多选题19（2023河北石家庄统考模拟预测）设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（）A若，则存在实数使得B若，则C若，则在方向上的投影向量为D若存在实数使得，则【答案】ABC【分析】根据平面向量的模、及线性运算的概念即可判断.【详解】当时，的方向相反且，则存在负实数，使得，故A正确D错误；若，则以为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，所以，故B正确
17、；若则的方向相同在方向上的投影向量为，故C正确故选：ABC.20（2023江苏连云港统考模拟预测）设，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则不与垂直D不与垂直【答案】AB【分析】A选项，两边平方计算出，得到垂直关系；B选项，计算出，得到垂直关系；C选项，计算出，得到垂直关系，D计算出，得到D正确.【详解】，是三个非零向量，A选项，两边平方得：，即，故，则，A正确；B选项，因为，所以，故，B正确；C选项，故，则与垂直，C错误；D选项，故与垂直，D错误.故选：AB21（2023河北河北衡水中学校考模拟预测）在中，且，则（）ABCD，使得【答案】ABCD【分析】
18、根据向量共线以及三角形的面积公式可判断A，根据不等式即可求解BCD.【详解】设中所对的边分别为，由，得，进而得，,，故A正确，由A知，所以，当且仅当取等号，因此，故B正确，,同理，当且仅当时取等号,因此存在使得，故D正确，所以，故C正确,故选：ABCD22（2023福建统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（）A与的夹角为B为定值C的最小值为D在上的投影向量为【答案】AD【分析】由题意可得：与的夹角，然后根据向量的运算逐项进行检验即可求解.【详解】设平面向量与的夹角为，因为对任意的实数t，恒成立，即恒成立，又，也即对任意的实数恒成立，所以，则，所以，故选项正确；对于，因为随的变化而
19、变化，故选项错误；对于，因为，由二次函数的性质可知：当时，取最小值，故选项错误；对于，向量上的一个单位向量，由向量夹角公式可得：，由投影向量的计算公式可得：在上的投影向量为，故选项正确，故选：.23（2023山东烟台二中校考模拟预测）已知向量满足，且，则（）ABCD【答案】ABD【分析】AD选项，由可得，后结合，可判断选项正误；BC选项，结合AD选项分析可得，据此可判断BC选项正误.【详解】AD选项，得，整理得由，得，整理得由及，得，所以，.故AD正确；BC选项，所以，所以反向共线，又，所以，.故B正确，C错误.故选：ABD24（2023江苏宿迁江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）已知向量，则下列
20、命题正确的是（）A存在，使得B当时，与垂直C对任意，都有D当时，与方向上的投影为【答案】BD【分析】根据平面向量共线、垂直的坐标表示和向量投影的相关知识逐项进行判断.【详解】对于，若，则有，即，所以不存在这样的，故选项错误；对于，若，则，即，得，故选项正确；对于，当时，故选项错误；对于，两边同时平方得，即，解得，设与的夹角为，在方向上的投影为，故选项正确，故选：.25（2023浙江统考一模）已知O为坐标原点，点，则（）ABCD【答案】ABC【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，因为，所以，故是正三角形，则，故A正确；对于B，因为
21、是正三角形，是的外心，所以是的重心，故，即，故B正确；对于C，故C正确；对于D，因为，则，所以，故D错误.故选：ABC.26（2023浙江校联考三模）在平面直角坐标系中，已知点，则（）AB是直角三角形C在方向上的投影向量的坐标为D与垂直的单位向量的坐标为或【答案】ABD【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A；求出向量、以及的模，根据勾股定理逆定理可判断B；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.【详解】因为，所以，A正确因为，所以，所以，即为直角三角形，B正确；设与同向的单位向量为，所以在方向上的投影向量为，C错误；因为，设与垂直
22、的单位向量为，则，解得或，故与垂直的单位向量的坐标为或，D正确，故选：ABD27（2023江苏南通模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则CD【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A，B，表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D.【详解】如图，
23、作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，由可得 ，且，若，则，解得，（负值舍去），故，A正确；若，则，所以，所以，故B正确；，由于，故，故，故C错误；由于，故，而，所以，所以，故D正确，故选：ABD三、填空题28（2023山东青岛统考一模）已知，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为_【答案】【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.【详解】根据题意可得：，设，因为向量，且与的夹角为钝角，所以所以，不妨令所以，故答案为：.29（2023湖南郴州统考三模）已知点，若过点的直线交圆于两点，则的最小值为_.【答案】#【分析】设为的中点，由垂径定理得出点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，由向量的运算可得，根据圆的性质得出即可得到答案.【详解】设为的中点，连接，则所以的轨迹是以为直径的圆，其圆心为，半径则由圆的性质可得所以故答案为：30（2023浙江温州统考二模）若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是_.【答案】【分析】根据，可求得，再根据向量的投影的计算公式计算即可.【详解】因为，所以，即，所以，则在方向上的投影为，因为，所以，所以在方向上的投影的取值范围是.故答案为：.