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1、 10.1.1 有限样本空间与随机事件有限样本空间与随机事件概率论的产生和发展概率论的产生和发展 概率论产生于十七世纪，传说早在概率论产生于十七世纪，传说早在1654年，有一年，有一个赌徒梅累向当时的数学家个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡帕斯卡提出一个使他苦恼提出一个使他苦恼了很久的问题：了很久的问题：“两个赌徒约定谁先赢满两个赌徒约定谁先赢满5 5局，谁就获局，谁就获得全部赌金。赌了半天，得全部赌金。赌了半天，A A赢了赢了4 4局，局，B B赢了赢了3 3局，时局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分该怎么分才理才理？这个问题
2、让帕斯卡这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就苦苦思索了三年，三年后也就是是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这年，荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了论赌博中的计算一书，这就一问题，结果写成了论赌博中的计算一书，这就是概率论最早的一部著作。近几十年来，随着科技的是概率论最早的一部著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。论、排队论、控制论等，都是
3、以概率论作为基础的。情境导学情境导学1.1.理解随机试验的概念、特点，理解样本点、样本空理解随机试验的概念、特点，理解样本点、样本空间及有限样本空间概念；间及有限样本空间概念；2.2.会表示有限样本空间、会求样本点、会用集合表示会表示有限样本空间、会求样本点、会用集合表示随机事件。随机事件。概念解析概念解析(1)试验可以在相同条件下试验可以在相同条件下重复重复进行；进行；(2)试验的所有可能结果是试验的所有可能结果是明确可知明确可知的的,并且并且不止一个不止一个；(3)每次试验总是每次试验总是恰好恰好出现这些可能结果中的一个，但出现这些可能结果中的一个，但事先事先不能确定不能确定出现哪一个结果
4、出现哪一个结果.我们我们把对随机现象的实现和对它的观察称为把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验随机试验（random experiment),简称试验，常用字母简称试验，常用字母E表示表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：一般一般地，我们用地，我们用(欧米伽欧米伽)表示样本空间，用表示样本空间，用表示样本点表示样本点.概念解析概念解析 我们我们把随机试验把随机试验E E的每个可能的基本结果称为的每个可能的基本结果称为样本点样本点，全体样本点的集合称为试验全体样本点的集合称为试验E E的的样本空间样本空间.如果一个随机试验有如果一个随机试验有n
5、n个可能结果个可能结果1 1,2 2,.,.,n n,则称样本空间则称样本空间=1 1,2 2,.,.,n n,为为有限样本空间有限样本空间.如图如图,一个电路中有一个电路中有A,B,CA,B,C三个电器元件，每个元件可能正三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)(1)写出试验的样本空间写出试验的样本空间;典例解析典例解析解：解：(1)(1)分别用分别用x x1 1,x,x2 2和和x x3 3表示元件表示元件A,BA,B和和C C的
6、可能状态，则这的可能状态，则这个电路的工作状态可用个电路的工作状态可用(x(x1 1,x,x2 2,x,x3 3)表示表示.进一步地，用进一步地，用1 1表示表示元件的元件的“正常正常”状态，用状态，用0 0表示表示“失效失效”状态状态，则则样本空间样本空间=(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),=(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).(0,1,1),(1,1,1).(2)“(2)“恰好两个元件正常恰好两个元件正常”等价于等价于(x(x1 1,x,
7、x2 2,x,x3 3),),且且x x1 1,x,x2 2,x,x3 3中恰有两个为中恰有两个为1 1,所以所以M=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1).M=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1).(2)(2)用集合表示下列事件：用集合表示下列事件：M=“M=“恰好两个元件正常恰好两个元件正常”；N=“N=“电路是通路电路是通路”；T=“T=“电路是断路电路是断路”.“电路是通路电路是通路”等价于等价于(x(x1 1,x,x2 2,x,x3 3),x),x1 1=1,=1,且且x x2 2,x,x3 3中至少有一个是中至少有一个是1,1,所以所以N=(1,1,0),(1,0
8、,1),(1,1,1)N=(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)。“电路是断路电路是断路”等价于等价于(x(x1 1,x,x2 2,x,x3 3)，x x1 1=0,=0,或或x x1 1=1,x=1,x2 2=x=x3 3=0.=0.所以所以T=(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0).T=(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0).写出下列试验的样本空间写出下列试验的样本空间(1)从含有两件正品从含有两件正品a1，a2和两件次品和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件的四件产品中任取两件，观察取出观察取出产品
9、的结果；产品的结果；该试验所有可能的结果如图所示该试验所有可能的结果如图所示:因此，该试验的样本空间因此，该试验的样本空间1aa1 1a a2 2，a a1 1b b1 1，a a1 1b b2 2，a a2 2b b1 1，a a2 2b b2 2，b b1 1b b2 2(2)(2)用红、黄、蓝三种颜色给图中用红、黄、蓝三种颜色给图中3 3个矩形随机涂色，个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况；每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况；如图，如图，若用若用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间试验的样本空间2?(3)(
10、3)将一枚骰子先后抛掷两次，观察它落地时朝上的面将一枚骰子先后抛掷两次，观察它落地时朝上的面的点数的点数第一次第一次第二次第二次1234561(1，1 1)(1，2 2)(1，3 3)(1，4 4)(1，5 5)(1，6 6)2(2，1 1)(2，2 2)(2，3 3)(2，4)(2，5 5)(2，6 6)3(3，1 1)(3，2 2)(3，3 3)(3，4 4)(3，5 5)(3，6 6)4(4，1 1)(4，2 2)(4，3 3)(4，4 4)(4，5 5)(4，6 6)5(5，1 1)(5，2 2)(5，3 3)(5，4 4)(5，5 5)(5，6 6)6(6，1 1)(6，2 2)(6
11、，3 3)(6，4 4)(6，5 5)(6，6 6)所以其样本空间所以其样本空间3(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)也可写也可写3(m，n)|1m6，1n6，m，nN*(4(4)连续抛掷连续抛掷3 3枚硬
12、币，观察落地时这枚硬币，观察落地时这3 3枚硬币朝上的面枚硬币朝上的面的情况；的情况；画树状图如图所示：画树状图如图所示：因此，这个试验的样本空间因此，这个试验的样本空间4(正，正，正正，正，正)，(正，正，反正，正，反)，(正，反，正正，反，正)，(正，反，反正，反，反)，(反，反，正，正正，正)，(反，正，反反，正，反)，(反，反，正反，反，正)，(反，反，反，反，反反)写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法：写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法：(1)(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必
13、须按一定的顺序，要做到不重列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏不漏(2)2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为纳为“有序实数对有序实数对”，也可用坐标法。，也可用坐标法。列表法的优点是准确、全面、不易遗漏列表法的优点是准确、全面、不易遗漏(3)(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步分步(两步及两步以上两步及两步以上)完成的结果可以用树状
14、图进行列举完成的结果可以用树状图进行列举随机事件随机事件：必然事件必然事件：不可能事件不可能事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件件(1)(1)中国足球队将在下届奥运会上获得冠军；中国足球队将在下届奥运会上获得冠军；(2)(2)小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；小李驾车通过几
15、个十字路口都将遇到绿灯；(3)(3)若若x xRR，则，则x x2 21111；(4)(4)抛一枚骰子两次，朝上的面的抛一枚骰子两次，朝上的面的数字之和大于数字之和大于12.12.随机事件随机事件随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件柜子里有柜子里有3 3双不同的鞋，随机抽取双不同的鞋，随机抽取2 2只，用只，用A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，C C1 1，C C2 2分别表示分别表示3 3双不同的鞋，其中下标为奇双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义件的含义(1)M(1
16、)M A A1 1B B1 1，A A1 1B B2 2，A A1 1C C1 1，A A1 1C C2 2，A A2 2B B1 1，A A2 2B B2 2，A A2 2C C1 1，A A2 2C C2 2，B B1 1C C1 1，B B1 1C C2 2，B B2 2C C1 1，B B2 2C C2 2；事件事件M M 的含义是的含义是“从从3 3双不同的鞋中随机抽取双不同的鞋中随机抽取2 2只，只，取出的取出的2 2只鞋不成双只鞋不成双”柜子里有柜子里有3 3双不同的鞋，随机抽取双不同的鞋，随机抽取2 2只，用只，用A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，C C1
17、 1，C C2 2分别表示分别表示3 3双不同的鞋，其中下标为奇双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义件的含义(2)N(2)N A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1，A A1 1C C1 1；事件事件N的含义是的含义是“从从3双不同的鞋中双不同的鞋中，随机抽取随机抽取2只只，取出的取出的2只鞋都是左脚的只鞋都是左脚的”柜子里有柜子里有3 3双不同的鞋，随机抽取双不同的鞋，随机抽取2 2只，用只，用A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，C C1 1，C C2 2分别表示分别表示3
18、 3双不同的鞋，其中下标为奇双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义件的含义(3)P(3)P A A1 1B B2 2，A A1 1C C2 2，A A2 2B B1 1，A A2 2C C1 1，B B1 1C C2 2，B B2 2C C1 1 事件事件P的含义是的含义是“从从3双不同的鞋中双不同的鞋中，随机抽取随机抽取2只只，取到的鞋一只是左脚的取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的一只是右脚的，且不成双且不成双”1.随机试验随机试验 可重复性、可预知性、随机性可重复性、可预知性、随机性2.样本空间、样本点样
19、本空间、样本点=1，2，n 写写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别特别注意题目注意题目的关键字，如的关键字，如“先后先后”“依次依次”“放回放回”“不放回不放回”等等3.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件课堂小结课堂小结跟踪训练跟踪训练 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘同时转动如图所示的两个转盘，记转盘得到的得到的数为数为x x，转盘，转盘得到的数为得到的数为y y，结果为，结果为(x x，y y)(1)(1)写出这个试验的样本空间；写出这个试验的样本空间；(2)(2)求这个试
20、验的样本点的总数；求这个试验的样本点的总数；(3)“(3)“x xy y5”5”这一事件包含哪几这一事件包含哪几个样本点？个样本点？“x3“x1”y1”呢？呢？(4)“(4)“xyxy4”4”这一事件包含哪几个这一事件包含哪几个样本点？样本点？“x xy y”呢？呢？解解:(1)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)(2)样本点的总数为样本点的总数为16.(3)“xy5”包含以下包含以下4个样本点：个样本点：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；“x1”包含以下包含以下6个样本点：个样本点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)(4)“xy4”包含以下包含以下3个样本点：个样本点：(1,4),(2,2),(4,1)；“xy”包含以包含以下下4个样本点：个样本点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)