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1、数学课程标准解读与思考：一种新型小学数学教学方式的探索与实践本文所说的数学小课题研究，并非指教师基于解决教学问题而开展的小微课题研究，而是指学生的小课题研究，其实质是学生学习数学的一种新方式，也是数学教学的一种新方式。数学小课题研究的探索与实践始于2005年，是日照市小学数学教师在教研员李军老师带领下进行的一项教学改革，以数学新课程基本理念为指导，以培养学生数学素养为目的，主要借鉴了荷兰数学家弗莱登塔尔的数学教育思想。经过十几年的艰苦跋涉、一步一个脚印的摸索，走出了一条深化课程改革、激发学生数学学习热情、提高教学效率、提升教师专业水平的独具特色的小学数学教学改革之路，形成了数学小课题研究的基本
2、特色，积累了有益的经验和有效的策略方法。 一、数学小课题研究的基本特色数学小课题研究具有小学数学探究式学习的很多特性，因此，可以把数学小课题研究看作是小学数学探究式学习方式的深化和发展。数学小课题研究和探究式学习一样，都是以探究问题为手段，尊重个性发展，强调学生的主动性，强调学生的体验和感悟。但数学小课题研究与探究式学习又有明显的不同，具有很多自己的特性。（一）数学小课题研究探究的内容更具广阔性探究式学习主要限于单位时间内完成了哪些规定教学任务，因此，探究的内容一般是教材上适合于采取探究式学习的内容。数学小课题研究不以课本上的内容作为唯一内容，突破了课本的限制，既可以学习研究课本上的数学内容，
3、也可以学习研究课本外的数学内容。而研究课本外的内容因为没有固定的模式，没有现成的答案，只能师生共同去面对，因而往往更具有挑战性和吸引力，也更有利于改变传统的教学方式和学习方式。实事上，数学小课题研究就是从课外研究开始的。如，人的头发有多少根，下水道井盖的形状，电话与生活，牛奶盒的包装等。有了一定经验积累之后，才将数学小课题研究用于研究课本内容。当然，采用数学小课题研究，对教学内容往往也进行了重新调整，不受教材编排的限制。通过研究，有的学生能获得比教材内容更深更广的知识。如，哥德巴赫猜想，4、7、9倍数的特征，圆锥的侧面积等。只要学生的知识经验和能力水平允许，其研究的内容可以更广阔。（二）数学小
4、课题研究探究的方式更具综合性在探究式学习中，教师往往把一个大问题逐层分解为若干个小问题，学生在进行各种探究活动时，需要依靠教师提供大量的问题引导和其它相关支持才能在限定的时间内完成，带有一定的单一性。数学小课题研究采用指导学生做研究的方式，运用“再创造”的方法学习数学。通过提出数学问题，进而形成研究课题，依靠学生自身的知识储备和能力储备，时而自主、时而合作、时而作图、时而调查、时而操作、时而验证，经历、体验研究数学的整个过程。在这个过程中，学生就像是研究生进行科学研究一样比较独立，不断地找到有用的数学方法、数学原理，经历数学概念的形成过程，不断提升数学素养。因此，数学小课题研究是一种完全探究，
5、综合性更强。（三）数学小课题研究探究的时间、空间更具开放性一般情况下，探究式教学是在课堂上完成的，时间和空间有限。数学小课题研究更多的采用让学生课前进行充分研究，课上交流的方式，从而改变了课上学习，课下训练的传统做法。这就打破了课上与课下的界限，研究的时间和空间更具开放性。也使“先学后教”、“以学定教”的思想和理念得到了很好的展现。因为学生在课前已经进行了初步的研究，所以教学的起点前移了，学生不是一张白纸。而不同的研究小组、不同的学生，研究的成果会有所不同，这样展示和交流就很有必要，而此时学生已经有了足够的时间和能力证明自己研究成果的准确性，从而使课堂成了学生激烈辨论，进行思维碰撞的场所。（四
6、）数学小课题研究探究的目标更具有多元性在一般的探究式教学中，教师往往把教学结果看得更重一些，将完成规定的教学任务作为主要追求。而通过数学小课题研究，学生得出的研究成果可能很朴素、很不成熟,甚至有很多错误，但是这些“半成品”更有利于在课堂上引发学生的再研究，使研究成果不断得到修正和完善。在评价学生的学习成果时，更多地注重研究的过程性体验，注重培养数学研究能力、数学思辨能力、创新意识和实践能力，注重学生数学素养的提升。因而，教学目标更多元。（五）数学小课题研究探究的深度更具层次性 探究式学习虽然强调了学习的主动性、活动性，但因为时间的限制，教师对学习内容往往是指定的，并要求学生步调一致，因而学生的
7、数学能力差异很难得到充分展现。在数学小课题研究中，教师以平等参与者身份介入， 指导不指令，参谋不代谋。而且教师往往会根据学生研究深度的不同，将学生划分在不同的小组。能力强的学生研究得深，得到的研究成果思维含量高，能力差的学生研究得浅，得到的研究成果思维含量低，能够真实反映学生之间的差距。在展示交流时，不同研究层次的研究成果都得以展示，并成为有效的教学资源，使先进学生能够获得成功体验，使后进学生得到启发。经过激烈辨析，做进一步的改进、完善、梳理、拓展、提高，促使不同的学生在数学上都能得到发展。 二、通过数学小课题研究积累的有益经验通过十几年的探索与实践，我们针对不同教学内容和不同课型如何实施数学
8、小课题研究积累了大量经验，形成了具有浓郁数学小课题研究特色的专题教学研究经验。（一）单元统整教学经验不可能所有的课都要提前几天进行研究，没有这么多时间。而且，有的数学内容难度不大，完全可以在课堂上进行研究学习。因此，可以采取单元统整的方式，和常规课穿插进行。实践证明，采用这种方式能节约时间，而且教学效果高。1.以单元为单位，整体把握教学任务目标确定哪些内容适合采用小课题研究的方式，哪些不适合采用小课题研究方式。打破教材编排顺序，根据数学小课题研究原则和教学实际进行合理调整，及早做好与常规课的穿插安排。比如，在上一个单元快结束的时候布置研究课题，然后上常规课，在上常规课的同时指导学生在课下进行研
9、究，然后在适当的时间进行研究成果展示交流。2.练习时间更为充足由于采用数学小课题研究方式，将本来要在课堂上进行的学习时间转移到了课下，这样就节约了课上时间。这样有两大好处：首先能够安排足够的练习课，加大了练习量，对于学生特别是后进生巩固已学过的知识大有好处；其次，为下一课题的研究提供了足够的时间，便于学生进行充分地研究与交流，也便于教师提供充分的指导和帮助，为课堂上的展示交流做好充分的准备。（二）图形与几何教学经验 图形与几何是数学小课题研究最先探索的教学内容。相对其它教学内容，较为容易把握。1.增加了学生研究图形与几何的时间在常规教学中，由于每节课只有40分钟，学生没有足够的时间去探究，智力
10、水平高的学生浅尝辄止，不会得到更深入更独特的方法和规律，智力水平低的学生刚刚跟上或跟不上教学节奏。运用数学小课题研究，则可以让学生在课前进行研究，不同层次的学生都有充足的时间进行活动。事实证明，在研究阶段，有的学生用的时间长，几天都找不到一点眉目，有的学生用的时间少，几十分钟就能有初步的想法，真实反映了学生之间的差距。2.增强了动手操作、合作交流等学习方式的实效性在常规课堂上，由于时间太短，教师为了完成教学任务，往往仅仅发出一系列指令性动手操作命令。学生没有结合思维去进行活动，动脑与动手割裂。而运用数学小课题研究，能够以研究任务为导向，激励、吸引着学生经历充分的观察、猜想、思考、计算、实验、推
11、理、联想、概括、争辩、获得共识，动脑与动手有机结合在一起。而且，因为共同的研究任务结合在一起的研究小组，能够进行真正的合作交流。3.有利于培养学生的空间观念在常规课堂上，学生往往在教师的引导下形成概念，得出规律和方法后，通过大量的练习去运用和巩固。学生面对的主要是书面题目，运用的是判断、推理和计算等。而运用数学小课题研究，则需要学生带着研究任务，用大量的时间去观察、拼摆、切割、测量、移动等，对位置、方向、大小、形状、变换会有更加深刻的认识，这些都有利于学生空间观念的发展。（三）复习教学经验常规复习课上，往往由教师引导学生对本阶段学习内容进行回顾、梳理、总结和提升，在此基础上，选做一些练习题目，
12、教师很累，学生也很累，复习效率低。我们运用数学小课题研究方式对复习教学进行了大胆尝试，提升了复习效率。1.有利于培养学生主动学习能力由于提前让学生自己去整理、复习，学生会运用表格、文字、图画等方式回顾所学内容，将过去有疑问、不理解的内容做进一步的思考，将过去经常出现错误的问题进行反思。这样，变被动复习为主动复习，提高了学生的复习效率，进而也提高了学生的主动学习能力。2.增加了复习课的容量常规复习课容量很小，需要教师帮助学生唤醒从前的记忆，总结梳理环节就占了大量时间，课堂练习时间很少。运用数学小课题研究，能够让学生提前进行整理复习，在课堂上他们是有备而来的，通过学生展示交流，学生会有共鸣，经过辨
13、析，会解决学生心中的疑难问题，通过师生共同梳理提升，在原有的基础上有更大的进步，也有更多的时间做练习。（四）计算教学经验我们采用数学小课题研究方式对如何改进计算教学进行了大胆探索，形成了有益的经验。1.有利于学生尽快熟练地掌握计算技能由于可以在课前进行先期学习，不同层次的学生根据自身实际有充分的时间进行计算的运用、练习、巩固活动，使学生对计算原理、计算方法、计算技能、计算技巧经历了解、理解、掌握、熟练掌握的过程，弥补课上时间不足的缺点。2.有利于学生经历计算方法形成的全过程教师布置有关计算方面的研究任务后，指导学生进行研究，运用“再创造”的方法得出计算方法，经历计算方法从不规范到规范的过程，由
14、于是自主探索得出的，使学生不仅知其然，更知其所以然，对算理更加明确，对算法更容易掌握。3.有利于算法多样化的个性化体现和层次性展现由于是学生自己去研究计算方法，每个人的智力水平和研究侧重点不同，就会出现许多个性化的研究结果，真正实现数学课程标准倡导的算法多样化。这些计算方法也具有不同的层次性，智力水平低的学生研究得出的计算方法较为粗燥和肤浅，智力水平高的学生研究的计算方法较为高深和独特，也就使数学课程标准倡导的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”得以实现。而且这些不同层次的计算方法在课堂上进行展示交流的时候能够成为可贵的教学资源，使学生的思维产生碰撞，起到非常好的教学
15、效果。4.有利于学生经历算法优化的自觉形成和辨析过程算法多样化是为了体现个性特色，照顾个性差异。追求最优化是必由之路，也是渗透数学优化思想的需要。但是追求优化是一个自觉、漫长的过程，不是一蹴而就的，更不是强加于学生的。学生通过课前充分的自主研究，在教师的指导、同伴的帮助下，会不断超越自己，自觉经历算法优化的过程，经过课堂展示交流、学生激烈辨析、教师总结梳理提升，学生会有一个飞跃，经历更加完整的算法优化过程。（五）概念教学经验当前概念教学存在的问题和不足有很多。第一，过于强调概念的语言描述，偏重于死记硬背。很多教师认为只要学生将概念能够用语言准确、完整地表述了，并且背下来，就理解了概念，就完成了
16、概念教学目标。其实，很多时候学生对于概念的本质并不理解，没有掌握，不能灵活运用。第二，概念的出现过于生硬和仓促。很多教师没有让学生经历概念产生的过程，在很短的时间内就将概念的语言描述和盘托出，很多学生并不明白概念产生的意义和价值，体会不到概念产生的必要性。第三，让学生通过反复练习才能理解概念。很多教师采用加大练习量，运用变式练习等办法，促进学生去记忆、理解、掌握概念，记住关键词语，学会做涉及有关概念的题目。这不仅强化了被动学习，也增加了学生学习负担。通过数学小课题研究，学生对概念的学习不再是偏重于死记硬背，而是深度的理解，我们这一大胆的改革尝试，纠正了传统概念教学存在的若干问题。1.让学生体验
17、到概念产生的必要性数学概念不是无缘无故产生的，是在解决实际问题过程中逐步产生的。因为有课前充分的研究，学生为了解决实际问题，会适当重复数学家曾经经历的探索过程，运用“再创造”方法，将概念“创造”出来，在运用的过程中，体会到概念产生的必要性。2.让学生经历语言描述的逐步完整、规范过程概念的产生，一开始并不是完整、规范的语言描述，完整、规范的语言描述是在概念运用过程中逐步完成的，概念的运用一般会早于完整、规范的语言描述。因为有学生在课前逐步深入的研究中，概念逐步明确，再经过课堂展示交流和辨析，师生共同梳理总结提升，完成概念语言描述的完善过程。3.有利于消除“违反教学法的颠倒”现象荷兰数学家弗赖登塔
18、尔认为当下存在“违反教学法的颠倒”的现象。比如概念的产生、应用的顺序，不是先有概念，然后去应用，而是先在解决实际问题中应用，逐步体会到概念的价值和作用，然后再用完整、规范的语言加以描述。现在的概念教学和历史上数学概念的产生、应用在顺序上是颠倒的，这就是“违反教学法的颠倒”现象。运用数学小课题研究，让学生在课前为了解决问题去做研究，创造出概念去应用，然后在课堂上学会用完整、规范的语言加以描述，就将数学概念教学的顺序颠倒了回来，消除了“违反教学法颠倒”现象。（六）统计与概率教学经验统计与概率是课改以后增加内容最多的部分。基层教师在教学实践中遇到不少的问题和困惑。通过数学小课题研究，我们对如何改进统
19、计与概率教学进行大胆探索，积累了有益经验。1.使课堂上学生的操作活动时间难以控制问题得到解决常规统计与概率课堂上，经常设计许多由学生完成的填、涂、摆、拼、抓等操作活动，由于学生差异较大，有的学生很快完成，有的学生很长时间才能完成。如果将就快的学生，会使得课堂教学有点赶，慢的学生跟不上；如果将就慢的学生，不仅对快的学生产生消极影响，也会延长课堂教学时间，造成拖堂。运用数学小课题研究，能够让学生在课前先期进行学习，在课前有充足的时间完成各种操作活动，由学生差异而造成的操作时间长短不一问题就不会影响课堂教学时间。2.使学生真正经历数据的收集、整理、描述、分析全过程在常规课堂上，数据一般由教师或课本、
20、练习题目提供，学生仅仅完成数据的填写、涂色等活动，在此基础上进行简单的数据分析。由于数据是别人提供的，学生对于数据的感觉比较遥远。运用数学小课题研究，则可以让学生在课前先期学习，就能有充足的时间去收集现实生活中的数据，在此基础上，再经历数据的整理、描述、分析过程。只有这样，学生才能亲近数据，也才能真正学会统计。3.使学生经历统计图表的创造、完善过程常规课堂上，很多教师将学生如何学会完成统计图表作为教学重点，只要学生学会了如何完成统计图表，就认为完成了教学目标。统计图表也大多由教师直接呈现出来，学生认识不到统计图表是怎样产生的，为什么产生。统计图表的规范要求也是由教师提出的，学生没有经历统计图表
21、由不规范到规范的过程。运用数学小课题研究，可以引导学生为了解决实际问题去研究，运用“再创造”得到统计图表的雏形，在进一步的研究中，在课堂展示交流、辨析和总结梳理后，不断完善，形成规范的统计图表。这样，学生既体验到了统计图表产生的必要性，又经历了由不规范到规范的过程，培养了创新精神和实践能力。 三、有效实施数学小课题研究的策略方法我们的实验教师以及观摩数学小课题研究展示课的老师往往一次又一次地被学生清晰的思维、严谨的态度、深入的研究、合理的质疑、真心的探讨、条理的表达、严肃的氛围所吸引。但事情往往说起来容易，做起来难。其实，数学小课题研究，其精彩在课堂，功夫在背后。（一）正确认识数学小课题研究的
22、意义相比较常规教学，数学小课题研究要求师生付出更长的时间，且见效较慢。如果教师把数学小课题研究看作是一种负担，则会使课题研究浮于表面，造成研究成果脱离不了书本上已有的结论这样的情况出现。这主要是因为教师还没有认识到开展数学小课题研究的意义。“墨辩”提出三种知识：一是亲知，二是闻知，三是说知。亲知是亲身得来的，就是从“行”中得来的。“行”是学生获得知识的重要来源，也是学生能力培养和发展的重要途径。作为教师要指导好学生的小课题研究，其自身也要亲历亲为，深入研究，这样教师才能有所把握，才能有进一步开展小课题研究的尺度。所以，“行是知之始”是对师生两者的教与学而言的。数学小课题研究的过程，是师生收获的
23、过程。从教师的变化来看。教师在指导小课题研究的过程中，通过亲身实践、真实交流、不断反思、经验积累和所需理论的学习，促进了自身的改变。一是实现实验教师的角色转变。开展数学小课题研究后，教师会感受到了学生隐藏着的巨大潜能，充分认识到学生自主学习、探究学习的可能性，教师的“教”不断让位于学生的“学”。在对待不同学生的方式与态度上，也向尊重学生差异、符合学生个人特点的方向转变。权威式的师生关系让位于平等的、负责的、互相尊重的交往方式。在这个过程中，教师实现了由原来的课堂“权威者”到“服务者”的角色转变。二是带动全体教师的专业成长。教师之间相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充、相互合作，分享彼此的成功
24、、经验和知识，交流彼此的情感、体验和发现，从而达到共识、共享、共进。从学生的变化来看。一是获得积极体验。数学小课题研究不仅是为了更好地理解、掌握结论，还在于过程本身。学生自主参与类似于科学研究的学习活动，获得了亲身体验，逐步形成了善于质疑、乐于探究、勤于动手、努力求知的积极态度，激发了探索和创新的欲望。二是提高综合素养。在数学小课题研究过程中，学生利用多种手段，通过多种途径获取信息的能力，提出解决问题设想的能力、收集资料的能力、分析资料和得出结论的能力，以及表达思想和交流成果的能力等都得以施展和提高。三是改进学习方式。在数学小课题研究中，学生或动手操作，或画图填表，或调查询问，或查阅书籍，或网
25、络搜索。小组合作研究和汇报时，学生之间相互配合、相互学习、相互启发，学会了倾听和表达，学会了交流和分享探究的信息、创意和成果。这些学习方式在数学小课题研究中得到普遍应用，更难得的是数学小课题研究使学生应用各种学习方法成为一种习惯。（二）合理选择数学小课题研究的内容有的老师进行数学小课题研究时，选择的内容不明确、不合理，主要体现在：一是局限于教材，不能依据教材进行拓展开发；二是不切合生活实际，脱离学生的认知基础和生活经验；三是研究的内容没有深度，把常规课能轻松解决的问题采用数学小课题研究方式进行解决。如前文所述，数学小课题研究内容有很多，可以是教材内容，也可以依据教材内容进行拓展开发，还可以是实
26、际生活中的数学问题等。（三）逐步积累数学小课题研究经验。数学小课题研究要避免预习课本化，课堂上的成果展示要避免“照本宣科”化，就需要关注到课堂背后的东西。刚开始进行数学小课题研究，教师对学生研究的指导可以详细一些，导向性强一些，设计一些类似于探究式的“前置性作业”表进行过渡，然后再逐步放开。（四）适度指导数学小课题研究的方法。数学小课题研究不是不要教师的指导，但这种指导不能像常规课堂上的探究式学习一样将问题逐层分解，需要以研究课题为引导。如果指导过细，就会像一根绳子拴住了学生，让学生的研究走不远。但如果缺乏指导，会造成学生跑不动或研究单一的现象发生。教师要根据不同层次和不同的研究方向进行方法上
27、和相关知识上的指导和帮助。另外，学生的汇报也需要进行指导和训练。一开始，学生的汇报时常并不条例，说不到关键点上，而听的学生不管是否能够听得懂也没有质疑。主要原因在于学生在研究时思路就不够清晰，也没有考虑如何组织语言；再者研究的内容难度不大，学生不屑于质疑，也可能学生本身就没有质疑的习惯。不管是有条理的汇报能力还是课堂辩析能力，都不是在短时间内能够培养出来的，需要经常进行这方面的训练。总之，数学小课题研究是我们经过长期实践，探索出的一条真正意义上的深度学习。它能够激发学生学习兴趣，促使学生积极主动地学习，并乐此不疲，减轻了学习负担。学生通过研究，不断得到研究成果，不断解决问题，不断质疑问难，消除了数学给人苦涩、艰深、难以理解的印象，数学素养不断得到提升，为将来的发展打下坚实的基础。教师也在研究过程中，不断提升自身素养，变得更加专注、更加专业、更加从容。