《数学（文）知识清单-专题08 平面向量（考点解读）（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（文）知识清单-专题08 平面向量（考点解读）（原卷+解析版）.pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1专题专题 8平面向量平面向量高考侧重考查正、余弦定文与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现高考仍将以正、余弦定文的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力1向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量(2)零向量的模为 0，方向是任意的，记作 0.(3)长度等于 1 的向量叫单位向量(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量零向量和任一向量平行2共线向量定文向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当存在唯一一个实数，使 ba.3平面向量基本定文如果 e1、e2是同
2、一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1、2，使 a1e12e2.4两向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，在平面上任取一点 O，作a，b，则AOB(0180)叫作 a 与 b 的夹角5向量的坐标表示及运算(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)6平面向量共线的坐标表示已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a 与 b 共线27平面向量的数量积设为 a 与 b 的夹角(1)定义：ab|a|b|
3、cos.(2)投影：ab|b|a|cos叫做向量 a 在 b 方向上的投影8数量积的性质(1)abab0；(2)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|；特别地，aa|a|2；(3)|ab|a|b|；(4)cosab|a|b|.9数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)abx1x2y1y2；(2)|a|x21y21；(3)abx1x2y1y20；(4)cosx1x2y1y2x21y21 x22y22.【误区警示】1两向量夹角的范围是0，ab0 与a，b为锐角不等价；ab0 与a，b为锐角不等价；ab0 与a，b为钝角
4、不等价2点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别3a 在 b 方向上的投影为ab|b|，而不是ab|a|.4若 a 与 b 都是非零向量，则ab0a 与 b 共线，若 a 与 b 不共线，则ab00.高频考点一高频考点一平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算例 1(2018高考全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC11【解析】如图，EBBE12(BABD)12AB14BC12AB14(ACAB)34AB14AC.【答案】A【变式探究】2017 山东，
5、文 11】已知向量 a=（2,6）,b=(1,),若 a|b,则.【答案】-3【解析】由 a|b 可得1 623.【变式探究】已知向量 a(m,4)，b(3，2)，且 ab，则 m_.【解析】基本法：ab，ab即(m,4)(3，2)(3，2)m3，42，故 m6.速解法：根据向量平行的坐标运算求解：a(m,4)，b(3，2)，abm(2)4302m120，m6.【答案】6【方法技巧】平面向量线性运算的两种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常
6、利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b0 时，ab存在唯一实数，使得 ab)来判断【变式探究】(1)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC()12A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)【解析】基本法：设 C(x，y)，则AC(x，y1)(4，3)，所以x4，y2，从而BC(4，2)(3,2)(7，4)故选 A.速解法：AB(3,2)(0,1)(3,1)，BCACAB(4，3)(3,1)(7，4)【答案】A【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标
7、)求解(2)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A.ADB.12ADC.BCD.12BC【解析】基本法一：设ABa，ACb，则EB12ba，FC12ab，从而EBFC12ba12ab12(ab)AD，故选 A.基本法二：如图，EBFCECCBFBBCECFB12(ACAB)122ADAD.【答案】A高频考点二高频考点二平面向量数量积的计算与应用平面向量数量积的计算与应用例 2(2018高考全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()A4B3C2D013【解析】a(2ab)2a2ab2(1)3.【答案】B【变式探究】(2017高考
8、全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA(PBPC)的最小值是()A2 B32C43D1【解析】法一：设 BC 的中点为 D，AD 的中点为 E，则有PBPC2PD，则PA(PBPC)2PAPD2(PEEA)(PEEA)2(PE2EA2)而 AE232234，当 P 与 E 重合时，PE2有最小值 0，故此时PA(PBPC)取最小值最小值为2EA223432.法二：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则 A(1,0)，B(1,0)，C(0，3)，设 P(x，y)，取 BC 的中点 D，则 D12，32.PA(PBP
9、C)2PAPD2(1x，y)12x，32y2 x1x12 yy32142x142y34234.因此，当 x14，y34时，PA(PBPC)取得最小值，为 234 32，故选 B.【答案】B【变式探究】(1)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC()A30B45C60D120【解析】通解：根据向量的夹角公式求解BA12，32，BC32，12，|BA|1，|BC|1，BABC1232321232，cosABCcosBA，BCBABC|BA|BC|32.0BA，BC180，ABCBA，BC30.优解：如图，以 B 为原点建立平面直角坐标系，则 A12，32.ABx60，C32，12 CBx
10、30，ABC30.【答案】A【变式探究】(1)向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1B0C1D2【解析】基本法：因为 2ab2(1，1)(1,2)(2，2)(1,2)(1,0)，所以(2ab)a(1,0)(1，1)110(1)1.故选 C.速解法：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.故选 C.15【答案】C【方法规律】1一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法解决向量的夹角问题主要是利用公式“cosa，bab|a|b|”将向量的夹角问题转化为数量积
11、及模的问题来解决2求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单(2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD_.【解析】基本法：以AB、AD为基底表示AE和BD后直接计算数量积AEAD12AB，BDADAB，AEBDAD12AB(ADAB)|AD|212|AB|22212
12、222.速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解如图，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，AE(1,2)，BD(2,2)，16AEBD1(2)222.【答案】2高频考点三高频考点三平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算例 3、(2019高考全国卷)已知AB(2,3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC()A3 B2C2D3【解析】BCACAB(3，t)(2,3)(1，t3)，|BC|1，12t321，t3，BC(1,0)，ABBC21302.故选
13、 C.【答案】C【举一反三】(2018高考全国卷)已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则_.【解析】由题意得 2ab(4,2)，因为 c(1，)，c(2ab)，所以 420，解得12.【答案】12【变式探究】平面向量 a(1，m)，b(4，m)，若(2|a|b|)(ab)0，则实数 m_.【解析】由题意可得 ab(5,2m)，则 2|a|b|0，即 2|a|b|，亦即 42m22 1m2，解得 m2.【答案】21【2019 年高考全国 I 卷文数】已知非零向量 a，b 满足|2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为A6B3C23D56【答案】B17【解析】
14、因为()abb，所以2()ab ba bb=0，所以2a bb，所以cos=22|12|2a bbabb，所以 a 与 b 的夹角为3，故选 B2【2019 年高考全国 II 卷文数】已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=A2B2C52D50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)ab，所以22|(1)12ab，故选 A.3【2019 年高考北京卷文数】已知向量a=（4，3），b=（6，m），且ab，则 m=_【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m，abab则04 6308mm ，a b.4【2019 年高考全国 III 卷文数】已知向量(2,2),(8
15、,6)ab，则cos,a b_.【答案】210【解析】2222282 62cos,|1022(8)6 a ba ba b5【2019 年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE _【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30，2 3,5,ABAD则(2 3,0)B，5 3 5(,)22D.因为ADBC，30BAD，所以30ABE，因为AEBE，所以30BAE，18所以直线BE的斜率为33，其方程为3(2 3)3yx，直线AE的斜率为33，其方程为33yx.由3(2 3),333yxyx 得3x，1y
16、 ，所以(3,1)E.所以3 5(,)(3,1)122BD AE .6【2019 年高考江苏卷】如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE交于点O.若6AB ACAO EC ，则ABAC的值是_.【答案】3.【解析】如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 的中点，知 BF=FE=EA,AO=OD19 3632AO ECADACAEABACACAE ，223131123233ABACACABAB ACABACAB AC 22223 21132 3322AB ACABACAB ACABACAB AC ，得22
17、13,22ABAC 即3,ABAC 故3ABAC7【2019 年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为 1，当每个(1,2,3,4,5,6)ii取遍时，123456|ABBCCDDAACBD 的最小值是_；最大值是_.【答案】0；2 5.【解析】以,AB AD分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)ABBCCDDAACBD ,令2212345613562456yABBCCDDAACBD 00.又因为(1,2,3,4,5,6)ii可取遍1，20所以当1345621,1 时，有最小值min0y.因为135和245的取值
18、不相关，61或61，所以当135和245分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1 时，有最大值22max24202 5y.故答案为 0；2 5.1.（2018 年浙江卷）已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为，向量 b满足 b24eb+3=0，则|ab|的最小值是A.1B.+1C.2D.2【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径 1，为选 A.2.（2018 年天津卷）在如图的平面图形中，已知,则的值为A.B.C.D.0【答案】C【解析】如图所示，连结 MN，由可知点分别为线段上靠近点 的三等分点，则，由题意
19、可知：，21结合数量积的运算法则可得：.本题选择 C 选项.3.（2018 年全国卷）已知向量，满足，则A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因为，所以选 B.4.（2018 年全国 I 卷）在中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选 A.5.（2018 年全国 III 卷）已知向量，若，则_【答案】22【解析】由题可得,即故答案为6.（2018 年天津卷）已知函数 f(x)=exlnx，为 f(x)的导函数，则的值为_【答案】e【解析】由函数的解析式可得：，则：.即的值为 e.7.（2018 年北京卷）设向量 a=（1,0），b
20、=（1,m）,若，则 m=_.【答案】【解析】，由得：，即.8.（2018 年江苏卷）在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，以 AB为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若，则点 A 的横坐标为_【答案】3【解析】设，则由圆心 为中点得易得，与联立解得点 D 的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以1.【2017 课标 II，文 4】设非零向量a，b满足+=-bbaa则A.abB.=baC.abD.ba【答案】A【解析】由|abab平方得2222()2()()2()aabbaabb，即0ab，则ab，故选23A.2.【2017 山东，文 11】已知向量 a=（2,6）,b=(1,
21、),若 a|b,则.【答案】-3【解析】由 a|b 可得1 623.3.【2017 北京，文 12】已知点 P 在圆22=1xy上，点 A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP 的最大值为_【答案】6【解析】所以最大值是 6.4.【2017 课标 3，文 13】已知向量(2,3),(3,)abm，且ab，则 m=.【答案】2【解析】由题意可得：2 330,2mm .5.【2017 天津，文 14】在ABC 中，60A，AB=3，AC=2.若2BDDC，AEACAB （R），且4AD AE ，则的值为.【答案】311【解析】0123 2 cos603,33AB ACADABAC ,则1
22、22123()()3493433333311AD AEABACACAB .6.【2017 课标 1，文 13】已知向量 a=（1，2），b=（m，1）若向量 a+b 与 a 垂直，则 m=_【答案】7【解析】由题得1,3abm，因为0aba，所以12 30m ，解得7m7.【2017 江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为 1,1,2,OA 与OC的夹角为,且 tan=7,OB 与OC的夹角为 45.若OCmOAnOB (,)m nR,则mn.ACBO(第 12 题)【答案】324【解析】由tan7可得7 2sin10，2cos10，根据向量的分解，易得cos45co
23、s2sin45sin0nmnm，即22221027 20210nmnm，即510570nmnm，即得57,44mn，所以3mn.8.【2017 江苏，16】已知向量(cos,sin),(3,3),0,.xxxab（1）若 ab,求 x 的值；（2）记()f x a b,求()f x的最大值和最小值以及对应的x的值.【答案】（1）56x（2）0 x 时，f x取到最大值 3；56x 时，f x取到最小值2 3.【解析】（1）因为cos,sinaxx，3,3b，ab，所以3cos3sinxx.若cos0 x，则sin0 x，与22sincos1xx矛盾，故cos0 x.于是3tan3x .又0,x
24、，所以56x.（2）cos,sin3,33cos3sin2 3cos6fxa bxxxxx.因为0,x，所以 7,666x，从而31cos62x.于是，当66x，即0 x 时，f x取到最大值 3；当6x，即56x 时，f x取到最小值2 3.1.【2016 高考新课标 2 文数】已知向量(1,)(3,2)am a，=，且()abb+，则m（）25（A）8（B）6（C）6（D）8【答案】D【解析】向量ab(4,m2)，由(ab)b得4 3(m2)(2)0 ，解得m8，故选 D.2.【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个三等分点，4BC CA ，1B
25、F CF ，则BE CE 的值是.【答案】78【解析】因为222211436=42244ADBCFDBCBA CABCADBCAD （）（），2211114123234FDBCBF CFBCADBCAD （）（），因此22513,82FDBC ，2222114167.22448EDBCFDBCBE CEBCEDBCED （）（）3.【2016 年高考四川文数】在平面内，定点 A，B，C，D 满足DA=DB=DC,DA DB=DB DC=DCDA=-2，动点 P，M 满足AP=1，PM=MC，则2BM 的最大值是()（A）434（B）494（C）376 34（D）372 334【答案】B【解析】
26、甴已知易得1220,DAADCADBDDBDCBC .以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则2,0,1,3,1,3.ABC设,P x y由已知1AP ，得2221xy，又1313 3,2222xyxyPMMCMBM 26222+13 34xyBM，它表示圆2221xy上的点xy，与点1,3 3的距离的平方的14，2222max14933 3144BM，故选 B.4.【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个三等分点，4BC CA ，1BF CF ，则BE CE 的值是.【答案】78【解析】因为222211436=42244ADBCFDBCBA CABCADBCAD （）（），2211114123234FDBCBF CFBCADBCAD （）（），因此22513,82FDBC ，2222114167.22448EDBCFDBCBE CEBCEDBCED （）（）