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1、绝密启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按
2、以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知，则（ ）A.B.C.D.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A.2B.C.4D.4.下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）A.B.C.D.5.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A.13B.12C.9D.66.若，则（ ）A.B.C.D.7.若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A.B.C.D.8.有6个相同的球，分
3、别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中（），c为非零常数，则（ ）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同
4、C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同10.已知为坐标原点，点，则（ ）A.B.C.D.11.已知点在圆上，点，则（ ）A.点到直线的距离小于10B.点到直线的距离大于2C.当最小时，D.当最大时，12.在正三棱柱中，点满足，其中，则（ ）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数是偶函数，则_.14.已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且.若，则的准线方程为_.15.函数的最小值为_.16.某校学生在研究
5、民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.18.（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类
6、问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.（12分）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.20.（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱
7、上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.21.（12分）在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.22.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.2021年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案一选择题：1. B 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. D 8. B 二选择题：9. CD 10. AC 11. ACD 12. BD 三填空题：13.1 14. 15. 1 16. . 5 . 四解答题：17. （1）；（2）.18
8、. （1）由题可知，的所有可能取值为，；所以的分布列为（2）由（1）知，若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，；所以因为，所以小明应选择先回答类问题19. （1）由题设，由正弦定理知：，即，又，得证.（2）由题意知：，同理，整理得，又，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.20. （1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AOBD因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD，平面ABD，因此AO平面BCD，因为平面BCD，所以AOCD(2)作EFBD于F, 作FMBC于M,连EM因为AO平面BCD，所以AOBD, AOCD所以EFBD, EFCD,
9、 ,因此EF平面BCD，即EFBC因为FMBC，,所以BC平面EFM，即BCME则为二面角E-BC-D的平面角, 因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,从而EF=FM=平面BCD,所以21. （1）；（2）.22. （1）函数的定义域为，又，当时，当时，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.因为时，时，故.先证：，若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.设，则，结合，可得：，即：，故，要证：，即证，即证，即证：，即证：，令，则，先证明一个不等式：.设，则，当时，；当时，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，故恒成立，故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，第 9 页 共 9 页