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1、二次函数知识点、考点、典型例题及练习（附解析）一、二次函数知识点一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如 =2+汝+，（a,，c是常数，。*0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二 次 项 系 数 而 从c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数y=办?+6 x +c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,6,c是常数，“是二次项系数，6是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1 .二次函数基本形式：y =a x 2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上(0
2、,0)y轴x 0时，y随X的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x =0时，y有最小值0.a 0时，y随x的增大而减小；工0向上(0,c)y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x =0时，y有最小值c.a 0时，y随x的增大而减小；x 0向上（九0）X=hxh B t,y随x的增大而增大；xh B j,y随x的增大而减小；x =/7时，y有最小值0.a/?时，y随x的增大而减小；x v/z时，y随x的增大而增大；x =/z时，y有最大值0.4.y =a(x-/z 1+上的性质:。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上 k)X=hx /?时，y随x的增大而增大；
3、时，y随x的增大而减小；尤=力时，y有最小值k.a0向下(h,k)X=h%时，y随x的增大而减小；冗0）【或下伏 时抛物线开口向上,对称轴为一 顶点坐标为（-枭铲当X-2时，），随X的增大而增大；当X=-22a 2a 2a时，y有最小值处二Q.4a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x =-2,顶点坐标为j _ 2,二生当2a（2。4a?X _2时，y随X的增大而减小；当x =_2时，y2a 2a 2a有最大值始二4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y=ax2+bx+c（a ,b,c 为常数，a w O）；2.顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,k 为常数，”7 0）；3 .两
4、根式：y=a（x-xx-x2）（a#0,x,是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即6 2-4收20时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y 二以?+6x+c 中，a 作为二次项系数，显然axO.(1)当a 0 时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；当 a 0 的前提下，当6 0 时，-0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当 =0 时,=2一即抛物线的对称轴就是y 轴
5、;当b 0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.2a 在“0 时，-2 0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧;2a当。=0 0寸,当人 0 时=0,在 y 轴的右侧则。0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正;当 c=0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与，轴交点的纵坐标为0；当 c -A；2.关于y 轴对称y=ax2+6 x +c 关于y轴对称后，得到的解析式是y =4-bx+c；y=a x-+k关于y 轴对称后,得到的解析式是y =a（x +犷+4；3 .关于原点对称y =江+法+c 关于原点对称后，得到的解析式是y =_ 加+云-c ；y =+氏关于原
6、点对称后，得到的解析式是 =-尤+）2-火；4 .关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得至U 的解析式是y=-ax2-bx+c-；2ay=a（x-h）2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y 二-4工-/始+攵.5.关于点（?，）对称y =Q（x-丫+攵关于点（团，可对称后，得到的解析式是y =-（工+6-2 2+2 一 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此同永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再
7、确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次 方 程+b x +c =0 是二次函数y =+b x+c 当函数值y =0时的特殊情况.图象与X 轴的交点个数：当 =一 4 讹 0 时,图象与x 轴交于两点4（%,0）,B（X2,0）（3。工 2），其中的王，X?是一元二次方程以2+云+。=0（。/0）的两根.这两点间的距离 当 A =0 时，图象与x 轴只有一个交点;当 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0；2 当 0 时，图象落在x 轴的下方，无
8、论x 为任何实数，都有y =4/+法+。中0,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式介2+笈+3#0）本身就是所含字母x 的二次函数；下 面 以 时 为 例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的A 0抛 物 线 与 X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A =0 抛 物 线 与 X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实
9、数根A 0时，开口向上，在对称轴x=-2的左侧y随x的增大而2a减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a 0 （k 0 （h 0）时，抛物线y=a（x-h）2（a#0）的图象可由抛物线y=ax?向 右（或向左）平移|h|个单位得到.例3把抛物线y=3 x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A.y=3 （x+2）2 B.y=3 （x-2）2 C.y=3 x2+2 D.y=3 x2-2专题练习一1.对于抛物线丫=-*2+3*-3，下列说法正确的是（）3 3 3A.开口向下，顶点坐标为（5,3）B.开口向上，顶点坐标为（5,3）C.开口向下，顶点坐标为（-5,3）D.开口向上，顶点坐标为（
10、-5,3）2.若抛物线y=x 2-2 x+c与y轴的交点为（0,-3）,则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=lC.当x=l时，y的最大值为-4D.抛物线与x轴交点为（-1,0）,（3,0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所 得 图 象 的 函 数 表 达 式 是.4.小明 从 图2所示的二次函数 =取2+法+。的图象中，观察得出了下面五条信息：c 0 ；a-b +c 0 ；2 a-3力=0：c 4 b0,你认为其中正确信息的个数有.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题
11、目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考 点 1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例 1 如 图 1,用一段长为3 0 米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园A B C。，设 A B边长为九米，则菜园的面积y (单位：米？)与x (单位：米)的 函 数 关 系 式 为 (不要求写出自变量光的取值范围).墙图 1考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式I .若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c (a#0)；2 .若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式:y=a(x-h)2+k(aW O)；3 .
12、若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a(x-X 1)(x-x2)(a#0).例 2 已知抛物线的图象以A (-1,4)为顶点，且过点B (2,-5),求该抛物线的表达式.例 3 已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B (1,0),且经过点C (2,8).(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1 .由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元，原价为a 元，则 y与 x之间的函数表达式为()A.y=2 a (x-1)B
13、.y=2 a (1-x)C.y=a (1-x2)D.y=a (1-x)22 .如图2,在平而直角坐标系x O y 中，抛物线y=x?+b x+c 与 x轴交于A、B两点，AQ 1点 A 在 x轴负半轴，点 B在 x轴正半轴，与 y轴交于点C,且-=，C O=B O,AB=3,OC 2则 这 条 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 是.3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于 点(0,-2),且 x=l 时，y=3；x=-l 时 y=l,求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点A(0,-3),8(2,-3),C(-l,0).(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点
14、坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向爆少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点.专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考 点 1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程a x2+b x+c=0 就是二次函数y=a x2+b x+c 当函数y的值为0时的情况.例 1 根据下列表格中二次函数y=a x 2+b x+c 的自变量x与函数值y的对应值，判断方程 a x 2+b x+c=0 (a W
15、O,a,b,c,为常数)的一个解x的范围是()X6.1 76.1 86.1 96.2 0y=ax2+b x+c-0.03-0.010.020.04A.6 c x 6.17 B.6.17 x 6.18C.6.18 x 6.19 D .6.19 x0的解集.（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.（4）若方程0?+法+。=%有两个不相等的实数根，求攵的取值范围.专题四：利用二次函数解决实际问题：本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）
16、用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例：某商场将进价2 0 0 0 元的冰箱以2 40 0 元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低5 0 元,平均每天就能多售出4台.（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与 x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 8 0 0 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱
17、的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1 .小李想用篱笆围成一个周长为6 0 米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化.（1）求 S与 x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当 x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房1 20 间，每间客房的日租金为5 0 元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的I I 租金每增加5 元时，则客房每天出租数就会减少6 间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3 .一座拱桥的轮廓是抛物线型（如 图 1 所示），拱
18、高6 m,跨度2 0 m,相邻两支柱间的距离均为5 m.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2 所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2 m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m、高 3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由.E三、典型例题题 型 1 二次函数的概念例 1 (基 础).二次函数)，=3f-6 x+5的图像的顶点坐标是()A.(-1,8)B.(1,8)C (-1,2)D (1,-4)点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例 2.(拓展，2 0 0 8年武汉市中考题，1 2)下列命题中正确的是
19、()若 b2-4 a c 0,则二次函数y=a x2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或 3 若 I)?-4 a c=0,则二次函数y=a x?+bx+c 的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。当 c=5时，不论b 为何值，抛物线尸a x?+bx+c 一定过y轴上一定点。若抛物线y=a x2+bx+c 与 x轴有唯一公共点，则方程a x2+bx+c=0 有两个相等的实数根。若抛物线y=a x?+bx+c 与 x轴有两个交点A、B,与 y轴交于c 点，c=4,SAABC=6,则抛物线解析式为y=x2-5 x+4 若抛物线y=a x?+bx+c (a#0)的顶点在x轴下方，
20、则一元二次方程a x 2+bx+c=0 有两个不相等的实数根。若抛物线y=a x 2+bx+c (a W O)经过原点，则一元二次方程a x 2+bx+c=0 必有一根为0。若 a-b+c=2,则抛物线产a x?+bx+c (a W O)必过一定点。若 b2 V 3 a c,则抛物线y=a x2+bx+c 与 x轴一定没有交点。若一元二次方程a x2+bx+c=O 有两个不相等的实数根，则函数y=c x2+bx+a 的图象与x轴必有两个交点。若 b=0,则抛物线y=a x2+bx+c 与 x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数
21、的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a、b、c 对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。题型2 二次函数的性质例 3 若二次函数y+笈 一 4 的图像开口向上，与 x 轴的交点为（4,0）,（-2,0）知,此抛物线的对称轴为直线x=l,此 时 玉=-1,9=2 时，对 应 的 y i与 y2的大小关系是（）A.yi y2 D.不确定点拨：本题可用两种解法解 法 1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随 x 的变化规律确定：a0时,抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a0时，
22、抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a,b 的值再把横坐标值代入求出力与丫2 的值，进而比较它们的大小【举一反三】变 式 1：已知1（2,%）,（3,%）二次函数丁=一*2+2 X+?上两点，试比较彷与q2的大小变式2：己知（0,%）,（3,%）二次函数y=+2 x+z上两点，试比较%与q2的大小变式3：已知二次函数y=o?+机 的 图 像 与 丫 =一 尤 2+2x+?的图像关于y 轴对称,（一 2,%）,（3,%）是前者图像上的两点，试比较与q2的大小题型3 二次函数的图像例 4 如图所示，正方形ABCD的边长为1 0,四个全等的小正方形的
23、对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形的边长为x,且 0 x+l（。和）的图象可能是（）点拨：本题考查函数图象与性质，当。0 时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数户a x+1 与广4*+扇+1 （厚0）的图象必过（0,1）,所以C是正确的，故选C.例 6己知二次函数y=a x 2+b x+c 的图象如图.则下列5个代数式：a c,a+b+c,4 a 2b+c,2a+b,2 a-b 中，其值大于0的个数为（）A.2 B 3 C、4 D、5点拨：本题考查二次函数图像性质，a的符号由开口方向确定，b的符号由对称轴和a共同决定，
24、c 看其与y 轴的交点坐标，a+b+c,4 a-2b+c 看 x取某个特殊值时y 的值可从图像中直观发现题型5二次函数的平移例 7.将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A.y=2（x+1）2 B.y=2（x-l）2 C.y=2x2+1 D.y=2x2-1题型6二次函数应用销售利润类问题例 8某商品的进价每件为5 0 元，现在的售价为每件6 0 元，每星期可卖出70 件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10 元（售价每件不能高于14 0 元），那么每星期少卖5 件，设每件涨价x元（x为 10 的正整数倍），每周销售量为y 件。求 y 与 x的函数关系式及自变量x的取值范围。如何
25、定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？点拨：销售总利润=销售量X（售价-进价）本类题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍,非负整数倍，自然数倍，2 的整数倍等条件的限制。题型7 二次函数与几何图形综合（面积、动点）例 9 己知二次函数y=必？+法+（;（a W 0 ）的图象经过点A（l,0）,8（2,0）,C（0,-2）,直线x =（加 2）与x轴交于点）.(1)求二次函数的解析式；(2)在直线x =？(加2)上有一
26、点E (点E在第四象限)，使得E、D、8为顶点的三角形与以A、。、。为顶点的三角形相似，求E点坐标(用含根的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点尸，使得四边形AB E尸为平行四边形？若存在，请求出加的值及四边形A B E b的面积；若不存在，请说明理由.点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面 广 一,知识综合性强。复习时要着重深窕点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。四、练习题【基础达标训练】一、选择题1.抛物线丁=。-2)2+3的顶点坐标是()A.(2,3)B.(-2,3
27、)C.(2,一3)D.(2,一3)2.二次函数y =(x+i y+2的最小值是().2A.2 B.1 C.-3 D.-33.抛物线y =2(x+?y+(m,是常数)的顶点坐标是()A.(in,r i)B.(-m,n)C.m,-r i)D.(-m,-r i)4 .根据下表中的二次函数y =a?+%x+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴()X -1012 y -1_ 7 4-2_ _ 7 A.只有一个交点；B.有两个交点，且分别在y轴两侧；C.有两个交点，且在y轴同侧；D无交点。5.已知二次函数 =以2+法的图象如图所示，则下列结论：比0：方程以2+分x+c=o的两根之和大于
28、0；y随x的增大而增大；a b +c 0,其中正确的个 数（）A.4个 B.3个 C 2个 D.1个6 .二次函数y =x2+b x+c的图象如图所示，若点A （1,力）、B （2,y2）是它图象上的两点，则 yi与丫2的大小关系是（）A.丫|乃 B.力=为 C.力 乃 D.不能确定7 .二次函数y-ax2+/z r+c的图象如图所示，则一次函数y-b x+b2-4ac与反比例函数8.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为产以2+加。若此炮弹在第7秒与第1 4秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？（）A.第8秒 B.第1 0秒 C.第1 2秒 D.第1 5秒。
29、9.抛物线=。+1）（*-3）伍，0）的对称轴是直线（）A.x=1 B.x=-l C.x=-3 D.x=31 0 .把二次函数）,=_/_x+3用配方法化成y =a（x-）2+Z的 形 式（）4A.y =-；（x-2+2 B.y=l（x-2）2+4 C.y =_；（x+2/+4 D.丫 =+3二、填空题1 1.图6 （1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在/时，拱 顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m,水面宽4 m.如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是1 2 .把抛物线y=a x2+b x+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2 3 x+5
30、,则 a+b+c=1 3 .请 写 出 符 合 以 下 三 个 条 件 的 一 个 函 数 的 解 析 式 .过点（3,1）；当x 0 时，y随x的增大而减小；当自变量的值为2时;函数值小于2.1 4 .如图7,。的半径为2,G是 函 数 产 的 图 象，C 2 是函数广-Lf的图象，则阴影2 2确结论：，.（对称轴方程，图象与x正半轴、），轴交点坐标例外）1 6.将一条长为2 0 c m 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 c m2.1 7.若抛物线），=奴 2+笈+3与 丁 =一/+3+2的两交点关于原点对称，贝 I。、8分别为.）
31、，=11 8、二 次 函 数.3 的图象如图1 2 所示，点&位于坐标原点，点 4,4,A,，=2/4 0 I5 在 y轴的正半轴上，点，鸟，员，与频在 二 次 函 数,3 位于第一象限的图象上，若 4 员4,，4 0 3 坊0 1 4 4（5 都为等边三角形，则 A o i/z o i d A o i S 的边长=-：-三、解答题1 9 .某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于4 5%,经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数丫 =依+8，且 x =6 5 时，y =5 5；尤=7 5时，y =4 5.(1)求一次函数)
32、，=依+。的表达式；(2)若该商场获得利润为卬元，试写出利润卬与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(3)若该商场获得利润不低于5 0 0 元，试确定销售单价x的范围.2 0 .心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1 x 2+2.6x+4 3(0 V x 0)的图象顶点为 D,与 y 轴交于点C,与 x 轴交于点A、B,点 A在原点的左侧，点 B 的坐标为(3,0),0B1=0C,tan NACO=z-.(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M、N,且
33、以MN为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图2,若点G(2,y)是该抛物线上一点，点 P 是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，4AGP的面积最大？求此时点P 的坐标和4AGP的最大面2 5 .为了扶持大学生自主创业，市政府提供了 8 0万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件4 0 元，员工每人每月的工资为2 5 00元，公司每月需支付其它费用1 5万元.该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示.（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（
34、元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为5 0元时，为保证公司月利润达到5万 元（利润=销售额一生产成本一员工工资一其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有8 0名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？2 6.如图，直角梯形 A B C D 中，A D/B C,N A B C=90,已知 A D=A B=3,B C=4,动点 P 从 B点出发，沿线段B C 向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段D A 向点A作匀速运 动.过 Q点垂直于A D 的射线交A C 于点M,交 B C 于点N.P、Q两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度.当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止
35、运动.设点Q运动的时间为t 秒.（1）求 N C,M C 的长（用 t 的代数式表示）；（2）当 t 为何值时，四边形P C D Q 构成平行四边形？（3）是否存在某一时刻，使射线Q N 恰好将A A B C 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由：（4）探究：t 为何值时，P M C 为等腰三角形？参考答案二、专题与考点专题一：考点 1：例 1：(l)A n =-5,c=-2;(2)y =-1,对称轴:直线%=1,顶 点(1,T)。考点2：例 2：Co 考点3：例 3：C。专题练习一：1、A；2、C；3、y =(x +l -2；4、。专题二：考点 1 ：例 1
36、：y =/f +1 5 x ；考点 2：例 2：y=(x +1)+4；例 3：(l)y =2 x?+2 x -4 ,1 9(2)顶点坐标(一一,一一)。2 2专 题 练 习 二：1、D；2、y =x?-x2 ；3、y 4 x2+x 2 ；4、y =Y 一2%一3,(2)顶点坐标(1,-4),(3)沿x 轴 向 右 平 移 1 个 单 位。专题三：考 点 1：例 1：C；考点2：例 2：-1,4；考点3：例 3：B o7 e专题练习三：1、攵2-才 且左。0；2、-1,3；3、D；4、=1,尤 2 =3；(2)1 x 3；(3)X22;(4)Z 2。专题四：例:解：(1)根 据 题 意，得丫=(
37、240 0-20 00-X)(8+4 x),2即y=-x/+2 4 x+3 2 0 0；2(2)由 题 意，-y x2+24x+3200=4 80 0.整 理，得 X2-3 0 0X+20000=0.解 这 个 方 程，得 x1二100,X2=200.要 使 百 姓 得 到 实 惠，取 x=200元.每 台 冰 箱 应 降 价 20。元；2?(3 )又寸于y=一 表乂+24乂+3200=-七(x-1 50)*+5000，当x=15 0时，y 最大傕=5000(元).所 以，每 台 冰 箱 的 售 价 降 价 150元 时，商 场 的 利 润 最 大，最 大 利 润 是 500。元.专题练习四：
38、1、鼾：(1)S=x (3 0-x )(2 分)自 变 室 乂 的 取 值 范 围 为：0 x 3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.三、典型例题：例 1：A；例 2、原题：下列命题:若 a+b+c-0 ,则 Z?4ac 0 ；若 a+c,则一元二次方程ax2+hx+c=O有两个不相等的实数根;若b=2 a+3 c,则一元二次方程ax2+bx+c=O有两个不相等的实数根；若。2 4 ac0 ,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2 或 3.其中正确的是（）.A.只有 B.只有 C.只有 D.只有.答案：B o例 3：A；例 3 D；例 5：解：当自。时，函 数 y=
39、a/+b x +l（a X O）的 图 象 开 口 向 上，函 数 y=a x+1的 图 象 应 在 一、二、三 象 限，故 可 排 除 D；当 a V O 时，函 敷 y=a x?+b x+l C a X 0）的 图 彘 开 口 向 下，函 数 y=a x+1的 图 舞.应 在 一 二 四 葬.限，故 可 排 除 B；当 x=0 时，两 个 函 数 的 值 都 为 1,故 两 函 数 图 象 应 相 交 于（0,1）,可 排 除 A.正 确 的 只 有 C.故 选 C.例 6：A o解：开口向下，A a 0,与y 轴交干负半轴，/.c 0；当x=1 B 寸，y=a+b+c 0,a+b+c 0
40、；当x=-2 时，y 0,4 a-2 b+c 0；A b -2 a.2 a+b 0,la.b 0,A 2 a-b c=-2.-y=-x2+3 x-2.（2 分）点E 在第四象限，（2）当 E D B s A A O C 时,2 冽/日 月 O _ C O _AO _ C O%（加，T）.（4 分）E D B D B D E D .AO _ C O n./m当时，得1 2V A 0=1,C 0=2,B D=m-2,B D E Dm-2 E D2，E D=2 m-4,当E D B D J E Dm-2,点E 在第四象限，；.E D=等,E 2（m,4-2 m）.（6 分）（3）假设抛物线上存在一点
41、F,使得四边形A B E F 为平行四边形，贝 U E F=A B=1,点F 的横坐标为m-1,当点国的坐标为。”，子 寸，点F：的坐标为（m-1,洋）,4X.点在抛物线的图象上,-=-（m-1）+3 （m-1）-2,2 m4-1 l m+1 4=0,（2 m-7）（m-2）=0,，m二于m=2 （舍去）,二尸I,令3 3 八,S 平行q 边与A B E F=1 x 不（9 分）当点E 2 的坐标为（m，4-2 m）B 寸，点F 的坐标为（m-1,4-2 m）,点F 2 在抛物线的图索上，4-2M=-（m-1）2+3 （J H-1）-2,-m-T m+l 0=0,（m-2）（m-5）=0,m=
42、2 （舍去），m=5,A F2（4,-6）,S 平行 门边影 A B E F=1 x 6=6.（1 2 分）注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分.四、练 习 题【基础达标训练】AABBCCDBAC1 21 1 y =x；1 2、1 3 ；1 3、2解：当此函数是一次函数时，l gy=kx+b,此时k 0,3 k+b=l,2 k+b 2；当此函数是二次函数y uax+bx+c,设解析式y=ax 2+bx+c,此时a0,9 a+3 b+c=l；k当此函数反比例函数y=蓝，此时k=3.1 3 1 5答案不唯一，加y=-铲+2,y=y=-x2+-.1 4、2兀；1 5 5 答案不唯一.如：c=
43、3；b+c=1 ；c-3 b=9；b=-2；抛物线的顶点为(-1,4),或二次函数的最大值为4；方程-x 2+bx+c=0 的两个根为-3,1；y0时，-3 x 1；或 y0时，x 1；当 x -1 时，y随 x的增大而减小；或 当 x -1时，y随 x的增大而增大.等等。1 6、解：设一段铁丝的长度为x,另 一 段 为(2 0-x),则边长分 别 为 卜，1(2 0-x),4 4贝S=(2 0-x )(2 0-x)(X 10)2+1 2.5,10 10 o由函数当x=1 0cm时，S最 小，1 2.5cm2.故 填：12.5.1 7、解：由题意可得，两个函数有交点，则y 相等，贝 I 有ax
44、 2+bx+3=-x 2+3 x+2,得：(a+1)x2+(b-3)x+l =0.两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数.A-3 1则两根之和为：7 T=0,两根之积为 0,解得b=3,a 解 得%叼=-2,代入两根之积得上=-2,。十13解得3故a=-,b=3.另法：(若交点关千原点对称，那么在广-x?+3x+2中，必定自身存在关千原点对称的两个点，设这两个点横坐标融为曲k,直接在尸x?+3x+2代入k,然后相加两个式子-k2+3k+2=0与-k2-3k+2=0,可得出k为土。从而直接得到两个点，再待定系数法，将 两 点 代 入y=ax2+bx+3,直接
45、可以得出a,b的 值.1 8、解：是等边三角形,.,.ZAgBeO0AJi的解析式为yux,.点B (曰,5)9L LX2(2=0=0(为原点,舍去)二等边AAoBiA的边长为:X2=l,同理，A/2的解析式为y=gx+l,洱 3,2),等边AA/2A2的边长AiA?=2X(2-1)=2同 理 可 求 帆(坐?),3 2 2所以，等边的B 3A 3的边长A 2A 3=2x(-1-2)=3,以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连埃自然教,如14%15A 2015 的边长 A 2014A 2015=2。15.故答案为：2015.三、解答题19、f6 5 J t+Z =5 5解：(1)根据题意
46、得(，解得k=-l,b=1 2 0.1 7 5从6=4 5二所求一次函数的表达式为y=-x+l 2 0 (6 0 W x W 8 7)；(2)每一件的获利为x-6 0,贝I 获 彳 导 禾N闰W=(x-6 0)(-x+1 2 0)=-X2+1 8 0X-7 2 0 0=-(X-9 0)2+9 0 0,二抛物线的开口向下，二当x 9。时，W随x的增大而增大，而6 0 W x W 8 7,.当x=8 7 B寸，W=-(8 7-9 0)2+9 0 0=8 9 1.当销售单价定为8 7元时，商场可获得最大利润，最大利润是8 9 1元；(3)由-X2+1 8 0X-7 2 0 0 M 5 0 0,整理得
47、，X2-1 8 0X+7 7 0 0 0,解得，7 0 W x W 1 1 0,.要使该商场获得利润不低千5 0 0元，销售单价应在7 0元到1 1 0元之间，而6 0 W x W 8 7,.销售单价x的范围是7 Q W x W 8 7.2 0、解：(1)V y=-0.1 (X2-2 6X+1 6 9)+1 6.9+4 3=-0.1 (x-1 3)2+5 9.9二对称轴是：直线x=1 3即 当(0 W x W 1 3)提 出 概 念 至(1 3分)之 间，学生的接受能力逐步增强；当(1 3 W x W 3 0)提 出 概 念(1 3分)至(3 0分)之 间，学生的接受能力逐步下降；(2)当x=
48、1 0时，y=-0.1 X 1 02+2.6 X 1 0+4 3=5 9；(3)V y=-0.1 (x-1 3)2+5 9.9.,.k=-0.l2 41 0.当x=g时，PE的最大值二彳(3)存在4个这样的点F,分别是F：(1,0),F2(-3,0),F3(4+0，0),F4(4-J7,0).如图，连接C 与抛物线和y 轴的交点，那么C G K轴，此时A F=C G=2,因此F 点的坐标是(-3,0)；I如图，A F=C G=2,A 点的坐标为(-1,0),因此F 点的坐标为(1,0)；幽 图，此时G G两点的纵坐标关千x轴对称，因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可鼬G点的坐标为(1+和3)
49、,由干直线G F的斜率与直线A C的相同，因此可设直线G F的解析式为y=-x+h,溜G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+因此直线G F与x轴的交点F的坐标为(4+0,综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点.23、解：(1)I,抛物线过A (-1,0).B (J I，0)设抛物线的解析式为y=a (x+1)(x-J 3)(a*0)又；抛物线过B(0.。)，.将坐标代入上解析式得1 1 5=a X (-4 3)即 a=-l:.y=-(x+1)(x-。)即满足件的抛物线解析式为广-？+(J 3-1)x+p.(2)(解 法 一)：如图1P为第一象限内抛物线上一动点设P(x,y)则x 0,
50、y 0P点坐标满足y=-x?+连接PB,PO,PB,S D 边看 PBAB=S,BAO.S 二PBO.S 5 0B(X+y+1)=g x-*2+(J j-I)x+j3+l=(-(x-g)2+：P 当*=里时，SB边号PBAB.大，此时，丫=匕学叵.即当动点P的坐标 为(，匕 理)时，42 4边号PBAB最大，最 大 面 积 为;W.(解 法 二)：如图2,连接BBP为第一敷限内抛物线上一动点二S口边号PBAB，=S&ABBSJPBB且A B B 的面积为定值,口泣学PBAB最大时,PBB，必须最大VBB,长度为定值SA PBB最大时点P到B B 的距离最大即将直线B B 向上平移到与抛物线有唯