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1、-15-二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习（超全）【典型例题】题型 1 二次函数的概念 例 1（基础）.二次函数2365yxx 的图像的顶点坐标是（）A（-1，8）B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例 2.（拓展，2008 年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是 1 若 b24ac0，则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3 2 若 b24ac=0，则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。3 当 c=5 时，不论 b 为何值，抛物线 y=ax2+bx
2、+c 一定过 y 轴上一定点。4 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有唯一公共点，则方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根。5 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点 A、B，与 y 轴交于 c 点，c=4，SABC=6，则抛物线解析式为y=x25x+4。6 若抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点在 x 轴下方，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根。7 若抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过原点，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 必有一根为 0。8 若 ab+c=2，则抛物线 y=ax2+bx+c（a0）必过一定点。9 若 b2
3、3ac，则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴一定没有交点。10 若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则函数 y=cx2+bx+a 的图象与 x 轴必有两个交点。11 若 b=0，则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数 a、b、c 对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。题型 2 二次函数的性质 例 3 若二次函数24y
4、axbx的图像开口向上，与 x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线 x=1，此时121,2xx 时，对应的 y1 与 y2的大小关系是（）Ay1 y2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法 解法 1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值 y 随 x 的变化规律确定：a0 时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a0 时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大 解法 2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出 a，b 的值 再把横坐标值代入求出 y1 与 y2 的值，进而比较它们的大小 -15-【举一反三】变式 1：已知12(2,),(3,)qq二次函数22yx
5、xm 上两点，试比较12qq 与的大小 变式 2：已知12(0,),(3,)qq二次函数22yxxm 上两点，试比较12qq 与的大小 变 式 3：已 知 二 次 函 数2yaxbxm的 图 像 与22yxxm 的 图 像 关 于 y 轴 对 称，12(2,),(3,)qq是前者图像上的两点，试比较12qq 与的大小 题型 3 二次函数的图像 例 4 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形 ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形 ABCD 各边平行或垂直，若小正方形的边长为 x，且 00 时，开口向上，在对称轴 x=-2ba的左侧 y 随 x 的
6、增大而减小，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a0（k0（h0）时，抛物线 y=a（x-h）2（a0）的图象可由抛物线 y=ax2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例 3 把抛物线 y=3x2向上平移 2 个单位，得到的抛物线是（）A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x2+2 D.y=3x2-2 专题练习一 1.对于抛物线 y=13x2+103x163，下列说法正确的是（）A.开口向下，顶点坐标为（5，3）B.开口向上，顶点坐标为（5，3）C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）2.若抛物线 y=x2-2x+c 与 y 轴的交
7、点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是 x=1 C.当 x=1 时，y 的最大值为-4 y x O 图 1 -15-D.抛物线与 x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数 y=x2的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度后，所得图象的函数表达式是_.4.小明从图 2 所示的二次函数2yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信息：0c；0abc；0abc；230ab；40cb，你认为其中正确信息的个数有_.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定 本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数
8、的表达式.题型多以解答题为主.考点 1.根据实际问题模型确定二次函数表达式 例 1 如图 1，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x的取值范围）考点 2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式 1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a0）；3.若已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1
9、）（x-x2）（a0）.例 2 已知抛物线的图象以 A（-1，4）为顶点，且过点 B（2，-5），求该抛物线的表达式.例 3 已知一抛物线与 x 轴的交点是 A（-2，0）、B（1，0），且经过点 C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.图 2 2 1 0 1 2 y x 13x A B C D 图 1 菜园 墙 -15-专项练习二 1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是 x，降价后的价格为 y 元，原价为 a 元，则y 与 x 之间的函数表达式为（）A.y
10、=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）2 2.如图 2，在平而直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴负半轴，点 B 在 x 轴正半轴，与 y 轴交于点 C，且 tanACO=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 3.对称轴平行于 y 轴的抛物线与 y 轴交于点（0，-2），且 x=1 时，y=3；x=-1 时 y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A，(23)B，(10)C ，（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3
11、）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点 专题三：二次函数与一元二次方程的关系 本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与 x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点 1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围 一元二次方程 ax2+bx+c=0 就是二次函数 y=ax2+bx+c 当函数 y 的值为 0 时的情况.例 1 根据下列表格中二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量x与函数值y的对应值，判断方程 ax2+bx+c=0（a0,a,b,c,为
12、常数）的一个解x的范围是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20 2yaxbxc 0.03 0.01 0.02 0.04 66.17x 6.176.18x 6.186.19x 6.196.20 x 考点 2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.图 2 -15-二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根.例 2 已知二次函数 y=-x2+3x+m 的部分图象如图 1 所示，则
13、关于 x 的一元二次方程-x2+3x+m=0 的解为_.考点 3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况 当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根；当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有一个交点时，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根；当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根.反之亦然.例 3 在平面直角坐标系中，抛物线21yx与x轴的交点的个数是（）A.3 B.2 C.1 D.0 专项练习三 1.抛物线 y
14、=kx2-7x-7 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是_.2.已知二次函数22yxxm 的部分图象如图 2 所示，则关于x的一元二次方程220 xxm的解为 3.已知函数2yaxbxc的图象如图 3 所示，那么关于x的方程220axbxc 的根的情况是（）A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根 4.二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图 4 所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根（2）写出不等式20axbxc的解集（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求
15、k的取值范围 y x O 1 3 图 2 y x O 32 4 图 1 图 4 x y3 3 2 2 1 1 4 1 1 2 O 图 3 x y0 3 -15-专题四：利用二次函数解决实际问题 本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国家
16、“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台（1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四 1.小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S（单位：平方米）随矩形一边长 x（单位：米）的变化而变化（1）求 S 与 x 之间的函数关系
17、式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？-15-2.某旅行社有客房 120 间，每间客房的日租金为 50 元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加 5 元时，则客房每天出租数就会减少 6 间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图 1 所示），拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图 2 所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由 y x O B A C 图 2 20m 10m E F 图 1 6m