《居余马线性代数课后题解析12456章.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《居余马线性代数课后题解析12456章.pdf（132页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第一章 1、a?=a?-ab-ab=Oab bcos a -sin a 2 22、=cos a-cos a-(-sin a)sin cr=cos-+sin-a =1sin a cos aa+bi b,9，3、=(a+bia-bi)lab-a+b-lab-(a-/?)2a a-bi3 2-44、2 1 2=3*1*(3)+2*(2)*5+(Y)*4*2 3*(2)*2 2*4*(3)-(-4)*1*5-4 2-3=9 20 32+12+24+20=51 2 35、4 5 6=l*5*9+2*6*7+3*4*8 1*6*8 2*4*9-3*5*77 8 9=45+84+96 48 72 105=0
2、2 2 16、4 1 -1=2*1*101+2*(1)*202+1*4*199 2*(1)*199 2*4*101 1*1*202202 199 101=202-404+796+398-808-202=-181 w7、M 1w w2vv-1 w第2行+第1行x(-疗)3w()-w,第皆亍一第1行x(w)八 八VV-W4=(1-V)2(1+W+M)2=01-M1 X X8、X 2 X=P 2*3 +X3+X3-X2-3X2-2X2=2X3-6X2+6x x 39、0004004304324321按第1行展开(-1)4004043432-43=-25610、公式:a00 a22*00=a0ai 2
3、2 2 .一a2n=alla20 a22 1 00=6224“00 ann00 a”.%)1 20 oai0 0%.0000a2.-i%.”z I X /(?C!-!).二(7,ana2,n-%00%00anX an.n-la”“0 0 0100 0 0 10 0 2000 0 2 0解：0 8 00八按第10行展开(-1严“0-10 .0 8 0 09 0 0009 0 0 00 0 00101-2 89=10!9(1+9)2111111、1-11111-111-1第2行-第1行第3行-第1行第4行-第1行10001-20010-20100-2l*(-2)3=-812、该行列式中各行元素之和
4、均为1 0,所以吧第2,3,4列加到第1歹!,然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即123423413 41 2 3 4第2行-第1行1 2 3 414 11 3 4 1第3行-第1行 100 1 1-3=10=10 21 21 4 1 2第4行-第1行0 2-2-2-12 31 1 2 30-1-1-11 -3-2-2-1-110*16=16011013、5 01 -14 11 11224211110-2 1 00-3-2-4-0-1-5-3-2 1 0-3 -2-4=-7-1-5-314、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行 对 换（反号两次，其值不变）36564111-1-
5、1111-1-1111-1254532545303275032736342=25465=03287二000125465363420307500-20111-1-1365640329700025202202根据课本2 0页 公 式（1.2 1）,原式=15、1 2 03 4 00 0-10 0 52-116、0-20=3*(4)=一123=(2)*(16)=3211 2 3 4 5 1 1 1 2 3 46 7 8 9 10 6 7 8 90 0 0 1 3 第3,5行对换-0 1 0 10 0 0 2 4 0 0 0 20 1 0 1 1|o 0 0 1510 11 =-64 031=-10*
6、2=-2031 10 30200 13 34 5117、根据课本2 0页 公 式（1.2 2）0 0 1-120 0 3 00 0 2 41 2 4 03 1 2 52 I-10=(一 1产3 0-1 2 421 22=12*(-5)=-6081 0 018、|A|=1 2 0=1*2*3=3!,1 2 300|B|=00-50 00 00-3-4 00 00-1-2 00 00 00 05(5-1)=(-1尸(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)=-5!*A所以=(1)3*51A1161=3!5!B O19、证:%+4 a/+4 C/?,(l-x2)G左=a2+b2x a2x+b2 c2第
7、2歹 U x*第1歹 Ua2+b2x Z?2(l-x2)c2%+b3x a3x+b3 c3a3+b3x/?3(l-x2)c3q+3 b c(1-x2)a2+b2x b2 c2a3+b3x b3 c3ax h c,第1 歹 ij-x*第2歹 U(1-x2)a2 b2。2 =右%b3 C320、左=1 +x11111-X1111第2行-第1行1 +X11i11第3行-第1行-X00i+yJ第4行-第1行一0y0il-y-X00一 y=-x2y-y-(1+x)xy+盯-Y =-x2y-y(-x2y-x2)=x2y2=右-X一X0l+x11按第4列展开(-1)*4.1.-X0y+(-l)4+4-(-y
8、)-x-x0-X00-x0y1111 1 1b-a c-a21、左=Q b c=0 h a c a=1 -3 3 3?A A n,a,b Cl C da3 h3 c3 0 c3_a3(b-a)(c-Q)(C +cic+o)-(c-a)(b-a)+cih+)=(/7-Q)(C-+QC+Q -b _ cih _ Q )=。+ac-b2-ab=+力+c)=右22、解 法1：1 a2 a31 b2 b31 c2 c31 0 01 b1-a2 Z 73-a1 c2-a2 c3-a,33伊一州,3_/)_卜2 _叫 伊 _叫整理得=(a匕+Ac+ca)(6 a)(c-a)(c-b)1 a a2又根据范德蒙
9、行列式有：伍 a)(c a)(c b)=1 b b21 c c2故原式得证。解法2：分析：观察到右端的行列式是一个3阶范德蒙行列式解答：构建新的4阶范德蒙行列式：1 a a2 cci)31 X X Xf(x)按第 4 行展开得：f(x)=-M4+M42-X-M 43 炉+Mg./(1)1 a2 a31 a a2其中，知42=1 b2 H，M 44=1 b b21 c2 c31 c c2按范德蒙行列式结论得：f (x)=(x-a)(x-Z7)(x-c)(c-a)(c-b)(b-a)=x，-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc(c-a)(c-b)(b-a)(2)式子(1)和(2)对比
10、，可得M42=(ah+bc+ca)(c-a)(c-b)(h-a)M44=(c-a)(c-h)(b-a)1 a2 a31 a a2可以看出，M42=(ab+be+c a)Mf 即1 b2 by二(ab+be+ca)1 b b2,得证1 c2 c3l e e2123d23、0 2 aa 0 2 1a 0 20/7 0第1,例0 0 Z?2第2,弘亍5 c 4c 4 5对换5 c 4 3对换0 0 b0 0 00 0 0 d0 0 013 a2 50 hc 02=ac-hd=abed24、a 1-1 h0 -10 001c-1001db-a01 0 1 0 01+(-1 产(-1)0 c 1 a(b
11、 c d+d +b)+c d +ld 0 -1 J=ab ed +ad +ab +c d +1 =ab(c d+1)+ad +c d+1 =(ab +)(c d+1)+ad25、a2(a+1)2(a+2 f (a+3)2第2列-第1列a2 2 +1 4。+4 6。+9b2 3+1)2 S+2 (8 +3)2第3 列-第1 列b2 2。+1 4/7 +4 6。+9c2(c+1)2(C+2)2(C+3)2第4 歹 U 第1 歹 1Jc2 2 c+1 4 c+4 6 c+9d2(J +l)2(2)2 (d+3 d2 2 d +l 4 d+4 6 d+926、27、a2第3 列-2*第2 列/2cd2
12、2 a+12b +2b +12b +l2222=0ahcb +cq 00 a20%“oh4I110qaooo4oo0000a35b2a2第4 歹 U 3*第2 歹 U1222212222222 22第2 行一第1 行1000028 22322.第3 行-第 1 行 0100222 n-i2 第n 行-第 1 行00 一 3 0222 2n1000八 一 22 9、+1阶范德蒙行列式的计算和n阶范德蒙行列式的计算是类似的，只需将阶范德蒙行列式的“换成”+1。02222第1行-第2行10000第3行-第2行00100第n行-第2行000n-300000n-222 22按 第1列，0100（一 严展
13、开00 7 7 3 0=-2-(n-2)!00 0n-2本题中玉=。-i +1,i =1,2,+1,根据范德蒙行列式的计算公式知，原式=n (%-弓)=(%)xJG x J(X,+X )(X 3 爸乂儿一动同用一 马)卜(七+1 当)=2)(-3)(-叫(-1)(-2)(-3)(-+1)(-1)=(T)(-(T)Uli)(-2)!卜.(1)=(1)(l)i (1)“！(“一1)!(-2)!-2!rt(/J+l)=(-1)丁 加(-1)!(-2)!2!=(-i 尸-n&!k=3 0、观察发现，第i行可提出公因子a；,i =l,2,，+1。所以aj J 切(,、aDnn为5 +1）阶范德蒙行列式,
14、b(b2C bV1 rL+l“+1a“+i1心7an+J由公式得原式=（%。+1）n区-刍、=（的2 一%+l)n。也一又 n a-ai=(%+冏)3+1%),(%+4一1)(%+g“)K j一(%-1)(%)(3a2)所以，原式=(“1的“+J nlJ/rt+l31、系数行列式5 0 4 2 1 1 111111-2 1 01-1 2 1 1,4 行 1 -1 210-210D=一=-3 -2-4=-74 1 2 0 对换 4 1 2()0-3-2-4-5-1-31111 5 0 420-5-1-33 0 4 2|1 1 20112 0-2 0 11 -1 2 11,3 行 1 -1 210
15、-201D、=-3 -2 2=-71 12 0 对换 3 0 420-3-2 21 1 10 1 1 1|0 1 I10 1115 3 4 2|1 1 0 1 110 1 11 1 01 1 2 1 1,4 行 1 1 2 101 1 0D,=-1 -2-4=7-412 0 对换 4 1 2 001 -2-43-1-31 0 1 1 5 3 4 203-1-3D-750321,4行11011101-2101-1111-1110-2102 =一=-31-4=74110对换41100-31-4-53-3110150320-53-350431,4行11101110-2111-1211-1210-21
16、1D4=-3-21=-74121对换41210-3-21-5-13111050430-5-13所以,32、系数行列式0 1 1 1 11 0 1 1 11 0 1111 0 1 1 10 1 1 1 10 11111,2行D=1 1 0 1 11 1 0 1 1=0 1-1 0 01 1 1 0 11 1 1 0 10 1 0-1 01 1 1 1 01 1 1 1 00 1 0 0-1A1-11000-110030-11000-110000-11000-110000-10000-1=110 1 1 1 10 1 1 1 11 n 1 o 1第5行一第4行1 1 A 1 A1 1 1 11 U
17、 1 Z 1第4行-第3行1 1 U 1 U按第1列，2+11-110D,=110 3 10 1 -1 1 0第3行-第2行展开0 1 1 01 1 1 4 10 0 1 1 0第2行-第1行0 0 1-11 1 1 5 00 0 0 1 1-1 1 01 1 1鬻 列(-1)151 1 01 1 0=-1展开0 1 -10 1 -10 1 1 1 10 1 1 1 11 A 1 1 9第5行-第钻1 1 A H 11 1 1 11 U 1 1 Z第4行-第3行1 -1 U U 1。5=110 13按第1列，+11-10 10 1 -1 0 1（一1产第3行-第2行展开0 1-111 1 1
18、1 40 0 1 -1 1第2行一第1行0 0 111 1 1 0 50 0 0 11-1 0 11 1 1鬻%产1-1 11 -1 1=5展开0 1 10 1 1所以，X,1 D 4匹_L万一 a一 ，A-A-匚 乌一QJ ，A c D 4 4 D 4 D 43 3、因为齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式0 =0,即D=11111 12 11-31 aa11b第2行-第1行第3行一第1行第4行-第1行1 1 a1 0 1-a _ I0 -4 1-a 00 a-1 b-a1 -41 a-ab-a=(6 7 +1)2 4/?=0所以，（。+1 y=4力3 4、设直线方程以+b y +c=0
19、,由于直线过点（为，%）,（冗2，乃），所以。玉+如+c=0,a x b y+c =0%+处 2+c=。问题转化为求齐次线性方程组 咐+肛=中不同时为零的。也cax2+b y2+c=0满足的条件。因此根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：系数行列式等于0,可得x y 1X|弘 1=0 x2 y2 135、由已知条件，得f(1)=%Q +&=0/(I)=a。+/+=4/(2)=a。+2卬 +4%+8%=3/(3)，=aUn +3a,1 +8%Z +27%J=16其系数行列式1D=11-11231149-11827第2行-第1行第3行一第1行第4行-第1行-12341-1202102339=2
20、*3*4 139482818280 11 32 7=24*2=480-1 1-11-1 0-11-1 0-1第2行-第1行4 1 1 11,3列1 1 4 10 2 4 2D,二第3行-4*第1行-3 2 4 8对换4 2 3 80 6 3 12第4行一9*第1行16 3 9 279 3 6 270 12 16 3622=612114 2 13 12=2*3*4 216 36 32 11 4=24*14=3364 90 14 13 416 9-11827第2行-第1行第3行-第1行第4行 第1行0004 0 23 3 94 0 23 3 916 8 2816 8284 0 2第4行-2*第1行
21、3 3 9=0-8 8 2421 -104316-11827第2行-第1行第3行-第1行第4行-第1行1000-1 0-12 4 23 3 94 16 2843162 1 29=2*3*41 128 1 413=24*(10)=24071111-1123114904316第2行-第1行第3行一第1行第4行-第1行10001 32=34=24*4=96所以，%=7,a,=0,a2=-5,a3=2D D-D D所以，/(X)=7-5X2+2X3补充题：36、1 +4 1 11 1 +1 证：记2=.2.11 1 +。当=1 时 左=1+。,右二(1+)al=1 +q ,左二右，等式成立。%设二女一
22、1时等式成立，即1 +q1=:11 11+出 11 1 +4Tk-Th/=!当=%时,1 +11 1+生112 =111 11 +ak-111 +2111+4_0111第2行一第1 行1 1 1 1第3行-第1行,%0 0 0(-1/,+6。心|第k-1行-第1 行0 0 ak_x 0=(-1严 2%.。2a3 4 T +akDk_ta2 0 -0=(-0%,-0十%2一|0 0,%1 )+z廿nk-jt-1。生。3 4 77 i=l1-aa2a3ak-ak-+%(A-l 1 kk 1+吟ni=aiW nl i=i ai y所以，结论成立。略.(3)由(1)中过程可得。“=a)“_|+q a2
23、a3 a”-i，所以=a(4-2-2+4 a 2%-2)+6出/.一=anan-n-2+42“3 an-an(1 1 十 1%an-2D,3+4%的-,-3)+aM 。“-自,(1 1)-4-an)=aan_tan_2Dn_3+q&%a,-2a,a(i i i)-+-+a”a“T。2。+4。2a3%-2 -1册11+(-+%1 1aJ-“M-i%(1+q)+q%,a-2a-ianI I1、-1-F ,d-%axa2a,-an_2an_xan1 1 1 1 1+a a2i+3z：1 nA ai j/=i1+q11第2行-第1行1+q1I(4)一般解法:11 +a,1第3行-第1行aa20111+
24、4,第n行-第1行0第1列+第i列x aia+6 H-Fa.+幺 1100(i-2,3,，n)00,a.=(1+6?)+a H.+a)a2 a”a2%=(q+d-b )a2%a】a2 an=(1+q a21、+-)aia2-aiian37、解 法 1：左边=证明由性质3,得X-1 0 0 0X-1 0 0 00 x-1 0 00 x 1 0 0+0 0 0 x-10 0 0 X-10 0 0 0 xan an-an-l 。2 Gx+2 ,将),的第 1 列乘以工加到第2 歹 I J,再将第2 列乘以工加到第3 歹 I J,.，将第-1 列乘以工X加到第列，得XX00 000X0 00D=000
25、 X0a an%+aan +%.+a,+2Xan ,an-.%+6ZXan十an-2十XX十 -2X炉-2 xn-3 1X T 工-2xn-(an ,-1.a2)+6Zjx )M-1 n-2=an+xan_x+xw2a2+%=4%一 人&=i所以左边=工”=右边。k=解法2：注意到O 1=x +q,。“按第一列展开，得X-10 00X-1 0D.=*=xD-1+(-ir,aB(-l)000 a“an-2 x+q=x Dn-+an=X(XO,T+4-1)+%=Dn-2+=/(X。-3+a“-2)+an.x +an=x3Dn_3+a_2x2+an_xx+an依此类推D =.=xn-D+akx-k=
26、x-k=2(x+%)+Z%x 4k=2=x+Z/k=ln-k38、解法1：%0000a2x0000 x00an-l00 xa.000 xaaa匚n+an.+二a.+&n-1 n-9 1 1 )1X X X X+q00000第-1行+一、第”行x2+4-+a,x3 x-x00001第-2行+x第 -1行xa.,-1,+L产 30 x0001第1行+-x第2行X00Xx0a.000,v=X4H-F T +上 +qX XM-3-2-1 Cln+Cln_yX+,+ClX+Cl-yXk=解法2：按最后一行展开（思路类似于37题解法2）D n =an+=q,+x(a,.-!+9-2)=a.+a,i X +
27、x Dn_2=a n+%-俨 +/(。-2+3。-3)=4,+a.1x+t z.2x2+X3D _32n 2 ii 1 rx+%_/+a“一2厂 +x=42n一2 I、n k+an_x +an_2x H-Fa2x +%a1=/左=icos。I1 2cos。139 记 =,1 2cos。11 2cosBcos。11 2cos6 1,=(2COS6)2TT，1 2cos。0证 法1 (归纳法)：按第列展开，则=2cos0-D,w 1 n 2.11 (n-l)x(/i-l)当=1时，。1=（305。=右，等式成立;假设当 Kk时，等式成立，贝=cosk6,Oi=cos（左 一 1）。；当=女+1 时
28、，Dk+=2cos0Dk-Dk_=2cos0-coskO-cos(fc-1)0=2 ；cos(Zr+1)6+cos(左 一 1)6 cos(k-1)0=cos(Z+1)6得证。证法2(递推公式法)：Dn=2cos/)_ 1 -。_2 =(cos+z sin+(cos-z sin Dn_i-Dlt_2 根据式有Dn-(cos0+zsin6)Dn_=(cos0-isin0)Dn_x-Dn_2即 Dn-(cos+z sin Dtl_=(cos 0-i sin 0)_Dlx_-(cos 0+i sin 0)DH2 根据式有Dn-(cos6-zsin6)Dn_=(cos0+zsin6)Dn_x-DH_2
29、即 Dn-(c o s/sin Dn_=(cos。+isin 8)“_】-(cose-isinO)_-2 令 X“=4 -(cose+isin。)-，则式化为Xn=(cosB-isin。)Xn_=(cos6-i s i n Xn_2=(cos6 Isind)“2 X2=(cos e-i sin e)a -(cos 6+i sin 8)鼻=(cos0-zsin Oy 2cos2。-1 -(cos6+isin 6)cos=(cos0-isin 0)2(-sin?6-isin Ocos6)=(cos 6-i sin 9)”j sin 6(i sin 0-cos 6)=-isin6(cos-zsin
30、0)=-isin 6cos(-1)。-zsin(n-1)。令 工=D,(cos。isin，),则式化为Yn-(cos6+isin 6)_=(cos0+/sin 0 YII 2=(cos8+isin 3 Y2=(cos。+i sin 0-D2-(COS 6-i sin 8)D j=(cos 6+i sin 6)一12 cos?0-l-(cos 夕 -i sin，)cos 夕=(cos6+i s i n2(-sin2 0+isin 6cos，)=(cos6+isin 0 isin 6(isin 8+cos 9)=isin/cose+isin。)“1=i sin，cos(-1)，一 i sin(-1
31、)。所以，Yn-Xn=2is i n D,.,=z s in-2cos(n-1)0所以，O,i=cos5-1)6所以，D“=cos nd.1 _53-23-122 93-22-7 721T45321552_ L 27 710 1v3 _ *1*1 5 30 5 30 7 20-75-20-135212 457 2524 75-1 310-55 215-100 235x300 20-95 24-1 0 0-55 2 7540=二 严（T）-100 2 4013535x300-95 4 1350-2x1535x300-55 2 751145 35-245-3545 0-35=-(-l)l+2-2=
32、-xl535x30035x30015-1535x3001 -115 0-15(-45+35)135=(-D 2(-12 (+1)-41、111 1 1 -n-n1第1行-第2行第2行一第3行0000 1 +-1-n-1-n01-nf 1-1-111第n-1行一第n行1 +-n-i-n1 0 101第/列+第 列第-2列+第-1列000-0 0 -1-n-1-n0第1列+第2列0-1-1-71 n-1 0 201zj(n-l)42、解 法1：将 第1行乘以-1加到其余各行，得%+4 a2 a3 440原式=4 o 4-A,0 000A.再将第2列 乘 以 工，第3列乘以4,.4 4第n列乘以4均
33、加到第1歹!,得4,q +4 +f 4 +丁4 +4 4 A：a24000原式=04000o o 4,44 儿1+以+”+幺、1 4 4 4,(n(n n r uk=1 71+t会1 i=l Ai J所以，Dn=644 4 +4 +4 f l2 A A +4 2-2 1a.a.a,.a”zo5n2 +4 7a3.%040 -0a2。3+3 an004.-0+4 4,+4。“:5a2色 an+400o.AT=4,+4 a 24乙 4+4 4 22-2=4,+4,+4 4i，=2(+Aa2A4 2n+2,2,.(an+A)=q44 4,+4&2 4 A t 4,+44A 4“”+444 41山A=
34、1=E巴 山+j=k=k*j 43、解 法1：各行元素之和均为1+2+3+71(/1+1)2,把各列元素加到第1歹U,得第一行乘以-1加到其它行，得1,H(/I+1)2 3 n-l nH(n+1)3 4 n 11 2 3 n-n21 3 4 n 1(n4-l)4 5 1 21,、1 4 5 1 2Dn=2=n(n+l)i 1 n 1 n-3 n-2w(n+l)n 1 n-3 n-21 1 2 n-2 n-11 /.、”+l)1 2 n-2 n-1从最后一行起，依次减前一行，得1 2 3 n-1n0 1 1 1-n10 1 1 1-/71Dn=-H(/2+l)0 1 1-n 110 l-n 1
35、11nxn1 1 11-/711 1 l-n1=-H(H+1).1 1 -H 111 7 2 1 11(”一 1)x(-1)再将各列加到最后一列，得11 1l-n100 -nnD=-n(+l)0 .一 -0n-n0 -0n(?:-l)x(n-l)D=-/1(/7 +1)1 10 00-n n 01 -1 n 00 0 (/i-l)x(n-l)=-(+1).(-1)2(1)()2 =(T 尸44、将该行列式添一行，并加一列,使之成为n+1阶范德蒙行列式，即1玉1x.1yx；ik广2y y(1)=(y7 j(y-X2 Y y x“)”(七 一“(2)14 jin由（1）式可见，将（1）式按最后一列
36、展开，其 y i的系数就是原行列式。，的值乘以-1；又 由（2）式可见，y 的系数为（X X）（玉X/）.所以原行列式。“的值为 D“=(x,+x2+-+14 jinX.）n（%-力 力 玉 n（%,-xjjin7 lj/n45、证 明（用数学归纳法）导数关系式dta21(012-2 2(0(0 i (0%。)zJ=l 丸，%，（0ann(0%（，）卬 aaa,2”)。2 1（，）d（、了4 6()证明：将为（。记作为;：他 记作为.对 行 列 式 的 阶 数w作 数 学 归 纳 法 证 明。当”=1时，有 色卜“（。|=必 gd t 1 1 d t竽所以等式显然成立;D假 设 式 对-1阶
37、行 列 式 成 立，下 面 证 明（1）式对阶 也 成 立 时，记 ii(0a2i(0i2(0%。)a22(0 1 a2n(0,导 数 色。记作O,d tn42 9)ann(0则有。=%|4|+a21 A2 1+4 1 4”，故D=%41+。2 1&+。Ai+4 1 4 1 +。2 1A 2 i +,2a22a32an2%,%-”21 Zj=2 2a32aM 4+(-i)Sj=2a 2。2 2a ja2j4“2ax j4.an-l 2an-Jzj=24 应,%”a2nanj a(4)综上得，式右端=式+式=式右端。所以对任意的阶行列式求导数都等于（1）式中的个行列式之和。46、分析：圆的标准方
38、程为（x x）2+（y 为了二产n(厂+,2)2x0 x-2y0y+y02 一厂0,则可设圆的一般方程为a(x2+y2)+b x +c y +d =0,其中a工0。点P(x,y)、6(，)、鸟(2，%)、8(X 3,%)的坐标满足该方程，则有a(x2+y2)+b x +c y +d -0a(x j +yl2)+b xi+c y,+d =Qa(x22+y22)+b x2+c y2+d=0a(x32+)+b x3+c y3+d =0又因为axO,则上方程组中的未知量a力,c,d有非零解，其充分必要条件为系数行列式等于零，即*2 +y 2 x y 1x：+%1=02 +y22%1 32+%)W%1这
39、就是圆上动点P(x,)所满足的方程.47、设平面直角坐标系中直线的一般方程为ax +b y +c =0三个点位于该直线上时，其点的坐标满足方程，即axA+如 +c =0 ax2+b y2+c =0ax3+b y3+c =0(1)方程(1)中的a,仇c 不全为零，因此关于。，仇c 的齐次线性方程组(2)有非零解。所以3 个点位于同一直线上(即3 点共线)等价于方程组(2)有非零解。由克莱姆法则知，由个方程构成的元齐次线性方程组的系数行列式不等于零时，齐次方程组只有全为零的解，这等价于齐次线性方程组有非零解时其系数行列式必须等于零,M 1这里就是X2当1=0X 3为 148、设平面方程为ax+勿+
40、cz+d=o,将已知三点代入平面方程，得a +b +c +d=O a +/?+c =d 2 +/+勿+以+d=0球面上的点的坐标应满足该方程，于是由题设即得l +l +l +a +/?+c +d=0l +l +l +b-c +d=01 +1 +1 +一/7 +c +d=0l-Q +d=0即a +b +c +d=-3a+b c +d=30077、7-16x4=02 X 3-I2 X 4=12彳2 X3+X4=3%-2X2+3X3+4X4解得4X4=0 =6X2=34内=-83 2 X 1+3X2+5X3+X 4=33X +4X2+2X3+3X4=-2*+2X2+8x 3 匕=87X +9X2+X
41、 3+8x 4=0、/3（A力）=3429528113-183、-280,132724398251-13188-23010002-2-1-58-2 2-11-55-163158-2 6-13-56 1002-1-2-58-11-2 2-55-136158-13-2 6-560002-1008-1100-13008-1309T7、.777、7此含矛盾方程，故原方程无解!%1 -10%2+1 1七 1 1尤4=04 2$+4X2-5 x.+7X4=03占 一 3九2 +3X3-2X4=05 xl+x2-2X3+5X4=0 1-1011-ir 1-1011-11、1-1011-11、（A，）=24-
42、57T02 4-2 72 902 4-2 72 93-33-202 7-303103-32 51-25，051-5760,051-5760 7Tq00,0-1003011-3-3-6-111322 671000-1003011-3-30-111320、71000-1030011-3-30-1121307 3 元3 +13/=03X2-3X3+2X4=0X j -10 x2+1 l x3-1 l x4=013取 =女，则工3 =z1 1 ,八x2=k,j j =0.解为（0,日k为任意常数5111pP1P11P1 /1001P-11一 P1-p1一 p2P1、p-p 21-1-(1001P-10
43、P1一。22p-p、(l-/?)(/?+2)(1-/?)(1 +/?)2分情况讨论：1）无 解（l-p）（p +2）=0 但是（1 P）（1 +P）2K0 时无解，即 p =-22）唯一解|A|w O 即 p）（p +2）H0,解得p w l 且p#2.此时的解为-+1 (+l)p +2,p +2 p +2 )3）无 穷 解|A|=0,解之有p =1或者p =-2（舍）.故/?=1,所以解为（1-4一 左2，占,卷），其中占，%为任意常数.6X 3 2 6%3 +24 =-xl x2 2与+3X4-0%+5X2+10X3-X4=q3 X 1 +x2+px3+4X4=1 1/、1(A，)=、3
44、1 -30 20 0、0 0-3 -6 2 -Pf l -3 -6 2 -1-1 -2 3 00 2 4 3 1T5 1 0 -1 q0 8 1 6-3 q+11 P 4 1；、0 1 0 p +1 8 -2 4)-6 2 -1、0-3 -6 2 T、4 1 10 2 4 1 1-0 -7 q-30 0 p-2 -7 -1p-2-7 -1?J)0 0 -7 q 3.讨论:1）唯一解:。0解得。/2.此时解为（2,41上幺一42二2上 2,上幺 2 2（7 p-2）P-2 7 J2)无解：p=2,q 2.3）无穷解：/?=2,4 =2 此时解为 0,-2 4 水，3）.人为任意常数.8解:设母鸡
45、x只，公鸡y 只，小鸡z 只.、m/1 5 x +3 y+Z =1 0 0列万程得J 3x +y+Z=1 0 0解方程有，（5 31（A,b）=3U1 11 0 0T1 0 0?1 1 1 0 0)(1 13 -1 0 0 0 -23 )1 1 0 0、1 4T-4 0 0/还原为方程组有x +y+z =1 0 0|2 y+y z=4 0 0=V3 y+7 z =60 0 =7 x +4 y=1 0 0.x +y+z =1 0 0从而x =0,y =25x =4,y=1 8x =8,y=1 1继续求解z，得到x =0,y=2 5,z =7 5x =4,y=1 8,z =7 8x =8,y=l
46、l,z =8 1x =12,y =40、2 则x =1 2,y=4,z =8 42A，2 0 0、2 A 3 8 =4 -2 J(2036 J,A+B-8 JT0、3 0(3 0 -73 =(9,2,-l).J1 ab 44 J6、04 J0-2204o ja a2 /a2 a22 a2n（弋 弋（、1 5（必，2,，%）=%小、%，/./=!i=l i=l 7。“2见 1 6（。+a22）x f +（。12+。21）阳 工2a 24.、17a2a2 2 a 2n、00 0/a2。12.0、18a22 a22 一09/7 乙4?20,1 9%2 q+4A2/a2b12La,瓦他1a2b22La
47、b2nLL、她“她2La也“7A,.bu=1（/=1,2,L ,11）,%=0“X（n Zaik akjk=l 7生产0（z j）2 2-2。）+%-2%+，372 3、本题是求一个矩阵n次幕的题目，我们常规的做法，是通过数学归纳法，归纳出它n次哥后的通项公式！1 Y为例。o j因为0-110A,即 =A0-110、270-1100 l-l107-1、00-1=_/,即 屋=_/7 0、T10、370-110V /70-110-100、(0T八T10、7=IA=-A，即 屋=一 A0-11070-12 0107-1,00-1-170-17=1,即 A40-110、570-110V /70-11
48、07于是我们发现,IA=A,即=A当 n=4k 时，A=A4k=(/)、/4k兀cos-2,4k兀-sin-2.4k 兀)sin-24k九cos-2)当 n=4k+l 时，A=A4k+=A=/A=A=0、T10、7(4k+l)7 Tcos-2.(4Z+1)-sin-2.(4%+1)%、sin-2(4Z+V)7icos-2 J当 n=4k+2 Hj,A=A+-=摩 4 =7(/)=/=-1、00、-I(4 1+2)万cos-2.(奴+2)万-sin-I 222)当 n=4k+3时，A=暧+3=暧 =T及=0J-10、7(4攵+3)乃cos-2.(4%+3)%-sin-2.(4攵+3)、sin-2
49、(4左+3)4cos-2;所以它恰好可以写成0 1-1 07Y l兀COS 2.n九-sin 2.nn sin-2n兀cos2)cosw sin 夕-sin 9 cos(pJ可以采用相同的方法!24(1)(A +B)3=(A +B)(A +8)(A +8)=(A 2+A8 +5 A +B2)(A +3)=屈+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+炉即条件：A,3可交换.(2)(A+B)(A-B)=A2-A B +B A-B2=A2-B2 AB=BA即条件：A,8可交换.25(1)A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A A(8C)=(AB)C=(BA)C=B(CA)=(BC
50、)A.x.X.27设3=*，满足A8=A4则1 /石0 l)x3 x4)x3、国 +%3 X2rXj 斗+超、+X4/，即xJ(O )7整理有 x3+x4=x4,X|+x2=x2+x4,从而 Xj=0,X,=x4.、满足要求的矩阵为%x20 x128所求即是与1 21 -2可交换的二阶矩阵，设此矩阵为，有,罚,马为任意常数71 2、1 -22-2，整理有77117、,$+%212X2l+Z 2X3-2X4X j+2X3x 一 2X3x2+2X47x2-2X4、7故 =2x3,2Xj=3X2+2X4,X,=3xj+%，即所求为、29证明：Aa2L,设XA)2 1L4l 2“2 2LLLL3b2n