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1、第三章课后习题及解答将 L 2 题中的向量&表示成二”的,%,。4 的线性组合:1.a =(1,2,1,1)T,a,=(1,1,1,1 )r,a2=(1,1 1 1 )T,a3=(11,11)T,a4=(111,1)T.2.a =(0,0,0,1),a,=(1,1,0,1),%=(2,1,3,1),%=(U,0,0),a4=(0,1-1-1).解：设存在片,女2,女 3，女 4 使得a =占。1+七%+&3 a 3+女4 a 4，整理得k +k)+&+k 4=1k +k?k y 2 4 =2k 1 k 2+上 3 k 4 1k -一 3 +&4 =1解得匕=2，k,=；,卜3=一!=一:4 -
2、4 4 4所以a =%+-a,-a3-a4.4 1 4 2 4 3 4 4设 存 在 L，女 2,左 3，4 使得a =L%+%2 a 2 +女 3%+4%，整理得k +2k 2+k y=0 ,k +k +3+k 40,3k z k,4 0 ,Aj+k)k 4 1.解得 h =l,k2=0,k3=-1,k40.所以a =a 1-a?.判断3,4题中的向量组的线性相关性:3.%=(l,l,l)T,a2=(0,2,5)%=(1,3,6)：4.4=(L 1,2,4)T，A=(0,3 ,2)T,尸3=(3,0,7,1 4)T.解：3.设 存 在a,攵2，攵3使得上1%+2%+Z3 a 3 =0，即+k
3、3 =0 1v k、+2k)+3 攵3 =0 由 1卜+5g +6%3 =0 10 12 3 =0,解 得%小2,自不全为零，5 6故%,%，%线性相关4.设 存 在 片 也 也 使 得 火 圈+阳+/=0,即匕+3 攵3 =0_ 忆+3 左 =o 1 2 可解得占，&2,&3不全为零，故线性相关.2K,+k2+7砥=0秋 +20+1 4 右=05.论述单个向量a =（%,%,，*）线性相关和线性无关的条件.解：设存在*使得k a=0,若aw O,要使女a=0,当且仅当女=0,故，单个向量线性无关的充要条件是a力0；相反，单个向量a =（/,啰，*）线性相关的充要条件是a =0.6.证明：如果
4、向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.证：设向量组%,a 2,_ 1,%线性无关，利用反证法,假设存在该向量组的某一部分组?,a,a,（i,W）线性相关，4 1 *2 r 1则向量组%,。2 ，%线性相关，与向量组名,%，an-，an线性无关矛盾，所以该命题成立.7.证明：若 线 性 无 关，则因+。2，/一。2也线性无关.证：方法一,设存在匕，七使得占（%+%）+女2（%-%）=。，整 理 得,（f c j +七）%+（k k ）。2 =0，k +k =0因为a,a,线性无关，所以 八，可 解 得 匕=&2=0，%一 的=0故%+%，%一。2线性无关.fl 1 A方法二，因为（4+
5、%,%-%）=（%,%），V -17又因为1 I =一2/0,且,。2线性无关，所 以 向 量 组%+。2，%-。2的秩为2,1 1故%+%，%一。2线性无关.8.设有两个向量组a”&和4,不，民，其中(3,/32,.,(3S是分别在?,a 2,a,的k 个分量后任意添加m个分量bm j(/=1,2,.,5)所组成的女+?维向量，证明：若 名,，,4 线性无关，则4,A，氏线性无关；若 用,打，,用线性相关，则，氏线性相关证：证 法 1,设 A =(%,%”，4)，B=圾,阮 ,氏),因为,。2,4 线性无关，所以齐次线性方程A X =0只有零解，即/(A)=s,且 r(8)=s,几 为，血
6、线性无关.证法2,因为名,心，,见 线性无关，所以齐次线性方程4 X =0只有零解，再增加方程的个数，得 8X=0,该方程也只有零解，所以才,四，及 线性无关.(2)利用反证法可证得,即假设%,a 2，,见 线性无关，再 山(1)得 回,夕2,，氏 线性无关,与 月，夕2,后线性相关矛盾.9.证 明：%+%，/+%，%+%线性无关的充分必要条件是。1，。2，出 线性无关.fi o n证：方法 1,(4+。2，1 2 +。3，+%)=()10110b011110101因为弓,C T,线性无关，且=2*0,可得%+。2，%+。3，。3 +%的秩为 3所以%+%，。2 +&3，。3 +%线性无关*线
7、性无关；反之也成立.方法2,充分性，设线性无关，证明四+。2，。2+。3，1 3 +/线性无关.设存在&1，女2，%使得匕（%+。2）+k 2（%+。3）+13（。3 +%）=0,整理得,（k +k3）%+氏 +k 2）（X 2+（k2+k3）a3=0因为%,%,出 线性无关，所以左I +自=0/占+12=0,可解得占=攵2 =砥=0，所以4 +%,。2 +03，。3 +%线性无关。k2+k3=0必要性，（方 法1）设 四+0；2，。2 +&3，。3 +%线性无关，证明药,12，。3线性无关，假设名,。2，。3线性相关，则%,。2，%中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设%可 由。2，
8、。3线性表示，则向量组%+2，。2 +13，。3 +。1可由。2，Q 3线性表示，且3 2 ,所 以%+%，。2 +4,%+%线性相关，与%+%，%+土3，。3 +%线性无关矛盾，故名,。2，&3线性无关.方法2,令 =%+&2，夕2 =a2+&3，&=。3+%，设存在乙,2,出使得匕%+k2a2+%3 a 3 =0，由 =%+二2,4 2 =%+%,63=%+%得%=5（1 6 2 +43），%=5（尸1+/2 -月3），。3 =5（笈一万2 -力3）,代入kya+k2a2+%3 a 3 =。得，k l；（1 -62+。+卜2；（|+仇-。令+卜3+/?2+/?3）=O .即(k 1+&-k
9、 j/3+(k +忆2 +%3)2 2 +/1 2 2 +1 3)夕3 =。k +k,网 0因为自，夕2,自线性无关，所 以 一 勺+&+&3=0k 1无2+后3=。可 解 得 2）线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关;解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量,虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设%3两两线性无关，而 名,，出 线性相关.（2）（加 2）线性相关的充分必要条件是有?1个向量线性相关;利 m解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设a=，=I 0,I L 1 j%,二2，。3线性相关，而 俩 为，。2，。3两两线性无关
10、（3）若 囚句2线性相关，用，夕2线性相关，则有不全为零的数占美2,使得 l%+k 2a2=0 且左血+-2=0 ,从而使得上1（a+A）+-2（a2+4 2）=0，故%+B,”一1,所以/+3,+a,c cn+%线性相关.1 1.如果四,12，。3，。4线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零 的 数&2,女3也，使得+k2a2+k3a3+k4a4=0.证：因 为%,。2，3，。4线性相关，所以存在不全为零的常数匕，左2,砥，心，使得匕%+左2a2+43 a 3 +女4%=。，假设匕=0，则+k3a3+44a4 =0，得。2，。3，火 线性相关与题设矛盾故匕*0：同样方
11、法可证得网次3，%4都不为零所以该命题成立.1 2.若,。2,，火线性无关，证明：夕,a”。2,，%线性无关的充分必要条件是夕不能由 4,。2,a,线性表示.证：必要性，假设户能由四,。2,则民囚,。2,出线性相关与民 困,。2,a,线性无关矛盾，故不能由at,a2,.,ar线性表示.充分性，设存在心,匕 也，应 使 得%()+%+k2a2+k3 a 3 +%a =0，若女o*O，则万能由，火线性表出，矛盾，所 以 原=0，因此，+k2a2+k3a3 H+krar=0,又因为%,a2，,巴 线性无关，所以匕=七=仁=0,故，%，。2,火 线性无关.1 3.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组
12、，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：%=(6,4,1,9,2),a2=(1,0,2,3,-4),=(1,4-9-6,2 2),a4=(7,1,0-1,3);(2)a,=(1,-1,2,4),2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,1 4),a4=(2,1,5,6),a5=(1,-1,2,0);(3)a-(1,1,1),a2-(1,1,0),ay-(1,0,0),a4=(1,2,-3).6 1 1 7、1010、4 0 4 10 1-5 0解：12-90-0 0 0 19 3 -6-10 0 0 01 2 -4 2 2 3 ；、0 0 0 0)所以，向量组的秩为3,为一个极大线性无关组，
13、3 =|-5 2.(2)类 似(1),可求得向量组的秩为3,为一个极大线性无关组，月 一 =3%+。2，a5 =a4-al-a2.(3)类 似(1),可求得向量组的秩为3,%,。2，。3为一个极大线性无关组，(z4=5a2-3%-a3.1 4.设向量组：4=(1,1,2,4)&=(0,3,1,2),女=(3,0,7,1 4)4 =(2,1,5,6),4=(1-1,2,0),=(2,1,5,6).(1)证明品 或线性无关;(2)求向量组包含。，星的极大线性无关组(1)证：设存在匕，右，使 得 匕 十+匕 长=0,求得匕=&=0,所以。，&线性无关;1 0 3 1 2、解，每 留 图,那,父)=；
14、、4 2 1 4 0 6,1 0 3 0 1、0 110 10 0 0 1 1 0 0 0 0 0,所以，乙,曷为包含却&的一个极大线性无关组1 5.设A,B皆为阶矩阵，r(A)n,r(B)r(A)+r(B),C为任意阶矩阵.证：(1)设r(A)=0,r(8)=G，则存在阶可逆矩阵P,。，尸,。,使得P A0 =Err 0、l0 0,，PBQ=400、,，从而p o p o Y e0 P/0 B40隔0 _ 0Q)o.o0 0 o 0 0 00 Er 00 0 0?则 秩A00=秩(p刃 (0OYA 0Ye尸 人。8人。0Q、八 +=A)+r(B).7(2)因为秩(A C)Nr(A),所以秩A
15、0CB r(7 1)+r(5).1 6.证明 r(AB)m i n(r(A),r(5).证：设4,8分别为加乂/*5矩阵,将A按列分块，则有AB=(四 a2(b h b u U2 Us%)!b-的列向量组片,.,九可由A的列向量组4%6%,。2,火 线性表示，故 4 8)=48的列秩4 A的列秩=4),同样，将8按行分块,得r(A8)4 r(8),因此，该命题成立.1.设 分 别 为 机x,x机矩阵，且加，证明：齐次线性方程组(A 8)X=0有非零解.证：由 4 6)0 1 m(r(4)/(8)4”r +m-s.求 下 列(1 9 2 2 题)矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式:1
16、9.1 2 3 4 5、0 0-1-2 -30 0 0 0 4、0 0 1 21,(12 3 451(1 2 3 4 52 04 00 0-1-2 -30 0 0 0 4、0 0 1 2 -ly0-10 0-2 -30-23 1 0 0 0 0 0所以，矩阵的秩为3。1 3 50-1 3 =-4。0 为一个最高阶的非零子式。0 0 420.解:所L13021.解:所L32422.-12 10、-24-200 6-113 0 0 1,-12 10-24-200 6-113 0 0 1,-14 0 3-30 02 1 0 02 1 0、0 0 10-4 00 0 0,3o1-1 =1 2*0为一个
17、最高阶的非零子式.0勺 2 -12-13、4 5-5-3 -2、1 -32 -1 -3 -2、-1 3 1 一3 5-5 6 1 ,。3-4-0-7、0 0-4 9 3、1 3 -1 7 -9-2 -1 3 -2；3 3。-13 =-1 47 0为一个最高阶的非零子式。-51 0 01 1 02 1 10 2(1 1 0 0、(0 0 2 1 10 0、0-1100 0 10、0 0 0 1,所以，矩阵的秩为4。110 02 110=-1工0为一个最高阶的非零子式。0 2 110 0 2 12 3.设A是一个机x矩阵，证明：存在非零的 x s矩阵8,使得48 =0的充要条件是r(A)n.证：设
18、齐次线性方程组A X =0,8 =(自 仇.氏)/0,则由A 5=0,可得A j=0,j =l,2”.,s,由于，B=6 瓦 氏)0 0,至少有一个用=0,再由A X =0有非零解的充要条件是r(A)”，故，A/?,=0,)=1,2,s,至少有一个生 丰0的充要条件是r(A)n.2 4.设A,8是同形矩阵，证明：A与8相抵的充要条件是“A)=r(B).证：设A,8是机x矩阵，r(A)=r,r(B)=p,则存在可逆矩阵6,8,0,。2，使得 平2工(Er 0(En 0、充分性，因为 r(A)=r(B),所以，PiA Q,=-P2B Q2=；，(鸟)T q A Q i Q：=8,令 解 尸 =尸。
19、丁 =。，故，P A Q =B因此，A与5 相抵.必要性，因为A与8相抵，所以，存在可逆矩阵P,。，使得P A Q =B,因 此,r(A)=r(B).2 5.设A是m x 矩阵(机)，r(A)=m,证明：存在x/矩阵5 使得A 3 =.证：因为，(4)=机，所以，存在可逆矩阵P,Q,使得2 4 0 =(/,“0),所以有A。=(/,“0),A Q=P-lm O)=(P-0),(1)(P)(1)右端乘 x?阶矩阵T=，得 A Q T =I ,令 Q T =B,故，A B =I,“.2 6.证明：若阶方阵A的秩为r,则必有秩为n r 的”阶方阵6 ,使得氏4=0.证：因为阶方阵A的秩为r,所 以
20、的 秩 为 r,则A，X =0 的基础解系含有-r个线性 无 关 的 解 向 量，取 这 个 线 性 无 关 的 解 向 量 X”,X,为 的 列 向 量，则r(3 r)=r =r(6).因 止 匕 该命题得证.2 7 .证明：任何秩为r 的矩阵可以表示为r 个秩为1 矩阵之和，而不能表示为少于厂个秩为1的矩阵之和.(E 0、证：设 A为秩为r 的矩阵，则存在可逆矩阵尸,。使得P A Q=,(E 0、所 以，A =p T 0。一|=p T(8 1+6,)0T =尸一|与0 一+尸 一|瓦。“，其中用,，纥 为 秩 为 1 的矩阵因此，任何秩为r 的矩阵可以表示为r 个秩为1 矩阵之和.后部的证
21、明，(反证法)假设A为秩为r 的矩阵，能表示为少于r 个秩为1 的矩阵之和，不妨 设 A能表示为p个 秩 为 1的矩阵之和，其中，p r,设 A =(+其中BI,，Bp是秩为1 的矩阵.r(A)4r(4)+%)=pr,与 r(A)=/矛盾.2 8.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解:无一 无2+5X3-x4=0(1)0 1_ 723-18 120 00013-97,、0 00取 为 自 由 未 知 量，令 占=1,4=0 和X 3=0，Z=l，得原方程组的一个基础解系为X,=(-|,|,l,0)r;X2=(-1 ,-2,0,Dr.(3、-2 f-q7 一 2因此，一般解为X=%X1+%
22、2X21 -+心，其中匕，七为任意常数.2 03$+冗2 8X3+2X4+x5=02xl-2X2-3X3-7X4+2X5=0%)+1 l x2-12X3+34X4-5X5=0 x,-5X2+2X3-16X4+3X5=0 x3=0,x4=0,x5=l,得原方程组的一个基础解系为 3 1-821、q0-189 _ 3亘21、解：2 -21 1 1-31 2-73 42-5,001 -02 2 58 80 0_ 120J-521 63)1 000 0取X3,x4,x5为自由 未知 里，令二L=，5 =0,%3 =0,工4 二=1,X 5 =和1 o 7 3 25 1 1x,=(,-,1,0,0/,x
23、2=(-,-,0,1,0/,x3=(-,-,0,0,1/,o o o o 2 2为任意常数.J 9 A83、8228_ 2 5812因此,一般解为乂=匕乂1+七乂2+e乂3=41+女2 0+忆3 0.其中，k1,k2,k3010-0-1 1-51-1 041 72,*0000)取 2，3为自由未知量，令 2=3=0,得方程组的一个特解：X。=(8,0,0,IO)?,再 令2=1，3=和2=，*3=1，得 其 导 出 组 的 一 个 基 础 解 系：X,=(-9,1,0,1 1/,x2=(-4,04,5/.所以，方程组的一般解为X =X 0+%X 1+%2 X 2,其中匕，七为任意常数.X+犬2
24、+工3+工4+X5=73x1+2X2+七+工4-3%=-2x2+2X3+2X4+6X5=2 35X j +4X2+3X3+3X4-X5=1 2解:(11231 17、1 0-1 -1 -5-1 61 -3-20 12 2 62 3-2 62 30 0 0 0 003 -11 20 0 0 0 003 20154取 3，*4，5，为 自 由 未 知 量，令工3=4=%5=0，得 方 程 组 的 一 个 特 解：X 0=(-1 6,2 3,0,0,0),；再取 x3=1,x4=0,x5=0,x3=0,x4=1,x5=0和 x3=0,x4=0,x5=1 得其导出组的一个基础解系：X 1 =(l,-2
25、,l,0,0)r,X2=(l,2,O,l,O)r,X3=(5,-6,0,0,l)r所以，方程组的一般解为X =X 0+&|X 1 +七乂2+自乂3,其中匕,心,&为任意常数.3 0.讨论p,q取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解.(P+3).+2%3 =P p 2 +p +303 p 2 3 +6、3(夕 +1)pp +33,、P P-I)00p 3+3 p 2-1 5p +9p w 0且p工1时,有唯一解是p3+12p-9p+3 1 2p0 1 0P，p T)p+p+3 0 3-p2-3/7+6-0 0 1_ 4/+3/+2 7 9p2(p-1)p2(p 1)0 0 p3+3p，
26、15p+91 0 0p3+3/J-5+9/)2(p-l)p3+3p2-15p+9 p3+12p-9-4 p3+3p2+12p-9A 一 zk 0-,/Y.R p-(p-l)-pY pT)pY pT)X1+%2+工3+尤4+%5=1(2),3X|+2x2+/+4-3X 5=。x2+2X3+2X4+6x5=35X1+4X2+3X3+3X4-x5-q、(I、“3 2 1 1 -3 p 0 1 2 2 6 3解：-,0 1 2 2 6 3 0 0 0 0 0/7k5 4 3 3-q)10 0 0 0 0 -2?所以，当0*0或(7/2时，方程组无解;当p=0且q=2时，方程组有无穷多解,1001100
27、12001 1 1 (1 02 6 3 0 1-0 00J(0 0-1200-1-5-2 2 6 30 0 00 0 0取工3，匕，毛为自山变量，令3=%=0,得方程组的一个特解：X。=(2,3,0,0,01；再取与=l,x4=0,x5=0,x3=0,x4=l,x5=0 和/=0,x4=0,x5=1 得其导出组的一个基础解系：X,=(l,-2,l,0,0)r,X2=(l,-2,0,l,0)r,X3=(5,-6,0,0,l)r数.1、1、(5、3-22-6所以，方 程 组 的 般 解 为X =0+k1+k?0+&30,其中自,软,国为任意常0010k 1 ;X 1 +工2 +2X3-x4=1x-
28、x2-2X3-7X4=3x2+px3+qx4=q -3X +/+2X3+(q -2)X4=q +3所以，当pr2且q w l时，方程组有唯一解。q12-11、1i2-1、解：1-1-2-73-0i23-i01Pqq-300p-2q-3q-2112q-2q +3.900q iq +2.当q =l时，方程组无解；11 2-1i )11 2-1、当p =2时，01 23-1-01 23-1000q-34-200012、00q i q+2.、0000 4 q,所以，当p =2且q =4时，方程组有无穷多解，（1 0,-7,0,2）rf c（0,-2,l,0）r,其中左为任意常数。当p =2且qh4时，
29、方程组无解。3 1.设A是矩阵，证明：若任一个维向量都是AX =0的解，则A=0.证：因为任一个“维向量都是A X=0的解，则”维向量与=（0,0,1,0,0尸（第i个分量 为1其余分量均为0的列向量）满足A（”,%）=（A 4,A%）=0 ,即A/=0,其中/是阶单位方阵，因此，4 =0.3 2.设4是一个z x s矩阵，8是sx 矩阵.X是维列向量.证明：若(A 8)X=0与6X =0是同解方程组，则 AB)=r(B).证：因为若(A8)X =0与B X =0是同解方程组，所以，(AB)X =0的基础解系所含解向量的个数与BX=0的基础解系所含解向量的个数相等.即=一 3),因 此,r(A
30、B)=r(B).3 3 .设A是加x 矩阵，8是n x s矩阵，证明：若A B=0,则r(A)+r(B)W.证：设8=(4,氏)，其中四，氏是一组列向量，由A8=0得，A/7,=0,/=1,s.若r(A)=r,则AX =0的基础解系含有 个线性无关的解向量，而户I，.e为A X=0的解向量，则/，,&可由A X =0的基础解系线性表示，所以，r(S)n-r=n-r(A).故,r(A)+r(B)n.3 4.设A*是阶矩阵A的伴随矩阵，证明：n,rA)-n(1)r(A*)-1,r(A)=”-l0,r(A)n-l(2)证：由于AA*=|川/,当 A)=时，|A|wO,所以pl*卜0,得r(A*)=；
31、当r(A)=n l时，即至少有一个一 1阶子式不等于零，所以A*HO,且|A|=0,因为 A*w O,所以/(A*)2 1.因 为 间=0,所 以A 4*=0,即A*的每一列均是齐次线性方程组Ax =0的解，所以r(A*)n-r(A)=一(-1)=1。因此，r(A*)=l；当r(A)-l时，A的任一一 1阶子式都等于零，所以4*=0,故 A*)=0。(2)当#0时，由A4*=|A|/,得=当|A|=0 时，即 r(A)4 1,由(1)知，r(A*)2),证明：(A*)*=M2A.证：因为A是阶可逆矩阵，所以A*是阶可逆矩阵，且pr|=|A，因为 A*(Aj=,所以(A*)*=k*|(A*)T。
32、A又因为4 4*=|川/,所以(A)：冈。因此,3 6.设4是阶矩阵，证明：非齐次线性方程组AX =b对任何b都有解的充要条件是Wk o.证：充分性，因为同力0,所以r(A)=r(A,b)。因此，对于任意，r(A)=n=r(A,b),4X=b有解./、%必要性，(反证法)假设|川=0,则(4)。设A=a；，则为a”线性相关，儿从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设a“可 由/,。2,，线性表出，%I0取b =(0,0,0,1)7,贝|J(A力)H,即r(A)-q-1 000、%01-1 00a20 01-1 00 001-140000q +卅 +。3+。4+。5,5方程组有解的充要
33、条件为r(A)=r(4力)即 三 见=0。1=1r 1000-P 1000-1、-11000-11000。4令A=0-1100,增广矩阵(4力)=0-1100300-11000-110a2、000-100-11取Z为 自 由 变 量当=/=1 1-1 000%101-1 00。20 01-1 0%f-0 001-100000时 1 0 0 0 -1、ai+。2+。3+。40 10 0-1出十 的+。40010-1生+%0 0 0 1-1。4、0 0 0 0 00 )令 x得 方 程 组的一个特解：5=0X。=(4 +a2+a3+aA,a2+a3+a4,a3+a4,a4,0)7；再取=1得其导出
34、组的一个基础解系：X,=(1,1 4,1,1)q +的+%+a4a2+a3+%所以，方程组的一般解为X =X o+AX|=4+4+女1，其中左为任意常数。3 8.已知4，为是方程组AX =的两个不同解，%,%是对应齐次线性方程组AX =0的基础解系，则A X=b一般解是：(A)kiai+k2(a+a2)+;kxax+左2 (%-,)+(C)A%+k.B、+人)+4 2；匕%+k 2 (夕1 )+2 解:可证得%，%-四，是线性无关的且是AX =0的解，因此是AX =0的一个基础解系，八 邑 是A X=6的一个解，因此，选(B).2 1 2 3、3 9.已知。=2 4 t，尸为非零矩阵，P Q
35、=0,则：、3 6 9,(A)当6吐 r(P)=l ;(B)当，=6忖，r(P)=2 ;(C)当时，r(P)=l ；(D)当时，r(P)=2 ；1 2 3 解：因为P Q =0,且。=2 4，所以“P)+r(Q)W 3,又因为P为非零矩阵，所、3 6 9,以 r(P)N l,当 r*6 时，r(Q)=2,因此，1 4“P)/、a b、-C)r a2 b2-c2=2,即%,%，。3线性相关。/3 4-C3 仇、r a2%=2,即a”火 线性无关。所以，选(D)。a3 83,41.设A 是m x 矩阵，r(A)=皿 加 )，8 是阶矩阵，下列哪个成立?(A)A 中任一机阶子式=0;(B)A 中任意
36、?列线性无关；(0 卜7 4#0;(D)若 A5=0,则 8 =0；(E)若 r(B)=,则 r(A B)=m.解：选(E).r(B)=n,所以 8 可逆，r(AB)=r(A)=m.4 2.设冈，。?,，“(%e R,i=1,，机，机 2)线性无关，下列哪个成立？(A)对任意常数匕，怎，&.&，有+女2a2+匕=0；(B)任意左伙 个 向 量 线性相关；(0 对任意p e R ,a,.,a,B线性相关;(D)任意k(k?)个向量线性无关.解：选(D),因为整体线性无关，部分必线性无关。4 3.设a,4,7线性无关，/夕 线性相关，下列哪个成立？(A)a必 可 由 线 性 表 示；(B)4必可由
37、a,7 线性表示；(0 b必可由a,y 线性表示；(D)b必不可由a,线性表示.解：选(C)。因为a,/?,y 线性无关，所以a,线性无关。因为a,夕线性无关，a,p,8线性相关，所以b必可由的/线 性 表示，从而b必可由a,7线性表示。4 4.设A 是 4 x 3 矩阵，4)=1,看3 是非齐次线性方程组4 X =6 的三个线性无关解，下列哪个是A X =0的基础解系？(A)(B)。+&2 女(C)-Y 4H3解：因为r(A)=l,所以A X =0的基础解系含有2 个线性无关的解，因此(A),(B)不正确。(D)的两个解不是A X=0的解，故选(C).4 5.设向量组 弓,。2，。3 线性相
38、关，。2，。3，.线性无关。回答下列问题，并证明之。(1)%能否由%，线性表示？(2)(Z 4 能否由。1，。2，。3 )线性表示？解：(1)因为1 2，。3，。4 线性无关，所以1 2，4 也线性无关，又因为名,%，线性相关，所以必 可由。2，。3线性表示。(2)(反证法)假设%能由线性表示，再 山(1)，%能山，。3线性表示，所以。4能 山%，。3线性表示，即4，%，%线性相关，与。2，。3，0 4线性无关矛盾。所以，4不能山 冈,4，%线性表示。4 6.设A为阶矩阵，若存在正整数k(k N 2)使得A%=0,但屋-勿工0 (其中a为维非零列向量)，证明：a,Aa,，屋 一勿线性无关。证明
39、：(定义法证)若.a +，24 a +A i a=O，上 式 两 边 左 乘 得，txAk-a+t2Aka +-+tkA2k-a=因为A*a =O,所以4八匕=一=A?2a =0因此，ttAk-a=0,又因为4 勿/0,得.=0。利用同样方法，可求得，2 =h -h=0，因此，,人 线性无关。4 7.设4,8分别为 x?,?x 矩阵(n i n),S.A B =I(阶单位矩阵),证明：8的列向量组线性无关。证：因为 A8 =/,U n 1-1 1 ojr-i-0,01 0、1 i。5-M因为秩 4,人,/?3 =秩%，%，%=2,所以 5-g a=0,所以，a=15 o1 a a、a 1 a4
40、9.设A=.为几阶矩阵(2 3),Q ER,且 r(A)=一l,求。a 1,解：因为r(A)=一 122(n 3)所以QW1000-10000-10(n-l)a +l因为r(A)=”一l,所以(一l)a +l =O,因此,50 .设阶矩阵A的每行元素之和均为零，又r(A)=/i-l,求齐次线性方程组Ax=0的通解。解：因为r(4)=-1,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含一个解向量。设A=(4 分 力,)，因为A的每行元素之和均为零，所以4+国+用”=0即A 1=0,因此I是齐次线性方程组Ax=0的个基础解系。从而，Ax=0的通解为:&=k，其中人为任意常数。51 .己知下列线性方程组I
41、,n为同解线性方程组，求参数机，/之值。X +X)2%4 =6,I 08J I。0 -11 -20 01、2107所以(2B 2A2-AA-B X=Y的一个特解为：(；,1,0了。(1,2,1)为其导出组的一个基础解系。因此，Q B?!?-A16 )x=y 的一般解为:(L l,0)r+M l,2,l)r,其中，为任意常数。253.设n阶矩阵A=(%,的，氏)的行列式阂。0，A的前“一 1列构成的“x(i 1)矩阵记为4%-1)，问方程组A X =%有解否？为什么？解：无解，因为(&)=”一1,“4，4,)=。54.设a,均为非零的“维列向量，A=a/3T,证明：A中任意两行(或两列)成比例。
42、解：因为r(A)m in(r(a),*T)=l,所以A中任意两行(或两列)成比例。5 5.设阶矩阵A分块为A=AI A2A?i 2 2 ，其 中 为 左 阶 可 逆 矩 阵(攵 ),证明：存在主对角元为1的上三角矩阵U和下三角矩阵L,使得LAU4 o、0 B解：由分块矩阵的初等变换，不难知道:4 0、M阂GAlA 2(ik4 2人。n-k 7所以，L=0Ai0 4 2 -A?/A2A，Un-k4 七4、10/J5 6.设A,B皆为阶矩阵，证明:(1)1 B.A厂”研(2)l-ABI-BA-(3)det(AI-AB)=det(AI-BA)(2 为任意常数)。证:(1)因为、一 AOY 1 O _
43、/B、“A/厂0 I-AB(2)所以0 I/A因此,因为04B-B I/J U所以,0-B II AB I Bl-0 I-A BJ =l A I,B I-BAZ=A0B因此，=/_ 员4A 1 1 1由(1)即得：网。分两种情况来讨论。当4 =0时，卜4司=(一1)闾忸|=卜 网，成立。当/Iw O时，因为,I o Y I一 A叫 _|7 B (I-7BYZ 厂1 0 A I-A B J1 0 I0、J一(A R,所以，d e t(2/-AB)=d e t(A/一 BA)=。A AI综上，结论成立。57.证明：若A是z x 矩阵，r(A)=r ,则存在z xr矩阵8,r x 矩阵C,且r(8)
44、=C)=r,使得A=8 C (提示：利用相抵标准形)。(I 0、证明：因为，r(A)=r,所以存在可逆矩阵尸(机阶)、。(阶)，使得24。=V(n-r)x j因为PL0T为可逆矩阵，所以M,“*,的列向量组线性无关，N 的行向量组线性无关。令 B=所,10 =(M“*,。九”1 (nT-r)xn J(o i即满足条件，从而此题得证。58.设 A,B 皆为阶矩阵，尸（4）+*8），证明存在可逆矩阵。，使得A Q B =O。证明：结合相抵标准形，不难知道，存在可逆矩阵片,Q”舄,。2,使得：W，4 o o j因为r（A）+r（B），所以=0 ,令。=。Z，则此题得证。59.证 明：4，%,?（其中
45、4*0）线性相关的充要条件是存在一个（1 尸）使得6 可由火,。2，,%_ 线性表示，且表示法唯一。证明：（充分性）因为存在-个名（1 W r）使得q.可 由%,。2,线性表示所以,线性相关，从而囚,修，氏线性相关。（必要性）因为四,。2,火线性相关，所以存在不全为零的一组常数&，&，匕 使得k%+k2a2 H-1-krar-0在使匕q+k2a 2+=0成立的所有不为零的系数中，必有一个最小的下标，使k产 0,但%=0（/i）。下面说明l i r。如果i=l,则占。1=0 水 产 0,从而因=0矛盾。最后证表示法唯一。若囚,。2,线性相关，则显然得到一组数与前面匕的取法矛盾。所以，叫,。?,a
46、”|线性无关。又因为四,。2,a,线性相关，所以表示法唯一。60 .证明：向量组a”。2,线性无关的充要条件是a 产 产 =2,3,s）。六 提示：此命题是59题的逆否命题。61 .设向量组名,。2,火线性无关，如在向量组的前面加入一个向量，证明：在向量组月,名,%，中至多有一个向量%(1 4,4尸)可经其前面的i个向量民名,。2,，%-1线性表示。并在R 3中做几何解释。证明：反证，设 有 两 个 向 量 均 可 经 其 前 面 的 向 量 线 性 表 示：,-k j 3 +ka-F&_ /_ (1)%=/7+/+(2)x/(2)x女得：(k J-1/)%4-F(&-/_/”#)_ (/+l
47、ik)ai-li+kai+-1+ka =0因为因,，,火线性无关，所以囚,。2，?线性无关，名,。2,，火线性无关，因此k=Q,则 由(1)知名 可由内,&2,线性表出，与%,，,火线性无关矛盾。6 2.证明：在维向量空间R 中，若向量a可经向量组%,4,4线性表示，则表示法唯 一 的 充 分 必 要 条 件 是 向 量 组a、线性无关。证明：(充分性)设有表示法a=院 +k2a2+ksasa -/,|+l2a2+lsas两式相减得:(%-/)+(女2，2)4 2+(冗，S)4=0因为名,火，,4线性无关，所 以 匕=儿&=4,&=小 即可证表示法唯一。(必要性)反证，设。2,4线性相关，则存
48、在不全为零的一组数设为P 1，P 2,P,使得 pai+p2a2+psas=0因为向量。可经向量组a 1,4 线性表示，所以存在一组常数名,必，么使得所 以,a =(p|+4)%+(2+%)%+(P s+%)&因为四，“2,P,不全为零，所以这是异于上面的另一种表示法，从而与表示法唯一矛盾。63.设 A 是”阶 矩 阵,r(A)=l o证明:(1)A=(仇也，也);(2)A2=M.证明：(1)因为r(A)=l,所以A 的每行向量成比例，即得此结果。A2、qa2(4也,也)/、aia2(4也,也)令人=(仇也，也)?即得此结果。/a a2r.j n.A64.设 A=a，2 a.22 a m l.
49、a mol:,=J,。=(也，也)r,X =(X ,X 2，.,X m)r.mn 7 y(i/(1)证明：若 Ay =Z,有解，则 4%=0 的任一组解占,2,/必满足方程+b2x2+-+bmxm0.(2)方程组A)，=b有解的充要条件是方程组AbT)无解(其中0是 x l零矩阵)。证明：(1)因为Ay =b，所以/因此，对任一组再M 2,与，若它满足Ax =0,则 必 有 丁 晨=0,即Z/x =0,即6内+4/+以%=0.(2)方程组A y=b有解=r(A)=r(A/)=b可由4的列向量组线性表出八 A1 A 0(必要性)因为b可由A的列向量组线性表出，所以r(A)=r r r ri b
50、b 1所以，方程组,X=无解。“J I If ATY(AT()、(充分性)因为方程组 T x=无解，所以r(A7)4r r r T r(Ar)+lA1 因此，r 7=AT),从而b可由A的列向量组线性表出。b6 5.设4是-个机x矩阵，m 1 ）,且 =0,则间中任意两行（或列）对应元素的代数余子式成比例。证 明:因 为 =0,所以r（A）4-l,因此（4*）4 1,即可证。68.设 A 是（-l）x 矩阵，表示A 中划去第/列所构成的行列式。证明：(1)(|AJ,|阕,(1)比 I)7 是 Ax =0 的一个解;(2)若(j =l,2,.,n)不全为零，则(1)中的解是Ax =0 的一个基础