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1、重难点0 6几何类综合问题【命 题 趋 势】几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在.几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较重，解答题数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置.只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动态问题、最 值（范围）问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大.所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题.【满 分 技
2、 巧】1.熟 练 掌 握 平 面 几 何 知 识：要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识,尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识.儿何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识.2.掌 握 分 析 问 题 的 基 本 方 法：分 析 法、综合法、“两 头 堵”法：1）分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少
3、的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所有的条件都已知为止即可.2）综合法：即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；3）“两头堵”法：当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略.3.注 意 运 用 数 学 思 想 方 法：对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的.常用数学思想方法：转化、类比、归纳等等.【限时检测】A卷（建议用时：9 0分钟）1.（2021安
4、徽中考真题）在6 c 1中，NACB=9 0 ,分别过点B,C 作 N84 C平分线的垂线，垂足分别为点。，E,8 c 的 中 点 是 连 接 C,MD,M E.则下列结论错误的是（）A.C D =2 M E B.M E!/A B C.B D =C D D.M E =M D【答案】A【分析】设 A。、BC交于点H,作 麻，4?于点F,连接E F.延长AC与 BO并交于点G.由题意易证 C A E F A E（S AS）,从而证明ME为VCBR中位线，H P M E/A B,故判断B 正确；又易证 A G D=A B D（A S A）,从而证明D 为 B G中点.即利用直角三角形斜边中线等于斜边
5、一半即可求出C D=B D，故判断 C 正确；由 N HD M +Z D HM=90、N HC E+Z C HE=90和/D HM =A C HE 可证明 A HD M =Z HC E .再由 A HE M +/E HF=90、N E HC =N E HF 和 Z E HC+Z HC E=90 可推出 N HC E=Z HE M ,即推出 NHDM =N/E M，即 M D=M E，故判断 D 正确；假设C）=2M,可推出CD=2 M D,即可推出NDCM=3 0 .由于无法确定NDC版的大小，故 CD=2M E 不一定成立，故可判断A 错误.【详解】如图，设力。、B C 交于点H,作 彼 _
6、LA 8于点片 连接E F.延长4c 与 8。并交于点G.是 4A C 的平分线，HF 1A B-H C A C r ：.H CH F,：.AF=AC.A F A C,在 VC4 E 和 AM E 中，I C A E -Z F A E ,：.ME F A E(S A S),A E A E:.C E=F E,AEC=ZAEF=90,：.C,E、F 三点共线，点 E 为 CF 中点.M为 BC中点，.;M E 为VC3尸中位线，.E 7/A 3,故 B 正确，不符合题意;ZGAD=ZBAD在AGO 和m 中，-ADAD,：.AGD=ABD（ASA）,ZADG=NADB=90：.GD=BD=-BG
7、,即。为 8G 中点.在 ABCG中，NBCG=90,；.CD=工BG,2 2：.CD=B D,故C正确，不符合题意；ZHDM+ZDHM=90,/HCE+/CHE=9Q0,/DHM=/C H E,：./HDM=/H C E.HF1AB M E/AB,：.H F工ME，：.ZHEM+/EHF=90。.4）是“4。的平分线，./即。=/即/./7。+/。E=9（），A ZHCE=ZHEM,:.ZHDM=/HEM MD=ME，故 DiE确，不符合题意；:银饺 CD=2ME,：.CD=2 M D,：.在 R%CDM 中,NDCM=30。.无法确定NDCM的大小，故原假设不一定成立，故A错误，符合题意.
8、故选A.【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30。角的直角一角形的性质等知识，较难.正确的作出辅助线是解答本题的关键.2.（2021山东滨州中考真题）在锐角“5C中，分别以A8和AC为斜 边 向 的 外 侧 作 等 腰RhABM和等腰点。、E、尸分别为边AB、AC、8C的中点，连接M、MF、FE、FN.根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：MD=F E,NDMF=4EFN,FM工FN,$“=3%边 形 其中结论正确的个数为（）【答案】B【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论，连接
9、。尸，EN,通过SAS定理证明AMCF丝FEN判断结论，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论,利用相似三角形的判定和性质判定结论.【详解】解：E、F分别为边AB、AC,BC的中点，且AA8M是等腰直角三角形，：.DM=AB,EF=AB,EF/AB,NMOB=90,：.DM=EF,NFEC=NBAC,故结论正确；连 接。尸，EN,:D、E、F分 别 为 边AB、AC、8 C的中点，且ACN是等腰直角三角形,：.E N=A C,D F=AC,D F/AC,NNEC=90,：.EN=DF,ZBD F=ZBAC,NBDF=NFEC,：.ZBDF+ZMDH=ZFEC+ZNEC,：.N
10、M D F=/F E N,MD=EF在和FEN 中，2M D F =ZFEN,:.4M D F m/F E N (SAS),：.Z D M F Z E F N,故结论正确;DF=EN：E F/AB,D F/A C,，四边形 AOFE 是平行四边形，:.N D FE=N BAC,又 MO尸丝 FEN,：.Z DFM=Z ENF,：.Z EFN+Z DFM=Z EFN+Z ENF=180-Z FEN=180-(N FEC+N N EC)=180-(ZfiAC+90)=90-ZBAC,：.Z M F N Z D F E+Z E F N+Z D F M=Z B A C+9 0 0-Z B A C=9
11、0 ,故结论正确；.)，.(。，.:，.一 4所 为 则 源 小，故结论错误，AB 2 A48C 3.正确的结论为，共3个，故选：B.【点 睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键.3.（2021四川泸州市中考真题）如 图，。的 直 径AB=8,AM,B N是它的两条切线，O E与。相切于点E,并 与4M,B N分 别 相 交 于。，C两 点，BD,O C相交于点尸，若CC=10,则B F的长是10后9【答案】A【分 析】过 点 D 作 D G B C 于 点 G,
12、延 长C O交D 4的延 长 线 于 点 H,根据勾股定理求得G C =6,即可得AD=BG=2,8c=8,再证明”A。丝8 C 0,根据全等三角形的性质可得A=BC=8,即可求得川）=10：在RSABD中，根据勾股定理可得8。=2折；证明O H FSABC F,根据相似三角形的性质可得DH DF,加 8折-=-由此即可求fj-BF-BC BF 9【详解】过点D作DGLBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,VAM,BN是它的两条切线，OE与。相切于点 E,J.ADDE,BC=CE,ND4B=NA8C=90。，：D G B C,四边形 A8GD 为矩形，：.AD=BG,AB=DG=i,在 R
13、SDGC 中，CD-10）GC=yJC lf-D G2=V102-82=6-AD=DE,BC=CE,CD=0,：.CD=DE+CE=AD+BC=10,：.AD+BG+GC=10,：.AD=BG=2,BC=CG+BG=S,；NrAB=/A8C=90。，J.AD/BC,:.NAHO=NBCO,NHAO=NCBO,：04=08,.,.“AO丝SCO,：.AHBC=S,：AD=2,：.HD=AH+AD=0；在 RtAABQ 中，AD=2,AB=8,BD=ylAB2+AD2=V82+22=2717-DH DF：AD/H C,:.丛 DHFs 丛 B C F,：.=,BC BF.3 =巫竺，解得，B八 生
14、 叵.故 选A.8 BF 9【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.4.（2021黑龙江鹤岗市中考真题）如图，在正方形A8CO中，对角线AC与6。相交于点。，点E在BC的延长线上，连接。E,点F是。上的中点，连接OF交C。于点G,连接C E,若CE=4,OF=6.则下列结论：Gb=2；OD=yiOG；tanNCDE=g；ZODF=ZOCF=90；点 D 到 CF的 距 离 为 座.其中正确的结论是（）5A.B.C.D.【答案】C【分析】由题意易得5 c =8,8。=。=。4=OC,NBDC=45,/
15、B C D =ZDCE=90,由三角形中位线可进行判断；由AOOC是等腰直角三角形可进行判断；根据三角函数可进行求解；根据题意可直接进行求解；过点。作。H L C F,交C尸的延长线于点”，然后根据三角函数可进行求解.【详解】解：；四边形ABCO是正方形，二 BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45,/B C D =ZDCE=90,ACLBD,.点尸是OE 的中点，OF=LBE,OF7/8,；O9=6,CE=4,，族=12，则 CD=BC=8,2CJ F,JOF/BE,.,.D G FA D C,；.-=一，Z.GF=2,故正确；CD CE 2.点 G 是 C。的中点，.OGJ_CC
16、,/ODC=45。，.DOC是等腰直角三角形，。二夜O G，故正确；CE 1V CE=4,CD=8,ZDCE=90,：.tan ZCDE=一，故正确；CD 2VtanZCDE=-l,：.ZCDE 45,：.ZODF9Q0,故错误；2过点D作D H LCF,交CF的延长线于点”，如图所示：,点F是 C 的中点，:.CF=DF,:.NCDE=NDCF,：.t anZ C D E=t anZ D C F =-2设。H=x，则C =2 x，在 中，X2+4X2=6 4.解得：尤=述,5：.D H=比，故正确；.正确的结论是；故选C.5【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，
17、熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.5.（2 0 2 1山东东营市中考真题）如图，AM C 是边长为1 的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且/D B E =30,过点。、E分别作A&8c 的平行线相交于点F,分别交B C、A8于点H、G.现有以下结论：当点。与点C重合时，FH=g；A E +C D =&D E;当AE=C 时，四边形 B H F G 为菱形,其中正确结论为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】过 A作 A/，8c垂足为/,然后计算 4 B C 的面积即可判定；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定；如图将A B C。
18、绕 B点逆时针旋转60。得到AABN,求证NE=DE；再延长E 4 到户使A P=C D=/W,证得N P=60。，N P=A P=C D,然后讨论即可判定；如 图 1,当A E=C。时，根据题意求得C”=C 力、A G C H,再证明四边形8”FG为平行四边形，最后再说明是否为菱形.【详解】解：如 图 1,过 A作 A/_L 8c垂足为/4 5。是边长为1 的等边三角形Z B A C=Z A B C=Z C=60,Ci=-BC=-：.AI=也 SMBC=LA7 BC=！X1X =，故正确；2 2 2 2 2 2 4如图2,当。与C重合时；NO8E=30。，4 A i S C是等边三角形；.N
19、 D B E=NABE=30。：.DE=AE=工A D =!2 2BG D E i；GE/BD：.=1；.B G=-A B =-：GF/BD.BG/DF：.H F=BG=，故正确；A G A E 2 2 2如图 3,将8CO 绕 B 点逆时针旋转 60。得到A4 BN；.N l=/2,Z 5=Z 6=60,AN=CD,BD=BN：/3=30”.N 2+N 4=/1+/4=30./NBE=N3=30又,：BD=BN,BE=BE：.A N B E 公A D B E（SAS）：.NE=DE延长 EA 到 P 使 AP=CD=AN：Z NAP=180o-60-60o=6 0 4 V P 为等边三角形，
20、NP=60。，NP=AP=CD如果AE+C=6O E成立，则 P E=6 NE；需NNEP=90。,但/N E P不一定为90。，故不成立；如图 1,当 AE=CD 时，：GE/BC：.NAGE=NA8C=60,/GEA=NC=60A ZAGE=ZAEG=60,；.AG=AE 同理：C H=C D：.AG=CH：BG/FH,GF/BH：.四边形B H F G是 平 行 四 边 形 四 边 形B H F G为菱形，故正确.故选B.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.6.（2021湖南衡阳市中考真题）如
21、图，矩形纸片4 3 8,4 3 =4,3。=8,点用、分别在矩形的边/1。、3 c 上，将矩形纸片沿直线M N 折叠，使点C 落 在 矩 形 的 边 上，记为点P,点。落在G 处，连接PC,交M N于点Q,连接C M .下列结论:四边形C M P N是菱形;点尸与点4 重合时，M N =5；APQM的面积S 的取值范围是4 S 5.其中所有正确结论的序号是（）B NA.B.C.D.【答案】C【分析】根据矩形的性质与折叠的性质,证明出NPM N=ZP N M ,P M=P N,通过等量代换，得到PM=CN,则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理CN=5,CQ=3AC=2小,由
22、菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出MN=2QN=2逐；当过点。时，最小面积S=；S菱 形CMPS=；X4X4 =4,当 P 点与4点重合时，S最大为S=；*5*4=5,得出答案.【详解】解：如图I,PMPCN,：.ZPMN=ZMNC,折叠，ZMNC=NPNM,NC=NP:./PMN=/PNM,；.PM=PN,：,PM=CN,：.MPCN,；.四边形 CNPM 为平行四边形,QV=NP,.平行四边形C N PM 为菱形，故正确，符合题意；当点P 与 A 重合时，如图2 所示设 8N =x，则 A7V=M C=8-x,在 RrAABN 中，AB2+BN2=AN2,即4 2+2=（8一）2,
23、解得：x=3，；.CN=5,A C NAB?+BC2=4/，CQ=gAC=2 g ,又.四边形 CNPM 为菱形，,A C _ L M N,且 MN=2QN,：.QN=yCN2-CQ2=75:.MN=2QN=2不，故错误，不符合题意.当M N 过点。时，如图3 所示:图 3此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则 s最小为S =；S 菱 形CMPS=；X4X4 =4,当 P点与4点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则 S最大为S =4 x 5 x 4 =5 ,4A4S 绕点A顺时针旋转9 0。得到AA B H,则有。E=8”，N D A E=N B A H,然后易得M E/运 A
24、 H F,则有E f,则可判定；对于：连接4C,在8P上截取B M=O P,连接AM,易得。8=。,O P=O M,然后易证A O PS2M 8 F,进而问题可求解：对于：过点A作 A M L E 尸于点N,则由题意可得A N=A 8,若4 E F的面积为定值，则 E F 为定值，进而问题可求解；对于由可 得 丝=也，进而可得A A PGS/X A FE,然后可得相似比 为 丝=也，最后根据相A F 2 A F 2似三角形的面积比与相似比的关系可求解.【详解】解：；四边形A8 CO 是正方形，P F L A P,ZAPF=ZABC=ZADE=ZC=90,AD=AB,N A 8D=4 5,；ZA
25、BC+ZAP F =1 8 0 ,由四边形内角和可得 44P+N5EP =1 80,.点 4、B、F、P 四点共圆,A AFP=ZABD=45,.AP尸是等腰直角三角形，A P=P F，故正确：把 4EO绕点A顺时针旋转90。得到 4 8 4,如图所示:H B：.DE=BH,ZDAE=ZBAH,ZHAE=90,AH=AE,/H A F =/E A F =45.：AF=AF,.AEF丝A/7F(SAS),：.HF=EF,；HF=BH+B F，:.DE+BF=E F，故正确；连接A C,在BP上截取8M=/，连接A M,如图所示：对角线8。的中点，.OB=OQ,B D 1A C,：.OP=OM,Z
26、iAOB是等腰直角三角形，AB=&A O，由可得点A、B、F、P四点共圆，.NAPO=NAFB,ZABF=ZAOP=9(),：.A O P/A B F,二 2=丝=理=也，A(9P=-BF AB AF 2 2,/B P-DP=BP-B M =PM=20P,P B-PD=QBF，故正确：过点A作ANJ_E尸于点M 如图所示：由 可 得/B=N”M V ZABF=ZANF=90,AFAF,：./ABF/ANF(A4S),：.AN=AB,若44E尸的面积为定值，则EF为定值，.点P在线段。上，.E f的长不可能为定值，故错误；由可得”=立，：NAFB=NAFN=NAPG,NFAE=NRG,AF 2综
27、上所述：以上结论正确的有；故答案为.【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.8.（2021广东广州中考真题）如图，正方形ABCZ）的边长为4,点E是边8C上一点，且8E=3,以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点尸、G,。尸与AE交于点H.并与0A交于点K,连结HG、CH.给7出下列四个结论.（1）”是5K的中点；（2）N G D H E C；（3）S HC：S DHC=9:16;（4）DK=-,其 中 正 确 的 结 论 有 （填写所有正确结论的序号）.【答
28、案】（1）（3）（4）.【分析】由 正 方 形 的 性 质 可 证 明 尸丝&B E,则可推出NA”F=9 0,利用垂径定理即可证明结论（1）12正确；过点、H作MN/AB交BC N,交4 0于 山 三 角 形 面 积 计 算 公 式 求 出A”=二，再利用矩形的判定与性质证得MG=N E,并 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 分 别 求 出 三，NH=|，则最后利用锐角:角函数证明NM GHH47EN,即可证明结论（2）错误；根 据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得A M=!|,即可证明结论（3）正确；利 用（1）所得结论。K=D E-2切 并由勾股定理求出尸再求得D
29、K,即可证明结论（4）正确.【详解】解：（1）.四边形A8CD是正方形，.I 4）=AB=4,ZDAF=ZABE=90.又：AF=BE=3,：./DAF/ABE.ZAFD=ZBEA.V ZBEA+ZBAE=90,：.ZAFD+ZBAE=90,：.ZAHF=90,：.AH FK,：.FH=KH,即，是FK的中点；故 结 论（1）正确；（2）过点”作MN?交8 c于M交A。于M,1 1 ._ 12由(1)nA H L F K,-A D AF=-D F AH.V DF=AF2+AD2=5 A H=.四边形 48CO 是正方形，M N/AB.：.ZDAB=ZABC=ZAMN=90.二四边形 48MW
30、是矩形.，M/V=AB=4,AM=B N.,：AG=B E,：.A G-AM =B E-B N.即 MG=N.V AD/BC,：.ZMAH=ZAEB.：ZABE=ZAMN=90,Z,MAH ABEA.12,即二 MH.解得 AW=竺.则 N=4-M H=AE AB-=25 255 4；tan NMGH=也,tanZHEN=.*:MG=NE,MH 丰 NH,MG NEMG NE：.工 一.：4MGH 丰 /H EN .：.ZD GH ZCEH.二 G O与不全等，故 结 论(2)错误;MH NH12(3)M W .丝=粤.即 AM.解得.=已AE BE 5=3 25由(2)得久A H C=；M
31、A G,SD H C=D C A D-A M).48S AHG MH AG 25X J 9*5 DWC-DC(A D-A M)4X4_36|-16:故 结 论(3)正确；(4)由(1)得，H 是尸K 的中点，A DK=D F-2FH .由勾股定理得F”=jA F2_A”2 1 3 2 T m 2=、.OK=5-2 x*=(；故 结 论(4)正确.故答案为：(1)(3)(4).【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键.9.(2021天津中考真题)如图，正方形ABC。的边长为4,对角线A C,8。相交于点。，点E,F分别在B C,C
32、O的延长线上，且。七=2,。9=1,G为E F的中点，连接O E,交C D于点H,连接G H,则G H的长为.BCE【答案】巫2【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出C”和M G的长，再 求 出 的 长，最后利用勾股定理求解即可.【详解】解:如图，作。K L B C,垂足为点K,.正方形边长为 4,：.0K=2,KC=2,：.K C=CE,：.C H 是x O K E的中位线A C H=-O K=l,作GM1.C D,垂足为点M,2点为E F中点，是AFCE的中位线，A GM=-C =1,MC=-F C =-（CD+DF）=-x（4 +l）=-,:.M H=M C-HC /-1=,2 2 2
33、2 2 2 2在4 MHG中，G H ZMH+MG）=孚故答案为：芈.F4Z）|【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等.10.（2021江苏淮安中考真题）（知识再现）学完 全等三角形 一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.（简单应用）如 图（1）,在中，/8AC=90。，A8=AC,点。、E分别在边AC、A 8上.若 CE=BD,则线段A E和线段A D的 数 量
34、 关 系 是.A(拓展延伸)在AABC 中，Z B A C=a(90：【拓展延伸】相 等，证明见解析；AE-49=2AC cos(180-),理由见解析【分析】简单应用：证明RfAABD四心AACE(H L),可得结论.拓展延伸：(1)结论：A E A D.如 图(2)中，过点C 作 CMJ_8A交 8A 的延长线于M,过点N 作C4 交 C4 的延长线于 N.证明CAMg/84N(A A S),推出 CW=8N,A M=A N,ffiHJl RtCMERtBND(H L),推出E M=W,可得结论.(2)如图(3)中，结论：AE-AD=2m*cos(180-a).在 A8 上取一点,使得 B
35、 D=C E,W J AD=AE.过点 C 作 CT_LAE于 T.证 明TE=TE,求出A T,可得结论.【详解】简单应用：解：如 图(1)中，结论：AE=AD.图 图理由：V Z A=Z A=90,AB=AC,BD=CE,:.R m A B D 等RtACE(H L),J.A D A E.故答案为：AEAD.拓展延伸：(1)结论：AE=AD.理由：如 图(2)中，过点C 作 CMLBA交 84 的延长线于M,过点N 作 BNLCA交 CA的延长线于N.：/M=/N=9 0。，N C A M=N B A N,CA=BA,(A4S),:.CM=BN,A M=A N,:N M=/N=90,CE=
36、BD,C M=B N,:.Rt4cME沿RtxBND(H L),:.EM=DN,：A M=A N,：.AE=AD.(2)如 图(3)中，结论：AE-AD2m-cos(180-a).E图(3)理由：在 AB上取一点E，使得B O=C E,则A =4 .过点C 作 CTJ_AE于 T.：CE=BD,CE=BD,：.CE=CE,：CTLEE,：.ET=TE,AT-AC,cos(180-a)m*cos(180-a),：.AE-AD=AE-AE=2AT=2nrcos（180-a）.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角
37、形解决问题.11.（2021湖北十堰中考真题）己知等边三角形A B C,过 A 点作4 c 的垂线/,点 P 为/上一动点（不与点A 重合），连接C P,把线段C尸绕点C 逆时针方向旋转60。得到C。，连 Q8.(图1)(图3)（1）如 图 1,直接写出线段”与8。的数量关系；（2）如图2,当点尸、3 在 A C同侧且AP=AC时，求证:直线总垂直平分线段CQ；（3）如图3,若等边三角形A8C的边长为4,点 P、B 分别位于直线AC异侧,且AAPQ的面积等于迫，求线段AP的长度.4【答案】（1）AP=8Q；（2）见详解；小 或 近 或26+叵3 3 3【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形
38、的性质，可得CP=CQ,ZACP=ZBCQ,AC=BC,进而即可得到结论；（2）先证明BCQ是等腰直角三角形，再求出NCBZX45。，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论；（3）过点B 作 B E U,过点。作 Q尸，/,根据aA C P/8 C Q,可得AP=8Q,ZCAP=ZCBQ=90r设A P=x,则 5Q=x,MQ=x-y/3,QF=(立，再列出关于x 的方程，即可求解.3 3 2【详解】(1)证明：.线段CP绕点C 逆时针方向旋转60。得到C Q,.工 4:传，/PCQ=60。，.,在等边三角形 ABC 中，ZACB=f)0,AC=BC,：.ZACP=ZBCQ,：./A C
39、P/B C Q ,：.AP=BQ-(2)V AP=AC,CA，/,.A 8 是等腰直角三角形，.BCQ 是等腰直角三角形，ZCBQ=90,;在等边三角形 ABC 中，AC=AB,NBAC=NA8C=60。，：.AB=AP,/8 A 片 90-60=30,ZABP=ZAPH=(80-30)+2=75,NCBD=180-75-60=45,.P。平分/CBQ,.直线M 垂直平分线段CQ：(3)当点Q 在直线上方时，如图所示，延长BQ交/与点E,过 点 Q 作Q F，/与点尸，由题意得AC=8C,PC=CQ,ZAC3=NPCQ=60,ZACP=ZBCQ,:.APC BC Q（SAS）,:.AP=BQ,
40、NCBQ=NC4P=90,.ZCAB=ZABC=60,:.ZBAE=ZABE=30,.AB=AC=4,:.AE=设=则 8。=，S.p n=-AP.QF=,AAQ 2-4不4 733至2-4BES*吗/.ZBEF=60,-t ,在心0 中，QF=-E Q =(-t),迪T)=t，解得f=6或 乎，即A P的长度为6或 乎:当点。在直线/下方时，过点8 作 8E，/,过点。作。尸，/,山（1）小题，可知：AACPABCQ,：.AP=BQ,NCAP=NCBQ=90。,：ZACB=60,NC4例=90,；.NAMB=360-60-90-90=120,即：N8ME=NQMF=60,V ZBAE=90-
41、60o=30,A8=4,：.B E-A B =2,：.BMBEsm60=2-j3,2 2 3设 4 P=x,贝IJ8Q=X,MQ=x-百,QF=MQxsin60=（x-G）x也，3 3 2.442。的面积等于正，二!4 8 0 尸=，即：；xx（x；6）x更=在，4 2 4 2 3 2 4解得：x 2有+叵 或x=2小叵（不合题意，舍去），；.AP=2 6+叵.3 3 3 3 3 3Q综上所述，A P的长为：石 或 叵 或 己 国 叵.3 3 3【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.1
42、2.（2021辽宁沈阳中考真题）在 AA8 c 中，=中，CE =C D（C E C A）,B C =CD,Z D =a,Z A C B+Z E C 7 1 8 0 ,点8,C,E不共线，点P为直线O E上一点，且P B=P D.（1）如 图1,点。在线段B C延长线上，则,ZABP=,（用含a的代数式表示）；（2）如图2,点A,E在直线B C同侧，求证：8尸平分Z A 8 C；（3）若N A B C =6 0。，BC=y/3+l,将图3中的C E绕点C按顺时针方向旋转，当8 P L O E时，直线P C交8 0于点G,点M是尸。中点，请 直 接 写 出 的 长.【答案】（1）1 8 0。-%
43、，a；（2）见解析；（3）GM的长为 息 工 或;.2 2【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可.（2）如图2中，连接8D.证明N P B C =N C D E=a，可得结论.（3）分两种情形：如图3-1中，设3 P交A C于J.图3 2中，设P C交B C K,当8 P J.P C时，利用三角形的中位线定理，可得GM=g尸8,求出P B,可得结论.【详解】解：如 图1中,AB=AC,ZABC=Z.A.CB=2/3C J=-,2 2 2 :NCPD=NCPJ=45,：.PJ=JC=J ,:.PB=BJ+PJ=+2,:.GM.2 2如图3-2中，设PC交8 c于K,当BP
44、JLPC时，同法可证DvZPBC=30%NGPB=ZPBC+ZPCB=45。,；.PCB=/PC D =15。,Z/TCE=120o-15-15o=90,v Z E =30o,CE=CB=&T,:.CK=1+更,KB=BC-CK=，石 3 3:.PB=BK cos30=-x -=l,:.GM=P B =,综上所述，GM 的长为 叵 吧 或;.3 2 2 2 2 2【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂宜平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考
45、问题，属于中考压轴题.13.（2021山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在口A3C。中，BE L A D，垂足为E，/为C O的中点，连接 尸，B F，试猜想E/与6 E的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将口ABC。沿着8尸（尸为C O的中点）所在直线折叠，如图，点。的对应点为C,连接。并 延 长 交 于 点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将uABCD沿过点8的直线折叠，如图，点 A 的对应点为4 1 使A 3 L C D于点H,折痕交AZ
46、）于点M,连接A M，交CD于点N .该小组提出一个问题：若 止 匕 口ABCD的面积为2 0,边长AB=5,BC=2 5 求图中阴影部分（四边形由/M 0）的面积.请你思考此问题,直接写出结果.图图图【答案】（I）E F =B F ；见解析；（2）A G B G，见解析；（3）【分析】（D 如图，分别延长A D，8/相 交于点P，根据平行四边形的性质可得A D/A B C,根据平行线的性质可得N P 0F=N C，/P =/F B C,利用A4 S可证明APO尸岭居 根据全等三角形的性质可得F P =F B，根据直角三角形斜边中线的性质可得Eb=，8 P,即可得 石 尸=所；2（2）根据折叠
47、性质可得/CF3=N C户F C=F C,可得。=R 7,根据等腰三角形的性质可得/F D C=/F C D,根据三角形外角性质可得/C F C=/E D U+N 尸 C。，即可得出可得DG/FB,即可证明四边形OGBF是平行四边形，MJW D F=B G=-A B ,可得AG=8G；2（3）如图，过点M 作 M Q L 4 8 于。，根据平行四边形的面积可求出3的长,根据折叠的性质可得4 2=4 3,N A=N A ,N A B M=N M B H,根据A B l C D可得即可证明AMBQ是等腰直角三角形,可得MQBQ,根据平行四边形的性质可得N A=/C,即可得N A=N C,进 而 可
48、 证 明 根 据 相 似 三 角 形 的 性质可得AH、的长，根据M7/MQ可得 4 M/S/V V M Q,根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S*=SA.4W/8-SA“W/即可得答案.【详解】（1）E F =B F .如图，分别延长A D，B F 相交于点P，.四边形ABC。是平行四边形，AD/8C,.NP E=N C，/P =N F B C,N P =N F B C:尸 为 C O 的中点，.）=C E,在POF和ABCF 中，I!)-777?-解得：M Q=,A Q M Q 5-M Q M Q 3S W=SWB-SW NH=AB MQ AH-NH=-x5x-x I x2=2 2
49、2 3 2 3【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.14.(2021 浙江南温一模)定义：如果一个四边形的一条对角线长度是另一条对角线长度的2倍，则称这个四边形为倍半四边形.(1)已知在倍半四边形ABC。中，对角线A C与3。交于点。,8。AC,8 0 =6,如图1,若 AC，8D,AO=3,求BCD的面积；6如图2,若/DOC=N A B C,且ABO与ACB。的面积之比是1:2,求 AB的长度；(2)如图3,已知在AABC中，AC=4 a,过点B作射线BP交AC于点。，使得ZAQB=45。，
50、点。为射线BP上一动点，连 结 和 8,点E,F分别为AZ)和 8C的中点，连结E F,当四边形A8C。为倍半四边形时，求 KF?的值(用含。的代数式表示).【答案】(1)y :道；(2)(5-2 伪/或(20-8/.【分析】(1)根据倍半四边形定义，求出A C,进而求出O C,利用三角形面积公式求解即可；根据面积An 1比求出d=5，得出AO=1,再证.AA 50SAAC8,列出比例式即可求；(2)取 AB中点G,连结E G,F G,分别交。4、OB于 M、N.得 到/=/4。3=45。，作 四，6尸于点H,解直角三角形求E尸的值即可.【详解】(D .倍半四边形4 5 8,8。AC,.AC=