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1、重难点06几何类综合问题【命题趋势】几何综合题是中考数学中的重点题型,也是难点所在.几何综合题的难度都比较大,所占分值也比较 重,解答题数量一般有两题左右,其中一题一般为三角型、四边形综合;另题通常为圆的综合;它们在 试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置.只所以几何综合题难度大,学生一般都感觉难做,主要是因为这 种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动态问题、最值（范围） 问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大.所以我们一定要重 视平时多培养自己的综合运用知识的能力,从不同的角度,运用不同的知识去解决同一个问题.【满分技巧】1
2、 .熟练掌握平面几何知识:要想解决好有关几何综合题,首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识, 尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识.几何综合题重点考查的是关于三 角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识.2 .掌握分析问题的基本方法:分析法、综合法、“两头堵”法:1）分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件, 依次向前推,直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等,需要哪些条件， 哪些条件已知了,还缺少哪些条件,然后再思考要证缺少的条件,又需要哪些条件,依次向前推，直到所
3、 有的条件都已知为止即可.2）综合法:即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；3） “两头堵”法:当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能 得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略.3.注意运用数学思想方法:对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我 们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度,毕竟考场上时间是非常宝贵的.常 用数学思想方法:转化、类比、归纳等等.【限时检测】A卷（建议用时:90分钟）1. （2021安徽中考真题）在aABC中,NACB = 90,分别
4、过点B, C作N84C平分线的垂线,垂足分别 为点。,E, BC的中点是M,连接C。,MD, ME.则下列结论错误的是（）A. CD = 2MEB. MEH ABC. BD = CDD. ME = MD【答案】A【分析】设A、8c交于点Z/,作潜丄AB于点F,连接EF.延长AC与8。并交于点G.由题意易证 CAE =aFAE（SAS）,从而证明ME为VCB中位线，MEHAB,故判断B正确;又易证 AGD=ABD（ASA）,从而证明为BG中点.即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出 CD=BD,故判断 C 正确;由 /HDM + NDHM=90P、/HCE+NCHE = 90。和/DHM
5、= NCHE 7 证明/血W = NCE.再由 /”EM + NEWE = 90、N硝。=/7/和N:。+/（五=90可推 出/HCE = dEM ,即推出N=/TEN,即=ME,故判断D正确;假设C = 2ME, 可推出CO = 2M,即可推出NDCM=30.由于无法确定ZDCM的大小，故CZ） = 2ME不一定成立, 故可判断A错误.【详解】如图，设A。、8c交于点,作H丄尸点,连接E尸.延长AC与8。并交于点G.G：。是 N8AC 的平分线，HF1AB- HC1AC，：.HC=HF, ：.AFAC.AF = AC.,在 VC4E和 aME 中,ZC4 = ZFAE , /. CAE FA
6、E(SAS), AE = AE：.CE=FE, ZAEC=ZAEF=90, AC, , F三点共线，.点 E 为 C 中点.仞为8c中点，.ME为VC中位线，.ME/A8,故B正确，不符合题意;NGAD = /BAD,.在AG。和AB。 中,，AD=AD , ：. AGD =ABD（ASA）,ZADG = ZADB = 90：.GD = BD = -BG ,即。为 BG 中点.,.在 aBCG 中,ZBCG = 90 , A CD=-BG , 22/. CD = BD,故C正确,不符合题意: ； ZHDM + /DHM=90, N/7CE+NC証= 90。,/DHM = NCHE，：. /HD
7、M = /HCE.,/ HF1AB，ME/AB, ：.HFME. ：./HEM + /EHF = 9QP. A 是 ZBAC 的平分线，:.NEHC = NEHF. ,： Z.EHC + AHCE = 90, :. ZHCE = ZHEM ,：.AHDM = NHEM 一:MD = ME,故D正确，不符合题意; .假设 CO = 2M. CZ） = 2MD, .在 R/aCDM 中，ZDCM =30. .无法确定/DCM的大小,故原假设不一定成立,故A错误，符合题意.故选A.【点睛】本题考査角平分线的性质，三角形全等的判定和性质,直角三角形的性质，三角形中位线的判定 和性质以及含30。角的直角
8、一:角形的性质等知识，较难.正确的作出辅助线是解答本题的关键.2. （2021山东滨州中考真题）在锐角aA8C中，分别以A8和AC为斜边向aA8C的外侧作等腰心aABM和 等腰R/aACN,点。、E、尸分别为边A3、AC. 8c的中点，连接M。、MF. FE、FN.根据题意小明同学 画出草图（如图所示），并得出下列结论:MD = FE,NDMF = ZEFN ,FM丄FN ,S宙=3%边附般，其中结论正确的个数为（）【答案】B【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论，连接。/7, EN,通过SAS定理证明AM。尸纟/XFEN判断结论,利用全等三角形的性质结合平行四
9、边形的判定和性质判断结论, 利用相似三角形的判定和性质判定结论.【详解】解:。、E、分别为边AB、AC、BC的中点,且是等腰直角三角形, ：.DM=AB, EF=上AB, EF/AB, /。8=90, :.DM=EF, NFEC=NBAC,故结论正确:连接。, EN, : D、E、分别为边A8、AC、8c的中点,且aACN是等腰直角三角形,:.EN=AC,。尸 =；AC, DF/AC, NNEC=90, ：.EN=DF, NBDF=NBAC, NBDF=NFEC,ZBDF+ ZMDBZFEC+ ZNEC,：,乙MDF=NFEN,MD = EF在AM。和AFEN 中， ZMDF = ZFEN ,
10、 :.MDFAFEN (SAS), :.NDMF=NEFN,故结论正确;DF = EN：EF/AB, DF/AC, .四边形 AOF是平行四边形，；.ZDFE=ZBAC,又纟FEN, :.NDFM=NENF, ：. ZEFN+ ZDFM= ZEFN+ ZENF= 1800-ZFEN=180- (/FEC+/NEC) =180- (ZBAC+900) =90-ZBAC,/. ZMFN= ZDFE+ ZEFN+ ZDFM= ZBAC+900-ZBAC=90, J.MF1FN,故结论正确;JEF/AB, .CEFsCAB, .学=工，.轡 =产? S 四故结论错误，AB 2 咏3.正确的结论为,共3
11、个，故选:B.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形中位线定理，题目难度适中,有一定的综合性,适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键.3. (2021四川泸州市中考真题)如图，。的直径A8=8, AM, BN是它的两条切线，OE与。相切于点E,并与AM, BN分别相交于,C两点,BD, OC相交于点,若C=10,则B的长是BC N 871? 105/17 8 居 107159999【答案】A【分析】过点作。G丄BC于点G,延长CO交。A的延长线于点H,根据勾股定理求得GC = 6,即可得A）=8G=2, 8c=8,再证明/i/MOg 8C
12、O,根据全等三角形的性质可得4=8c=8,即可求得7/= 10；在RSA8）中,根据勾股定理可得5。= 2折;证明“尸6/8。,根据相似三角形的性质可得DH DF, 即一丁亠出8717 =,由此即可求得8尸=一.BC BF9【详解】过点。作。G丄8c于点G,延长CO交。A的延长线于点”， ：AM, BN 是它的两条切线,。:与。相切于点 E, ：.AD=DE, BC=CE, ZDAB= ZABC=90,:。G丄BC, .四边形 A8G。为矩形,：.AD=BG, 48=。6=8,B G C N在 RSDGC 中，CD=IO, -GC = yCD2-DG2 =7102 - 82 = 6-：AD=D
13、E, BC=CE, CD= 10, /. CD= DE+CE = AD+BC = 10,J.AD+BG +GC= 10, ：.AD=BG=2, BC=CG+BG=8, ： ZDAB=ZABC=90, ：.AD/BC, ：. ZAHO=ZBCO, ZHAO=ZCBO,OA=OB, ：.AHAOBCO, ：.AH=BC=,AD=2, ：.HD=AH+AD=0t 在 RsAB。中,AD=2, AB=8,BD = y/AB2+AD1 =而+22 =2/17 A DH DF ：AD/BC, ：ADHFs 厶BCF,：.=，BC BF.=2拒-BF解得,b=ML故选A.8 BF9【点睛】本题是圆的综合题,
14、考査了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判 定于性质,熟练运用相关知识是解决问题的关键.4. （2021黑龙江鹤岗市中考真题）如图,在正方形ABCO中,对角线AC与8O相交于点。,無E在BC 的延长线上,连接。E,点是。E的中点,连接OF交CO于点G,连接C,若CE = 4, OF = 6.则 下列结论:5 = 2；。=商G；tanN8E = e；NODF = NOCF =野;点D到CF的距离为延,其中正确的结论是(A.B.C.D.【答案】C【分析】由题意易得8。= 8,80 = 0。= OA = OC,ZBDC = 45,NBCD = NDCE = 90 ,由三角形中
15、位线可进行判断;由C是等腰直角三角形可进行判断;根据三角函数可进行求解:根据题意 可直接进行求解;过点。作。”丄C凡 交C的延长线于点,然后根据三角函数可进行求解.【详解】解:.四边形ABC。是正方形,BC = CD, BO = OD = OA = OC, ZBDC = 45, ZBCD = ZDCE = 90, AC 丄 8。, .点是E 的中点,.。=丄8民。/7 BE, V OF = 6, CE = 4, ：, BE = 12,则 C)= 8C = 8, 2 JOF/BE, :.DGFsDCE,：.=一,GF = 2,故正确；CD CE 2.点G是C。的中点,.0G丄C。， /。=45。
16、，.。0 C是等腰直角三角形，.0。= 0OG,故正确；CE 1 CE=4, CA8, N。=90。,. tanZCDE =一,故正确；CD 2V tanZCDE = -*l, ：. ZCDE45 , ：. ZODF90,故错误；2过点。作。H丄CF,交CF的延长线于点，如图所示:.,点 F 是 C。 的中点,：.CF=DF, :.NCDE=NDCF,，tan NCDE = tan NOCT7 =丄20 R 设” =x,则C” = 2x,在用，C中,x2+4x2=64.解得:x = .5.04= 延，故正确;.正确的结论是;故选C. 5【点睛】本题主要考査正方形的性质、相似三角形的性质与判定及
17、三角函数,熟练掌握正方形的性质、相 似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.5. （2021山东东营市中考真题）如图， ABC是边长为1的等边三角形，0、E为线段AC上两动点，且 NDBE = 30。,过点。、E分别作AB、8C的平行线相交于点，分别交BC、AB于点从G.现有以下结 论:S、abc =;当点与点C重合时，FH =；AE + CO = JJOE；当AE = C时，四边 形8HFG为菱形，其中正确结论为（）A. （2X3）B.C.D.【答案】B【分析】过A作A/丄8c垂足为/,然后计算aABC的面积即可判定:先画出图形，然后根据等边三角形 的性质和相似三角形的性质即可判定:如图
18、将88绕8点逆时针旋转60。得到aASM求证NE=。后再 延长E4到尸使AP=C=4V,证得/P=60。,NP=AP=CD,然后讨论即可判定:如图1,当AE=C。时, 根据题意求得C”=C。、AG=CH,再证明四边形8G为平行四边形，最后再说明是否为菱形.【详解】解:如图!.过A作A/丄BC垂足为/ABC是边长为1的等边三角形N8AC=NA8C=NC=60。,C/=-BC = -二AI=殳Ssbg丄4.5C =丄xlx史=也,故正确;2222224如图2,当C重合时.NO8E=30。,8。是等边三角形/08；=乙4班=30。;=4：=丄4。=丄 22/ GE/BD：.=1 ，BG= - AB
19、= - ：GF/BD.BG/DF：.HF=BG=,故正确; AG AE222如图 3,将BC 绕 B 点逆时针旋转 60。得到ABN.Ng2, N5=N6=60。,AN=CD,BABN：Z3=30. Z2+Z4=ZI+Z4=3O0/. ZNBE=Z3=30。又,：BD=BN, BE=BE：./NBE/XDBE (SAS) ：.NE=DE延长 EA 到 P 使 AP=CD=AN： ZNAP= 180o-60-60o=60MNP 为等边三角形， ZP=60, NP=AP=CD 如果AE+CD=JOE成片 则PE=&NE,需NNEP=9。,但ZNEP不一定为90。,故不成、;如图 1,当 AE=C。
20、时,：GE/BC：. AGE=ABC=(, ZGEA=ZC=60。.ZAGE=ZAEG=60, ；.AG=AE 同理:CH=CD：.AG=CH：BG/FH,GF/BH：,四边形BHFG是平行四边形四边形BHFG为菱形，故正确.故选B.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识 点,灵活运用相关知识成为解答本题的关键.6. (2021湖南衡阳市中考真题)如图,矩形纸片AB8,AB = 4,BC = 8,点M、N分别在矩形的边A、 8C上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边A上,记为点P,点。落在G处,连接PC, 交MN于点。,连接CM
21、.下列结论:四边形CMPN是菱形;点P与点A重合时,MN = 5；尸QM 的面积S的取值范围是4WSW5.其中所有正确结论的序号是()A. B.C. (3) D. (2)(3)【答案】C【分析】根据矩形的性质与折叠的性质,证明出ZPMN = 4PNM , PM = PN,通过等量代换，得到PM=CN, 则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确:用勾股定理CN = 5, CQ = gAC = 2正,由菱形的性质对角线互相垂直,再用勾股定理求出MN = 2QN = 2正;当MN过点。时,最小面积S = 菱形“=(x4 x4 = 4 ,当点与A点重合时，S最大为S = ；x5x4 = 5 ,得
22、出答案.【详解】解:如图!,PM PCN, /PMN = ZMNC，.,折叠,二 ZMNC = 2PNM , NC=NP:.NPMN = /PNM , ：. PM = PN，：.PM=CN, ；. MPCN ,：四边形 CNPM 为平行四边形,； CN = NP,：平行囲边形CNPM为菱形,故正确，符合题意:当点。与A重合时,如图2所示设&V =%，则V = MC = 8x,在 RtAABN 中,AB2 + BN2 = AN2，即42+=(82,解得:x = 3, ：.CN=5, AC貝AB? + BC2 =4,：.CQ = AC = 245 , 又.四边形 CNPM 为菱形，.丄 MN,宣
23、MN = 2QN , ：.qn = QcM_cC = ：.MN = 2QN = 275 ,故错误,不符合题意.当W过点时,如图3所小:图3此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为S = ；S菱形c“ps=；x4x4 = 4,当尸点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为S=x5x4 = 5 , 4/.45l +12 =,故答案为:【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容,解决本题的关键是能作出 辅助线构造直角三角形,得到三角形的中位线,利用三角形中位线定理求出相应线段的长,利用勾股定理 解直角三角形等.10. （2021江苏淮安中考真
24、题）（知识再现）学完全等三角形一章后,我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）” 是判定直角三角形全等的特有方法.（简单应用）如图（1）,在AABC中，NBAC=90。, AB=AC,点、E分别在边AC、AB k.若CE=BD, 则线段AE和线段AD的数量关系是.（拓展延伸）在 ABC 中,ZBAC= a （90a 设AP = f,则8。=E。=勺叵/,在心曲。中，QF =与EQ =S“apq，APF =亜，即.專（逑=走，解得r = 6或立，即AP的长度为或立;24223433当点。在直线，下方时,过点8作BE丄，,过点。作。丄，, 山（1）小题，可知:ACP丝
25、8。,：.AP=BQ, ZCAP=ZCBQ=90, ： ZACB=60, ZCAM=90,Z4M8=360-60-90-90=120,即:ZBME=ZQMF=60,：ZBAE=90-60=30, AB=4, ：.BE=-AB = 2, ：.BM=BEn60o=2-=-Ji . 22 3设 AP=x,则 BQ=xt MQ=x-n , QF- AfQxsin60=（ x-v3 ）x , 332 “22的面积等于在，.;4。=3,即:；xx（x-金石）X立=3， 4242324解得:=石+叵或x = 6叵（不合题意,舍去），:AP邪+叵. 333333cQ综上所述,AP的长为:外或且或26 +L 3
26、33【点睛】本题主要考查等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,根据题意画出图形，添加辅助线,构造直角三角形，是解题的关键.12.（2021辽宁沈阳中考真题）在aA8c中，AB = AC, 8E中，CE = CD（ CECA）, BC = CD, ZD=a ,ZACB+ZECD=180 ,点、B, C, E 不共线,点、P 为直线 DE上一点,且 PB=PD.（1）如图1,点在线段BC延长线上，则/ECD=, ZABP=，（用含a的代数式表示）；（2）如图2,点A, E在直线BC同侧,求证:8P平分NABC；（3）若NABC = 60。,BCf + l,将图3中的（
27、7以绕点C按顺时针方向旋转,当8P丄时，直线PC交BD于点G,点M是PD中点,请直接写出GM的长.【答案】（1）18O-2a, ； （2）见解析:（3） G”的长为更対或;. 22【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可.（2）如图2中,连接B）.证明NPBC = NCDE = a,可得结论.（3）分两种情形:如图3-1中，设交AC于.图3-2中,设PC交BC于K,当BP丄PC时，利用三角形的中位线定理，可得求出即,uj得结论.【详解】（1）解:如图1中,图2图3-1 ：CE = CD, :.ZD=ZE=a, .NECO = 180,;.NECB = NE+ND = 2a,v AB = AC, ZABC = ZACB = 2a ,PB = PD , /. Z.PBD = Z.D = a , ZABP = ZABCZ.PBD = a,(2)证明:如图2中,连接BO. ;CB = CD, PB=PD, .-.ZCBD = ZCDB, NPBD = 4PDB，:PBC = 2PDC =