《数理统计课后习题答案第二章.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理统计课后习题答案第二章.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.f（X）=2 e，x 00,x%-nP)=ITI0)p=p(i P)T2).其似然函数为 泊l nL(P)=l n p+(X,.-n)l n(l-p)/=id i；-n-L-=-n-1 -(/Xv ,-n)、=0八dp P 1 -P i=A n 1P =-=彳解之得&，、3.解：因为总体X服从U (a,b)所以E(x)=a D(X)=(a-b)2”!2 _ 12 r!(-r)!令E(X)=JT D(X)=S)s2=-Z(x,-x)2,n工2(a b)2 2-=312a=X-V3Sb=X+x/354.解：(1)设“1 2，”及为样本观察值则似然函数为：L(6 )=6 (7 x,=小 x)=%
2、,a 工 xw/3,/=17.解：由题意知：均匀分布的母体平均数=铝=,方 差 总 正 上1 2 1 2用极大似然估计法求夕得极大似然估计量似然函数：M/?)=f l/=1 60 min xi max 七 (3(i)i 0/=1I nL()=一2(匕 一。)=+n0(=1 i=要使似然函数最大，则需夕取m i n ,/，）即 0=min(x1,乙，尤“)9.解：取子样值区,工2,，）（巧。）n-A 7 X i则其似然函数L（2）=fl&-祸=九2 6ln LU)=n ln A-2 x,.七i=i dA X j=：n 1Z=-=3 Xi=l由题中数据可知-1x =(36 5 X 5+2 45 X
3、 1 5+1 50 X 2 5+1 0 0 X 35+7 0 X 45+45 X 55+2 5 X 6 5)=2 01 0 0 0则 A =0.0 52 010.设正态母体分布X 的分布为N 3/),试在下列情况下用子样极差估计a：(1)取得子样值 1.5,6.2,2,3.3,2.7；(2)取得容量为20的子样，其数值见表2-2,等分成两组，前 10个和后10个数据各为一组。解：(1)由题中子样值及题意知：极差/?=6 2-1.5=4.7查表 2-1 得-!-=0.42 9 9“5故2 =0.42 9 9 x 4.7 =2.0 2 0 5(2)平均极差元=0.1 15,查表知工=0.32 49
4、102 =0.32 49 x 0.1 1 5=0.0 455解：设2为其母体平均数的无偏估计，则应有2=嚏X I S x =(8x 1 +40 x 3+1 0 x 6 +2 x 2 6)=46 0即知2 =412.解：X N(,l),A 1 2E(X,)=A,。区)=1，(/=1,2)则 E(从)=EX1=A1 3既 2)=严1+严2=A J 1Eg、EXi+-X2=所以三个估计量小,均为的无偏估计A 9 1 4 1 4 1 50()=D-XX+-X2)=-D X-D X2=-+-=-同理可得O(Z)=：，D&)=；o 2可知2 3的方差最小也亦z最有效。1 3 解：V X -P(2)E(X)
5、=2,D(X)=2*2 1 、1 g 7 2E(S*-)=E-(X;-X)2=-7b(X,)-E(X)-1 i=i n-日1 n Q 1=y(2 +22)-n(-+/l2)(n 2-2)=2 一 1 M n n-1即5*2是丸的无偏估计又因为成文)=成 乂,)=24力乂,)=，才用,=/1n/=!n/=!n/=1即又也是2的无偏估计。又 V a e O,1 J E a X+(1-a)S*2)=a E(X)+(l-a)E(S *?)=a2 +(l-2)2 =2因此a 5 +(l-M S*?也是4的无偏估计1 4.解：由题意：X N(Q2)人 ”-1因为 E M)2 =CE(X,M X,)2 =C
6、 0(XR-X,)+(E(X,*XJ2/=1,一 ,一=C D(X,.+1)+D(X,)+O =CZ 2 不=2 C(n-l)A2i=l i=l2112要使E。)=万只需c =所以当c =时比为万的无偏估计。2(+1)2(7 1 -1)1 5.证明：.参数。的无偏估计量为1,依赖于子样容量则V 0,由切比雪夫不等式v limZ 6 =0故有limp 0-0 o o -o o即证)为。的相合估计量。1 6证 明：设X服 从B(N,p),则 分 布 律 为P(X=k)=c p(l _ p y(k=l,2”.N)这时 E(X)=NP D(X)=N P Q-P)E X2=D X+(E X)2=N P(
7、l-P)+N2 P2例4中p=工 所以E(P)-g工=P(无偏)N N ND X NP(1 P)P(1-P)D P=-=-N2 N2n N罗一克拉美下界满足；=咛 L CKKF Q-P 用C：p K(1-P)j/R k=0 OPN o=汇 焉(LCN+KLnP+(N-P)L(1 P)P，(1-P)N-KK=0 OP=唔4-守 七 产(1-尸产rE X2 2 N E X-2 E X2 N2-2 N E X +E X=n-5-+-5-P-P(l-P)(1-P)2N P(1-P)+N 2P2%2尸 一NP(1 尸)一 N 2P2 N?-2 N?P +N P Q-P)+N 2P 2n-；-2-；-+-
8、；-P2(1 尸)(1-P)2n N -+-P -PnNP(l-P)所 以 =丁 =蜡即.为优效估计17.解：设总体X的密度函数/（X）y27rcrn i(3)2似然函数为L(/)=上)五 二I=I V 2TTT(七-)2W r=l(2/)?e 2。-区-)2L/?L(T2)=-Ln2-Lna2 -：-2 2 2a2.(-4典=_ J n_=0da2 2cr2 2cr4i 2因 为 匚(陪)/x)x=口(Xi)12 c r421 e2 c r2 V r c r202 dx14 c r8故的罗一克拉美下界,一 2 4IR=bn E(X-4-E(X-22(72+(y4=二2 bA 2 1 1 n又
9、 因 居”丁 吟 区-且 o(/)=o d t(x,)2)=2/r=l2 2 2 2 2所以b是 7的无偏估计量且/R=D(c r )故c r是c r的优效估计18.解：由题意：n=10 0,可以认为此为大子样,所以U=V近似服从N(O,1)沏呻5 =2得置信区间为(X-“a：x+ua2 V M 2已知1 -a=0.95 s=4 0 x =1 000查表知“0 =1.96代入计算得所求置信区间为(992.16 10 0 7.8 4)19.解:(1)已知b =0.0 1c n 则由U=与 幺%(0,1)睑PUua=l-a 2解之得置信区间(5-g?文+(冬)将 n=16 X=2.12 5 ua-
10、w0 0 5=1.6 4 5 a=0.0 12代入计算得置信区间(2.12 0 9 2.12 91)(2)b 未知 丁 =。一 1)沏Prta=-a2解得置信区间为京-白匕2将 n=16%(15)=小5(15)=1.7 5 32置信区间为(2.117 5 2.13 2 5)。2 0 .o解：用T估计法 丁 =口 1)7PTtn-)=l-a2解之得置信区间(又-卷匕2将歹=6 7 2 0 S *=2 2 0 n=10 查表/2 5 =2.2 6 2 25 2 =0.0 0 0 2 9代入计算得s*代入得置信区间为(6 5 6 2.6 18 6 8 7 7.3 8 2)。2 1.解：因n=6 0属
11、于大样本且是来自(0 1)分布的总体，故由中心极限定理知勺=”一即近似服从N(0,l)即JnpQ-p)J印(1-p)p n(X-P)y/np(-p)解得置信区间为汉-ua=-aa 2x+2本题中将力代替上式中的厅n由题设条件知乙=0.2 5nn20.0 5 5查表知 q =U 0.o2 s=1 9 6代入计算的所求置信区间为(0.14 0 4 0.3 5 96)2 2.解:/未 知 故。=与 幺 刈0,1)岫由 P|U|a l-a 解得2置信区间为汉-3.2X+与U区)7 n 2区间长度为学“aJ 2于 是 学 L2计算得心”u J 即为所求2 3.解：4未知，用力估计法(yP力2 a (-1
12、)72(-1)/；(-1)=1。1-22解得b的置信区间为(|出二手X a/.995 =L7 3(一 1 2)7吟(1)当n=10,S*=5.1时 查 表%嬴=2 3.5 9代入计算得。的置信区间为(3.15 0 11.6 16)(2)当 n=4 6,S*=14 时 查表7(4 5)=7 3.16 6 力法(4 5)2 4.3 11代入计算可得b的置信区间为(10.97 9 19.0 4 7)2 4.解：(1)先求的置信区间 由于b 未知呻|%=1 -a2得置信区间为(歹-1 x+-=ta)V n 2 2经计算 X=5.12 查表 to0 25 a9)=2.0 93 n=2 0S=0.2 2
13、0 3代入计算得置信区间为(5.10 6 9 5.3 13 1)(2)未知 用 统 计 量/=生 婆bPX2 a Z2 45为大子样Z 2=(一 I)二 2-2-Z (-1)(T由/分布的性质3 知U=*(”近似服从正态分布N(0,l),2(-1)所以 P|t/|Mf)=l-a得Z2-(H-DMf或(n-1)52一(1)J 2(n-1)z/f可得，的置信区间为2 2S S28.解：因未知，故用了统计量T 一 2),0、T=-1-t(n+m-2)S产V n m其中 S：,=(一1汨+(加一1应 而 a =0.05 n+m-2n+m-2查 表fo必=2.144计算 X=81.625 F=76.12
14、5s；=145.695,s=101.554,sj=123.625 代入得X-Y t(n +m-2)su,J-+=5.511.9237v n m故得置信区间(-6.4237,17.4237)29解：因cr；=cr；=cr?故用T统计量T=乂八一匕上!”_ 2)其中S J =(-1)S0+(s?2/1 1 n 十 m 2一 十 一V n mP|T|=l-a计算得置信区间为(X A-XB-Swta(n+，”-2)Jd XA-XB+Swta(n+m-2)J H )2V n m j v n m把 S=0.000006571%=2 3 6 4代入可得所求置信区间为(-0.002016 0.008616)。
15、30.解：由题意 用U统计量U=|二，2 二(勺-必)N(0)不V n mPu J =l-a 计算得置信区间为2把 外=1-71 工=1.67=0.0352 2=0 0 3 82 =加=10()a =0025=196 代入计算得 置信区间(-0.0299,0.0501)31.解：由题意，小,吃未知，则q*2 2 q*2经计算得尸卜 a(n2-1,H,-1)-4-T n -I)-I S；以 I S；J2(*2 S*2、解得翌的置信区间为F&(2-1,勺-1)，/乂 ,-1)7%=6“2=9 S=0.245 S；=0357 a=0.05查表：F0025(5,8)=4.82 稣975 65)=士 =
16、0.207 o.O25。，3)2带入计算得飞的置信区间为：(0.142,4.639)。%32.解：/未知，则 T=/(一1)即：P T 又-(-1)4=1-。则单侧置信下限为：K-心(-1)4=Jyjn将兄=6720 S*=220 =10/5=133 带入计算得6592.471即钢索所能承受平均张力在概率为9 5%的置信度下的置信下限为6592.471 o33.解：总体服从(0,1)分布且样本容量n=100为大子样。令文为样本均值，由中心极限定理 N(0,l)又因为=S 2所以则相应的单侧置信区间为(-8,X+.&JV n将又=0.06 52=-(1-)=0.6x 0.94%=0 0 5 =1
17、645n n代入计算得所求置信上限为0.0991即为这批货物次品率在置信概率为95%情况下置信上限为0.0991。234.解：由题意:X2=半-/2(H-1)PX2 Z2i-a(n-l)=1-a(J解得b的单侧置信上限为J(D S*2其中 n=10,S=4 5,查表/(-1)=%；95(9)=3.325代入计算得。的单侧置信上限为74.035o第五章第五章1.通过原点的一元回归的线性模型为工=Ax,.+与，i =1,2,”其中各与相互独立，并且都服从正态分布N（0,b2）。试由组观测值（七,y j,i=l,2,，用最小二乘法估计B，并用矩法估计解：对一元回归的线性模型为Yi=px,+与 i=1
18、,2,n离差平方和为。=（兀一 七1=1对。求一的偏导数，并令其为0,即（y 一网）七=1=1变换得1 *看3夕 卒解此方程得/=星X2因为 y2=Ds=Es2 0=y-/3xi所以1 (A A 2=一2 片一2,外 必+/X；/=1 I2=y2-20 xy+P x2其中2.在考察硝酸钠的可溶性程度时,对一系列不同温度观察它在100m/的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下：从经验和理论知匕和可之间有下述关系式匕=a +菁+与，i =1,2,9温度Xi0410152129365168重量y66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1其中各与相互独立，并且都服
19、从正态分布N(0,C2)。试用最小二乘法估计参数a,夕，并用矩法估计。2解：将 最=26代入得7 =9 0.14 药=27 36.511 欣=4 51.11 m；=34 2.6 6 5n xy-xy27 36.511 26 x 9 0.144 51.11=0.8 7 06a =y-/7 x =9 0.14-0.8 7 06 x 26 =6 7.508 8A 八 2(y2=m；-p z n；=34 2.6 6 5-0.8 7 062 x 4 51.11=0.7 4 8 73.为了得到一元线性回归分析的简化计算法，作变换 =土二=上二包,i =l,2,4 do且 4=0,4 70。若 原 经 验
20、回 归 直 线 方 程 为;=A+2 x变换后经验回归直线方程为丫 =&+/试 证 2 =，/,&=0&+(?0-，2，并且n (A A A2 M(X y,a=d；Z v,.-1=J;=1 、2A Aa -p%7证明:d()uv-uv,7-2力厂祖)t -u)2i=ld。人 XLTH)4U i=l斗，-加Ti(x,-x)2i=lA=Bda +0-与。G=%丫-4)/u+c0-j-/A，Q=d()v+c0-dnP +一I 4=y-，d 八x一4_ A _=丫 一 八A=an(A1人,yv.-a-p ,.i=l 7=E 匕一 4。一分 叫i=l InA A=Z 6/=1 _=X yU o屋与3=(
21、%工 _/七)4.为了研究纱的品质指标与支数之间的数量关系,2晨、/、2/（七一。）4.,2%+请2。进行有关试验，得 20对数据如下:画出点图。从经验知匕与西之间有关系式匕=a+菁+q,i =1,2,20其中各与相互独支数再19.8320.2421.1023.8524.4725.0828.47品质指标y2466250123902450235023962331支数占35.2035.7439.7741.3042.2045.8747.83品质指标X-2203215921372092208220602025支数千29.2829.7633.9349.1356.4657.55品质指标y229722852
22、238204018651857立，而且都服从分布%（0,。2）。试用最小二乘法估计a、0，并求a?的无偏估计量的值。26 00-12500-2400-.品 2300-、质指 2200-震.-.2100-.2000-B1900-18 00-1-.-1 )15 20 25 30 35 40 45 50 55 6 0支 数解：将 x =35.353 1=2211.2 x y =7 6 06 1.6 7 6 m；=132.130 咸=34 527.4 6代入B=孙一 x y 7 6 06 1.6 7 6-35.353x 2211.2132.130-15.9 8a=y _ 尸 x =2211.2+15.
23、9 8 x 35.353=27 7 6.14八 人26 =i仁 一。咸=34 527.4 6-(-15.9 8)-x l 32.13O =7 8 6.6 9为O-的无偏估计量na 2-a一2 202=7 8 6.6 9 =8 7 4.10185.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(m g/)与消光系数读数的结果如下:尿汞含量七246810消光系数X6 413820528 536 0已知它们之间有关系式匕=a +/?x,.+与,i =l,2,，其 中 弓7 V(O,cr2),且各与相互独立，试求a,尸的最小二乘法估计，并在显著水平0.05下检验夕是否为38。解:将x=6 y=210.4五=
24、1558 咸=8 咸=109 29.8 4代入得xy-xy _ 1558-6 x 210.4欣836.9 5a=y一 x =210.4 36.9 5x 6 =11.3n-2|(10929.84-36.952X8)=12.37=3.517假设”0：尸=38H ：/3#38用T检验法拒绝域为2ix，2(-2)查表得-0 =3.18 24将上血的数据代入得M =1.8 9 f0025(3)所以 接受4 即认为尸为386.下表列出在不同质量下6根弹簧的长度:质量X51015202530长度y7.258.128.959.9010.911.8（1）试将这六对观测值用点画在坐标纸上，直观上能否认为长度对于质
25、量的回归是线性的;（2）写出经验回归直线方程；（3）试在x =16时作出y的9 5%预测区间。解：（1）山散点图看，x的回归函数具有线性函数形式，认为长度对于质量的回归是线性的。7-(2)11-8-10-赵.坐C9-12-51015 202530质量将 嚏=17.5 y =9.49盯=179.37底=72.92咸=2.45代入得n_xy-xyP 2179.37-17.5 x 9.49 八-0.X272.922=3/嚏=9.49-0.182x 17.5 =6.305y=a+/3 x-6.305 +0.182x(3)当x =16 时 y0=a +1 6 b +s0由T分布定义4-a-fix。=0.
26、95所以外的预测区间为。+/7 X。10025(2)(7A A,=+/%+0.025(n-2)cr查表得 h o 2 5(4)=2.776将(2)的数据代入得/2=-T2(2.45-0.1822 x 72.92)=0.0075。*=0.0866计算得E的 预 测 区 间 为(8.9521,9.4721)7.具有重复试验的一元线性回归表述如下：对变量x,y作次试验，自变量x取不同值Xt,X2,-,Xr;在每一个X=X上对y作/次 试 验 观 察，它的观测值为为，必2,加，而 叫=n。一元回归的线性模型为/=&+，+,厂/=1,2,i=l,2,/试 求a,1=1的最小二乘估计。8.对于自变量和因变
27、量都分组的情形，经验回归直线的配置方法如下：对x和y作次试验得“对试验值，把自变量的试验值分成r组，组中值记为菁,马,天，各组以组中值为代表；把因变量的试验值分为s组，组中值记为,，为，,乂，同样地各组以组中值为代表。_ s如果(x,y)取有吗对，i =l,2,r,j =l,2,s；而。用最小二/=1 j=乘法配直线y =c +，x,试求a,的估计量。9.对变量X、丫作试验得到5 0对观察值，列表如下:2.57.512.517.522.527.532.537.5A7.512.5 17.522.527.532.537.542.5901102111013034313015 0510815 0170
28、161117019041在x与y的，每一分组中，以组中值作为代表。试用第八题得到的公式，求回归直线y =a +/?x中a与尸的估计量。解：利用第八题得到的公式将 x =21 歹=141.2 6=3138 欣=90代入得%x y-x y 3138-21x 141.2,o 0p -z-=-=1.92m-902=亍 一,1=141.2 1.92x 21=100.8810.通过原点的二元线性回归模型为匕=伙X.+四七2 +.#=1,2,其中与(0,(T2),且各与相互独立。试写出正规方程。并求出片与居 的最小二乘估计。解：二元线性回归模型为工=川芍+昆花2+与，i =1,2,离差平方和为n。=工（一，
29、将一夕2七2）一/=!对Q求B，h的偏导数并令其为0n/=1可变换为正规方程为最小二乘估计为甘+1 一2（%一片为一2苍2）七2=、/=!_n/E/2=o/=1/=1/=!n Z y/i 2 一 q Z XiiXi2 Pl Z%?=。、i=l i=l=1-A Ax fi+xlx2/32=xlyI-A-A-xx2 J3 x2 J32=x2y2盘 _ x2yxlx2-x1yx2氏 -2 X|X2-X j x29n=x1yx1x1-xx;_ 2 2xxx2-x x2 s Y 1 -，=ln,=|n i=11.在某项钢材的新型规范试验中，研究含碳量（x j和回火温度（）对它的伸长率“）的关系。15批生
30、产试样结果如下：含碳量X15764695858585858回火温度冗2535535535460460460490490伸长率y19.2517.518.2516.2517.0016.7517.0016.75含碳量x58576469596469根据经验，y关于玉、马有二元线性回归关系丫 =0+4$+河 +其 中 N(o,/回火温度Z490460435460490467490伸长率y17.2516.7514.7512.0017.7515.5015.50(1)求4,4,4的最小二乘估计，写出经验回归平面方程；(2)检验线性回归是否显著(a =5%)；(3)检验凡 是否显著地为零(。=5%)；540时对
31、丫作区间估计(1 a =9 5%)采用线性回归模型幺1 5 =/=11 5;=1%=611 5工止i=1 5i=1 5 1乙1 1i=l&2 =之1 5-7/=1 11 5乙1 2 =乙2 1 =Z”=1Y=+.(%一%)+/2 卜2 -%)+2 48.2 5 屋1 6.551 51 541 48.31 2 5 e与=9 2 0 =56734/=1 :=11 5_33 工占2 =72 57 =48 3.8/=11 5352 448 9 工/%=445366/=11 5=1 51 70 2知 =1 2 0 639 2 5i=i(1 5 、2-Y x,.=56734-5642 6.66=30 7.
32、34 /=1(1 5、2-Z 为2 =352 448 9-351 0 9 36.6=1 3552.45 3=i )1 (1 5 1 5 )-一 Z/=445366 4450 9 6=2 7(1 5 3=八)15 1 (15 (15 !，=1 51 70 1 52 2 6=56/=1)/=1 7J、151(1 5 X(15Xi27Zx-/=1 71 2 0 639.2 5-1 2 0 1 0 3.2 5=536于是可得A一N=y=1 6.55-30 7.342 70L=2 70 1 3552.4_ _56J.一 536江 厂 尸 耳：536所以 y=1 0.50 4-0.2 1 6+0.0 4x
33、 212.研究同一地区土壤所含植物可给态磷的情况得18组数据如下表所示土壤子样%X2七y10.4531586420.4231636033.119377140.6341576154.724595461.7651237779.4444681810.13111793911.629173931012.658112511110.937111761223.146114961323.150134771421.64473931523.15616895161.936143541726.8582021681829.95112499x,土壤内所含无机磷浓度;X,土壤内溶于K2CO3溶液并受浪化物水解的有机磷浓度；X
34、3土壤内溶于长2。3溶液但不受溟化物水解的有机磷浓度；Y种在20 C 土壤内玉米中的可给态磷。已知y对玉,乙,七存在线性回归关系，试求出经验回归平面方程，并检验线性回归是否显著(a=5%)。解：p=3 =18采用线性回归模型 Y=+|（王一，+2（x）+3（%3一%）+18=1463i=X=11.94418“22141=13=81.27718I X=758/=1x3=12318Z%】=215/=1x2=42.1118Z W =4321.02/=118 18Z 点=35076 Yxi3=307864i=l/=118 i(18、24i=fx；一 正之孙i=l/=1 7=4321.02-2568.0
35、5=1752.9718 i /18 yL2 2=Z 4 -一 E 4 =35076-3 1920.22=3155.78/=i 18 3=i )18 1(18 2L3 3=E 4-E-3=307894-272322=35572z=i 131/=i)18司 税=10139.5r=lL1218|/18 18、=2天】玉 2-6 Z/=1八 i=l 7=10139.5-9053.88=1085.62Z 3 =96598i=l18 i (18 (18。3=4=24 孙 6 2%Z/=2 7645 2 6445=1 2 0 0i=l 1 8 I 1=1 八/=1)18 和 修=9 659 8f=l18 1
36、 /18 18 L32 =乙 2 3=Z 七24 一五 X 七2 Z /=9 659 8 9 32 34=3364/=1 1 KI，=1)i=X 718/%=2 0 70 6.2i=l18 i/18 A/18 A4v =2 ，戊-.Z 孙 Zy =2 0 70 6.2-1 7474.7=32 31.5/=1 1 3 I i=l J y i=J18=638 2 5/=118 1 /18 /18 AZ/E x=638 2 5-61 60 8.5=2 2 1 6.5i=八 i=l)18/=1 8 7542i=18 1(18 V 18 AE X =1 8 7542-1 79 9 49 =759 3i=l 1 壬 I i=l 八 J=1 J于是 Z =J =4.58 2-1 752.9 31 0 8 5.621 2 0 0 L=1 0 8 5.6231 55.783364-1 2 0 0336435572z,-32 31.5-Gy=2 2 1 6.5-J759 3可得A-3231.5AA=匚2216.5A759303所以y=43.6 5+1.78X-0.0812+0.16 13