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1、高考模拟测试数学试题（满分：15 0分 考试时间：12 0分钟）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4 分，7-12每题5 分，共 54分）1.已知集合4=+l x 0）上一点/（1,m）到其焦点的距离为5,双曲线C：丁 斗=1（0 0）的左顶点为A,若双曲线C的一条渐近线与直线A垂直，则双曲线。的焦距为.10.四名志愿者参加某博览会三天 活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有 种（结果用数值表示）11.已知集合4=卜 忖=2-1,6?4*,B =x|x =2,e N*,将AU8中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列%,设数列%的前
2、项和为s“，则使得S“1000成立的最小的的值为12 .已知平面向量,石，满足同=1,|4=2,a2=a-b 2 =b-c 贝 噂 一a?+1小的最小值为二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20分）13.已知xeR,则“冈 1是“1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.下列命题中，正确的是()A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线/与平面a上的无数条直线都垂直，则D.若。、b、c 是三条直线，。匕且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上15.已知函数/(x)=2 si nq si nx +G c o s x)-
3、l 的定义域为 ,(?0)时，都有|2 工一1|+k2-4 4 4,则实数加的最大值为()A.1B-lC.2D.25三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)1 7 .如图，直三棱柱中，AB1 AC,A B =AC=A 4,=2,点。是 8 C的中点.(1)求三棱锥G-A C O的体积；(2)求异面直线AC与G。所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)1 8.在AABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,a =5,b=S4(1)若c o s B=-，求 A和AABC外接圆半径R的值；(2)若三角形的面积求c1 9 .某公司2 0 2 1 年投资4 千万元用于新
4、产品的研发与生产，计划从2 0 2 2 年起，在今后的若干年内，每年继续投资1 千万元用于新产品的维护与生产，2 0 2 1 年新产品带来的收入为0.5 千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长2 5%.记 2 0 2 1 年为第1 年，/()为 第 1 年至此后第年的累计利润(注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元)，且当/()为正值时，认为新产品赢利.试求/()的表达式；(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.2 22 0 .在平面直角坐标系x O y 中，已 知 椭 圆 二+二=1(0)的左、右顶点分别为A、B,右焦点
5、a b为 F,且椭圆过点(0,非)、(2 1)，过点尸的直线/与椭圆交于尸、。两点(点P在 x 轴的上方).(1)求椭圆的标准方程；(2)若 际+2 砺=6，求点尸的坐标；(3)设直线A P、B Q的斜率分别为占、k2,是否存在常数2,使得匕+丸&2=0?若存在，请求出义的值；若不存在，请说明理由.2 1 .已知函数 =/(力 的定义域为区间Q,若对于给定的非零实数如 存在%,使得/(/)=/(%+加)，则称函数 =/(x)在区间D上具有性质P(m).判断函数/(x)=f 在区间 1,1 上 是 否 具 有 性 质 并 说 明 理 由；若函数 x)=s i n x 在区间(0,)(0)上 具
6、有 性 质 求 取 值 范 围；已知函数y =的图像是连续不断的曲线，且/(0)=/(2),求证：函数y =/(x)在区间 0,2 上具有性质尸答案与解析一、填空题(本大题共12题，1-6每题4 分，7-12每题5 分，共 54分)1.已知集合4=%|-113,3=0,2,4,则AD8=.答案0,2 解析 分析 根据集合交集的定义计算.详解 由已知A c B=0,2.故答案为：0,2.2.已知i是虚数单位，若复数z=i-(l+i),则 回=.答案 解析 分析 化简复数，再代入模长计算公式即可.详解 化简原式，得z=i-(i+i)=i+i2=-i+i,所以目=J(ly+r=及.故答案为：V2(x
7、-13.若线性方程组的增广矩阵为八，其解为 2 而，即求.详解 依题意 2、+4,=2X+22y 2,2.22y=2 1 2 g =4 夜，当且仅当2*=22，即x=2y=g时等号成立.所以2*+4V的最小值为472 故答案为：4 a.1,=8.已知数列 4 的通项公式为4 =1 j3 答案 一#1.52 解析 分析 先求数列 4 的前项和s“，当=列求和公式求解，然后求s“极限.详解 当=1时，E=i；当2 2时，s,=c，s”是数列%的前项和，则J吧s,=_.n21时，S|=l；当2时，数列 4 为等比数列，根据等比数U i-仕门 f i，=i所以 l i m S =l i mM-00”T
8、OO323故答案为：一29.已知抛物线丁=2%（，0）上一点M（l,加）到其焦点的距离为5,双曲线C：5=1。0）的左顶点为A,若双曲线C的一条渐近线与直线A 垂直，则双曲线。的焦距为.答案6 解析 分析 利用抛物线焦点弦公式求得P =8,从而得M的坐标，由题意得A的坐标，再计算直线40的斜率,又因为双曲线渐近线方程y=版，由两直线垂直列式求解6,从而得双曲线的焦距.详解 由抛物线定义可知，1 +=5,得。=8,所以抛物线方程为y2 =i 6 x,则M（l,4）或（1,-4）,4-0设M（l,4）,由题意得A（l,0）,则阳M=7 1 7 =2,又因为双曲线渐近线方程为产士历:，因为双曲线C的
9、一条渐近线与直线4 0垂直，所以2x（份=-1,得。=1，则。=犷/=工=好，所2 V 4 2以双曲线的焦距为2c =石.故答案为：石1 0.四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有 种（结果用数值表示）答案24 解析 分析 由题意，先分组再分配，先将四名志愿者分为三组，然后按照特殊元素优先考虑再进行分配，从而求解出不同安排方法种数.C2cl 详解 由题意，将四名志愿者先分为三组，有 十 一6种，因为志愿者甲第一天不能参加，所以有C；曷=4A,种分配方式，所以不同的安排方法一共有6 x 4=24种.故答案为：241
10、 1 .已知集合人=卜卜=2-1,6河 ,B =x|x =2,e N*,将AU8中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列 6,，设数列 4 的前项和为s“，则使得s“1 0 0 0成立的最小的的值为 答案3 6 解析 分析 由题可得2为数列。的2-+项，且利用分组求和可得S*+“=4T +2+,-2,通过计算即得.详解 由题意，对于数列 4 的项2，其前面的项1，3,5,，2-1 e A，共有2”项，2,22,2，,2 e B ,共有项，所以2为数列 4 的2T +项，且“=（2x l _ l）+（2x 2 l）+（2X2T_1）+（2+22+2）=4T+2M_2.可算得26T+6 =3
11、8（项），/8=6 4,$3 8 =1 1 5 0,因为%7=6 3,t z3 6=6 1,a35=59,所以$3 7=1 8 6,S3 6=1 0 23 ,S35=9 6 2,因此所求的最小值为3 6.故答案为：3 6.1 2.已 知 平 面 向 量b 满 足 问=1，忖=2,a2=a b 2 c=b c 贝屋一:+L的最小值为 答案七 一 62 解析 分析 令砺=，O B =b O C =C 0 8的中点为。，A B的中点为E,。的中 点 为 凡 与分的夹角为。，由题意，计算。=?,|福 卜6,判断出点C的轨迹为以。为直径的圆，利用向量基底表示，将2（*彳+|一仆2网+网）转化为2（,一邛
12、）=4同2+3,然后转化为圆上任意一点到定 点 距 离 的 最 小 值 进 而 求 解 最 小 值.详解 令d=，O B =b O C =c。8的中点为O,A B的中点为E,。的中点为F,与5 的夹角为。，连接 C A、C B、C 0、C O、E E 由同=1 ,忖=2,/=/，得 1 =l x 2x c o s。，c o s 6 =；,因为。w 0,乃 ,所 以。=，在Q 48中，由余弦定理得|而|=G.7-b又 由 江=2 1,得。c 不=0,所以点c的轨迹为以o n为直径的圆.因为2（|_ 1+卜 _ 2）=2（|衣元）=2 1 反+g而j+（反福J、,屈通=4 C 2+3 4 E F
13、+3=7 -26，当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.-_ 2 _ _ 2 7 I-所 以c-a +c-b的最小值为-s/3 .2故答案为：2 点睛 求解向量模的最值问题时，一般需要利用数形结合法，解答本题的关键是将求向量模长最值转化为圆上任意一点到定点距离的最小值求解.二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20分）1 3.已知xeR,则“凶 1 是”1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 答案B 解析 分析 解不等式转化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.详解 由N 1得x 1 ,.“国 1 ”是“x 1 ”的必要非
14、充分条件.故选：B.1 4.下列命题中，正 确 的 是()A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线/与平面。上的无数条直线都垂直，则D.若a、b、c是三条直线，a人且与c都相交，则直线“、b、c在同一平面上 答案D 解析 分析 利用空间点、线、面位置关系直接判断.详解A.不共线 三点确定一个平面，故A错误；B.由墙角模型，显然B错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线/与平面。内的两条相交直线垂直，则直线/与平面a垂直，若直线/与平面e内的无数条平行直线垂直，则直线/与平面a不一定垂直，故C错误；D.因为。/?,所以a、方确定唯一一个平面，又。与a、都相交，故直线a、b、
15、c共面，故D正确；故选：D.1 5 .已知函数/(x)=2 si nM si nx +G c os x)-1 的定义域为 ,(?)，值域为,则-m的值不可能为()5万7 1 7万 3兀A.B.C.D.1 2 2 1 2 4 答案D 解析 分 析 化 简 函 数 解 析 式 得 小)=2呵2工 一 荒，根 据 其 值 域 2,1,可 得2 T =2版+?,77r 7 T TC2 k7 v 2m一一 2 k7 r (Z e Z),求解出对应的范围，代入即可得一加的范围.6 6 2 详解 由 /(x)=2 si n X,i n x+7 5 c os x)-1 化简得/(x)=2 si n(2 x -
16、看).因为其值域为-2,1 ,不妨设2-巳=2左 乃 +军,2 k兀 2 m-2 k,7 f-(k G Z),6 6 6 6 2V 7即=ATT+巴，k7 i-m 0)时，都有|2 x 1|+,2-4 4 4,则实数加的最大值为()A.13B.-2C.25D.-2 答案C 解析 分析 由各选项知最大值加之1,3 5 5由|2x l|V 4,解得/WxW,这样必须有机4；,然后不等式变形为x2-4+|2x-l|izx2+4-|2 x-1|,记/(x)=d+4|2x 1|,(X)=X2-4+|2X-1|,分类讨论去年绝对值符号，可得“幻 的最小值是3,因此g(x)的最大值性质不大于3,才存在。保证
17、不等式恒成立，由最大值g(根)4 3可得”的范围，得加的最大值.详解 解：由各选项知最大值加之/,3 5 5因为|2%一1|4 4,解得一所以机4二.不等式|2x-+k -6f|4 可化为 f _ 4+|2x-W a f +4-|2x_ 1|.设/(X)=JT+4-|2 x-l|,g(x)=j?-4+|2x-l|,因为/(x)=X2+2X+3|0 X(的最小值为3,x2-2x+5(x/6 .由余弦定理得c os/*Q=小龄铲L因为,所以N A C|O =a r cco s -6因此所求异面直线AC与G。所成角的大小为a r cco s逅.61 8.在AABC中，内角A、B、C所对边的长分别为。
18、、b、c,。=5,0 =6.4 若co s B =-求A和AABC外接圆半径R的值；(2)若三角形的面积SA=里2，求a 4jr 答案(1)A =/，R=5；6(2)c=4或c=J I而.解析3 分析(1)由题可得s i n 6 =w，利用正弦定理即求；(2)利用三角形面积公式可得s i n C =X 7 ,再利用同角关系式及余弦定理即求.a4 小 问1详解因为 co s B =-：,则 ，乃)，且 s i n 8 =J l-co s?Ba b-=2R由正弦定理，得 二 一 =-=2 R,即s i n A 3,s i n A s i n n 二即 s i n A =,R =5,2因为 Q V
19、Z?,所以TT因此A =,R =5；6 小问2详解,1577由&=彳必s i n。得 2 sA 4 一币,2 s i n c=-=-=-ab 5 x6 4于是 co s C-J l-s i n?C=3.43 3当co s C =一时，由余弦定理，f#c2=52+62-2 x 5 x 6 x-=1 6.4 4当co s C =-q时,由余弦定理，c2=52+62-2 x 5 x 6 x f j=1 0 6.所以，。=4 或。=J 1 0 6 .1 9.某公司2 0 2 1 年投资4 千万元用于新产品的研发与生产，计划从2 0 2 2 年起，在今后的若干年内，每年继续投资1 千万元用于新产品的维护
20、与生产，2 0 2 1 年新产品带来的收入为0.5 千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长2 5%.记 2 0 2 1 年为第1 年，/()为 第 1 年至此后第(wN*)年的累计利润(注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元)，且当/()为正值时，认为新产品赢利.试 求/()的表达式；(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由./c Y 答案(1)/(“)=2 彳1 -_ 5(eN*)(2)该新产品将从2 0 2 9 年开始并持续赢利，理由见解析 解析 分析(1)由题意求出累计投入，可判断出每年的收入为等比数列，根据等比数列求
21、和公式求解出累计收入,从而表示出了()；由 可 得“+1)-/()=平-1,根据/(+1)-/()的正负判断出/()从第4 项开始单调2 4 递增，再判断了(D,/(8),/(9)的正负，从而判断出该新产品将从第9年开始并持续赢利.小 问1详解由题意知，第1年 至 此 后 第 年 的 累 计 投 入 为4+(-1)=+3(千万元).设第年的收入为4,前 年的累计收入为S“,由题意得a“+i =a“x(l +2 5%)=，所以数列 4是以J为首项、以1为公比的一个等比数列，则有为=；(：)(千万元),所以/()=S”一(+3)=2 -1 ”3,即/(n)=2-一5 (千万元).所以/()的表达式
22、为/()=2-5(G N)小问2详解5 丫因为/(+1)_/(几)=不7 一1 所以当4 3时，+1)4()0,即/()单调递增，7 ，八8 八、9又/=一 万 0，8)=2。8 5 0,所以该新产品将从第9年开始并持续赢利.所以该新产品将从2 0 2 9年开始并持续赢利.点睛 解答本题的关键是，能将实际问题转化为等比数列问题求解，求解第二问时，需要判断/()的单调性，此时可通过判断/(+1)-./()0)进行判断，从而降低利用导数判断其单调性的难度.2 22 0.在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆：0 +2=1(。8 0)的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆过点倒,、6)、(2,
23、1),过点尸的直线/与椭圆交于P、。两点(点P在x轴的上方).(D求椭圆的标准方程；(2)若 际+2砺=6，求点P坐标；(3)设直线A P、B Q的斜率分别为匕、&2,是否存在常数2,使 得 勺+，%2=0?若存在，请求出4的值;若不存在，请说明理由.2 2 答案(1)二+匕=19 5(3)存在，2 =解析 分析(1)代入已知两点坐标求得。力 得椭圆方程；设尸(石，凶)(凹 0),。(工2，%)由万+2砺=6，可用玉，M表示出苫2，%，然后把P，。的坐标代入椭圆方程可解得王，X；(3)设存在常数/I,使得匕+2=0由题意可设直线/的方程为 =，2+2,点尸(，x),Q(x2,y2),%、k.%
24、,+3 v,(x.-3)A-3求出一2 一二 士,把(9,为)代入椭圆方程，变形出一一，代入把2表示出y，&%(玉+3)%2 3M+%的表达式.然后把直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得|+%，乂月，再代入X的表达式可得常数.小 问1详解因为椭圆过点（0,6）、（2,$,则有b=y54 25，解得方丽=1a=3b=E2 2所以椭圆的 标 准 方 程 为 工+匕=1.9 5 小问2详解设P（%,y）（y（）,。（孙 冉）由知，尸（2,0）.因 为 万+2砺=6,则有（2-%，-%）+2（2-积 一%）=（。,0），即（6-西-2x2,-y,-2 2）=（0,0）,所以6 X二 2x?=八 0,解
25、得I f -2y2=0,_ 6-X2=_A%2，6 f _2L2 2即Qr2 V2分别将P、Q两点的坐标代入土+二=1得9 52 2入 -,-M19-51,_A-F-9 51,3玉=“5垂）y产 一 丁（舍）或，3玉=75垂）乂=丁22解得（3 573所以所求点P的 坐 标 为 工 小问3详解设存在常数2,使得K+2&=0.由题意可设直线/的方程为x=/2 +2,点P（x”y）,Q（w，%）,则k、=玉 +3 _ 弘（-3）k2%2 a+3）%2 32 2又因为&-+2-9 51 ,即x22-9即点5(X2+3)9%所以一九-9)访一5(x)+3)(X2+3)5(/畔+5)(/佻+5)一 9y
26、%即一九5 疗“%+5/(”+%)+25又由x=my+2,%2 2 得(5病+9)V+20冲 _25=0,=9 0 0 +1)0,+=1,I 9 5 20m且 f=一25 代入(*)得5 +9 Z=-+5%+95 irr255m2+9+5,一(5m2+9+255即/i=T所以存在常数几=使得匕+2 e=0.2 1.已知函数y=/(x)的定义域为区间。，若对于给定的非零实数，小 存在/,使得./(%)=/(玉)+m),则称函数y=/(x)在区间D上具有性质p(m).判断函数/(X)=f在区间-1,1 上 是 否 具 有 性 质 并 说 明 理 由;若函数/(X)=sinx在区间 0)上 具 有
27、性 质,求n的取值范围;(3)已知函数y=/(x)的图像是连续不断的曲线，且/(0)=2),求证：函数y=x)在区间 0,2 上具有性质产(；)答案(1)具有性质P g),理由见解析(3)证明见解析 解析(1 A2 1 分析 由题可得片=%+已，则%)=一工，结合条件即得;2)4，1A 3 4 7 T 5 4(2)由 s i n.%=s i n x0 解得玉)=Z 乃+可，x0+=+G(O,n)(A:e N),可得即得；设g(x)=/(x)_/(x +；),X G 0,1 ,可得g(O)+g +g(浮)+gC)=/(2)-/(0)=0,当 g(O)、g(浮)、中有一 为0时，可得=i e l，
28、2,3,6 ,即证；当g(0)、g(g)、g F)、中均不为0时，由于其和为0,则其中必存在正数和负数，不妨设g1/0,g(1 0，结合条件可知，存在%,g(/)=/(%)-=即证.小 问1详解函数X)=f在-1,1 上具有性质产 出.若 片=(x o+g)，则无。=一:，因为一;e T，且 一；+g =；w -1，所以函数f(x)=f在 1,1 上具有性质 小问2详解解 法1：由题意，存在土)0,)，使得s i nx =s i n x o+?),得/+5=%+2k兀（舍）或须）+5=2k兀+乃 一/（Z Z）,3 7 r则得=2万+加-.3万因为乙）=左 左+多 0 ,所以ke N.3 乃
29、jr J7T又因为=人+G（0,）且+=k兀+G（0,）（左G N）,84 8所以子5乃，即所求”的取值范围是O5n T,+00r解法2：当时，函数x）=s i nx,x e（O,）是增函数,所以不符合题意；当 时，因为直线x =是函数x）=s i nx的一条对称轴，而函数=s i n x在区间（o,）（0）上具有性质P（7）所以2 1 一71“解得5 4?，即所求的取值范围是O5n、一,+oo.8 )小问3详解设 g(x)=/(x)-/53 33则有g（o）=。）-陪 g|卜吗）-同，卜同-/，g 空H(浮卜(打，(1 2 3,6).以上各式相加得g(O)+g g)+g(m)=/(2)-4
30、0)即 g +g(；)+g 一)+g|)=0，(i)当g(O)、g(1)中有一个为0时，不妨设 g()=0,i e 1,2,3,6,即gC*,佃=0,即/咛）=1,向L 2,3,6,所以函数y=/（x）在区间 0,2 上具有性质（i i）当 g（0）、g1）、g1*）、g（g）中均不为0时，由于其和为0,则其中必存在正数和负数，不妨设g 1 J o,g O ）时，至少存在一个实数J-l/-I亍，亍）,其中八上 1,2,3,6,使得g伍）=0,即g(x0)=/(%)-小=0,即存在x。，使得/（Xo）=/（x（）+g所以函数y=/（x）在区间 0,2 上也具有性质综上，函数y=x）在区间 0,2 上具有性质尸（；）