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1、X 机械工程测试技术基础(第三版熊诗波 黄长艺)课后习题及答案详解第一章信号的分类与描述1-1 求周期方波(见图4)的傅里叶级数(复指数函数形式)，划出I c n|-3和 4)n -3 图，并与表1 1 对比。图 1-4周期方波信号波形图解答：在一个周期的表达式为TOA (t 0)2x(t)T A (0 t 0)2积分区间取(-T/2,T/2)c nI TO A nTO=j2T02x(t)ejn Otdt=ITO0 T02Aejn Otdt+ITOTO20Aejn Otdt(cosn-1)(n=0,1,2,3,)所以复指数函数形式的傅里叶级数为x(t)ncnejn OtJAnIn(1 cosn
2、)ejn Ot，n=0,1,2,3,Ac(1 cosn)nl(n=0,1,2,3,)2 2rtR+C/nc 0 nRcn 2A1,3,An(1 cosn)n n 0 n 0,2,4,6,1,3,5,n1,3,5,n 0,2,4,6,6 n arctancnlcnR7 1 2 n2 0没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。相频图周期方波复指数函数形式频谱图幅频图1-2 求正弦信号x(t)xOsin 3 t 的绝对均值u x 和均方根值xrms。IT解答：U XTOx(t)dtITTOx O sin 3 t t2xOTT20s in 3 td t2xOT 3TCOS 3 t204xOT 32x0 Ji
3、R d fxr m sx1-3 求指数函数x(t)A e a t (a 0,t 0)的频谱。解答:x(t)ej 2 f td t0A ea tej 2 f td t AX(f)e(a j 2 f)t0(a j 2 f)A a j 2 fA (a j 2 f)a (2 f)22M+(2 )2X(f)(f)a r c t a nI m X(f)R e X(f)a r c t a n2 f a单边指数衰减信号频谱图1-4求符号函数（见 图-2 5 a）和单位阶跃函数（见 图 b 2 5 b）的频谱。2A/K WK2A/5K2A/5 皿3 2/Z5x”(，)1 -0ta)符号函数图 1-2 5 题 1
4、-4图a)符号函数的频谱 l x(t)s g n(t)I t O t O b)阶跃函数t=0 处可不予定义，或规定s g n(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号xl(t)e a ts g n(t)a t ea 0的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。xl (t)e a t t O t 0 x(t)s g n(t)l i m xl (t)0 0X1(f)xl(t)e j2 ftdt eeat j2 ftdt eate j2 ftdt j4 fa(2 f)22X(f)FX1
5、(f)j sgn(t)lima 011 f X(f)f2(f)2f 0sgn(f)10tf 0 xl(t)1t-1xl(t)ea ts g n(t)符号函数符号函数频谱b)阶跃函数频谱1u(t)0t O t 0在跳变点t=0 处函数值未定义，或规定u(0)=l/2。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解 法 1：利用符号函数1 2 1 2 s g n(t)U(f)F1 1u(t)FF2 2s g n(t)1 2(f)1 1 1 1 j (f)j1 I、1 -p-(7)+-r2V(r Y2 f 2 f(f)结果表明，
6、单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0 处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。|U(f)(1/2)-n/2-K/2f单位阶跃信号频谱解法2：利用冲激函数u(t)()dt1 0t 0时 t 0时根据傅里叶变换的积分特性t i l l 1U(f)F()d (f)(0)(f)(f)jj 2 f 2 2 f1-5 求被截断的余弦函数c o s 3 0 t (见图-2 6)的傅里叶变换。c o s 3 0 t x(t)O t Tt T解：x(t)w(t)c o s(2 f O t)w(t)为矩形脉
7、冲信号W(f)2 Ts i n c(2 Tf)c o s (2 f O t)12 w(t)e l e 2 j 2 f O t e j 2 f O t 所以 x(t)j 2 f O t 12 w(t)e j 2 f O t根据频移特性和叠加性得:X(f)12 W(f f O)1 2 W(f f O)图 1-2 6 被截断的余弦函数Ts i n c 2 T(f f O)Ts i n c 2 T(f f O)可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f O,同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。被截断的余弦函数频谱a t l-6 求指数衰
8、减振荡信号x(t)e s i n 3 0 t 的频谱指数衰减振荡信号解答：sin(Ot)e2je 2jl1j Otej Ot所以 x(t)e atj Otj Ot单边指数衰减信号x l (t)e a t (a 0,t 0)的频谱密度函数为X I (f)x(t)l ej td t0ea tej td tl a ja j a22根据频移特性和叠加性得：X()z2ZZ(0)叼(0)叼0 Z(0)e(0 )e 瑟瑟(0)？I(0)eZ43ZZZ(0)叼 0(0)IX(0)IX I a (0)a (0)2指数衰减信号的频谱图1-7设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-2 7所示。现乘以余弦型振荡c o
9、s c o 0 t (c o 0 c o m)o 在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡c o s 3 o t 叫做载波。试求调幅信号f(t)c o s 3 0 t 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若3。3m时将会出现什么情况？图 1-2 7题 1-7图解：x(t)f (t)c o s (O t)F()F f(t)c o s(O t)1 2l e 2j O te l 2j O tj O t所以x(t)f ej O tf (t)e根据频移特性和叠加性得：X(f)1 2F(0)1 2F(0)可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频 30,同时谱线高度
10、减小一半。调幅信号频谱若 3。3m将发生混叠。21-8求正弦信号x(t)x 0 s i n(3 t 6)的 均 值 u x、均 方 值 W x 和概率密度函数p(x)。解答：(l)u x l i m1 T 1 TTT Ox(t)d tI T OT O Ox 0 s i n(t )d t 0,式中 T O22 n 3一正弦信号周期 中l i m2 xTT Ox (t)d t2I T OT O Ox O s i n (w t )d t2 2x OT OT O O1 c o s 2(3 t 6)2d tx 0 22(3)在一个周期内T x O A t l A t 2 2 A tP x x(t)x A
11、 x l i mT x TTT x O T O2 A t T 0p(x)l i mP x x(t)x A x A x x 0l i m2 A t T O xA x 02 d t T 0 d xx 正弦信号第二章测试装置的基本特性2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为9 0.9 n C/MP a,将它与增益为0.0 0 5 V/n C 的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为2 0 m m/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5 MP a 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于
12、各装置灵敏度相乘，即 S=9 0.9 (n C/MP a)0.0 0 5 (V/n C)2 0(m m/V)=9.0 9 m m/MP ao 偏移量：y=S 3.5=9.0 9 3.5=3 1.81 5 m m。2-2 用一个时间常数为0.3 5 s 的一阶装置去测量周期分别为I s、2 s 和5 s 的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？解：设一阶系统H(s)1s 1,H()11y+(ld)fr(yA()H(),T 是输入的正弦信号的周期稳态响应相对幅值误差 A 1 100%,将已知周期代入得58.6%32.7%8.5%T IsT 2S T 5s2-3 求周期信号x(t)=0.5cosl0
13、t+0.2cos(100t_45)通过传递函数为H(s)=l/(0.005s+l)的装置后得到的稳态响应。解：H()11J1+(0.005“jO.005,A()()arctan(0.005)该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y(t),根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得到y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t-45+2)Ji+(o.oo5 x io其中 y01 A(10)x01 0.5 0.499,1 (10)arc tan(0.005 10)2.861+(0.005 xlOO)2y 0 2 A(1 0 0)x 0 210.2 0.1 7 9,2 (1 0 0
14、)ar c t an (0.0 0 5 1 0 0)2 6.5 7所以稳态响应为y(t)0.49 9 c os(1 0 t 2.8 6 )0.1 7 9 c os(1 0 0 t 7 1.5 7 )2-4 气象气球携带一种时间常数为1 5 s 的一阶温度计，以5 m/s 的上升速度通过大气层。设温度按每升高30 n l 下降0.1 5 C 的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在 30 0 0 m 处所记录的温度为一。试问实际出现-K C 的真实高度是多少？解：该温度计为一阶系统，其传递函数设为H(s)1 1 5 s 1o 温度随高度线性变化，对温度计来说相当于输入了一个斜坡信
15、号，而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数=1 5 s,如果不计无线电波传送时间，则温度计的输出实际上是1 5 s 以前的温度，所以实际出现的真实高度是H z=H-V =30 0 0-5 1 5=2 9 2 5 m 2-5 想用一个一阶系统做1 0 0 H z 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量5 0 H z 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解：设该一阶系统的频响函数为H()1 1是时间常数yji+(T0)A()/+(2加/-稳态响应相对幅值误差 A()1 1 0 0%11 0 0%令 W 5 肌 f=1 0 0 H z
16、,解得 W 5 2 3 s。如果 f=5 0 H z,则y+iT IT fY/1 +(2X523X 1O_ 试求：1)xa(t)所包含的各分量的频率及幅值；2)绘出调制信号与调幅波的频谱。各频率分量的频率/幅值分别为：lOOOOHz/lOO,9500Hz/15,10500Hz/15,8500Hz/10,11500Hz/10o 2)调制信号x(t)=100+30cos t+20cos3 t,各分量频率/幅值分别为：0Hz/100,500Hz/30,1500Hz/20o调制信号与调幅波的频谱如图所示。AAn 解：1)xa(t)=100cos ct+15cos(c-)t+15cos(c+)t+lOc
17、os(c-3)t+lOcos(c+3)t0looio 7 */io8500 9500 10000 10500 11500 f调幅波频谱4-6 调幅波是否可以看作是载波与调制信号的迭加？为什么？解答：不可以。因为调幅波是载波幅值随调制信号大小成正比变化，只有相乘才能实现。4-7 试从调幅原理说明，为什么某动态应变仪的电桥激励电压频率为10k H z,而工作频率为0 15 00H z?解答：为了不产生混叠，以及解调时能够有效地滤掉高频成分，要求载波频率为5 10倍调制信号频率。动态应变仪的电桥激励电压为载波，频率为10k H z,所以工作频率（即允许的调制信号最高频率）为 0 15 00H z 是
18、合理的。4-8 什么是滤波器的分辨力？与哪些因素有关？解答：滤波器的分辨力是指滤波器分辨相邻频率成分的能力。与滤波器带宽B、品质因数Q、倍频程选择性、滤波器因数等有关。带宽越小、品质因数越大、倍频程选择性越小、滤波器因数越小，分辨力越高。4-9 设一带通滤器的下截止频率为f cl,上截止频率为f c2,中心频率为f O,试指出下列记述中的正确与错误。1在)倍频程滤波器fc2 24 f，02)fO10030|20I I _0 1500 fdo3）滤波器的截止频率就是此通频带的幅值-3dB处的频率。4）下限频率相同时，倍频程滤波器的中心频率是1/3五解答：1）错误。倍频程滤波器n=l,正确的是fc
19、2=21fcl=2fcl。2）正确。3）正确。4）正确。4-10已知某RC 低通滤波器，R=l k ,C=1 F,试;1)确定各函数式H(s)；H()；A()；()。2)当输入信号u i=10s in l 000t 时，求输出信号u o,并比较其幅值及相位关系。解：)一阶RC 低通滤波器1)H(s)1 s 1,H()11 j=RC=1000 10-6=0.001sH(s)10.001s 1 所 以，H()11 jO.001+(0.001)2A(),()ar ct an O.001 2)u i=10s in l 000t 时,=1000r ad/s,所以I L.W +(0.001 X 1000)
20、2A(1000)2(1000)arctanO.001 100044)(稳 态 输 出)uo 10 A(1000)sin1000t(1000)t相对输入ui石，输出幅值衰减为-3dB),相位滞后4-11已知低通滤波器的频率响应函数H()11 j 4。式中=0.05so 当输入信号 x(t)=O.5cos(10t)+0.2cos(100t-45)时，求其输出y(t),并比较y(t)与 x(t)的幅值与相位有何区别。J1+(0.05 x IO)?Ado)10.894,(10)arctan(0.05 10)26.61 +(0.05x100)A(100)0.196,(100)arctan(0.05 10
21、0)78.7y(t)=O.5 A(10)cos10t+(10)+0.2 A(100)cos100t-45+(100)=0.447 cos(10t-26.6)+0.039cos(100t-123.7)比较：输出相对输入，幅值衰减，相位滞后。频率越高，幅值衰减越大，相位滞后越大。4-12若将高、低通网络直接串联(见图4-46),问是否能组成带通滤波器？请写出网络的传递函数，并分析其幅、相频率特性。Cui(t)RI R2 C2 uo(t)图 4-46题 4-12图解:H(s)Is 1 2s(1 2 3)s 12 1=R1C1,2=R2C2,3=R1C2H()j 11 2 j(1 2 3)12A()(
22、)arctan21 1 2(1 2 3)A(0)=0,_(0)=/2；A()=0,()=-/2,可以组成带通滤波器，如下图所Z jS oB o de D iag r am9 04 5 0 4F r eq u en cy (r ad/s ec)4-13 一个磁电指示机构和内阻为Ri的信号源相连，其转角和信号源电压U i 的关系可用二阶微分方程来描述，即I d r d t22n A B dr(R i R l)d tn A B r(R i R I)U i设其中动圈部件的转动惯量I 为 2.5 1 0-5 k g m 2,弹簧刚度r为 1 0-3N m r a d-1,线圈匝数n为 1 0 0,线圈横
23、截面积A为 1 0-4m 2,线圈内阻R 1 为 7 5 ，磁通密度B为 1 5 0 W b mT和信号内阻R i为 1 25 ；1)试求该系统的静态灵敏度(r a d V-1)0 2)为了得到0.7 的阻尼比，必须把多大的电阻附加在电路中？改进后系统的灵敏度为多少？n A Bn A Bs 1s2rr iK n222解：1)H(s)(s)U i(s)r(R i R I)I r s2r(R i R I)I rn A B I r(R i R I)sn A B r(R i R I)s 2 n s n式中：n2 (R、+RJKn A B r(R i R I)静态灵敏度：Kn A B r(R i R I
24、)1 0 0 1 0 1 0341 5 0(1 25 7 5)7.5 r a d V12后（R、+R）2V2.5xlO-,xiO-J 025+75）阻尼比：423.717102.5x10-5固有角频率：n20rad s12）设需串联的电阻为R,则25/77（氏+6+/?）2/2.5X IOK x 10(125+75+/)40.70.7 x Jz.5解得：R7 5 0 0 20 0 6 5 7 6.3改进后系统的灵敏度：Kn A B r (R i R I R)1 0 0 1 0 1 0341 5 0(1 25 7 5 6 5 7 6.3)0.221 r a d V1第五章信号处理初步5-1 求
25、h(t)的自相关函数。eh(t)at(t 0,a 0)(t 0)解：这是一种能量有限的确定性信号，所以R h()h(t)h(t)dt0eatea(tdt1 2aea5-2 假定有一个信号x(t),它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为x(t)=A lc o s(lt+1)+A 2c o s(2t+2)求该信号的自相关函数。解：设 x l(t)=A lc o s(lt+1)；x 2(t)=A 2c o s(2t+2),则R x()lim1 2T 1 2TTT T T TL x l(t)x 2(t)x l(t )x 2(t )J d t x l(t)x l(t )d t li
26、m1 2TTlimTT Tx l(t)x 2(t )d t2T 2TR x l()R x lx 2()R x 2x l()R x 2()TTTlim1Tx 2(t)x l(t )d t lim1T Tx 2(t)x 2(t )d t因为 1 2,所以 R x x()0,R x x()0 o1 221又因为x l(t)和 x 2(t)为周期信号，所以R x l()1 T 12A1T10Alcos(It 1)Alcos 1(tT1cos It 1 1(t)1 dtT1022 T1A1 T1cos 2 It 1 2 1T10Al2T112T1tc o s(1)A122)ld t)1 cos It 1
27、 1(tdt cos(1)dt 00 2cos(1)同理可求得R x l()A 222c o s(2)22所以 R x()R x l()Rx2()A 1 2c o s(1 )A 22c o s(2)5-3求方波和正弦波(见图5-24)的互相关函数。解 法 1：按方波分段积分直接计算。R x y()解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。y(t)4 1 1c o s t c o s 3 t c o s 5 t35x(t)y(t)dt T Ox(t)y(t)dtTOT3T1
28、 4(1)sin(t)dt T41 sin(t)dt T 042sin()1T1TT3T4(1)sin(t)dtR x y()ITTOx(t)y(t)dtI TT O4所以T 2 Ts in(2t)d ts m)d t0 0T220 T s in()s in)TTT O1 24s in (t)c o s (t)d ts m(.tt)s in (tt)d t解法3：直接按R x y()定义式计算(参看下图)。R x y()x(t)y(t)dtTOT1 4(1)sin(t)dt T 02sin()1T3T4T41 sin(t)d t 3T(l)sin(t)dty(t参考上图可以算出图中方波y(t)
29、的自相关函数4T 1 0T 24TRy()2 TT3方波的自相关函数图5-4某一系统的输人信号为x(t)(见图5-25),若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx()和输入一输出的互相关函数Rx()之间的关系为R x()=R x y(+T),试说明该系统起什么作用？图 5-25 题 5-4图M r)系 统V 解：因为 R x()=R x y(+T)所以 limI TTT Ox (t)x(t )d t limI TTT Ox (t)y(t T)d t所以 x(t+)=y(t+T)令 t l=t+T,代入上式得 x(t l-T)=y(t l),即 y(t)=x(t -T)结果说明了该
30、系统将输入信号不失真地延迟了 T时间。5-5 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。解：设信号x(t)的 均 值 为 x,x l(t)是 x(t)减去均值后的分量，则x (t)=x +x l(t)R x()lim1 T 1ITTTOTx(t)x(tTTxxl(t)limTOTTT12limOOT T22x 0)dt 1imx xl(t)dtxdt xxl(t)dt00 Rxl()x Rxl()Txxl(t)dtx2 xxl(t)xxl(t)xl(t)xl(t)dtT Ox l(t)x l(t )d t如果x l(t)不含周期分量，则 lim R x()0,所
31、以此时lim R x()x；如果x(t)含周期分量，则 Rx()中12必含有同频率的周期分量；如果x(t)含幅值为x 0 的简谐周期分量，则Rx()中必含有同频率的简谐周期分量，且该简谐周期分量的幅值为x 0 2/2；根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值(即常值分量)和周期分量的周期及幅值，参见下面的图。例如：如果l im Rx()C,则x含有简谐周期分量的自相关函数的图25-6 已知信号的自相关函数为A co s均方根值x rm s。解：Rx()=A co sx 2=Rx(0)=A,请确定该信号的均方值x和x rm s25-7 应用巴塞伐尔定理求sin c(t)d t 积分值。解：
32、令 x(t)=sin c(t),其傅里叶变换为X(f)02其 他 1f1 2根据巴塞伐尔定理得sin e (t)d t2x (t)d t2X(f)d f212 1 2d f2 21 2125-8 对三个正弦信号 x l (t)=co s2 t x 2(t)=co s6 t x 3(t)=co sl 0 t进行采样，采样频率f s=4 H z,求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x l(t)、x 2(t)、x 3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。解：采样序列x(n)N 1N 1x l (n)n 0 x l(t)(t n T s)n 0co s 2 n T s(t n T s)n nco s(t )24 n 0N 1采样输出序列为：1,0,-1,0,1,0,-1,0,N 1x 2 (n)co sn 0n 3n(t )4 2采样输出序列为：1,0,-1,0,1,0,-1,0,x2(n)n 5ncos(t)24 n 0N 1采样输出序列为：1,0,-1,0,1,0,-1,0,xl(x2(x3(从计算结果和波形图上的采样点可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列却是相同的，这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别，造成了频率混叠。原因就是对x2(t)、x3(t)来说，采样频率不满足采样定理。