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1、数学试卷第 1页（共 20页）数学试卷第 2页（共 20页） 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷) 理科数学 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第卷(选择题共 60 分) 一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合1 0Ax x,0,1,2B ,则AB () A.0B.1C.1,2D.0,1,2 2.()(1i 2i)() A.3i B.3i C.3iD.3i 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图 中木构件右边的小长方
2、体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成 长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() ABCD 4.若 1 sin 3 ,则cos2() A. 8 9 B. 7 9 C. 7 9 D. 8 9 5. 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数为() A.10B.20C.40D.80 6.直线2=0 xy分别与x轴,y交于A,B两点,点 P 在圆 22 (2)=2xy上,则 ABP面积的取值范围是() A.2,6 B.4,8C. 2,3 2 D 2 2,3 2 7.函数 42 2yxx 的图象大致为() AB CD 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的
3、支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,2.4DX ,() 6(4)P XP X,则p () A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3 9.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为 222 4 abc ,则 C () A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 毕业学校_姓名_考生号_ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 数学试卷第 3页（共 20页）数学试卷第 4页（共 20页） 10.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面 积为9 3,则三棱锥DABC体积的最大值为() A.12 3B.18 3C.24
4、3D.54 3 11.设 1 F, 2 F是双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点,O是坐标原点.过 2 F作 C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若 1 |6 |PFOP,则C的离心率为() A.5B.2C.3D.2 12.设 0.2 log0.3a , 2 log 0.3b ,则() A.0abab B.abab0 C.0abab D.0abab 第卷(非选择题共 90 分) 二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量2)(1,a,)2(2,b,),(1c.若2()cab,则=. 14.曲线)e(1 x yax在点(0,1)处的切
5、线的斜率为2,则a . 15 函数 ( )cos(3) 6 f xx在0,的零点个数为. 16.已知点1()1,M 和抛物线C：4yx,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B 两点.若90AMB ,则k . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考 题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题：共 60 分. 17.(12 分) 等比数列 n a中, 1 1a , 53 4aa. (1)求 n a的通项公式； (2)记 n S为 n a的前n项和.若63 m S ,求m. 18.(12 分) 某工厂
6、为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生 产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20 人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生 产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超 过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 2 2 ()
7、 (ab)(c d)(ac)(b d) n adbc K , 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 19.(12 分) -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 数学试卷第 5页（共 20页）数学试卷第 6页（共 20页） 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上 异于C,D的点. (1)证明：平面AMD 平面BMC； (2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD 所成二面角的正弦值. 20.(12 分) 已知斜率为k的直线l与椭圆C： 22 1 43 xy 交于A,B两点,线段AB的中点为 (1,)()M
8、m m0. (1)证明： 1 2 k-； (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且0FPFAFB .证明：FA ,FP , ,FB 成等差数列,并求该数列的公差. 21.(12 分) 已知函数 2 2( )()ln(1)2fxaxxxx. (1)若0a ,证明：当10 x 时,( )0f x ；当0 x时,( )0f x ； (2)若=0 x是( )f x的极大值点,求a. (二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第 一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为 cos , sin x y
9、 (为参数),过点(0, 2)且 倾斜角为的直线l与O交于A,B两点. (1)求的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程. 23.选修 45：不等式选讲(10 分) 设函数( )211f xxx. (1)画出( ) yf x的图象； (2)当 0),x,( )bxfax ,求ab的最小值. 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷) 理科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】C 【解析】=1Ax x ,0,1,2B ,=1,2AB,故选 C. 毕业学校_姓名_考生号_ _ 数学试卷第 7页（共 20页）数学试卷第 8页（共 20页） 2.【答案】D 【解析】 2 1i
10、 2i)(2i2ii3i)( ,故选 D. 3.【答案】A 【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯 视图可以为 A.故选 A. 4.【答案】B 【解析】由 1 sin 3 ,得 22 127 cos212sin12( ) =1= 399 .故选 B. 5.【答案】C 【解析】 25 2 ()x x 的展开式的通项 25110 3 155 ()(2)2 rrrrrr r TCxxCx ,令1034r, 得2r ,所以 4 x的系数为 22 5 240C.故选 C. 6.【答案】A 【解析】由圆 22 (2)=2xy可得圆心坐标(2,0),半径2r ,AB
11、P的面积记为S,点 P到直线AB的距离记为d,则有 1 2 SABd.易知 2 2AB , max 22 202 23 2 11 d , min 22 202 22 11 d ,所以 26S ,故选 A. 7.【答案】D 【解析】 42 ( )2f xxx , 3 ( )42fxxx ,令( )0fx,解得 2 2 x或 2 2 x0 ,此时,( )f x递增；令( )0fx,解得 2 2 x 0或 2 2 x,此时,( )f x 递减.由此可得( )f x的大致图象.故选 D. 8.【答案】B 【解析】由题知1 ()0,XBp,则(1012.4)DXpp,解得0.4p 或0.6.又 () 6
12、(4)P XP X,即 44666422 1010 (1)(1)(1)0.5C PpC Ppppp, 0.6p ,故选 B. 9.【答案】C 【解析】根据余弦定理得 222 2cosabcabC,因为 222 4 ABC a S bc ,所以 c 4 2os ABC abC S ,又 1 sin 2 ABC SabC ,所以tan1C ,因为()0,C， 所以 4 C . 故选 C. 10.【答案】B 【解析】设ABC的边长为a,则 1 sin60 =9 3 2 ABC Sa a ,解得6a (负值舍 去).ABC的外接圆半径r满足 6 2 sin60 r ,得2 3r ,球心到平面ABC的距
13、离 为 2 2 42 32.所以点D到平面ABC的最大距离为246,所以三棱锥 DABC体积的最大值为 1 9 3618 3 3 ,故选 B. 11.【答案】C 【解析】 点 2( ,0) F c到渐近线 b yx a 的距离 2 2 0 (0) 1( ) bc a PFb b b a ,而 2 OFc,所以 在 2 RtOPF中,由勾股定理可得 22 OPcba,所以 1 66PFOPa. 在 2 RtOPF中, 2 2 2 cos PFb PF O OFc ,在 12 FF P 中, 222 222 2121 2 212 46 cos 22 PFFFPFbca PF O PFFFbc 2
14、,所以 222 222 46 346 4 bbca bca cbc ,则有 2222 3()46caca,解得3 c a (负 值舍去),即3e .故选 C. 数学试卷第 9页（共 20页）数学试卷第 10页（共 20页） 12.【答案】B 【解析】解法一： 0.20.2 log0.3log1=0a , 22 log 0.3log 1=0b ,0ab,排除 C. 0.20.2 0log0.3log0.2=1, 22 log 0.3log 0.5=1,即01a ,1b-,0ab ,排 除 D. 2 2 0.2 log 0.3lg0.2 log 0.2 log0.3lg2 b a , 222 3
15、log 0.3log 0.2log1 2 b b a , 1 b babab a ,排除 A.故选 B. 解法二：易知01a ,1b,0ab,0ab , 0.30.30.3 11 log0.2log2log0.4 1 ab , 即1 ab ab ,abab , 0abab.故选 B. 第卷 二、填空题 13.【答案】 1 2 【解析】由已知得2(4,2)ab.又,()1c,2()cab,所以42=0,解得 1 2 . 14.【答案】3 【解析】设(e )1( x f xax,则()( )1 e x fxaxa,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜 率(0)12kfa ,解得3a . 15.【答案
16、】3 【解析】令( )0f x ,得 cos(3) 6 x ,解得 +() 39 k xkZ.当0k 时, 9 x ；当1k 时, 4 9 x ；当2k 时, 7 9 x ,又 0,x,所以满足要求的零点有 3 个. 16.【答案】2 【解析】解法一： 由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的 直线方程为1 y x k ,设 1 1 1, y Ay k , 2 2 1, y By k ,将直线方程与抛物线方 程联立得 2 1, 4 , y x k yx 整理得 2 4 40yy k ,从而得 12 4 yy k , 12 4yy . 1()1,M ,90AMB ,0
17、MA MB ,即 12 12 (2) (2)(1)(1)0 yy yy kk , 即 2 440kk,解得2k . 解法二：设 11 A(,)x y， 22 (),B xy,则 2 11 2 22 4 , 4, yx yx -得 22 2121 4()yyxx,从而 21 2112 4yy xx k yy .设AB的中点为 M ，连接MM.直线AB过抛物线 2 4yx的 焦 点 ， 以 线 段AB为 直 径 的 M 与 准 线:1l x 相 切 . 1()1,M ,90AMB ,点M在准线:1l x 上,同时在 M 上,准线l是 M 的切线,切点M,且MMl ,即MM与x轴平行,点 M 的纵坐
18、标为1,即 12 12 2 2 1 yy yy ,故 12 44 2 2yy k . 故答案为：2. 三、解答题 17.【答案】(1)解：设 n a的公比为q,由题设得 1n n aq . 由已知得 42 4qq,解得0q (舍去)或2q 或2q . 故 1 ( 2)n n a 或 1 2n n a . (2)若 1 ( 2)n n a ,则 1( 2) 3 n n S . 由63 m S 得( 2)188 m .此方程没有正整数解. 若 1 2n n a ,则21 n n S .由63 m S 得264 m ,解得6m . 综上,6m . 【解析】(1)解：设 n a的公比为q,由题设得 1
19、n n aq . 由已知得 42 4qq,解得0q (舍去)或2q 或2q . 故 1 ( 2)n n a 或 1 2n n a . (2)若 1 ( 2)n n a ,则 1( 2) 3 n n S . 由63 m S 得( 2)188 m 。此方程没有正整数解. 数学试卷第 11页（共 20页）数学试卷第 12页（共 20页） 若 1 2n n a ,则21 n n S .由63 m S 得264 m ,解得6m . 综上,6m . 18.【答案】(1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下： (i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至 少80分钟,
20、用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. (ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分 钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第 二种生产方式的效率更高. (iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟； 用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟。 因此第二种生产 方式的效率更高. (iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最 多,关于茎8大致呈对称分布； 用第二
21、种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布 在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务 所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间 比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。因此第二种生产方式的效率更 高. 以上给出了 4 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. (2)由茎叶图知 7981 80 2 m . 列联表如下： 超过m不超过m 第一种生产方式155 第二种生产方式515 (3)由于 2 2 40(15 155 5) 106.635 20202020 K ,所以有 99%的把握认为两种生产方式的 效率有差异.
22、 【解析】(1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下： (i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至 少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. (ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分 钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第 二种生产方式的效率更高. (iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟； 用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟。
23、 因此第二种生产 方式的效率更高. (iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最 多,关于茎8大致呈对称分布； 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布 在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务 所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间 比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。因此第二种生产方式的效率更 高. 以上给出了 4 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. (2)由茎叶图知 7981 80 2 m . 列联表如下： 超过m不超过m 第一种生产方式155 第二种
24、生产方式515 (3)由于 2 2 40(15 155 5) 106.635 20202020 K ,所以有 99%的把握认为两种生产方式的 效率有差异. 数学试卷第 13页（共 20页）数学试卷第 14页（共 20页） 19.【答案】(1)由题设知,平面CMD 平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC 平面ABCD,所以BC 平面CMD,故BCDM. 因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM. 又BCCMC,所以DM平面BMC. 而DM 平面AMD,故平面AMD平面BMC. (2)以D为坐标原点,DA 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 当三棱锥
25、MABC体积最大时,M为CD的中点. 由题设得 (0,0,0)D,(2,0,0)A,(2,2,0)B,(0,2,0)C,(0,1,1)M,( 2,1,1)AM ,(0,2,0)AB , (2,0,0)DA . 设( , , )nx y z是平面MAB的法向量,则 0, 0, nAM nAB 即 20, 20, xyz y 可取(1,0,2)n . DA 是平面MCD的法向量,因此 5 cos, 5 n DA n DA n DA =, 2 5 sin, 5 n DA =. 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2 5 5 . 【解析】(1)由题设知,平面CMD 平面ABCD,交线为CD.因
26、为BCCD,BC 平 面ABCD,所以BC 平面CMD,故BCDM. 因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM. 又BCCMC,所以DM平面BMC. 而DM 平面AMD,故平面AMD平面BMC. (2)以D为坐标原点,DA 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 当三棱锥MABC体积最大时,M为CD的中点. 由题设得 (0,0,0)D,(2,0,0)A,(2,2,0)B,(0,2,0)C,(0,1,1)M,( 2,1,1)AM ,(0,2,0)AB , (2,0,0)DA . 设( , , )nx y z是平面MAB的法向量,则 0, 0, nAM nAB
27、 即 20, 20, xyz y 可取(1,0,2)n . DA 是平面MCD的法向量,因此 5 cos, 5 n DA n DA n DA =, 2 5 sin, 5 n DA =. 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2 5 5 . 20.【答案】(1)设 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy,则 22 11 1 43 xy , 22 22 1 43 xy . 两式相减,并由 12 12 yy k xx 得 1212 0 43 xxyy k . 由题设知 12 1 2 xx , 12 2 yy m ,于是 3 4 k m . 数学试卷第 15页（共 20页）数学试卷第
28、16页（共 20页） 由题设得 3 0 2 m ,故 1 2 k. (2)由题意得(1,0)F.设 33 (,)P xy,则 331122 (1,)(1,)(1,)(0,0)xyxyxy. 由(1)及题设得 312 3()1xxx, 312 ()20yyym . 又点P在C上,所以 3 4 m ,从而 3 (1,) 2 P, 3 2 FP . 于是 2 222 11 111 (1)(1)3(1)2 42 xx FAxyx . 同理， 2 2 2 x FB . 所以 12 1 4()3 2 FAFBxx . 故2 FPFAFB ,即FA ,FP ,FB 成等差数列. 设该数列的公差为d,则 2
29、121212 11 2=()4 22 dFBFAxxxxx x =. 将 3 4 m 代入得1k . 所以l的方程为 7 4 yx ,代入C的方程,并整理得 2 1 7140 4 xx. 故 12 2xx, 12 1 28 x x ,代入解得 3 21 28 d . 所以该数列的公差为 3 21 28 或 3 21 28 . 【解析】(1)设 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy,则 22 11 1 43 xy , 22 22 1 43 xy . 两式相减,并由 12 12 yy k xx 得 1212 0 43 xxyy k . 由题设知 12 1 2 xx , 12 2 yy
30、m ,于是 3 4 k m . 由题设得 3 0 2 m ,故 1 2 k. (2) 由题意得(1,0)F.设 33 (,)P xy,则 331122 (1,)(1,)(1,)(0,0)xyxyxy. 由(1)及题设得 312 3()1xxx, 312 ()20yyym . 又点P在C上,所以 3 4 m ,从而 3 (1,) 2 P, 3 2 FP . 于是 2 222 11 111 (1)(1)3(1)2 42 xx FAxyx . 同理， 2 2 2 x FB . 所以 12 1 4()3 2 FAFBxx . 故2 FPFAFB ,即FA ,FP ,FB 成等差数列. 设该数列的公差为
31、d,则 2 121212 11 2=()4 22 dFBFAxxxxx x =. 将 3 4 m 代入得1k . 所以l的方程为 7 4 yx ,代入C的方程,并整理得 2 1 7140 4 xx. 故 12 2xx, 12 1 28 x x ,代入解得 3 21 28 d . 所以该数列的公差为 3 21 28 或 3 21 28 . 21.【答案】(1)当0a 时,( )(2)ln(1)2f xxxx,( )ln(1) 1 x fxx x . 设函数( )( )ln(1) 1 x g xfxx x ,则 2 ( ) (1) x g x x . 当10 x 时,( )0g x； 当0 x时,
32、( )0g x.故当1x-时,( )(0)=0g xg,且仅当0 x 时,( )0g x , 从而( )0fx,且仅当0 x 时,( )0fx. 所以( )f x在( 1,)x 单调递增. 又(0)0f,故当10 x 时,( )0f x ；当0 x时,( )0f x . (2)(i)若0a,由(1)知,当0 x时,( )(2)ln(1)20= (0)f xxxxf,这与0 x 是 ( )f x的极大值点矛盾. (ii)若0a,设函数 22 ( )2 ( )ln(1) 22 f xx h xx xaxxax . 由于当 1 min1,x a 时, 2 20 xax,故( )h x与( )f x符
33、号相同. 又(0)(0)0hf,故0 x 是( )f x的极大值点当且仅当0 x 是( )h x的极大值点. 数学试卷第 17页（共 20页）数学试卷第 18页（共 20页） 2222 2222 12(2)2 (12)(461) ( ) 1(2)(1)(2) xaxxaxxa xaxa h x xxaxxaxx . 如果61 0a ,则当 61 0 4 a x a ,且 1 min1,x a 时,( )0h x,故0 x 不是( )h x 的极大值点. 如 果61 0a , 则 22 4610a xaxa 存 在 根 1 0 x, 故 当 1 ( ,0)xx, 且 1 min1,x a 时,(
34、 )0h x,所以0 x 不是( )h x的极大值点. 如果61 0a =,则 3 22 (24) ( ) (1)(612) xx h x xxx .则当( 1,0)x 时,( )0h x； 当(0,1)x时,( )0h x.所以0 x 是( )h x的极大值点,从而0 x 是( )f x的极大值点。 综上, 1 6 a . 【解析】(1)当0a 时,( )(2)ln(1)2f xxxx,( )ln(1) 1 x fxx x . 设函数( )( )ln(1) 1 x g xfxx x ,则 2 ( ) (1) x g x x . 当10 x 时,( )0g x； 当0 x时,( )0g x.故
35、当1x-时,( )(0)=0g xg,且仅当0 x 时,( )0g x , 从而( )0fx,且仅当0 x 时,( )0fx. 所以( )f x在( 1,)x 单调递增. 又(0)0f,故当10 x 时,( )0f x ；当0 x时,( )0f x . (2)(i)若0a,由(1)知,当0 x时,( )(2)ln(1)20= (0)f xxxxf,这与0 x 是 ( )f x的极大值点矛盾. (ii)若0a,设函数 22 ( )2 ( )ln(1) 22 f xx h xx xaxxax . 由于当 1 min1,x a 时, 2 20 xax,故( )h x与( )f x符号相同. 又(0)
36、(0)0hf,故0 x 是( )f x的极大值点当且仅当0 x 是( )h x的极大值点. 2222 2222 12(2)2 (12)(461) ( ) 1(2)(1)(2) xaxxaxxa xaxa h x xxaxxaxx . 如果61 0a ,则当 61 0 4 a x a ,且 1 min1,x a 时,( )0h x,故0 x 不是( )h x 的极大值点. 如 果61 0a , 则 22 4610a xaxa 存 在 根 1 0 x, 故 当 1 ( ,0)xx, 且 1 min1,x a 时,( )0h x,所以0 x 不是( )h x的极大值点. 如果61 0a =,则 3
37、22 (24) ( ) (1)(612) xx h x xxx .则当( 1,0)x 时,( )0h x； 当(0,1)x时,( )0h x.所以0 x 是( )h x的极大值点,从而0 x 是( )f x的极大值点。 综上, 1 6 a . 22.【答案】(1)O的直角坐标方程为 22=1 xy. 当 = 2 时,l与O交于两点. 当 2 时,记tan =k,则l的方程为2ykx.l与O交于两点当且仅当 2 2 1 1k ,解得1k或1k,即 (,) 4 2 或 3 (,) 24 . 综上,的取值范围是 3 (,) 44 . (2)l的参数方程为 cos , 2sin xt yt (t为参数
38、, 3 44 ). 设A,B,P对 应 的 参 数 分 别 为 A t, B t, p t, 则 2 AB P tt t , 且 A t, B t满 足 2 2 2 sin10tt . 于是2 2sin AB tt,2 2sin P t. 又点P的坐标( , )x y满足 cos , 2sin . P P xt yt 所以点P的轨迹的参数方程是 2 sin2 , 2 22 cos 22 x y (为参数, 3 44 ). 【解析】(1)O的直角坐标方程为 22=1 xy. 当 = 2 时,l与O交于两点. 数学试卷第 19页（共 20页）数学试卷第 20页（共 20页） 当 2 时,记tan
39、=k,则l的方程为2ykx.l与O交于两点当且仅当 2 2 1 1k ,解得1k或1k,即 (,) 4 2 或 3 (,) 24 . 综上,的取值范围是 3 (,) 44 . (2)l的参数方程为 cos , 2sin xt yt (t为参数, 3 44 ). 设A,B,P对 应 的 参 数 分 别 为 A t, B t, p t, 则 2 AB P tt t , 且 A t, B t满 足 2 2 2 sin10tt . 于是2 2sin AB tt,2 2sin P t. 又点P的坐标( , )x y满足 cos , 2sin . P P xt yt 所以点P的轨迹的参数方程是 2 sin
40、2 , 2 22 cos 22 x y (为参数, 3 44 ). 23.【答案】(1) 1 3 , 2 1 ( )2,1, 2 3 ,1. x x f xxx x x - - ( )yf x的图象如图所示. (2)由(1)知,( )yf x的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值 为3,故当且仅当3a且2b时,( )f xaxb在)0,+成立,因此ab的最小值 为5. 【解析】(1) 1 3 , 2 1 ( )2,1, 2 3 ,1. x x f xxx x x - - ( )yf x的图象如图所示. (2)由(1)知,( )yf x的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值 为3,故当且仅当3a且2b时,( )f xaxb在)0,+成立,因此ab的最小值 为5.