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1、2012 年高考辽宁卷理科数学解析版沈阳市第三十一中学 李曙光编辑整理一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已 知 全 集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集 合A=0,1,3,5,8，集 合B=2,4,5,6,8，则CUA CUB=A5,8 B7,9 C0,1,3D2,4,6难度 易正确答案 BCUA CUB=CUA2-i=2+i3 4A-i5 52.复数难度 易正确答案 AB=7,9B+3443iC1-iD1+i55552-i=3-4i=3-4i2-i=2+i2+i2-i55 53.已知两个非零向量a,b满足a+b
2、=a-b，则下面结论正确Aa/bBa bCa=b难度 中正确答案 BDa+b=a-b2a+b=a-b，可以从几何角度理解，以非零向量a,b为邻边做平行四边形，对角线长分别为a+b,a-b，若a+b=a-b，则说明四边形为矩形，所以a b；也可由已知得a+b=a-b，即a-2ab+b=a+2ab+b ab=0a b4.已知命题p:x1,x2R,fx2-fx1Ax1,x2R,fx2-fx1222222x-x0，则p是21x-x021Bx1,x2R,fx2-fx1Cx1,x2R,fx2-fx1x-x 02121x-x0Dx1,x2R,fx2-fx1难度 易正确答案 Cx-x021全称命题的否定形式为
3、将“”改为“”，后面的加以否定，即将“fx2-fx1改为“fx2-fx1x-x0”21x-x0,y0，矩形面积设为S，则S=xy=x12-x32。2解得0 x 4或8 x2.7=19.681+3+3=13，故排除 A；验证 B，当x=时，1211+12=111113391521153616 66，而1-+=，故排除 B；=0恒成立212所以当x0,+，gx g0=0，所以x0,+，gx=cosx-1+x为增函数，所以2验证 C，令gx=cosx-1+gx g0=0，恒成立，故选 C；验证 D，令11xxx-3，令hx0，解得0 x3，所以当0 x3hx=ln1+x-x+x2,hx=-1+=8x
4、+144x+1时，hxh0=0，显然不恒成立二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为难度 易正确答案 38由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为 3，高为 1 的长方体中心，去除一个半径为 1 的圆柱，所以表面积为243+41+31+2-2=3814.已知等比数列an为递增数列，且a52=a10,2an+an+2=5an+1，则数列an的通项公式an=_难度 中正确答案2令 等比数列an的公比为q，则由2an+an+2=5an+1得，2+2q2=5q,2q2-5q+2=0，解得n1429q=或q=2，又由a52=a10知，a1q=a1q
5、，所以a1=q，因为an为递增数列，所以a1=q=2，2an=2n15.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4,-2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点 A 的纵坐标为难度 中正确答案-4y=12x,y=x，所以以点P为切点的切线方程为y=4x-8，以点Q为切点的切线方程为y=-2x-2，2联立两方程的x=1y=-416.已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径为3的球面上，若PA,PB,PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为难度 中正确答案33如图所示，O为球心，O为截面ABC所在圆的圆心，令PA=PB=PC=a，PA,PB,PC两两相互垂直
6、，AB=BC=CA=2a，所以CO=2263a，PO=a，333632 33a=a-3+a=3，解得a=2，所以PO=，OO=33333三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，角A,B,C成等差数列。（1）求cos B的值；（2）边a,b,c成等比数列，求sin Asin C的值（1）由已知2B=A+C,A+B+C=,B=3,cos B=1222（2）解法一：b=ac，由正弦定理得sin AsinC=sin B=341a2+c2-b2a2+c2-ac=解法二：b=ac，=cosB=，由此得a2+c2-ac=ac
7、,得a=c22ac2ac2所以A=B=C=3，sin AsinC=3418.（本小题满分 12 分）如 图，直 三 棱 柱ABC-ABC，BAC=90，AB=AC=AA，点M,N分别为AB和BC的中点；（1）证明：MN/平面AACC（2）若二面角A-MN-C为直二面角，求的值（1）连结AB,AC，由已知BAC=90,AB=AC三棱柱ABC-ABC为直三棱柱，所以M为AB中点.又因为N为BC中点所以MN/AC，又MN 平面AACCAC平面AACC，因此MN/平面AACC（2）以A为坐标原点，分别以直线AB,AC,AA为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O-xyz，如图所示设AA=1,则AB=AC=，
8、于是A0,0,0,B,0,0,C0,0,A0,0,1,B,0,1,C0,1，所以M1,0,N,1，设m=x1,y1,z1是平面AMN的法向量，222 21x-z=02121m AM=0,由得，可取m=1,-1,y+1z=0m MN=01122设n=x2,y2,z2是平面MNC的法向量，n由n-x+y2-z2=02NC=0,22得，可取n=-3,-1,MN=0y+1z=02222因为A-MN-C为直二面角，所以m n=0,即-3+-1-1+2=0，解得=219.（本小题满分 12 分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果
9、绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷“（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？男女合计非体育迷体育迷10合计55（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷“人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望EX和方差DXnn11n22-n12n212附：=，n1+n2+n+1n+2P 2 kk0.053.8410.016.6352（1）由频率分布直方图可知，在抽取的1
10、00 人中，“体育迷”有 25 人，从而22列联表如下：男女合计2非体育迷3045752体育迷151025合计4555100将22列联表中的数据代入公式计算，得nn11n22-n12n211003010-45151002=3.030n1+n2+n+1n+27525455533因为3.030b0,a,b为常数，ab动圆C1:x2+y2=t12,bt1a.点A1,A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A,B,C,D四点（1）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（2）设 动 圆C2:x2+y2=t22与C0相 交 于A,B,C,D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD
11、的面积相等，证明：t12+t22为定值设Ax1,y1,Bx1,-y1，又知A1-a,0,A2a,0，则直线A1A的方程为y=y1x+ax1+a-y1x-ax1-a直线A2B的方程为y=-y1222由得y=22x-ax1-a2x12y12x1222由点Ax1,y1在椭圆C0上，故可得2+2=1，从而有y1=b1-2，代入得abax2y2-=1x-a,y0a2b2（2）证明：设Ax2,y2，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得x1222x22因为点A,A均在椭圆上，所以b x1-2=b x21-24 x1y1=4 x2y2,x y=x2y2，aa221122221由t1t2，知x1 x2，所
12、以x12+x22=a2。从而y12+y22=b2，因而t12+t22=a2+b2为定值21.（本小题满分 12 分）设fx=lnx+1+x+1+ax+ba,bR,a,b为常数，曲线y=fx与直线y=切.（1）求a,b的值；（2）证明：当0 x2时，fx0时，2记hx=fx-3x+11x+1+1=x+2，故xx+1+129x11542+x+154x+654+-=-，则hx=x+6x+12 x+1x+622x+1x+624x+1x+62x+6-216x+13g x=x+6-216x+1，则当0 x2时，=，令 24x+1x+6gx=3x+6-2160因此gx在0,2内是减函数，又由g0=0，得gx
13、0，所以hx0因此hx在0,2内是减函数，又由h0=0，得hx0，于是当0 x2时，fx0时，229xx+6x+11x+1+1=x+2，故xx+10时，fx1-x-1=0，故kx0，即lnx+1x，由此得，x+1x+13x，记hx=x+6fx-9x，则当0 x2时，231 1hx=fx+x+6fx-9x+x+6+-92x+12 x+1=11x3xx+1+x+62+x+1-18x+13x x+1+x+63+-18 x+1 2x+12x+12=x7x-1804x+19xx+6因此hx在0,2内是减函数，又由h0=0，得hx0，即fx0时，-42 x，得a=2aa1,x -11 x（2）记hx=fx-2 f，则hx=-4x-3,-1 x-，221-1,x -2所以hx1，因此k 1