《2021年全国新高考一Ⅰ卷数学试题含答案解析【适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国新高考一Ⅰ卷数学试题含答案解析【适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建】.pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、20212021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学本试卷共本试卷共 4 4页，页，2222 小题，满分小题，满分 150150 分分.考试用时考试用时 120120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号考生号 考场号和座位号填写在答题卡上考场号和座位号填写在答题卡上.用用2 2B B 铅笔将试卷类型铅笔将试卷类型(A A)填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.”.2.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用
2、作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试答案不能答在试卷上卷上.3.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效不按以上
3、要求作答无效.4.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1.设集合A x 2 x 4，B 2,3,4,5，则AA.2B.2,3B（）D.C.3,42,3,42.已知z 2i，则zz i（）B.4 2iC.62iD.4 2iA.6 2i3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
4、（）A.2B.2 2C.4D.4 24.下列区间中，函数fx 7sinx单调递增的区间是（）6C.,A.0,2B.,232D.3,22x2y25.已知F1的两个焦点，点M在C上，则MF1 MF2的最大1，F2是椭圆C：94值为（）A.136.若tan 2，则A657.若过点a,b可以作曲线y ex的两条切线，则（）A.eb aB.ea bD.0 b eaC.0 a eb8.有 6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事
5、件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立.B.12C.9D.6sin1sin2（）sincosB.25C.25D.65B.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立二二 选择题：本题共选择题：本题共 4 4小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9.有一组样本数据x1，x2，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，yn，其中yi xic(i 1
6、,2,n),c为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同10.已知O为坐标原点，点P1cos,sin，P2cos,sin，,0，则（）P3cos,sin，A 1A.OP1 OP2C.OAOP3OP1OP222B.AP1 AP2D.OAOP1OP2OP311.已知点P在圆x 5y 516上，点A4,0、B0,2，则（）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时，PB 3 2D.当PBA最大时，PB 3 212.在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB AA11，点
7、P满足BPBCBB1，其中0,1，0,1，则（）A.当1时，AB1P的周长为定值B.当1时，三棱锥P A1BC的体积为定值C.当D.当1时，有且仅有一个点P，使得A1P BP21时，有且仅有一个点P，使得A1B 平面AB1P2三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 4小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.3xx13.已知函数fx xa2 2是偶函数，则a _.14.已知O为坐标原点，抛物线C：y2 2px(p 0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ OP，若FQ 6，则C的准线方程为_.15.函数fx 2x1 2ln x的最小值为_.16
8、.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm12dm的长方形纸，对折 1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1 240dm，对折 2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，220dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180dm2，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么Sk1nk_dm2.四四 解答题：解答题：本题共本题共 6 6 小题，小题，共共 7070 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知数列an满足a11
9、，an1an1,n为奇数,an2,n为偶数.（1）记bn a2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；（2）求an的前 20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20 分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得 0 分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为 0.8，能正确回答B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
10、.（1）若小明先回答 A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2 ac，点D在边AC上，BDsinABC asinC.（1）证明：BD b；（2）若AD 2DC，求cosABC.20.如图，在三棱锥A BCD中，平面ABD 平面BCD，AB AD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为 1等边三角形，点E在棱AD上，DE 2EA，且二面角的E BC D的大小为45，求三棱锥A BCD的体积.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1 17,0
11、、F2的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x 17,0MF1 MF2 2，点M1上，过T2两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TA TB TP TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.22.已知函数fx x1lnx.（1）讨论fx的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna alnb a b，证明：2 的11 e.ab20212021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学本试卷共本试卷共 4 4页，页，2222 小题，满分小题，满分 150150 分分.考试用时考试用时 120120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.1.答卷前
12、，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号考生号 考场号和座位号填写在答题卡上考场号和座位号填写在答题卡上.用用2 2B B 铅笔将试卷类型铅笔将试卷类型(A A)填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.”.2.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试答案不能答在试卷
13、上卷上.3.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效不按以上要求作答无效.4.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分
14、分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1.设集合A x 2 x 4，B 2,3,4,5，则AA.2B.2,3B（）D.C.3,42,3,4【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求AB.【详解】由题设有A B 2,3，故选：B.2.已知z 2i，则zz i（）B.4 2iC.62iD.4 2iA.6 2i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为z 2i，故z 2i，故z z i 2i22i 62i故选：C.3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2
15、【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则l 22，解得l 2 2.故选：B.4.下列区间中，函数fx 7sinxB.2 2C.4D.4 2单调递增的区间是（）6C.,A.0,2B.,232D.3,22【答案】A【解析】【分析】解不等式2k2 x6 2k2kZ，利用赋值法可得出结论.2,2k【详解】因为函数y sin x的单调递增区间为2kkZ，2对于函数fx 7sinx解得2k6，由2k2 x6 2k2kZ，3 x 2k2kZ，3取k 0，可得函数fx的一个单调递增
16、区间为2,33，则0,2,2332，,233，A 选项满足条件，B不满足条件；58,，33取k 1，可得函数fx的一个单调递增区间为3,22,333且,258358,2，,，CD选项均不33233满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y Asinx形式，再求y Asinx的单调区间，只需把x 看作一个整体代入y sin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数x2y25.已知F1的两个焦点，点M在C上，则MF1 MF2的最大1，F2是椭圆C：94值为（）A.13【答案】C【解析】【分 析】本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到2B.12C.
17、9D.6MF1 MF22a6，借 助 基 本 不 等 式 MF1 MF2MF1 MF2即可得到答案2【详解】由题，a29,b2 4，则MF1 MF22a6，2 MF1 MF2所以MF1 MF29（当且仅当MF1 MF23时，等号成立）2故选：C【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到6.若tan 2，则A.sin1sin2（）sincosB.6525C.25D.65【答案】C【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan 2即可得到结果【详解】将式子进行齐次化处理得：22sin1sin2sinsincos2sincossinsincossincossinco
18、ssinsincostan2tan422222sincos1tan145故选：C【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论7.若过点a,b可以作曲线y ex的两条切线，则（）A.eb aC.0 a eb【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果t【详解】在曲线y ex上任取一点P t,e，对函数y ex求导得y ex，B.ea bD.0 b ea所以，曲线y ex在点P处的切线方程为ye ext，即y e x1te，tttt由题意可知，点a,b在
19、直线y e x1te上，可得b ae 1te a1te，ttttttt令fta1te，则f tate.当t a时，f t0，此时函数ft单调递增，当t a时，f t0，此时函数ft单调递减，所以，ftmax fae，aa由题意可知，直线y b与曲线y ft的图象有两个交点，则b ftmaxe，当t a1时，ft0，当t a1时，ft0，作出函数ft的图象如下图所示：由图可知，当0 b ea时，直线y b与曲线y ft的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有 6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示事
20、件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断B.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立【详解】P(甲)11561，P(乙)，P(丙)，P(丁)，66363661P(甲丙)0 P(甲)P(丙)，P(甲丁)P(甲)P(丁)，361P(乙丙)P(乙)P(丙)，P(丙丁)0 P(丁)P(丙)，36故选：B【点睛】判断事件A,B是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)P(AB)是否成立二二 选择题
21、：本题共选择题：本题共 4 4小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9.有一组样本数据x1，x2，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，yn，其中yi xic(i 1,2,n),c为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C 利用两组数
22、据的线性关系有E(y)E(x)c、D(y)D(x)，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D 的正误.【详解】A：E(y)E(xc)E(x)c且c 0，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi xic，显然不相同，错误；C：D(y)D(x)D(c)D(x)，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax xmin，则第二组的极差为ymax ymin(xmaxc)(xminc)xmax xmin，故极差相同，正确；故选：CD10.已知O为坐标原点，点P1cos,sin，P2cos,sin，,0，则（）P3cos,sin，A
23、1AOP1 OP2C.OAOP3OP1OP2【答案】AC【解析】【分析】A、B写出OP，OP、AP的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；1，AP122C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：故|OP正确；|OPcos2sin21，|OP2|(cos)2(sin)21，1|OP2|，1|B：AP,sin)，AP,sin)，所以1(cos12(cos1.B.AP1 AP2D.OAOP1OP2OP3OP1(cos,sin)，所以OP2(cos,sin)|AP(cos1)2sin2cos22cos1sin22(1cos)4sin21|22，同理|A
24、P2|(cos1)sin 2|sin2 2|sin2|2|，故|AP1|,|AP2|不一定相等，错误；C：由题意得：OAOP31cos()0sin()cos()，OP1OP2 coscossin(sin)cos()，正确；D：由题意得：OAOP11cos0sin cos，OP2OP3 coscos()(sin)sin()coscos2sinsincossinsincoscossin2 coscos2sinsin2 cos(2)，错误；故选：AC11.已知点P在圆x 5y 516上，点A4,0、B0,2，则（）22A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时，
25、PB 3 2D.当PBA最大时，PB 3 2【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断 CD选项的正误.【详解】圆x 5y 516的圆心为M5,5，半径为4，22直线AB的方程为xy1，即x 2y 4 0，42圆心M到直线AB的距离为525412221111 5 4，55所以，点P到直线AB的距离的最小值为正确，B选项错误；如下图所示：11 511 54 10，A选项4 2，最大值为55当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM P
26、B，BM BP 0525222234，MP 4，由勾股定理可得BM MP 3 2，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取值范围是d r,d r.12.在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB AA11，点P满足BPBCBB1，其中0,1，0,1，则（）A.当1时，AB1P的周长为定值B.当1时，三棱锥P A1BC的体积为定值C.当1时，有且仅有一个点P，使得A1P BP2D.当1时，有且仅有一个点P，使得A1B 平面AB1P2【答案】BD【解析】【分析】对于 A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进
27、而确定点的坐标；对于 B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于 C，考虑借助向量平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于 D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数【详解】易知，点P在矩形BCC1B1内部（含边界）对于 A，当1时，BP BCBB1=BCCC1，即此时P 线段CC1，AB1P周长不是定值，故 A错误；对于 B，当1时，BPBCBB1=BB1BC，故此时P点轨迹为线段B1C1，而11的B1C1/BC，B1C1/平面A1BC，则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值
28、，故 B 正确对于 C，当11时，BPBCBB1，取BC，B1C1中点分别为Q，H，则22BP BQQH，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，3311A1,0,1AP ,0,1B 0,0BP 0,，P 0,0,，则，2122210，所以 0或1故H,Q均满足，故 C错误；对于 D，当11CC1中点为M,NBP BM MN，时，BPBCBB1，取BB1，223311，0,0,y0,所以P点轨迹为线段MN 设P0,y0,，因为A，所以AP，22223 13111A1B,1y 0 y ，所以，此时P与N重合，故 D正确00224222故选：BD【点睛】本题主要考查向量的等价
29、替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 4小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.3xx13.已知函数fx xa2 2是偶函数，则a _.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值.3xx3xx【详解】因为fx xa2 2，故fx xa22，因为fx为偶函数，故fx fx，时x3a2x 2x x3a2x 2x，整理得到a 12x+2x=0，故a 1，故答案为：114.已知O为坐标原点，抛物线C：y2 2px(p 0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ OP，若FQ 6，则C的准线方程为
30、_.【答案】x 【解析】【分析】先用坐标表示P，Q，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果.32pp,p)Q(6,0),PQ (6,p)22p32因为PQ OP，所以6 p 0p 0 p 3C的准线方程为x 223故答案为：x 2【详解】不妨设P(【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15.函数fx 2x1 2ln x的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】由解析式知f(x)定义域为(0,)，讨论0 x 导数研究的单调性，即可求f(x)最小值.【详解】由题设知：f(x)|2x1|2ln x定义域为(0,)，11、x 1、x 1，并结合221时，f(x)12x2ln x，此时f(
31、x)单调递减；221当 x 1时，f(x)2x12ln x，有f(x)2 0，此时f(x)单调递减；2x2当x 1时，f(x)2x12ln x，有f(x)2 0，此时f(x)单调递增；x当0 x 又f(x)在各分段的界点处连续，综上有：0 x 1时，f(x)单调递减，x 1时，f(x)单调递增；f(x)f(1)1故答案为：1.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm12dm的长方形纸，对折 1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1 240dm，对折 2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，220d
32、m3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180dm2，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么Sk1nk_dm2.【答案】(1).5(2).720【解析】153n2n4【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得Sn，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：55dm12dm，dm6dm，5dm3dm，423310dmdm，20dmdm，共5种；24S2 360，S3 430，S4515，（2）由题意可得S1 2120，Sn120212031204012222120212031222120n1，n12120n1，2n1设S 则1S 2
33、120n120n1，n1n22两式作差得111S 24012022221 601n11 120n12120n1n1 240n122n212120n3120120n1，360n1 360nn222因此，S 720240n315n3.720nn42215n3.n42故答案为：5；720【点睛】方法点睛：数列求和常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于anbn结构，其中an是等差数列，bn是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于anbn结构，利用分组求和法；1（4）对于结构，其中an是等差数列，公差为dd 0，则anan111 11，利用裂项相消法求和.anan1danan
34、1四四 解答题：解答题：本题共本题共 6 6 小题，小题，共共 7070 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.an1,n为奇数,aa 1a17.已知数列n满足1，n1a 2,n为偶数.n（1）记bn a2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；（2）求an的前 20项和.【答案】（1）b1 2,b2 5；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得bn1 bn3，从而可求bn的通项.（2）根据题设中的递推关系可得an的前20项和为S20可化为S20 2b1b2b9b1010，利用（1）的结果可求S20.【详解】（1）由题设可得b
35、1 a2 a11 2,b2 a4 a31 a221 5又a2k2 a2k11，a2k1 a2k2，故a2k2 a2k3即bn1 bn3即bn1bn3所以bn为等差数列，故bn 2n133n1.（2）设an的前20项和为S20，则S20 a1a2a3因为a1 a21,a3 a41,所以S20 2a2a4a20，,a19 a201，a18a2010 2b1b2910b9b1010 2102310 300.2【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有
36、A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20 分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得 0 分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为 0.8，能正确回答B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答 A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B类【解析】
37、【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100PX 010.80.2；PX 200.810.60.32；PX 1000.80.60.48所以X的分布列为XP0200.321000.480.2（2）由（1）知，EX00.2200.321000.4854.4若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100PY 010.60.4；PY 800.610.80.12；PX 1000.80.60.48所以EY00.
38、4800.121000.4857.6因为54.4 57.6，所以小明应选择先回答B类问题19.记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2 ac，点D在边AC上，BDsinABC asinC.（1）证明：BD b；（2）若AD 2DC，求cosABC【答案】（1）证明见解析；（2）cosABC【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有BD（2）由题设BD b,AD 2bb,DC，应用余弦定理求cosADB、cos CDB，又332b411b2ADB CDB，可得2a 2，结合已知及余弦定理即可求cosABC.a3.7.12ac，结合已知即可证结论.b【详解】（1）由题设，BD
39、BD asinCcbsinCc，由正弦定理知：，即sinABCsinCsinABCsinABCbac，又b2 ac，bBD b，得证.2bb,DC，334b213b2b210b222222b ccb aa299ADB 92，同理cosCDB 92，cos2bb4b2b2b2b3333ADB CDB，（2）由题意知：BD b,AD 13b210b222ca 11b29922，整理得2a c，又b2 ac，224b2b333b411b2a21a2342242a 2，整理得6a 11a b 3b 0，解得2或2，a3b3b22a2c2b24a2由余弦定理知：cosABC 2，2ac32b77a21a
40、23当2时，cosABC 1不合题意；当2时，cosABC；b2612b3综上，cosABC 7.12ADB CDB得到a,b,c的数量关系，【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及结合已知条件及余弦定理求cosABC.20.如图，在三棱锥A BCD中，平面ABD 平面BCD，AB AD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，DE 2EA，且二面角E BC D的大小为45，求三棱锥A BCD的体积.【答案】(1)详见解析(2)【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO平面 BCD，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高
41、，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为 AB=AD,O为 BD 中点，所以 AOBD因为平面 ABD平面 BCD=BD,平面 ABD平面 BCD，AO 平面 ABD，36因此 AO平面 BCD，因为CD 平面 BCD，所以 AOCD(2)作 EFBD 于 F,作 FMBC于 M,连 FM因为 AO平面 BCD，所以 AOBD,AOCD所以 EFBD,EFCD,BDCD D,因此 EF平面 BCD，即 EFBC因为 FMBC，FMEF F,所以 BC平面 EFM，即 BCMF则EMF为二面角 E-BC-D的平面角,EMF 4因为BO OD,OCD为正三角形,所以OCD为直角三角形因为BE
42、2ED,FM 1112BF(1)2233从而 EF=FM=AO 123AO 平面 BCD,所以V 1113AOSBCD113 3326【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1 17,0、F2的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x 17,0MF1 MF2 2，点M1上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且2TA TB TP TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.y2【答案】（1）x（2）0.1x 1；162【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点双曲线
43、的右支，求出a、b的值，即可得出轨迹C的方程；（2）设点T11,t，设直线AB的方程为yt k1x，设点Ax1,y1、Bx2,y2，22联立直线AB与曲线C的方程，列出韦达定理，求出TA TB的表达式，设直线PQ的斜率为k2，同理可得出TP TQ的表达式，由TA TB TP TQ化简可得k1k2的值.【详解】因为MF1 MF2 2 F1F2 2 17，所以，轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的右支，x2y2设轨迹C的方程为221a 0,b 0，则2a 2，可得a 1，b 17a2 4，aby2所以，轨迹C的方程为x 1x 1；1621T（2）设点,t，若过点T的直线的斜率不存在，此时该
44、直线与曲线C无公共点，2不妨直线AB的方程为yt k1x11y k xt k1，即1221y k xt k11联立2，消去y并整理可得2216x y 161t k116 0，k 16x k12t k1x22122设点Ax1,y1、Bx2,y2，则x12111且x2.2221k 2k1tt k116，由韦达定理可得x1 x22，2x1x2k116k1216所以，22t 12 1k，x x1111TA TB 1k12 x1 x21k12x1x2122224k1216tPQk设直线的斜率为，同理可得TP TQ 222121k22k2162，t因为TA TB TP TQ，即2121k12k1216t2
45、121k2k2216，整理可得k1 k2，22即k1k2k1k2 0，显然k1k2 0，故k1k2 0.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22.已知函数fx x1lnx.（1）讨论fx的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna alnb a b，证明：2 11 e.ab【答案】（1）fx的递增区间为0,1，递减区间为1,+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设
46、11 x1,x2，原不等式等价于2 x1 x2 e，前者可构建新函数，利用极值点ab偏移可证，后者可设x2 tx1，从而把x1 x2 e转化为t 1lnt 1tlnt 0在1,上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为0,，又f x1lnx1 lnx，当x0,1时，f x 0，当x1,+时，f x 0，故fx的递增区间为0,1，递减区间为1,+.（2）因为blna alnb a b，故blna1 alnb+1，即lna1lnb+1，ab故f 1 1 f，ab设11 x1,x2，由（1）可知不妨设0 x11,x21.ab因为x0,1时，fx x1lnx0，xe,时，f
47、x x1lnx0，故1 x2 e.先证：x1 x2 2，若x2 2，x1 x2 2必成立.若x2 2，要证：x1 x2 2，即证x1 2 x2，而0 2 x21，故即证fx1 f2x2，即证：fx2 f2x2，其中1 x2 2.设gx fx f2x,1 x 2，则gx f x f 2x lnxln2x ln x2 x，因为1 x 2，故0 x2x1，故lnx2x0，所以gx 0，故gx在1,2为增函数，所以gx g10，故fx f2x，即fx2 f2x2成立，所以x1 x2 2成立，综上，x1 x2 2成立.设x2 tx1，则t 1，结合lna1lnb+111，x1,x2可得：x11lnx1
48、x21lnx2，ababt 1tlnt，t 1即：1lnx1t1lnt lnx1，故ln x1要证：x1 x2 e，即证t 1x1e，即证lnt 1lnx11，即证：lnt 1t 1tlnt1，即证：t 1lnt 1tlnt 0，t 1令Stt 1lnt 1tlnt,t 1，则St lnt 1t 1121lnt ln1，t 1tt 1先证明一个不等式：lnx1 x.设uxlnx1x，则ux1x1，x1x1当1 x 0时，ux0；当x 0时，ux0，故ux在1,0上为增函数，在0,+上为减函数，故uxmaxu00，故lnx1 x成立211ln 1t 1由上述不等式可得当时，故St0恒成立，ttt 1故St在1,上为减函数，故St S10，故t 1lnt 1tlnt 0成立，即x1 x2 e成立.综上所述，2 11 e.ab【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.