2002年全国卷高考理科数学试题及答案.pdf-淘文阁

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1、2002 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)及答案本试卷分第 I 卷（选择题)和第 II 卷（非选择题)两部分第 I 卷 1 至 2 页第 II 卷 3 至 9 页共 150 分考试时间 120 分钟第卷第卷(选择题共选择题共 6060 分分)一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中,只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的本试卷分第 I 卷(选择题）和第 II 卷(非选择题）两部分第I 卷 1 至 2 页第 II 卷 3 至9 页共 150 分考试时间

3、0)到曲线(其中参数t R)上的点的最短距离为y 2t（A）0（B)1（C）2（D）2(7）一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A)3433（B）（C）（D）4555（8）正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面边长为 1,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（A）90（B）60(C）45（D）30（9)函数y x2bx c(0,)）是单调函数的充要条件是（A)b 0（B）b 0（C）b 0（D）b 0（10）函数y 11的图象是x 1yyyy1111-1Ox-111OxOOxx(D)(B)(C)(

4、A)（11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（A）8 种（B）12 种（C）16 种（D）20 种（12）据2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告：“2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长 7.3%”,如果“十五”期间（2001 年2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（A）115000 亿元(B)120000 亿元（C）127000 亿元(D）135000 亿元第第 II II 卷卷(非选择题共非选择题共 9090 分分)二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4

5、4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分把答案填在题中横线分把答案填在题中横线(13）函数y a在0,1上的最大值与最小值这和为3,则a22（14）椭圆5x ky 5的一个焦点是(0,2)，那么k 273x（15)(x 1)(x 2)展开式中x的系数是x2111f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()(16）已知f(x)，那么22341x三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）已知sin22 sin 2cos cos21，(0,2)

6、，求sin、tg的值(18）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是 1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直点M在AC上移动，点N在BF上移动,若CM BN aC（0 a 2）DPMBNAFQE（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的大小（19）设点P到点(1,0)、(1,0)距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为 2，求m的取值范围（20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车

7、数量不应超过多少辆?（21）设a为实数,函数f(x)x2|x a|1，xR(1）讨论f(x)的奇偶性；（2)求f(x)的最小值（22）设数列an满足：an1 annan1,n 1,2,3,（I）当a1 2时，求a2,a3,a4并由此猜测an的一个通项公式;（II）当a1 3时，证明对所的n 1,有（i)an n 2（ii)2111111 a11 a21 a31 an2参考答案一、选择题题号答案1A2C3D4C5B6B7C8B9A10B11B12C二、填空题（13）2（14）1（15)1008(16）三、解答题（17)解：由sin22 sin 2cos cos21,得724sin2cos2 2s

8、incos2 2cos2 02cos2(2sin2sin1)02cos2(2sin1)(sin1)0(0,2)2sin1 0，cos 02sin1 0，即sin126tg33（18)解（I)作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q,连结PQ，依题意可得MPNQ，且MP NQ，即MNQP是平行四边形MN PQ由已知CM BN a，CB AB BE 1AC BF 2，CP BQ 2a2MN PQ(1CP)2 BQ2(1(a a2)2(a2)2221)(0 a 2)22(II)由（I)MN(a 221)2222时，MN 2222所以,当a 即当M、N分别为AC、BF的中点时,MN的长最小，最小值

9、为（III）取MN的中点G，连结AG、BG，AM AN,BM BN，G为MN的中点AG MN,BG MN，即AGB即为二面角的平面角又AG BG 6，所以，由余弦定理有4(cos626)()21144 36624413故所求二面角为arccos（19）解：设点P的坐标为(x,y)，依题设得|y|2，即y 2x,x 0|x|因此，点P(x,y)、M(1,0)、N(1,0)三点不共线，得|PM|PN|MN|2|PM|PN|2|m|00|m|1因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故x2y2122m1 mx2y21，并解得将y 2x代入2m1 m2m2(1 m2)2x，因1 m 0

10、215m2所以15m2 0解得0|m|5555,0)(0,)55即m的取值范围为(（20)解：设 2001 年末汽车保有量为b1万辆,以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆,，每年新增汽车x万辆,则b1 30,b2 b10.94 x对于n 1，有bn1 bn0.94 x bn10.942(1 0.94)x所以bn1 b10.94n x(1 0.94 0.942 0.94n)10.94n b10.94 x0.06n当30 xx(30)0.94n0.060.06x 0，即x 1.8时0.06bn1 bn b1 30当30 x 0，即x 1.8时0.06x0.06数列bn逐项增加，可以任意靠近

11、nlim bn limnxxx(30)0.94n1 0.060.060.06因此,如果要求汽车保有量不超过60 万辆,即bn 60(n 1,2,3,）x 60，即x 3.6万辆0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆则(21）解：（I）当a 0时，函数f(x)(x)2|x|1 f(x)此时，f(x)为偶函数当a 0时，f(a)a21,f(a)a2 2|a|1，f(a)f(a),f(a)f(a)此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数22（II）(i）当x a时,f(x)x x a 1(x)a 1234当a 1,则函数f(x)在(,a上单调递减，从而函数f(x)在(,a上的最小值为2f(a)a

12、211131，则函数f(x)在(,a上的最小值为f()a,且f()f(a)22421232（ii）当x a时，函数f(x)x x a 1(x)a 241131若a ,则函数f(x)在(,a上的最小值为f()a，且f()f(a)22421若a ，则函数f(x)在a,)上单调递增,从而函数f(x)在a,)上的最小值为2若a f(a)a21综上，当a 13时，函数f(x)的最小值为 a24112当 a 时，函数f(x)的最小值为a 12213当a 时,函数f(x)的最小值为 a242（22）解（I）由a1 2，得a2 a1a11 3由a2 3，得a3 a22a21 4由a3 4，得a4 a33a31

13、 5由此猜想an的一个通项公式：an n1(n 1)（II）（i）用数学归纳法证明:当n 1时,a1 3 1 2，不等式成立假设当n k时不等式成立，即ak k 2，那么22ak1 ak(akk)1(k 2)(k 2k)1 2k 5 k 3也就是说，当n k 1时，ak1(k 1)2据和，对于所有n 1，有an n2（ii）由an1 an(ann)1及(i）,对k 2，有ak ak1(ak1 k 1)1 ak1(k 1 2k 1)1 2ak11ak 2k1a1 2k2 21 2k1(a11)1于是111k1,k 21 ak1 a12111n11n1221k1k11 a1 a1 a1 a1 a13222k1k11k21k11n

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