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1、三角函数解答题1a (1,cosx),b (sin x)41 已知向量x0,4时，若a b，求x的值；（1）当（2）定义函数f(x)a(a b),xR,求f(x)的最小正周期及最大值。f(x)cos(2x)2sin(x)sin(x)3442 已知函数（）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；f(x)（）求函数解：（1）在区间,12 2上的值域。f(x)cos(2x)2sin(x)sin(x)3441313cos2xsin2x(sin xcosx)(sin xcosx)cos2xsin2xsin2xcos2x222213cos2xsin2xcos2x sin(2x)622k22x k(k
2、 Z),得x(k Z)周期T62232由函数图象的对称轴方程为x k3(k Z)（2）x5,2x,12 2636 f(x)sin(2x),612 3因为在区间上单调递增，在区间32上单调递减，所以当x 3时，f(x)取最大值 1又f(12)313x f()12时，f(x)取最小值2222，当所以 函数f(x)在区间3,112 2上的值域为223已知向量a(sin26x,cos6x)b (sin2，6x,cos26x),g(x)a b。（）求函数g g(x x)的解析式，并求其单调增区间；（）若集合M f(x)|f(x)f(x 2)f(x 1),x R，试判断g(x)与集合M的关系。g(x)si
3、n4解：（）6xcos46x66x)cos(sin26x cos26x)(sin2x cos2x3，2k由3x 2k,k Z,得6k x 6k 3,k Z,g(x)的单调增区间为6k,6k 3(k Z).（）g(x)g(x 2)cosx3 cos(x32)3(cosx3 cosx3cos1x3x2x2sin)sinsin)(cos2323333，g(x)M.cos3(x 1)g(x 1)4.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，定义向量m 2sin B,3，Bn cos2B,2cos212且m/n（）求函数fxsin2xcosBcos2xsinB的单调递增区间；（）如果b 2，求A
4、BC的面积的最大值。2sin B(2cos2B1)3cos2B2解：（）m/nsin2B 3cos2B即tan2B 3又B为锐角2B0,2B 2B 33fx sin2xcosBcos2xsin B sin2x32k 2x 2k2325k,k1212函数的单调递增区间是a2 c2b2B,b 2，由余弦定理cosB 得32ac（）a2 c2 ac 4 022又a c 2ac代入上式得：ac 4（当且仅当a c 2时等号成立）SABC13acsin B ac 324（当且仅当a c 2时等号成立）f(x)31sin2xcos2x22,(xR)5已知函数（I）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（II
5、）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c 3，f(C)0，若向量m (1,sin A)与向量n (2,sinB)共线，求a,b的值.f(x)解：（I）31cos2x1sin(2x)1sin2x6222=T 22.则f(x)的最小值是-2,最小正周期是f(C)sin(2C)1 0sin(2C)66=1,（II）,则0 C,0 2C 2,6 2C 6116,2C 6C 3,2,向量m (1,sin A)与向量n (2,sinB)共线1sin A2sin B，a1b2由正弦定理得，c2 a2b22abcos由余弦定理得，由解得a 1,b 2.6.设a (cosx,1),b (sinx,
6、2)(1)若a/b,求(sin xcosx)的值；(2)若f(x)(a b)a,求f(x)在0,上的递减区间。解：（1）23，即 3=a2b2aba/b2cos xsin x 0tan x 222222(sin xcosx)sin x2sin xcosxcos x cos x(tan x2tan x1)192(tan x2tan x1)251 tan xf(x)cos2xsin xcosx1（2）21sin(2x)2422k2 2x4 2k2k8 x k38k z0,37,88x0,令k 0,1得f(x)在区间0,上的递减区间是7.已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且
7、 a=2，cosB=(1)若 b=4，求 sinA 的值；(2)若ABC 的面积 S=4，求 b，c 的值解：(1)cosB=3530，且 0B，54.5ab由正弦定理得，sinAsinB42asinB52.sinA b451(2)S=acsinB=4，2142c 4，c=5.25sinB=1cos B 2由余弦定理得 b=a+c 2accosB，b a+c 2accosB 2222222+522253 17.58.设函数f(x)3sin xcosx cos2x a。（1）写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；（2）当x3,时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求f(x)的图象、y26
8、 3轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。解：（1）f(x)31 cos2x1sin2x a sin(2x)a,2262T.由2 2k 2x 632 2k,得 kx x k.263故函数f(x)的单调递减区间是（2）（理）当x2 k,k(k Z)。366 x 3,6 2x 651.sin(2x)1.626111,时，原函数的最大值与最小值的和(1 a)(a)2226 331,a 0,f(x)sin(2x).262f(x)的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为(,0)2所以f(x)的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积S 201x22 3 1sin(2x)dx cos
9、(2x)|0.6226243(a 1)（R）sin19.已知a为实数，函数f()sin a 3，g()（1）若f()cos，试求a的取值范围；（2）若a 1，求函数f()g()的最小值解：（1）f()cos即sin cos 3 a，又sincos所以2 a 32sin(4)，2，从而a的取值范围是32,323(a 1)a 2，令sin1 x，则0 x 2，因为sin1（2）f()g()(sin1)3(a 1)2 3(a 1)，当且仅当x 3(a 1)时，等号成立，x77由3(a 1)2解 得a，所 以 当1 a 时，函 数f()g()的 最 小 值 是33a 1，所以x 2 3(a1)a2；7
10、时，函数f()g()的最小值373(a 1)当a 时，3(a 1)2，函数h(x)x 在(0,2上为减函数所以函数3x3(a 1)5(a 1)a 2 f()g()的最小值为22273(a 1)当a 时，函数h(x)x 在(0,2上为减函数的证明：任取0 x1 x2 2，3x下面求当a h(x2)h(x1)(x2 x1)13(a 1)，因 为0 x2x1 4，3(a 1)4，所 以x2x113(a 1)3(a 1)在(0,2上 0，h(x2)h(x1)0，由单调性的定义函数h(x)x xx2x1为减函数77时，函数f()g()的最小值是2 3(a1)a2；当a 时，函335(a 1)数f()g(
11、)的最小值2于是，当1 a 10.已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2ac)cos B bcosC。（I）求角B的大小；（）设m (sin A,1),n (1,1)，求mn的最小值。acb 2Rsin AsinCsin B解：（I）由于弦定理，有a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC代入(2ac)cos B bcosC,得(2sin AsinC)cos B sin BcosC。即2sin AcosB sin BcosC sinCcosB sin(BC)。A BC,2sin AcosB sin A0 A,sin A 0cosB 120 B,B 3（）mn
12、 sin A1，B 由3，得AA(0,2)3。2时，mn取得最小值为 0，2所以，当11.已知函数f(x)sinx 3sinxsin(x 2)(0)的最小正周期为（1）求f(x);（2）当x,时,求函数f(x)的值域。12 21cos2x3sinxcosx解：（1）f(x)2 3111sin2x cos2x sin(2x).22262函数f(x)的最小正周期为,且 0,2,解得1.2 f(x)sin(2x 1).62（2）x5,2x,.12 26363 根据正弦函数的图象可得：当2x 62,即x 时，g(x)sin(2x 当2x 6)取最大值 16 3,即x 12时3g(x)sin(2x)取最
13、小值.621313 sin(2x),22622即f(x)的值域为13 3,.2212.已知a (2cosx,1),b (cosx,3sin2x m),f(x)=ab。(1)求函数在0,上的单调增区间；(2)当x0,6时，f(x)的最大值为 4，求实数 m 的值。解：（1）依题意得：f(x)ab(2cosx,1)(cos 3sin2x m)2cos2x3sin2x m23sin2x (2x)m 16令2 2k 2x 6 2k2得k3 x k6k z2 f(x)在0,上的单调增区间为0,63,（2）x0,66 2x 621 sin(2x)2621 sin(2x)126当2x 62即x 6时f(x)
14、max 2 m1依题意得：3 m 4m 113.已知函数f(x)sinxxxcos3cos2.333（1）将f(x)写成Asin(x)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果ABC 的三边 a、b、c 满足 b=ac，且边 b 所对的角为x，试求角x的范围及此时2函数f(x)的值域.解：（1）f(x)sinxxxcos3cos2333 =12x32x3sincos23232=sin(2x3)3322x)=0，33若x为其图象对称中心的横坐标，则sin(2x k，33解得：x 3k(k Z)22a2c2b2a2c2ac2acac（2）cosx，2ac2ac2ac即cosx 1，而x(0,)
15、，所以x(0,。232x82x8(,，sin()sin,1，3339339所以f(x)sin833,1922xxxcoscos22.22214.已知函数f(x)sin（）将函数f(x)化简成Asin(x)B(A 0,0,0,2)的形式，并指出f(x)的最小正周期；（）求函数f(x)在,17上的最大值和最小值。12解：()f(x)=11 cosx1323sinx+2(sin x cosx)sin(x).2222242故f(x)的最小正周期为 2kZ 且k0。()由x175523 x，得.因为f(x)sin(x)在12443242,5517532,上是减函数，在上是增函数，故当x=时，f(x)有最
16、小值；4412421766)2，所以当x=时，f(x)有最大值2.1242而f()=2，f(15.已知f(x)sinx 31sin2x(xR R,0).若f(x)的最小正周期为2。22f(x)的单调递增区间；（I）求f(x)的表达式和（II）求f(x)在区间56,6的最大值和最小值。解：（I）由已知f(x)sin2x 81sin2x(xR R,0)2212(1cos2x)82sin2x 1282sin2x 12cos2x sin(2x 6)3分又由f(x)的周期为2,222 21124分 f(x)sin(x 6)5分2k2 x 6 2k2(k z)2k3 x 2k23(k z)即f(x)单调递
17、增区间的为2k,2k233(k z)7分（II）x56,6 6 x 56 566 x 666 3 x 623 sin(3)sin(x 6)sin210分 82 sin(x 6)113分f(x)在区间586,6的最大值和最小值分别为1和213分16.已 知a 2(cosx,cosx),b (cosx,3sinx)（其 中0 1），fx ab，若直线x 3是函数 f（x）图象的一条对称轴，（1）试求的值；（2）先列表再作出函数f(x)在区间,上的图象y3212233O33x-1数函解：f(x)ab 2cosx,cosx cosx,3sinx 2cosx2 3cosxsinx21cos2x3sin2
18、x 12sin(2x)622)1，k(k Z)（1）直线x 为对称轴，sin(36362331k，221110 1 k k 0332（2）f(x)12sin(x)6x656xy0223-1061233561760函数f（x）在,的图象如图所示。1717.在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且cos A（）求sin21.3B C cos2A的值；2（）若a 解：3，求bc的最大值.B C1 cos2A=1cos(B C)(2cos2A1)=221(1 cos A)(2cos2A1)21121=(1)(1)=。2399()sin2b2 c2 a21 cos A，()2bc32
19、bc b2 c2 a2 2bc a2。3又a 3，bc。9。494bc的最大值是18.在ABC，已知2AB AC 3 AB AC 3BC，求角 A，B，C 的大小.解：设BC a,AC b,AB c2由2AB AC 3 AB AC得2bccos A3bc，所以cos A又A(0,),因此A 326222由3 AB AC 3BC得bc 3a，于是sinCsin B 3sin A34所以sinCsin(53133C)sinC)，sinC(cosC，因此642242sin CcosC 2 3sin2C 3,sin 2C 3cos2 C 0，既sin(2C)0354由 A=知0 C，所以，2C，从而6
20、33362,故336322A,B,C,或A,B,C 636663xx)2cos2119.设函数f(x)sin(4682C 0,或2C,，既C,或C（）求f(x)的最小正周期（）若函数y g(x)与y f(x)的图像关于直线x 1对称，求当x0,时y g(x)的最大值解：（）f(x)=sin434xcos6cos4xsin6cos4x =33sinxcosx =3sin(x)4324242故f(x)的最小正周期为 T=4=8 ()解法一：在y g(x)的图象上任取一点(x,g(x)，它关于x 1的对称点(2 x,g(x).由题设条件，点(2 x,g(x)在y f(x)的图象上，从而g(x)f(2
21、 x)3sin=3sin(2 x)43x=3cos(x)24343324当0 x 时，x，因此y g(x)在区间0,上的最大值为434333gmax3cos解法二：因区间0,关于 x=1 的对称区间为,2，且y g(x)与y f(x)的图象关于x=1 对称，故y g(x)在0,上的最大值为y f(x)在,2上的最大值由（）知f(x)3sin(当33243234323x)432 x 2时，36436因此y g(x)在0,上的最大值为gmax3sin43632f(x)cos(20.设函数xx)cos434（）求f(x)的最小正周期；（）求函数y f(2 x)在0,2上的值域解：（）f(x)=cosxxcossinxsincos4343431sinxcosxsin(x).46424=22故f(x)的最小正周期为 T=4=8.y f(2 x)sin(2 x)46()sin(=x)cos(x)246=46.213xcos(x)6463，2462，0 x2，即13-cos(x)46223 1,22.所以函数y f(2 x)在0,2上的值域为