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1、2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）绝密 启用前20162016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 1 卷）卷）数学（理科）数学（理科）注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1 至 3 页,第卷 3 至 5 页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第卷第卷一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有
2、一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的.（1）设集合A x x 4x3 0,x 2x3 0,则AB（A）3,【答案】D23333（B）（C）（D）3,1,32222考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.（2）设(1i)x 1 yi,其中x,y实数,则x yi=（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B【解析】试题分析：因为x(1i)=1+yi,所以x xi=1+yi,x=1,y x 1,|x yi|=|1+
3、i|考点：复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查2,故选 B.-1-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.（3）已知等差数列an前 9 项的和为 27,a108,则a100（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【解析】29a136d 27,所以a1 1,d 1,a100 a199d 199 98,故选 C.试题分析：由已知,a 9d 81
4、考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（4）某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是1（A）3【答案】B1（B）22（C）33（D）4考点：几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“
5、测度”,常见的测度由：长度、面积、体积等.-2-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）x2y2（5）已知方程21表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值m n3m2n范围是（A）1,3（B）1,3（C）0,3（D）0,3【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错.（6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28,则它的表面积是3（A）17（B）18（C）20（D）28【答案】A【解析】试题分析：该几何体直
6、观图如图所示：-3-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）74281是一个球被切掉左上角的,设球的半径为R,则V R3,解得R 2,所以它的88337表面积是的球面面积和三个扇形面积之和871S=422+322=17故选 A84考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.（7）函数y 2x2e在2,2的图像大致为x（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次
7、出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.0c 1,则（8）若a b 1，-4-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）（A）ac bc（B）abc bac（C）alogbc blogac（D）logac logbc【答案】C【解析】1试题分析：用特殊值法,令a 3,b 2,c 得32 22,选项 A 错误,322 232,选项 B 错2误,3log21111111 2log32,选项 C 正确,log3 log2,选项 D 错误,故选 C222考点：指数
8、函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.（9）执行右面的程序框图,如果输入的x 0，y 1，n 1,则输出 x,y 的值满足（A）y 2x（B）y 3x（C）y 4x（D）y 5x入 入入 入 x,y,nn-1x=x+入 y=ny2x2+y236入入 入 x,y入 入n=n+1【答案】C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类-5-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）问题一般是把人看作计算机
9、,按照程序逐步列出运行结果.(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已知|AB|=4 2,|DE|=2 5,则 C 的焦点到准线的距离为(A)2【答案】B(B)4(C)6(D)8考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.(11)平面过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,/平面 CB1D1,I平面 ABCD=m,I平面 ABB1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为(A)32(B
10、)231(C)(D)233【答案】A【解析】-6-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）试题分析：如图,设平面CB1D1平面ABCD=m,平面CB1D1平面ABB1A1=n,因为/平面CB1D1,所以m/m,n/n,则m,n所成的角等于m,n所成的角.延长AD,过D1作D1E/B1C,连接CE,B1D1,则CE为m,同理B1F1为n,而BD/CE,B1F1/A1B,则m,n所成的角即为A1B,BD所成的角,即为60,故m,n所成角的正弦值为考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.3,选 A.2【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：
11、平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.（12）.已知函数f(x)sin(x+)(0，2),x 4为f(x)的零点,x 4为5y f(x)图像的对称轴,且f(x)在，单调,则的最大值为18 36（A）11（B）9（C）7（D）5【答案】B考点：三角函数的性质-7-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:区间长度是半个周期;若则fx AsinxA 0,0的图像关于直线的单调fx AsinxA 0,0.x x0对称,fx0 A或fx0 A第 II II 卷本卷包括必考
12、题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第(13)(13)题题 第第(21)(21)题为必考题题为必考题,每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第(22)(22)题题 第第(24)(24)题为选考题题为选考题,考生根据要求作答考生根据要求作答.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 3 小题小题,每小题每小题 5 5 分分(13)设向量 a a=(m,1),b b=(1,2),且|a a+b b|2=|a a|2+|b b|2,则 m=【答案】2【解析】试题分析：由|a a b b|a a|b b|,得a a b b,所以m112 0,解得m 2.考点：向量的数量积及坐
13、标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若222.a a x1,y1,b b x2,y2,则a ab b x1y1 x2y2.(14)(2x【答案】10 x)5的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项定项系数.Tr1,再确定 r 的值,从而确定指-8-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）（15）设等比数列an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 an的最大值为【答案】64【解析】a182a1a31
14、0a1(1q)10试题分析：设等比数列的公比为q,由得,解得1.所以2a a 5q 24a1q(1q)52a1a2an a q值26 64.n12(n1)117 n2 n1n(n21)228()2,于是当n 3或4时,a1a2an取得最大2n考点：等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时 生产一件产品
15、A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元 该企业现有甲材料150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元【答案】216000-9-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.考点：线性规划的应用-10-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的
16、一个主要原因是运算失误.三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分为 12 分）ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知2cos C(acosB+b cos A)c.（I）求 C；（II）若c 7,ABC的面积为3 3,求AABC的周长2【答案】（I）C【解析】3（II）57试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得cosC 1,故C；（II）根据2313 32及C 得ab 6再利用余弦定理得ab 25再根据c 7absinC 223可得 C的周长为57-11-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）考点：正弦定理、余弦定理及三角形面
17、积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,sinA BsinC,cosA B cosC,tanA B tanC,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”（18）（本小题满分为 12 分）如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,AFD 90,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是60（I）证明：平面 ABEF平面 EFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值DCF【答案】（I）见解析（II）2 1919试题解析：（I）由已知可得F DF,F F,所
18、以F 平面FDC又F 平面 F,故平面 F 平面FDC（II）过D作DG F,垂足为G,由（I）知DG 平面 F 以G为坐标原点,GF的方向为x轴正方向,GF为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz由（I）知DF为二面角DF的平面角,故DF 60,则DF 2,DG 3,可得1,4,0,3,4,0,3,0,0,D 0,0,3由已知,/F,所以/平面FDC又平面 CD平面FDC DC,故/CD,CD/F由/F,可得 平面FDC,所以CF为二面角CF的平面角,-12-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）CF 60从而可得C 2,0,3 所以C 1,0,3,0,4,0,C 3,4,
19、3,4,0,0设n x,y,z是平面C的法向量,则 nC 0 x3z 0,即,4y 0n 0所以可取n 3,0,3 mC 0设m是平面 CD的法向量,则,m 0 nm2 19 同理可取m 0,3,4则cos n,m n m19故二面角C的余弦值为2 1919考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.（19）（本小题满
20、分 12 分）某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：-13-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求
21、P(X n)0.5,确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n 19与n 20之中选其一,应选用哪个？【答案】（I）见解析（II）19（III）n 19【解析】试题分析：（I）先确定 X 的取值分别为 16,17,18,18,20,21,22,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出 n=9,n=20 的期望,根据n 19时所需费用的期望值小于n 20时所需费用的期望值,应选n 19.-14-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）所以X的分布列为XP161718192021220.040.160.24
22、0.240.20.080.04（）由（）知P(X 18)0.44,P(X 19)0.68,故n的最小值为 19.（）记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当n 19时,EY 192000.68(19200 500)0.2(19200 2500)0.08(192003500)0.04 4040.当n 20时,EY 202000.88(20200 500)0.08(20200 2500)0.04 4080.可知当n 19时所需费用的期望值小于n 20时所需费用的期望值,故应选n 19.考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进
23、行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（20）.（本小题满分 12 分）设圆x y 2x15 0的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明EA EB为定值,并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.22x2y2【答案】（）（II）12,8 3)1（y 0）43试题解析：（）因为|AD
24、|AC|,EB/AC,故EBD ACD ADC,所以|EB|ED|,故|EA|EB|EA|ED|AD|.-15-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）又圆A的标准方程为(x 1)y 16,从而|AD|4,所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0),B(1,0),|AB|2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：22x2y21（y 0）.43（）当l与x轴不垂直时,设l的方程为y k(x 1)(k 0),M(x1,y1),N(x2,y2).y k(x 1)2222由x2得(4k 3)x 8k x 4k 12 0.y213 48k24k212则x1 x2,x1x2.4k234k2312(k21)
25、所以|MN|1 k|x1 x2|.4k232过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y 12,所以(x 1),A到m的距离为2kk 14k23.故四边形MPNQ的面积|PQ|2 4()422k 1k 1222S 11|MN|PQ|12 12.24k 3可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 3).当l与x轴垂直时,其方程为x 1,|MN|3,|PQ|8,四边形MPNQ的面积为 12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 3).考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求
26、值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.（21）（本小题满分 12 分）已知函数fxx2exax1有两个零点.(I)求 a 的取值范围；-16-22016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）(II)设 x1,x2是fx的两个零点,证明：x1 x2 2.【答案】(0,)试题解析;（）f(x)(x1)e 2a(x1)(x1)(e 2a)x（i）设a 0,则f(x)(x2)e,f(x)只有一个零点xx（ii）设a 0,则当x(,1)时,f(x)0；当x(1,)时,f(x)0所以f(x)在(,
27、1)上单调递减,在(1,)上单调递增又f(1)e,f(2)a,取b满足b 0且b lna,则2f(b)a3(b2)a(b1)2 a(b2b)0,22故f(x)存在两个零点（iii）设a 0,由f(x)0得x 1或x ln(2a)若a e,则ln(2a)1,故当x(1,)时,f(x)0,因此f(x)在(1,)上单调递增又2当x 1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点若a e,则ln(2a)1,故当x(1,ln(2a)时,f(x)0；当x(ln(2a),)时,2f(x)0因此f(x)在(1,ln(2a)单调递减,在(ln(2a),)单调递增又当x 1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点
28、综上,a的取值范围为(0,)-17-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）考点：导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在请考生在 2222、2323、2424 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分,做答时请写清题号做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图,OAB 是等腰三角形,AOB=120.以 O 为圆心
29、,(I)证明：直线 AB 与AO 相切；(II)点 C,D 在O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明：ABCD.DOC1OA 为半径作圆.2AB【答案】(I)见解析(II)见解析-18-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）试题解析：（）设E是AB的中点,连结OE,因为OA OB,AOB 120,所以OE AB,AOE 60在RtAOE中,OE 切1AO,即O到直线AB的距离等于圆O的半径,所以直线AB与O相2DOOECAB（）因为OA 2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心,设O是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O在线段A
30、B的垂直平分线上,所以OO AB同理可证,OOCD所以AB/CD考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程x acost在直角坐标系 xy 中,曲线 C1的参数方程为（t 为参数,a0）y 1asint在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2：=4cos.（I）说明 C1是哪一种曲线,并将 C
31、1的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3的极坐标方程为0,其中0满足 tan0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求 a【答案】（I）圆,22sin1a2 0（II）1-19-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）C2：4cos,两边同乘得2 4cos2 x2 y2，cos x2x2 y2 4x,即x 2 y2 4C3：化为普通方程为 y 2x,由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3得：4x 2y 1a2 0,即为C31 a2 0,a 1考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记
32、极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（24）（本小题满分 10 分）,选修 45：不等式选讲已知函数fx x1 2x3.（I）在答题卡第（24）题图中画出y fx的图像；（II）求不等式fx1的解集-20-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）1【答案】（I）见解析（II），1，35，3试题解析：如图所示：-21-2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.-22-