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1、绝密启用前绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答
2、案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=x|x1000的最小偶数n，那么在可以分别填入AA1 000 和n=n+1BA1 000 和n=n+2CA1 000 和n=n+1DA1 000 和n=n+29已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2)，则下面结论正确的是3A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线C2B 把C1上各点的横坐标伸长到
3、原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移单位长度，得到曲线C2C 把C1上各点的横坐标缩短到原来的单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C2个6个121倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个261倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移21210已知F为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10211设xyz为正数，且2x 3y 5z，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x100且该数列的前N项和为2 的
4、整数幂.那么该款软件的激活码是A440B330C220D110001012二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则|a a+2 b b|=.x2y 114设x，y满足约束条件2x y 1，则z 3x2y的最小值为 .x y 0 x2y215已知双曲线C：221（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，ab圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点
5、，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_。3三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）a2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3sin A（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长
6、.18.（12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且BAP CDP 90.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角A-PB-C的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产
7、线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9511611611622xi 9.97，s 经计算得x(xi x)(xi16x2)2 0.212，16i116i116i1其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2,16，用样本标准差s作为的估计值用样本平均数x作为的估计值，利用估计值 3,3)之外的学科网数据，用剩下判断是否需对当天的生产过程进行
8、检查？剔除(的数据估计和（精确到 0.01）附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3 Z 3)0.997 4，0.997 416 0.959 2，0.008 0.0920.（12 分）3x2y2已知椭圆C：22=1（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，2ab3）中恰有三点在椭圆C上.2（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.21.（12 分）已知函数（f x)ae+(a2)e x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共1
9、0 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方y sin,2xx程为x a 4t,（t为参数）.y 1t,（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求 a.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f（x）=x+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1 时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.220172017 年新课标年新课标 1
10、 1 理数答案理数答案1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.D9.D10.A11.D12.A13.2 314.515.2 3316.4 151a21a17.解：（1）由题设得acsin B，即csin B.23sin A23sin A1sin A.sinCsin B 23sin A2故sin BsinC.3由正弦定理得（2）由题设及（1）得cosBcosC sin BsinC ,，即cos(BC)所以BC 121.22，故A.331a2由题设得bcsin A，即bc 8.23sin A2由余弦定理得b2c2bc 9，即(bc)3bc 9，得bc 33.故ABC的周长为333.18.解：
11、（1）由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面PAD内做PF AD，垂足为F，由（1）可知，AB 平面PAD，故AB PF，可得PF 平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz.由（1）及已知可得A(2222,1,0).,0,0)，P(0,0,)，B(,1,0)，C(2222所以PC (2222,1,)，CB (2,0,0)，PA (,0,)，AB (0,1,0).2222设n n (x,y,z)是平面PCB的法向量，则
12、22x y z 0n nPC 0，即，222x 0n nCB 0可取n n (0,1,2).设m m (x,y,z)是平面PAB的法向量，则22m mPA 0 xz 0，即，22y 0m m AB 0可取n n (1,0,1).则cosn nm m3，|n n|m m|33.3所以二面角APBC的余弦值为19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为 0.0026，故X B(16,0.0026).因此P(X 1)1 P(X 0)10.9974 0.0408.X的数学期望为EX 160.00260.0416.（2）（i）如果生
13、产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.0.212，由 9.97，的估计值为（ii）由x 9.97,s 0.212，得的估计值为 3,3)之外，因此需对当天的生产过程进样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(行检查.3,3)之 外 的 数 据剔 除(9.22，剩 下 数 据 的 平 均 数 为1(169.979.22)1
14、0.02，因此的估计值为 10.02.15xi1162i 3,3)之外的数据 9.22，剩160.2122169.9721591.134，剔除(下数据的样本方差为1(1591.1349.2221510.022)0.008，15因此的估计值为0.008 0.09.20.（12 分）解：（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点.又由1113知，C不经过点P1，所以点P2在C上.2222aba4b 11a2 4b2因此，解得2.13b 11224bax2故C的方程为 y21.4（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，4t2如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题
15、设知t 0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为（t，），24t2（t，）.24t224t2 2 1，得t 2，不符合题设.则k1 k22t2tx2从而可设l：y kx m（m 1）.将y kx m代入 y21得4(4k21)x28kmx 4m24 0由题设可知=16(4k2m21)0.4m248km设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=.4k214k 1y 1y21而k1 k21x1x2kx1 m 1kx2 m 1x1x22kx1x2(m 1)(x1 x2).x1x2由题设k1 k2 1，故(2k 1)x1x2(m 1)(x1 x2)0.4m248km即(2k 1)
16、2(m1)2 0.4k 14k 1m1解得k .2当且仅当m 1时，0，欲使l：y 所以l过定点（2，1）21.解：（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae2xm 1m 1x m，即y 1(x 2)，22(a2)ex1(aex1)(2ex1)，（）若a 0，则f(x)0，所以f(x)在(,)单调递减.（）若a 0，则由f(x)0得x lna.当x(,lna)时，f(x)0；当x(lna,)时，f(x)0，所以f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增.（2）（）若a 0，由（1）知，f(x)至多有一个零点.（）若a 0，由（1）知，当x lna时，f(x)取 得 最 小 值，
17、最 小 值 为f(lna)11lna.a当a 1时，由于f(lna)0，故f(x)只有一个零点；当a(1,)时，由于1当a(0,1)时，1又f(2)ae41lna 0，即f(lna)0，故f(x)没有零点；a1lna 0，即f(lna)0.a(a2)e22 2e22 0，故f(x)在(,lna)有一个零点.设正整数n0满足n0 ln(1)，则f(n0)e0(ae0 a 2)n0 e0n0 20 n0 0.由于ln(1)lna，因此f(x)在(lna,)有一个零点.综上，a的取值范围为(0,1).3annnn3a22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）x2 y21.解：（1）曲线C的普通
18、方程为9当a 1时，直线l的普通方程为x 4y 3 0.21x x4y3 0 x 3225由x解得或.2y 0y 24 y 1 925从而C与l的交点坐标为(3,0)，(21 24,).25 25（2）直线l的普通方程为x4y a4 0，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为d|3cos4sina4|.17当a 4时，d的最大值为a9a917，所以a 8；.由题设得1717a1a117，所以a 16.由题设得1717当a 4时，d的最大值为综上，a 8或a 16.、23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）解：（1）当a 1时，不等式f(x)g(x)等价于x x|x1|x1|4 0.当x 1时，式化为x23x4 0，无解；当1 x1时，式化为x2 x2 0，从而1 x1；当x 1时，式化为x2 x4 0，从而1 x 21 17.2所以f(x)g(x)的解集为x|1 x（2）当x1,1时，g(x)2.1 17.2所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,1.