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1、(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析20112011 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题数学三试题一、选择题：一、选择题：1 18 8 小题小题,每小题每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.（1)已知当x 0时,fx3sin xsin3x与cxk是等价无穷小，则（)（A）k=1,c=4（B)k=1，c=4（C）k=3，c=4（D）k=3,c=4【答案】（C）【
2、考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】【详解】解析：方法一:当x 0时，sin xxlim3sin xsin3x3sin xsin xcos2xcos xsin2x0cxk limxx0cxk limsin x3cos2x2cos2xx0cxk lim3cos2x2cos2xx0cxk1 lim32cos2x12cos2xx0cxk1lim44cos2x4sin2xx0cxk1 limx0cxk1 lim4x0cxk31 c 4,k 3,故选择(C).x 0时，sin x xx3方法二：当3!o(x3)f(x)3sin xsin3x 3xx33(3x)33!o(x)3x3!o(x
3、3)4x3o(x3)故c 4,k 3，选（C）.（2）已知函数fx在x=0 处可导，且f0=0，则limx2fx2fx3x0 x3=（A）2f 0（B）f 0 (C）f 0 (D)0。【答案】（B）【考点】导数的概念【难易度】【详解】1）(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析fx f0fx3 f0解析：lim lim233x0 x0 xxx f 02 f 0 f 0。故应选(B）(3）设un是数列，则下列命题正确的是（）（A)若un收敛,则(u2n1u2n)收敛（B)若(u2n1u2n)收敛,则un收敛n1x2fx2 fx3n1n1n1（C)若un收敛，则(u2n1u2n)收敛（D
4、）若(u2n1u2n)收敛，则un收敛n1n1n1n1【答案】（A)【考点】级数的基本性质【难易度】【详解】解析：由于级数(u2n1u2n)是级数un经过加括号所构成的，由收敛级数的性质:当un收敛时，n1n1n1(un12n1u2n)也收敛，故（A）正确.000（4）设I 4lnsin xdx,J 4lncot xdx,K 4lncosxdx,则I,J,K的大小关系是(）（A）I J K (B）I K J（C）J I K（D)K J I【答案】(B）【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】解析:如图所示，因为0 x 4时，/40 sin x 2 cosx cot x，因此lnsin x l
5、ncos x lncot x24lnsin xdx04lncosxdx04lncot xdx，故选（B）0(5)设A为 3 阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记100100P1110,P2001，则A=（)0010102(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析（A）P1P2（B）P11P2（C）P2P1 (D）P2P11【答案】(D)【考点】矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知AP1 B，P2B E，1111所以A BP1 P2P1 P2P1，故选（D)（6）设A为43矩阵，1,2,3是非齐次线性方程组Ax 的3
6、个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax 的通解为（）k1(21)223k1(21)k2(31)（D）23k1(21)k2(31)（C）222【答案】（C）【考点】线性方程组解的性质和解的结构;非齐次线性方程组的通解【难易度】【详解】（A）（B）解析：31,21为Ax 0的解，因为1,2,3线性无关,故31,21线性无关,解，故Ax 的通解为23k1(21)23232为Ax 的232。k1(31)k2(21)所以应选(C）（7）设F1(x),F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是(）(A）f1(x)f2(x)（B）2f2(x)F1(x
7、)（C）f1(x)F2(x)（D）f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)【答案】（D）【考点】连续型随机变量概率密度【难易度】【详解】解析:f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)dx F2(x)dF1(x)F1(x)dF2(x)F1(x)F2(x)F1(x)dF2(x)F1(x)dF2(x)1故选（D)。3(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析(8）设总体X服从参数为(0)的泊松分布，X1,X2,Xn(n 2)为来自该总体的简单随机样本,则对于1n1n11统计量T1Xi和T2X Xn，有()ini1n1i1n（A）ET1ET2，DT1DT2 (B）ET1ET2,DT1DT2（
8、C）ET1ET2，DT1DT2（D）ET1ET2，DT1DT2【答案】（D）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质【难易度】【详解】解析：由于X1,X2,且X1,X2,Xn是简单随机样本,EXi DXi 0,i 1,2,n，,Xn相互独立,从而n1n11ET1 E(Xi)E(Xi)nEX，ni1ni1nn11111n1ET2 EX XE(X)E(Xn)ininnn1i1n1i11111(n1)E(Xi)E(Xn)EXEX1n1nnn故E T1 E T2 1n11又DT1 D(Xi)2nD(X)DX,ni1nnn1n111 D(T1)，DT2 D(X X)(n1)inn(n1)
9、2n1i1n2n1n2n故选（D）。二、填空题二、填空题:914:914 小题，每小题小题，每小题 4 4 分分,共共 2424 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上。指定位置上。（9）设fx limx13t,则f x .t0 xt【答案】e3x13x【考点】重要极限公式【难易度】【详解】4(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析解析：fx limx13t xlim13tt0t0所以有f x e3x13x.xt13t3txt xe3xx（10)设函数z 1，则dzy【答案】12ln2dxdy【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】解析：两边取对数得xy1,1
10、.ln z xxln(1)，yy由一阶微分形式不变性，两边求微分得1xxxxdz ln(1)d()dln(1)zyyyy1x2x1xxyy ln(1)(dx2dy)(dxdy)xyyyy1x1yy1xxxxx2dz zln(1)dx z2ln(1)dy2yyy(x y)yyy(xy y)将x 1，y 1，z(1,1)2代入得dz(1,1)12ln 2dxdy（11）曲线tanx y ey在点0,0处的切线方程为 .4【答案】y 2x【考点】隐函数微分法【难易度】【详解】解析：两边对x求导得sec2(x y所以在点(0,0)处y(0)2,从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为y 2x.4)(1
11、 y)eyy，5(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析(12）曲线y x21，直线x 2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为。yy x214【答案】3【考点】定积分的应用【难易度】【详解】解析:V y dx 122214x3 x).x 1dx(133122x012（13）设二次型fx1,x2,x3 xTAx的秩为 1，A中各行元素之和为 3，则f在正交变换x Qy下的标准形为。【答案】3y12【考点】用正交变换化二次型为标准形【难易度】【详解】11解析：A的各行元素之和为 3，即A1 31 11所以1 3是A的一个特征值。又因为二次型xTAx的秩 r(A)123 0
12、。因此，二次型的标准形为：3y12。（14）设二维随机变量X,Y服从正态分布N,;2,2;0，则E XY2=.【答案】(22)【考点】数学期望的性质；相关系数的性质【难易度】【详解】解析：因为X,YN,;2,2;0，所以X N(,2)，,EX,EY2 DY(EY)222又因为 0，所以X，Y相互独立。由期望的性质有E(XY2)EX EY2(22)。三、解答题：三、解答题：15152323 小题，共小题，共 9494 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程6(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析或
13、演算步骤。或演算步骤。（15）（本题满分 10 分）求极限limx012sin x x1xln1 x【考点】无穷小量的比较；洛必达法则【难易度】【详解】解析：当x 0时,ln(1 x)xlimx012sin x x112sin x x1 lim2x0 xxln1 x lim 12sin x(x1)12sin x(x1)x0 x2 12sin x(x1)12sin x(x1)22sin x2x x2 lim lim22x0 x02x2x13x2sin x2xx261 1 limlim limx0 x02x2x02x2x222(16）（本题满分 10 分)已知函数fu,v具有连续的二阶偏导数,f1
14、,1 2是fu,v的极值,z f(x y,fx,y)。求2zxy1,1【考点】多元复合函数的求导法；二阶偏导数；多元函数的极值【难易度】【详解】x解析：z f(x y,f(x,y)z f12yfxz f11 f21 fx f1 f2 fxx2z f111 f121 fy fx f211 f221 fy f2 fxyxyy f11 f12fy fx f21 f22fy f2 fxyf1,1 2为fu,v的极值 fx1,1 fy1,1 07(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析2z f11(2,2)f2(2,2)fxy(1,1)f11(2,2)f2(2,2)f12(1,1)xy(1,1
15、)（17）（本题满分 10 分）求不定积分arcsinx ln xdxx【考点】不定积分的基本性质；不定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】【详解】解析：arcsinx lnxarcsinx lnxdx 2dx 2(arcsinx 2lnx)dxx2 xtx t2(arcsint 2ln t)dt 2t(arcsint 2ln t)22dt2 1t 2t(arcsint 2ln t)d(1t2)1t24t 2t(arcsint 2ln t)2 1t24t C 2 x(arcsinx 2lnx)2 1 x 4 x C其中C是任意常数.（18）(本题满分 10 分）43 0恰有两个实根。3【考点
16、】闭区间上连续函数的性质；函数单调性的判别【难易度】【详解】43，解析：令f(x)4arctan x x34则f(x)1 0 x 321 x证明方程4arctan x x当x(,3)时，f(x)0，f(x)单调递减;当x(3,3)时,f(x)0，f(x)单调递增；当x(3,)时,f(x)0，f(x)单调递减；又因为f(3)4arctan(3)(3)3343 0.3x 3是函数f(x)在(,3)上唯一的零点.又因为f(3)4arctan3 3 483 2 3 0338(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析且xlimfxxlim4arctan x x433.由零点定理可知,x03,使f
17、x0 0,方程4arctan x x433 0恰有两个实根。（19）（本题满分 10 分）设函数f(x)在区间0,1具有连续导数，f(0)1，且满足f(x y)dxdy f(t)dxdy,Dt(x,y)0 y t x,0 x t(0 t 1)，求f(x)的表达式。DtDt【考点】二重积分的计算；一阶线性微分方程【难易度】【详解】解析：因为f(x y)dxdy y)dy Dtdxtx00f(xtdxtx00f(x y)d(y x)ttf(xytxtxtt0 y)y0dx 0 f(t)f(x)dx f(t)xx00f(x)dxtf(t)t0f(x)dx，f(t)dxdy f(t)dxdy 1t2f
18、(t)DtDt2tf(t)t0f(x)dx 12t2f(t)。两边对t求导,得f(t)2t 2f(t)0,解齐次方程得f(t)Ce2t1dtC(t 2)2由f(0)1，得C 4。所以函数表达式为f(x)4(x2)2(0 x 1)。（20)（本题满分 11 分)设 向 量 组T11,0,1，20,1,1T，31,3,5T不 能 由 向 量 组11,1,1TT21,2,3,33,4,aT线性表出.（I)求a的值；9,(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析（II）将1，2,3用1，2，3线性表出.【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换【难易度】【详解】101解析：（I）因为1
19、,2,3 013 1 0，所以1,2,3线性无关，115又因为1,2,3不能由1,2,3线性表示，所以r1,2,3 3，11313a所以a 5113所以1,2,3 124 011 a5 0，02a3101113（II）=013124（1,2,3,1,2,3）115135100215 101113101113 0131240131240104210001102014022001102故1 21423，2122，3 5110223（21）（本题满分 11 分)1111A为 3 阶实对称矩阵，A的秩为 2，且A00001111（I）求A的所有特征值与特征向量;（II）求矩阵A。【考点】矩阵的秩；矩阵
20、的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量【难易度】【详解】1111解析:(I）因为A0000111111 1 1 1 所以A00,A00 0，1111 110(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析所以11是A的特征值,1(1,0,1)T是对应的特征向量；2 1是A的特征值，2(1,0,1)T是对应的特征向量。因r(A)2知A 0，所以3 0是A的特征值.设3(x1,x2,x3)T是A属于特征值3 0的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即T13 x1 x3 0,解得3(0,1,0)TT23 x1 x3 0,故矩阵A的特征值为1,1
21、,0；特征向量依次为k1(1,0,1)T,k2(1,0,1)T,k3(0,1,0)T，其中k1,k2,k3均是不为 0 的任意常数。1 1 0 11(II）将1,2,3单位化得10，20，312 201 1 令Q (1,2,3)1201212012011，则QTAQ 10010011QT000。所以A Q1000（22）（本题满分 11 分）设随机变量X与Y的概率分布分别为0X1/3P12/301/311/3YP且P(X2Y2)1。11/3(I）求二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）求Z XY的概率分布；（III）求X与Y的相关系数XY。【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布；两
22、个随机变量简单函数的分布；相关系数【难易度】11(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析解析：（I）因为P(X2Y2)1,所以P(X2Y2)0即P(X 0,Y 1)P(X 0,Y 1)P(X 1,Y 0)012111又因为P(X 0),P(X 1),P(Y 1),P(Y 0),P(Y 1)33333所以(X,Y)的概率分布为X Y101X00131313101313Y13230131（II）Z XY的所有可能取值为1，0，1.1PZ 1 PX 1,Y 131PZ 1 PX 1,Y 131PZ 01 PZ 1 PZ 13Z XY的概率分布为Zp-11/301/311/3（）EX 2，E
23、Y 0，EXY 0，故Cov(X,Y)EXY EX EY 0，从而XY 0。3(23)（本题满分 11 分）设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由x y 0,x y 2与y 0所围成的三角形区域.(I)求X的概率密度fX(x)；（II）求条件概率密度fX|Y(x|y).【考点】二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度；常见二维随机变量的分布【难易度】【详解】解析：（I）因为SG112(完整 word)2011 年考研数学三真题及解析1,(x,y)G,所以(X,Y)的联合密度为f(x,y)0,(x,y)G.由于fX(x)f(x,y)dy当x 0或x 2时，fX(x)0。当0 x 1时，fX(x)f(x,y)dy 1dy x;0 x当1 x 2时，fX(x)f(x,y)dy 2x01dy 2 x;x,0 x 1,f(x)2 x,1 x 2,所以X0,其它.（II）fY(y)f(x,y)dx当y 0或y 1时，fY(y)0.当0 y 1时，fY(y)2yy1dx 22y；1,y x 2 y,0 y 1,f(x,y)22y所以fX|Y(x|y)fY(y)0,其他.13