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1、2011年考研数学三真题一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)已知当(A)(C)【答案】C。【解析】【方法一】(洛必达法则)(洛必达法则)(由此得。)时，与是等价无穷小，则(B)(D)【方法二】由泰勒公式知则来源于网络故。【方法三】故综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一元函数微分学洛必达(LHospital)法则(2)已知在处可导，且,则(A)(B)(C)(D)0【答案】B。【解析】【方法一】加项减项凑处导数定义来源于网络【方法二】
2、拆项用导数定义由于，由导数定义知所以,则【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数而对于【方法四】由于在,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)处可导，则综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四则运算来源于网络(3)设(A)若(B)若(C)若(D)若是数列，则下列命题正确的是收敛，则收敛，则收敛，则收敛，则收敛。收敛。收敛。收敛。【答案】A。【解析】若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是 A。【考点】高等数学无穷级数级数的基本性质与收敛的必要条件(4)设(A)(C)(B)(D),则的大小关系为【答案】B。【
3、解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当又因为为时，上的单调增函数，所以,故即综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质来源于网络(5)设 为 3 阶矩阵，将 第 2 列加到第 1 列得矩阵,再交换 的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，记(A)(C),则(B)(D)【答案】D。【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵按题意从而所以，从而【考点】线性代数矩阵矩阵的初等变换，初等矩阵(6)设 为矩阵，是非齐次线性方程组的通解为(B)的 3 个线性无关的解，为任意
4、常数，则(A)(C)(D)【答案】C。【解析】因为那么从而是非齐次线性方程组是即的 3 个线性无关的解，的 2 个线性无关的解。来源于网络显然由于又，因此知(A),(B)均不正确。，所以是方程组的解综上所述，本题正确答案是 C。【考点】线性代数线性方程组非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解(7)设与为两个分布函数，其对应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是(A)(C)【答案】D。【解析】判断函数(1)是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：(B)(D)满足是概率密度的充要条件和或者与,而为分布函数也是分布函数，而(2)由于为两个分布函
5、数，显然综上所述，本题正确答案是 D。【考点】概率论与数理统计多随机变量及其分布随机变量分布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度(8)设总体 的服从参数为随机样本，则对于统计量的泊松分布，和为来自该总体的简单,有来源于网络(A)(C)【答案】D。【解析】,所以，可求得而所以，(B)(D),相互独立均服从综上所述，本题正确答案是 D。【考点】概率论与数理统计数理统计的概念常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本二、填空题（9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）(9)设【答案】【解析】综上所述，本题正确答案是。,则。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的四则运算(10)设函
6、数【答案】,则。来源于网络【解析】由，可得所以综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数偏导数的概念与计算(11)曲线【答案】【解析】方程=两端对 求导得将代入上式，。=在点处的切线方程为。故所求切线方程为【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线(12)曲线积为。来源于网络直线及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体【答案】【解析】由旋转体公式得综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学一元函数积分学定积分应用(13)设二次型的秩为 1，的各行元素之和为 3，则 在正交变换下的标准形为。【答案】【解析】的各行元素之和为
7、 3，即所以是 的一个特征值。的秩为 1。是 的 2 重特征值。再由二次型因此正交变换下标准形为综上所述，本题正确答案是【考点】线性代数二次型二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形(14)设二维随机变量服从正态分布，则。来源于网络【答案】【解析】。服从正态分布所以 与 相互独立，且=综上所述，本题正确答案是=。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质三、解答题：(15)求极限【解析】【方法一】(等价无穷小代换)=【方法二】(等价无穷小代换)来源于网络小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.(洛必达法则)(极限为非零
8、常数的因子极限先求)(洛必达法则)(分子有理化)【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算(16)已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值，.求.【解析】由链导法则，其中.所以由于是的极值，则,令，得【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数偏导数的概念与计算，多元函数的极值(17)求不定积分.【解析】来源于网络【方法一】令，则【方法二】【考点】高等数学一元函数积分学不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18)证明恰有两个实根。【解析】令，本题也就是要证明恰有两个零点令得，则当时，,单调减；当时，,单调增；当时，,单调减；来源
9、于网络又则故为的一个零点，在内还有一个零点恰有两个实根。【考点】高等数学一元函数微分学基本初等函数的导数，函数单调性的判别(19)设函数在上有连续导数，,其中.求【解析】化已知等式左边的二重积分为二次积分计算等式右边的二重积分化为二次积分可知为区域的面积，区域易得为三角形，面积为的表达式。且来源于网络所以所以两边对 求导得解得所以，由得【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算，二重积分的几何意义高等数学常微分方程和差分方程齐次微分方程，一阶线性微分方程(20)设向量组，(I)求 的值；(II)将【解析】用线性表示。，线性表示不能由向量组(I)因为那么不能由线性表示，所以线
10、性无关。线性相关，即所以都有解，即可由(II)如果方程组线性表示，因为现在的三个方程组系数矩阵是相同的，故可拼在一起加减消元，然后再独立的求解对做初等行变换，有来源于网络所以，【考点】线性代数向量向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关(21)设 为 3 阶实对称矩阵，的秩为 2，且(I)求 的所有特征值与特征向量；(II)求矩阵【解析】(I)因知，所以是 的特征值又所以按定义，是 的特征值，是 属于是 属于的特征向量；的特征向量。是 的特征值，是 属于相互正交，因此解出故矩阵 的特征值为的特征向量，作为实对称矩阵特征值不同特征向量；特征向量依次为,其中均是不为 0 的任意常数。来
11、源于网络(II)由，有【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵(22)设随机变量的概率分布分别为0的概率分布；101PP且(I)求二维随机变量(II)求(III)求【解析】(I)由而即得的概率分布；的相关系数。的概率分布的边缘分布为来源于网络01-101已知最后可得01-100010的可能取值,由(II)的概率分布可得 的概率分布P(III)由01及 的概率分布得，,所以。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质来源于网络(23)设二维随机变量服从区域 上的均匀分布，其中 是由与所围成的三角形区域(I)求 的概率密度(II)求条件概率密度【解析】(I)当当当所以或时，时，时，；。(II)等价于在时，条件概率密度【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布多维随机变量及其分布函数，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常见二维随机变量的分布来源于网络