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1、支持正版，仅供学习参考习题1.11.证明6 为无理数.2证若百不是无理数,则6 =,p,q为互素自然数.3 =勺,p 2=3/.3除尽p 2,q q-必除尽p,否 贝 Up =3 A +1 或p =3 A +2.p 2=+6 A +1,p 2=+4,3 除p 2将余1故 =3 4,9父=3/,/=3二,类似得3除尽q与p,q互素矛盾.2.设p是正的素数，证明V F是无理数.证设=力为互素自然数，则二巴,/：/,素数p除尽故口除尽凡b b-a =p k.p2k2=p/,p/=/.类似得夕除尽b.此与为互素自然数矛盾.3.解下列不等式：(l)lx l+lx-ll 3.;(2)lx2-3 l 2.(
2、1)若x 0,则-x +1-x 2,x 1,(1,0);若0 x l,则x +l x 3,l 1,则x +x-1 3,x 3/2,(1,3/2).X =(-l,0)u(0,l)u(l,3/2).(2)-2X2-32,1X2 5,l lx l2 5,l lx l V5,x =(l,V5)u(-V5,-l).4.设 为 任 意实数,(1)证明I a +b以a I-仍I;设I a -6 1,证明I a 1 21 +1.证 la l=la +b +(b)ia-b.(2)a =b +(a -b)b +a -b 0.1;(2)lx-a l/.(l)x +60.lijf cx +6 -0.1.x-5.9 i
3、jkiX -6.1 .X=(oo,6.1)u(5.9,+oo).(2)若/0,X =(a +/,+8)u (-oo,a -/);若/=0,x =若/0,X =(-oo,+oo).6.若al,证明0 标1 匚，其中为自然数.n证若a1,显然板=bL a 1 =标 一 1 =(标一)S T+.+1)“(板i).7.设(a为任意一个开区间，证明(a,b)中必有有理数.证取自然数满足1/1 0 b-a.考 虑有理数集合A=A j-1 m e Z.则 4 c(a,b)=0,A=Bb ,C=A c x lx 4 a 山中有最小数机0/1 0”,(1)/1 0 eC,h-a mJ Q)n-(m0-l)/l0
4、H=l/I O ,此与的选取矛盾.8.设(a,份为任意一个开区间，证明(a中必有无理数.证取自然数“满足l/1 0 b-。.考虑无理数集合4=&+=I m w Z .以下仿8题.习题1.21 3.证明函数y=J l+x -J 7在(1,+8)内是有界函数.r r.厂(V T+x -Vx)(Vl+x +J x)1 1 ,八证 丫 =Jl+X J x =-尸-=-7=r=1).X y j X+X+T X /2+l九6+4 21 3研究函数y=*x :x在(-8,+8)内是否有界.1 +XA?+尤4+尤2+尤4 y-3元6解 I X K in,-+-M 当=3,14 X 1 +冗 X y=y 0);
5、(2)l i m x2=a?;(3)lime =e ;(4)limcos x=cos a.xxx x a证 VO,要使由于白斗当 纪,7 x 7 a y/x +y/a 7 a只需 ,x a .取5=则当 I x a lJ a l/a.y/af，(2)V e 0,4：妨 设 I x 6 t l 1 要使 I x?a?1=1 x +a I I x a I v ，由于 x +a x -a +2 a +2 a y只 需(1+2a)x -a x-a l -.取 5=m i n -勺一，1,则当 I x a lv 5时,1+I 2 a I 1+I 2 a I x2 a2 l。，%a.要使 I，一，1=/(
6、ex-a-1)v ,即 0 (ex-a-l)-,l e v 1 +二,ea ea0 x c z l n|1 4-三)，取 b=m i n -,1,则当 0 v x a v 5时,I ex ea a+A a-.v aI c.x +a .x a _.x 4-cz 1 1 .x a .4 /s 0,I c o s x -c o sa=2 sin-sin-=2 sin-sin-Mx-al,2 2 2|2取S =e,则当|x a I v S时 J cos x cos a I v ，故 lim cos x=cos a.x a2设l i m x)=/，证 明 存 在a的 一 个 空心邻域(a-S,a)u(a
7、,a+S),使得函数“=/(x)在X该邻域内使仃界函数.证 对 于 =1,存 在30,使 得 当01工-15时,1/(%)-/11,从而I /(x)1=1 f(x)-/+/1 1 /(x)-/l +I ZI 0(1 4-X)2-12 x 2 x +x2./%、=l i m-=lim(l 4 )=1.3。2 x x-*。2/C、1.1 CO S X .(2)li m-；-=hmx0 x x-02sM s7X=-l i m2 A 02X2=lp=l2 2(3)lim 一近I)X=limx-()-/-7=-=尸(a 0).x(y j x +a +y/a)2 7 a(4)limXTlA,2-x 22x
8、?2 x 3-2r2 x 2(5)lim,5 2 x2-2 x-3-2三 (2x+iy 230(7)limX TOJ l+九 y/i-Xxlim-3 X I2x(8)lim,x+A X+l1 3x3+l=limXT-1(J 1 +X+X)x-x+1 -3(x+l)(x2-x +1)1.=limXT-1x2-x-2(x+l)(x2-x +1)r(x+l)(x-2)=hm-；-=2T (x+l)(x-x +l)Jl+2 3(9)hm f=-=limX f4 yx-2 Z 4limx-4(2x 8)(A/X+2)r(x-2)-3.=lim；-=-1.(x2-x+1)3(J l+2x 3)(A/X+2
9、(Jl+2x+3)(Vx-2)(77+2)(Jl+2x+3)2 4 4(x 4)(Jl+2x+3)6 3(10)lim -1-=lim +Ti i x yn(n-l)2 n+-y+lim-=n.)1 0 y(ll)lim p x2+1-Vx2-1)=limXT820.八 c、C l(Xm+Cl,Xm 1 4-,+dm.c、Qin(12)hm3-!-：-丝(b w 0)二字.h()xH+Z?|X,f H-bn hna0/b0,m=n（叫，犷+，4.+4&3 ）;(14)lim 火型=l i m Jl+8/.：4=3 8 X+1 XT 1 +1/X(15)lim.V-041+3口 一 班 一2x2
10、x+xlim.x-0limA-0lim0,8,n min n.(Nl+3。2x)(,V1+3x+yl+3x yjl 2x+-2)(x+x2)(Vl+3x+1l+3x y/l-2x+y/l-2x)5xx(l+X)(Wl+3x+y/l+3x yjl-2x+y/l-2x)_5_5(1+x)(Wl+3x?+Wl+3x V l-2x+V l-2 x2)3、八4 x-4 a +Jx-a(16)0,h m-。Vx2-tZ2|(Vx-Va)(Vx+4 a)x+a-J x-a(yfx+-Ja)limx-o+0lim4a 1yjx+a74.利用lim 吗=1及limjl+n =e求下列极限：X f X x)/.s
11、in ax sin a x 八 a(l)lim-=lim-lim cos px=一.so tan Px 9。sin fix“o 0(2)hm-s-i-n-(-2-x-2-)=lim-s-i-n-(-2-/-)-lim-2-x-2=1 1 0n =0nI 3x X T0 2x X T O 3Xtan 3x-sin 2x tan 3x sin 2x 3 2 1(3)lim-=lim-lim-=-=io sin 5x I。sin 5x sin 5 x 5 5 5(4)lim/*r=lim-=V2.i j l-c o s x i 逝 sin2x+a.x-a cos-sin-(5)lim-s-i-n-x
12、-s-i-n-d-!-=lvim-2-2-=cos a.XTa X Q XT X-C l2(6)lim 1 +=lim 1 +=lim 1 +=ek.x J i d x J x)(7)lim(l 5y)，=Iim(l-5y)1/(5y)(8)limfl+-|=limfl+-X)X5.给出lim/(x)=+oo及 lim/(x)=-8 的严格定义.X a.v-QOlim/(x)=+oo:对于任意给定的A 0,存在b 0,使得当0 lx-al?lim/(x)=-8：对于任意给定的A 0,存在 0,使得当x -A时/(x)0,要使 I J l +f-J 1+0?1=一/A .由于7=-W 只需V l
13、 +x2+1 V 1+X2+1f ,I X 1 五,取b =五,则当 I X l b时有 I V 1+X2-V 1+02|,故 J l +f 在X =0连续.(2)V 0,要使 I s i n 5 x -s i n 5 a 1=2 1 c o s +|s i n 1 .2 2由于 2 1 c o s +|sjn 5 1 x -a I,只需 5 x-a l ,x-a ,2 2 5取b =(,则当l b时有I s i n5 x-s i n5 a l 0,证明存在S 0使得当l x-/l 0 .证由于f(x)在与处连续，对于 =/(x0)/2,存在存在b 0使得当I x-/l b时f(x)-f(x0
14、)(X o)7(X o)/2 =f(X o)/2 O .3设f (x)在(a,b)上连续，证明I/(x)I在力)上也连续,并且问其逆命题是否成立？证任取x0 e (a,),/在与连续任给 0,存在S 0使得当I x -/1 3时(X)-/(X。)1&此时 II/(x)|-|/(xo)l l l/(x)-/(xo)l ，故 I/I 在 与 连续淇逆命题不真，例 婀(x)=是?产汽处处不连续，但是(X)I三1处处连续.-1,X是无理数4.适当地选取a,使下列函数处处连续：小 、J j l +x、x l,(l)/(x)=(2 J f(x)=0;a a r c c o s%x,x 0-X TO-X-0
15、+(2)l i m f(x)=l i m l n(l +x)=I n 2 =/(I),l i m /(x)=l i m a a r c c o s TUX=-a =/(I)=I n 2,X-1+X 1+x-i-x-l-a =I n 2.5.利 用初等函数的连续性及定理3求下列极限：/八.V 1+X V x .y l+x x A(1)l i m c o s-=c o s hm-=c o s O =1.X T+c o x X T+0 0%(2)l i m x 6=2&.X f 2sin2x sin2x 2-lim-(3)l i m e疝3 二 夕 疝3*=e3x f O/人 r J/+8 y/x4
16、+8 re(4)l i m a r c t a n -=a r c t a n l i m -=a r c t a n 1 =.i s x +1 x +1 4 l i m J(V x2+l-V x2-2)1x 1=J l i m F (V x2+1 -J d-2)I x I6.设 l i m /(x)=a 0,l i m g(x)=b,证明 l i m)/(x)g(x)=a,?.X-A0 XT，b XT 而、一 /lim|(lnf(x)g(x)证 l i m)/(x)g)=l i m)e(3)=诙=ehna=ahXT*0 X T/7指出下列函数的间断点及其类型，若是可去间断点请修改函数在该点的
17、函数值,使之称为连续函数:(1)/(x)=c o s)(x -x ),间断点 Z,第一类间断点.(2)/(x)=s g n(s i n x),间断点肛 Z,第一类间断点./(%)=卜2，k1，间断点X=1悌 一类间断点.1/2,x =1.x2+l,0 x 1/(x)=7t 间断点x =l,第二类间断点.s i n-,1 x 2,、1 x)=一,0 4 x 4 1,2-xx,l x 2,间断点x =2,第一类间断点.一,2 +x)l i m P(x)=-o o,存在A,8,A 8,P(A)0,P在 A,8 连续,根据连续函数X T-o o的中间值定理,存在/e (A,8),使得P(x。)=0.2
18、.设0 1,证明对于任意一个 e R,方程为 =x-s i nx有解，且解是唯-,-的.证4/(x)=x-s i n x,/(-1 y0 I-1)=-1 y0 I-1+f -1 y0 l y0+l-e y01 y J 在 一 I y01-1,1 y0 I+1连续，由中间值定理,存在x0 e -l y01-1,1 y01 +1,/(/)=%.设 ,f(x2)-f(xl)y=x2-x,-f(s i nx2-s i nX )x2-f l x2-%1 l 0,故解唯一.3设/1(x)在(a,/?)连续，又 设 为,工2 e (a,。),叫 0,m2 0,证明存在J e (。力)使得/=4/()+7?/
19、(2)mi+m2证如果/(X 1)=/区),取J =/即可.设f (再)f (%2),则,z+)+/n2/(x2)mj(x2)+m2f(x2)_八X J Jmx+m2 m+m2 m+m2在 上 利 用 连 续 函 数 的 中 间 值定理即可.4.设y=/(x)在 0,1上连续且0 /(x)0,g(l)=/(1)-1 2.3解I 5X；8、2|5X-8 I 6,5 x-8 6g J c 5 x-8 y x|.(2)x 3 3,2-3 -x-3 3,0 x l x-2 l解(A”+1)-N(x 2),2.x+12 4x+4,x .22.设y =2x+12-x I,试将x表示成 的函数解当x W2时
20、,y =x+2,y 2时,y =3x-2,y 4,x=g(y-2).,y-2,y 4x=4.、J3.求出满足不等式J l +x -1.2A/1+x x+2,4(1+x)O.xN -l,x H 0.4.用 数学归纳法证明下列等式：.1 2 3 n +2一+7 +F+=2-.2 22 23 2 2证当=1时,2-1干+2 I，等式成立.设等式对于 成 立,则2,21 2 3/7 +1 1 2 3 n n +l+齐+寸+尹=己+外 产 +/尹 +2 几 +1 2n +4-(n +l)(n 4-1)+3=2-+=2-=2-,即等式对于+1也成立.故等式对于任意正整数皆成立.2 _ 1 (+1)X +”
21、(2)l +2x+3r H F=-；-(X W 1).(1)2证当=1时,1二(1 +D x?吧=比 鸳=1,等式成立.(1-X)2(1-以设等式对于成立,则1 +2x+3/+T 先(+1*=1 二+(+1*_ 1 -(+l)x+n X *(1-x)2(+l)x二 (1-x)2_ 1 -(n+l)x +n,+1(1-2x+x2)(n+l)x(1)2_ 1 (+l)x+(x 2x+i +x2)(+1)二 (一)21 (“+l)x+Q+(x 2x+i +x2)(+1)(1-x)2_ l-(n +2)x+,+(n +l)x+2=即等式对于”+l成立.由归纳原理，等式对于所有正整数都成立.s、八，/、
22、12 4-x I I x I 25.设f (x)=-X(1)求f (一4)J(T)J(-2),/的值;(2)将/(X)表成分段函数；(3)当 尤-0时/(x)是否有极限:(4)当x f-2时是否有极限？2-4-2 1-1-2-?-2 4-2-2解/(-4)=-1 J(-1)=2,/(-2)=2 J(2)=0.-4 1 2 2 4/尤,x 2;(2)/(%)=J 2,-2 x 0.(3)无因为 l i m/(x)=2,l i m f(x)=0 l i m f(x).x-0-x-0+X-0-(4)有.l i m f(x)=l i m(-4/x)=2,l i m/(x)=l i m 2=2=l i
23、m/(x),l i m/(x)=2.A-2-x-2-K T-2+x-2+x-2-x-26.设 x)=x2-14,即/(x)是不超过/14的最大整数.求/(0),/仁,/(扬的值；(2)/(x)在x=0处是否连续？/(x)在x=VI处是否连续？解/(0)=-14 =-14,/但=母-3/-6 +?=-7./(V2)=-12 =-12.4 J L 4J连续因为 l i m/(x)=l i m)，-14 =14=/(0).x-0 y-0+不连续因为 l i m/(x)=-12,l i m/(x)=11.X-y J 2+X-42-7.设两常数Q力满足0 a b,对一切自然数，证明：hn+-an+bn+
24、i-an+-(+叫；(+Da(n+l)a.b-a8.对 =1,2,3,-,令。“=(1 +!)也=1 +)-证明:序列 4 单调上升,而序列依 单调下降,并且bn.证令4=1 +,/=1 +L 则由7题中的不等式,+1 nI n L n+/八 八 1)1 _ J(n +1)l1 +；jn +1八1 +f i 1 Y，+,z 八 八 iY i-1+-(/14-1)1 +-I n)n+1 J I n)n(n+l)n)I n+1JM+1 z x n+l 1 d-k n+l)1 +-n1I+1J 1 _ 1n n+1(+i)(i+-!-1 i|J 1+-5-)I n+l)n(n+l)I I n+1)我
25、们证明，+i+一+L.n n+1 I n+)1,1,2 1o+1+1 +-n n+1 n+1 (n+1)11O-7(+1)(n+1)-.最后不等式显然成立.当 -00 吐(l+_Lj-e,(l+r p f e,故(l+，j9求极限10作函数/(x)=lim 竽一(a。0)的图形.“T8 nx+a11在？关于有界函数的定义下，证明函数/V)在区间出力 上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得I/(x)l M,X/x e a,b .证设存在常数M，N使得 4/(x)N,Vxw a,回，取M=maxI M I,I N I +1,则有l/(x)M,/x ea,b .反之,若存在一个正的常数”使得l
26、/(x)l ,/X 4力,则-“/(x)A Z,Vxe =/(x)及y =8(%)在他力 上均为有界函数,则/()+8 5)及/(犬 必(%)也都是口,切上的有界函数.证存在M，2，(X)l Mg(x)l M2,X/x ea,b .f(x)+g(x)l l /(x)l +l g(x)l Mx+M2,(x)g(x)1=1/(x)II g(x)l o和 0,取正整数,满足，”,则/(-)=n M,n n故/1(X)在(5,5)无界.但是 X n=J-0 J(x“)=(2n+1/2)cos(2+1/2)乃=0 8,2+1/2 故当x f 0时/(X)不是无穷大量.14.证明 l i mn*-l)=l
27、 n x(x 0).“一 811n x 证令x-1=y“，则一I nx=l n(l +y),=-.l i myn=l i mxn-1=0.n l n(l +y)注意到 l i m 1n,)=l i m l n(l +y Y=I n l i m(l +y Y =n e=l,y-0 y T0 y-0我们有(-1)=)，n x-n x(oo).l n(l +y“)15.设/(x)及g(x)在实轴上有定义且连续.证明：若/(X)与g(x)在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.证任取一个无理数%,取有理数序列X.-x0,f(x0)=li m f (x“)=li mg(x“)=g(x0).T
28、8 W 0016.证明 li n?二 c x=Li o x 2 2 s i n -c 2 0 X x T 4 y 21.1 y )_2I2217.证明:li mln(1+-V)=l;(2)li m =e.y-0 y x-0 x证 li m(1 上)=li m ln(l+y Y =I n li m(l+y Y=I ne =1.y-0 y y-0 y-0(2)h m-e-e-=li m-e-(-e -1-)=e h.m-e-1 =e a h m-y-x-o x x i o x -o ln(l+y)=e 1=e.11段y =/(x)在a点附近有定义且有极限li m/(x)=0,又设y =g(x)在a
29、点附近有x-a定义,且是有界函数.证明li m/(x)g(x)=O .x fa证设lg(x)1c A/,01%。10,存在3 0,使得当01方 一。131时(刈/力.令洒=向11用为,则0 5 4|6时,1/(x)g(x)H/Wllg(x)lA M=，故/(x)g(x)=O .19.设y =/(x)在(-00,+8)中连续，又设c为正的常数，定义g(x)如下当 l/*)K cg(x)=，c 当/X x)C-c 杂(x)-c试画出g(x)的略图，并证明g(x)在(-8,+8)上连续.证(一)若 I/(x0)l 0,当 I x -X o 1 何时 I f (x)I c,则存在4 0,当lx-%1
30、6 g(x)=c,li m g(x)=li m c =c =g(x0).若/(x()=C,则g(x()=C.对于任意 0,不妨设 0,使得当I X -xo l b 时I f(x)-c .设 I x-X o k 3 萄(x)W c,则 g(x)=/(x),lg(x)g(X o)l=l/(x)-c l ,若/(x)c,则g(x)=c,l g(x)-g(X o)1=0 .证(二)利用g(x)=mi n f(x),c +ma x f(x),-c -f(x).ma x J,(x),72(x)=(I f (x)-f2(x)I+/,(x)+A M)/2.mi n,(x),/2(x)=(-(x)-/2(x)I
31、+5(x)+/2(x)/2.20.设/X x)在a,句上连续，又设 =1/(x,)+/(x2)+/(x3),其中占,%2，%36。，证 明 存 在 一 点 乩 处 使 徼 =r).证 苟(x j=/(x2)=/(当),则 =/(),取c =占即可.否 则 即(X )=mi n/(X 1)J(X 2)J(X 3),/(X 3)=mi n/(x J,/(X 2),/(X 3),/(x,)7(x)在x 0不连续.23.求下列极限:(l)li m =0;(2)li m(a rc t a nx)s i n-=-0=0;5011+2XJ XT+O O x 2t a n5x t a n 5x 1 x 5(3
32、)h m-=li m-=-=5.i o n(l+；r)+s i nx x ln(l+x )/x +sin x/x 1(4)li m(V x)=li m(l+y),/y=e.v-l yfO24.设函数y =/(x)在0,+8)内连续，且满足0 /(x)0是一任意数,并假定4=/()，%=/3),-一 般地J =/(q).试证明%单调递减,且极限li m%存在.00若/=li m 4,则/是方程f(尤)=x 的根，即/(/)=/.ATCO证%+i =/(%)o o n c o n o o T 825.设函数y =E(x)在(-o o,+o o)内有定义且处处连续，并且满足下列条件：(0*1,E(l
33、)=e,E(x +y)=(x)(y).证明 E(x)=ex(V x e (-o o,+o o).证用数学归纳法易得E(X+x)=E(X)E(x.).于是彳=E(x).设是正整数,则 E()=E(1+1)=(1)=e.1 =(0=)E(+(-)=E()E(-n)=e以 一 兀i演一切二/:于对于任意整数E()=e.对于任意整数,E(l)=E(n-)=E()E(-)=e E(-),E(-)=e.n n n n()=(m )=f )1 =en=e.即对于所有有理数 r,E(r)=e：n n J )对于无理数x,取有理数列x 0-x,由E(x)的连续性，E(x)=li m E(x J =li m*=e
34、吧(的连续性)=/o o n 00习题2.11.设一物质细杆的长为/，其质量在横截面的分布上可以看作均匀的.现取杆的左端点为坐标原点。，杆所在直线为x轴.设从左端点到细杆上任一点x之间那j 段的质量为皿x)=2x2(0 x 0 A r A r-0 A x-0 A Y2.根据定义求下列函数的导函数:(l)y=ax3;(2)y=J2px,p O；(3)y=sin5x.八,.a(x+8)3-0?解(l)y=h m-Ara limAX TO(x3+3/Ax+3xZU2+Ar3)-x(2)yf=limA rf OAxJ 2 (x+AK)7 2 P x,3-=a lim(3/+3xAx+Ar2)=3ax2
35、.AV TOx历lim近&4AsO AxJ2p lim丫 AsO(Jx+Ax-yfx)(，x+Ax+yx)J2p limv At-0AxAv(Jx+Ax+/x)Ax(Jx+Ax+yjx)J2p lim丫 AA TO2P5(2x+Ax).5Ar,sin5(x+Ax)-sin5%C0S?Sin 2(3)y=hm-=hm-A.v-0 Ax AV TO Ax2lim-Ar-05 5(2x+Ar).5Axcos-sin-2 2 25 Ar.5 Ax5(2 元 +A x sm 厅=5 lim cos-lim 、乙=5cos5x.A X-O 2 5 AX2 23.求下列曲线y=/(x)在指定点M(x0,/(
36、%)处的切线方程：(Dy=2X,M (0,1);(2)y=x2+2,5(3,11).解y=2 In 2,y(0)=In2,切线方程y-l=ln2(x-0),y=(In2)x+l.(2)y，=2x,y(3)=6,切线方程:y-1 1 =6(尤-3).4.试求抛物线y2=2Px(p 0)上任一点A/(x,y)(x 0,y 0)处的切线斜率,证=也最,y=2P=，过点M的切线PMN方 程:Y y=(X-x).212 Px y y切线与 x 轴交点 N(Xo,0),_y=K(X0_x),Xo=x_匕=_x.yp/+px+(2x J =FN,故 NFNM=NFMN.2过M作PQ平行于x轴，则NPMQ=Z
37、FNM=NFMN.5.曲 线 y=/+2 x +3上哪一点的切线与直线y=4x-l平行，并求曲线在该点的切线和法线方程.解 y=2x+2=4,%=1,%=6,3=4切线方程:y-6=4(x-l),y=4x+2.法线方程:y-6 =f-x-l),y =.I 4；4 46.离地球中心厂处的重力加速度g是r的函数，其表达式为GMr Dg=R-lim g(r)=lim=lim 8(厂)，8(r)在r 二 尺 连 续.riR+rR+产 R-rr R-g_(R)=,g+(R)=-与 3 H g1(R),g在r=R不可导.7 .求二次函数P(x),已知:点(1,3)在曲线y =P(x)上，且P(0)=3,P
38、=1.。+力+。=3解P(x)=a x2+c,P (x)=2a x +h.2).P M =k(x-x0)A-1 g(x)+(x -x0 g (x)=(x -%)T(k g(x)+(x -/)g (x)=(x -x()i (x),(%)=k g(0 x)H 0,由定义X。是P (x)的(A -1)重根.1偌/(x)在(-a,a)中有定义，且满足/(-)=/(X),则称/(X)为偶函数设“X)是偶函数,WT O)存在，试证明r(0)=0.证/，=i m-(叽 lim/(-x)-/(O)=_lim/(-x)-/(O)=_/w r(0)=x-0 x x-0 x x-0 x11.设/1(x)在X。处可导
39、，证明 l i m /(-%+)-/(-%3=2r(x ).2A x证 l i m/(X。+)/(/一刃)Jim/(玉)+/丫)-/。0)_/(X。)-/(/)一so 2 A x AX AX1 l i mX o +心)一/G o)f(x0-x)-f(xQ)11 I l l-1-2 2 0 A x -A x=1 Fl i m 二/（%）+l i m /（二 心）_/（码=_，（）+r（x）=f，（x）.2 3 f o A x A。-A x J 212.一 质点沿曲线y =f运动，且已知时刻/（0 .4/2）时质点所在位置P（f）=（x（f）,y（f）满足：直线而与x轴的夹角恰为f.求时刻时质点的
40、位置速度及加速度.解理 =x(t)=t a nt,y(t)=t a n21,x)x(t)位置(t a n f,t a n),MQ)=(se c21,2 t a n t se c2 r),v t)=(2 se c2 r t a n r,2 se c4 r+4t a n2 zse c21)=2 se c2 r(se c2 r,2 t a n21).13.求函数x 一 八/(%)=0,x w a),y f=-1 -工-+-。-(-%-+-。-)-一-(-x-a-)-=1 52a x+a 2a x a(X+Q)X-a4.求下列函数的导函数：(l)y=arcsin-(0),y=；aa Va-x/C 1
41、X /c、，1 1 1 1(2)y=-a rc ta n-(6z0),y=-7-=7a a a 1+(Ux a+xx2(3)y=x2 arccos x(l xl 0),2 2 a(5)y=-厂，y=-COSX COS-Xsin 2xcosx1+2x(1+sin2 x)(sin x2)-0-)COS X(6)y=tan3 x-tan x+x,yf=tan2 xsec2 x-sec2 x+1=tan2 xsec2 x-ta n2 x=tan2 x(sec2%-l)=tan4 x.(7)y=eax sin bx,y=aeax sin hx+beax cos bx-eax(a sin hx-vbcos
42、 bx).(8)y=cos5 J l+M,yf=5cos4 J1+九？(-sinA/1+x2).Xyll+x25xcos4 J l+/sinvl+x22(6)=正 a2-x2凡+。-+In2a-x1x+&+屋-(a0)y=-x2+a2+2x2 Gx2XwaQ2+-2 x+a211 +xy/x2+a2(7)y=a rc sin2x2x+2x2+a2x2+1,x w 1.y=1 2(x2+l)-2 x 2 x _ c4 ，+l)2 _1-(7 7 iF1 1-x2 _ 2 sgn(l-x2)|x2-l|X2+1x2+2 y=a rc t a nJQ2 h2y=2-se c +/?+(a -b)t
43、a n a-b x L ，、小-t a n I (a b N 0).址-胪 1 +i tana+b12 222 X_2 z 7、2(+/?)c o s-+(-/?)sin 1a+bcosx(9)y=(1 +Vx)(l+2%)(1 +/3%),1 0 y=ln(l+Vx)+ln(l+V2 x)+ln(l+V3x)2(1 +Vx)Vx 2(l+/2 x)/2 x 2(1 +，2 3,2(1 +2(1 +V2 x)V2 x 2(1 +V3x)V3x(1 0)y=J l+x+2 x y =/一 =2 J l+x+2%2(ll)y=-Jx2+a2,y=1：,.x-+a(y=y/a2-x2,y=/J7CT
44、-x(1 3)y=ln(x+2),y，-1 ,X +J/+/、1+./2 2，厂 +a )lx2 1+a2(1 4)y=(x-l)#(3x+l)2(2-x).lny=ln(x-l)+-ln(3x+l)+-ln(2-x),yr 1 2 1 -1=-+-+-y x-1 3x+l 3 2-x1X 1y=y1 -1+-3 2-xH-3x4-1(1 5)y=ex+/,/=e +e =ex(l+/).(1 6)y=xa +G +a (a 0).y =aaxa +a In a(a xa )+aa In a a In a=+ama a xa +aa a In2 a.5.一 雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上
45、的火箭，它与发射台之间的距离是40 0 m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8 m/s2垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问：自火箭发射后1 0秒钟时,探测器的仰角。的变化速率是多少？解x(f)=，8 /=4产,t a n=迪=匚，2 40 0 1 0 06。)=a rc t a nL,e (t)=1-,(1 0)=13=0.1(弧度/s).1 0 0 (产丫 5 0 8()2 丫 5 01 +-1 +-l.i o o j I.1 0 0 J6.在图示的装置中,飞轮的半径为2 m且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问：当飞轮的旋转角为。=工时,活塞向
46、右移动的速率是多少？2解 xQ)=2 cos 871t+V 36-4sin28r,x(t)=-16 sin 8 万/+-8 sin 8 cos 8rr(8乃)2 j3 6-4 sin8fa(f)=87tt ,t,x()167r.2 0 16 16活塞向右移动的速率是16万m/s.习题2.3L当x f 0时，下列各函数是那几阶无穷小量？(l)y=x+1 0 x2+1 0 0 x3.M(2)y=(V+2-V2)sinx=,心 心 ,2 P介.-Vx+2+V 2(3)y=x(l-c o s x)=x 2 sin?；,2阶.2 已知:当x 0 时,a(x)=(1 2).试证明 a(x)=(x).、十
47、a(x)a(x)iiE-=-x=。x=o .X X-3.设a(x)=o(x)(x 0),尸(x)=o(x)(x 0).试证明:a(x)+(3(x)=o(x)(x 0 .)讦 a(x)+P(x)_ a(x)HL-=-1-=O +0(1)=0.XX X上述结果有时可以写成(x)+o(x)=o(x).4.计算下列函数在指定点x0处的微分：(1)y =x sin x,x0=/4.yf=sin x+x c o s x,y，dy+4 强4J(2)y=(l+x)a(a 0 是常数).y =a(l+x)T,yo)=a,dy =a dx.5.求下列各函数的微分：(Dy-x 2 ,2 2dxI TT T+4 p
48、y=一 而 可 的=一卮 产(2)y -x ex9yf=ex+x ex-ex(+x).dy -ex(l+x)dx.6.设y =(x w l),计算当岫3变到3.001吐函数的增量和向相应的微分.x-12解上一 G I F y )，2 ,0.001-1 =-2.0012.001-2 J0.001，dy =7 .试计算配面的近似值.解W 3 2.16 =2%+.16/3 2 =2 (1+-)=2.002.5 3 28,求下列方程所确定的隐函数的导函数：12 2 2 1 -i (3(l)x +0).x、+-y W =0,y=2.3 3 1x J(2)(X Q)2+(y bp =/(a/,c 为常数)
49、.2(x -a)+2(y -b)y =0,y x-ay-bx-+y 厂+y x+y工 一 丁(3)arctan =In x2+y2.x-上+且1+f2(4)y sin x-cos(x-y)=0y sin x+y cos x+sin(尤 一 y)(1-yr)=0,ycosx+sin(x-y)y-sin。-y)-sin x9.求下列隐函数在指定的点M的导数:丁 一 2孙，一 /+2x-4=0,朋(3,7).,.，八,y+x 1 ，/一、7+31 92yy-2 y-2 x y 2x+2=0,y-(3)=-.y-x 7-3 4f 2 Q p v、(2)e*v 5/y =0,M.，/八 i n(y+xy
50、)-10盯-5x y=0,y=,v -5 x2 10)f?,e 7 e 5 10 10010.设y=/(x)由下列参数方程给出，求y=:ax(Dx=2 t-ty=3 t-t23dy 3-3产 3-T=-=+dx 2-2 t 2x=tntdy d=-,t W /e.y=e!dx Inr+1(2)sgn(f)/w0.21 +f72 211.试求椭圆周A +=l上一点Mo（Xo，y0）处的切线方程与法线方程.并a o证明：从椭圆的一个焦点向椭圆周上任一点M发射的光线，其反射线必通过椭圆的另一个焦点.2x 2yyr,h2x/+记 尸 一 不.切线方程：y 九=（-詈（x x。）,黄+等=1.法线方程：