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1、习题八1.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(I)(x Mlx H O；(X,y)|lWx 2+y 20.(2)=(x,_ y)|x +y O,x-y 0.(3)D =(x,)|4x-y2 0,l-x2-y20,x2+/0.(4)=(x,y,z)|x 0,y 0,z 0.(5)D =(x,y)|x 0,0,x2 2 训.(6)D =(x,y)|y-x 0,x 0,x2+y2 0 5.求下列各极限:“、i.ln(x +e-)(l)h m T;x+y1x-lJ TO 1*+y2，2-g+4(3)li m-;y-0)砂(4)li m/一 ;Z C
2、A 1.si n 孙x-0 xJ TO(41 .1 cos(x2+y2)(6)li m-J(x-+y)eA“ln(l+e 0).3解：(1)原式=.I n 2.Vi2+o2(2)原式=+8.h 卜 i .4 xy 4 1(3)原式=hm-/=x y(2 +4xy+4)4(4)原式=同个(而 +1)=2.y )孙+1T原式=l im gx f 0y-0 xyy =1 x 0 =0.(6)原式=li mX f 0y-0-(x+y )2,22 z r+y-；-r=li m-；(x2+y2)ex+y?2 e()=0.6.判断卜.列函数在原点0(0,0)处是否连续:(l)z=,si n(x3+y3)x2
3、+y20,x2+y2 0,x2+y 2=0；si n，+炉)(2)z=x3+y30,x3+y3 0,/+K =0；I 2 2x y(2)z=O uy-0 yrO故 li mz=0 =z(0,0).X TO,y-0故函数在0(0,0)处连续.(2)li m z=li m 包 巴=1 *z(0,0)=0 x-0 一 0 ify 0故。(0,0)是 Z的间断点.(3)若尸a,y)沿直线产x 趋于(0,0)点，贝 IJli m z=li m j j-=1,1 0 .2 0 x .x +0y=XT0若点P(x j)沿直线y=-x 趋于(0,0)点，则li m z=x-0y=-x-0li mxx2(-x)
4、22-(-x)2+4 x2X2=li m-.=0i。x +4故 li mz不存在.故函数z 在 0(0,0)处不连续.x-0)，一 07.指出下列函数在向外间断：x /+2x(1 )/(x,y)=-j-；(2)/(X，7)=4_；x +y y-2xXx-7/(x)=ln(l-2)；(4V(X,JO=0 xZy=x-Q故(0,0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.8.求下列函数的偏导数：,x(l)z=x ;yQ)s=2 2IT 4-Vuv(3)z=x ln yjx2+；(5)z=(”y；(7)w=a rcta n(x-j/)z;z,x(4)z=I nta n;y(6)=产；y=xz.z f
5、i z _ 1解：k =2孙+r,ox y2x5 yds 1 v-du v u2ds u 1=-1 dv v2 u(2)5=-+-V uU V2 旧+)21r2以 时 娟+干,=x,2 y =如+.2 2 M+y 2 X2+y2dz 1 2 x 1 2 2x(4)一 =-s e c-=esc ,d x ta n-歹 V Vydz 1 2 x /x、2x 2x一-sec-(一一-)=-7cse办 ta n-y r y yy(5)两边取对数得I n z=y ln(l+中)2故 萨(1+.(1+孙)，=(1+.言51+旷.，-=(l+x y)-ln(l+x y)=(1+xy)y ln(l+j)+KS
6、iy，JX1 +xy=(1 +町)，ln(l+中)+(,6八)du =.lnzxZv y-y du =.I nz z r)v xdx dydu xv_=xy-z ydz(7)=-,z(x-y =-S x l +(x-y):2 l +(x 歹产du _ _ z(x-y)z-(-1)_ z(x-y)zll +(X /了 二-1 +。一历“du _ (x-y)z ln(x -y)_(x-y)=ln(x -y)忌=1 +7 月 2 =l +(x-y 产du y-1由z关于x y的对称性得包=x n x，4 =-4 1n x.&I z2)z2x2y2 q、十 du du9.已知=-一，求证：x +j =
7、3u.x +y dx dy证明：du=2xy x+y)-x2y2 _ x2y2+2xydx(x+y)2(x +但 人 加 x 2y2+2 y x3由对称性知 =A.为(x +y)-工且 du du 3x2y2(x+y)于是 x +v =3w.dx dy(x +y；、n-l7+v)、-2 dz 9 d1 0.设2=0 求证：X2-1-K dx d证明：=e-=2z.yi-fM=3/y),dx,I XX2,2 3z 2 3z故 x-K y-=dx dy1 1 .设 /(x y)=x+(y-l)a rcsi n y解：-2 =2 ex 2+v(2 x2+1),dzdxdy2 x e,dzdydx=2
8、xe2+y.14.设/(x,y,z)=x y+*+z V 求/式0,0,1),乙(0,-1,0),工具2,0,1).解：(x,y,z)=y 2+2 z x/x/,z)=2 z,，4，(0,0,l)=2,fy(x,y,z)=2xy+z2一(x,y,z)=2 z,Z2(0,-l,0)=0,fz(x,y,z)2yz+x2fzz(x,y,z)=2y,忆(x,y,z)=0,二(2,0,1)=0.15.设 z=x In(xy),求一-及-dx2dy dxdy2解：=%+In(盯)=1 +In(中)，d x x yd2z y 1 d3z-,-.。,dx2 xy x dx2dydz _ x _ 1 d3z _
9、 1dxdy xy y，dxdy2 y216.求下列函数的全微分：z=e”；(3)u=xy;解:(1)V =e?+J,2-2x,=e?+?-2ydx dy(2)2=M+yy(4)u=xz.dz=2xev+v dr+2ye+y2dy=2ex+y(xdx+ydy).dz(1 1 2x xy&,I X+y J 2 4+y 2 (x2+r)办 f+y 2 (f+V 严Xdz(x2+/)3/-(ydx-xdy).,c、.3 Z V2-l 加 vz 1 z-(3).一 =yzx-一 =xv lnx-zyzdx dydu.y2=In x-x-In y ydz二 d =y2xy dx+/In x zyzdy+
10、In x In y 必dz.(4)du丁 =y4 2-idx zdy zdudzy nx-xz-3y J 一 2du=x2 dx +ln x-x2 dy +ln x-x2 zzydz.17.求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分:(l)z =x2-xy+2y2,x=2,y=-1,Ar =0.2,Ay =-0.1;(2)z=e=1/=1,Ax =0.15,Ay =0.1.解：Az =(x +Ax)?-(x +Ax)(y 4-Ay)+2(y+Ay)2-z =9.6 8-8=1.6 8dz-(2x-y)Ax+(-x +4 y)Ay =1.6(2)Az =e-型)一炉二 e(e-2 6
11、 5-l)=0.3 0 e.dz =yexyAx+x ev rAy =户(y Ax +xAy)=0.2 5 e18.利用全微分代替全增量，近似计算：(1)(1.0 2)3 (0.97)2;(4.0 5)2 +(2.93)2 ；(3)(197 产.解：设y C x,y)=f /,则fxx,y)=3 x2/,fy(x,y)=2x3y,故 df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx 2x2dy)取 x=l,=l,dx=:0.0 2,dy=-0.0 3,则(1.0 2)3 (0.97)2=/(1.0 2,0.97)为(1,1)+/1,1)仁 瑞 3=13 X 12+1 x 1 3
12、X 1 X 1 X 0.0 2+2 X 12X (-0.0 3)=1.(2)设火卬)=+产，则工(x,y)2x2y/x2+y2X77Z，(x,y)=-r=故 4 (x j)=/,(x dx +y dy)J x +y取 x =4,y =3,dr =0.0 5,dy =-0.0 7，则7(4.0 5)2+(2.93)2=/(4.0 5,2.93),/-(4,3)+d/(4,3)|j：X=2+3 2 +-.1-4 X 0.0 5 +3 x (-0.0 7)V42+32=5 +1x(-0.0 1)=4.998(3)设/(x,y)=必，贝lar dy,取 x=2,y=l,dx=-0.0 3,dy=0.0
13、 5,则(1.97)10 5=7(1.97,1.0 5)/(2,1)+4/(2,1)惇二溜=2 +0.0 3 93 =2.0 3 93.19.矩型一边长i/=10 c m,另一边长6=2 4 c m,当a边增加4 m m,而b边缩小1 m m时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为/,则I=ylx2+y2,dZ =/J,(xdx+ydy).5 +yx=l 0,=2 4,dx=0.4,dy=-0.1 时，dl=1 .(lOx 0.4-2 4 x 0.1)=0.0 6 2 (c m)V102+2 42故矩形的对角线长约增加0.0 6 2 c m.2 0.解：因为圆锥体的体积为V =工乃户-h.3
14、/Q=3 0,尸=0.1,%=6 0,h=0.5而 T/乂 r/av dv 2 1 2 J而 V av=-r d-h=7ryh +一乃尸 h.dr dh 3 3%=3 0,r =O.l,/o=6 0,0 =0.5 时，K -x 3.14 x 3 0 x 6 0 x 0.1 +-X3 02X(-0.5)3 3=-3 0(c w2)2 1.解:设水池的长宽深分别为x z则有:P=xyz精确值为：V=5 x 0.2 x 4+2 x 2.8 x 5 x 0.2+2 x 3.6 x 2.8x 0.2=13.6 3 2(加 3)近似值为:V x dV =zx y-xy zx=0.4,y 0.4,z=0.2
15、=4 x 3 x 0.4 +5 x 3 x 0.4 4-5 x 4 x 0.2=14.8(22 2.求下列复合函数的偏导数或全导数：小 2 2 S z dz I)z=x y-xy,x =c os%y =s i n v,求一,一；du dv/仆x/&dz(2)z=ar c tan ,x=u+v,y=uv,求 ,一；y du dv(3)u=ln(eA+e，),y=x;求；dr(4)=+“+/,工=ec os f ,y=es i n f ,z=e,求 上.dt解：dz=-d-z-d-x+-d-z-d-y =(z2_ x y-y?)、c os v +(/x 2 -2cx y)、s in vdu dx
16、du dy du=3 2 s i n v c os v(c os v-s i n v)生=.史+生.空=(2xy-y 2).s i n y +(%2 _ 2xy)-u c os vdv 8x dv dy dv=-2/s i n v c os v(s i n v+c os v)+u3(s i n3 v +c os3 v).(2)包=包.包+包.=1 ,，+1 ,du dx du dy du Y y(x Y1+w I+Ux)_ y-x-vy2)x2+y2 u2+v2dz dz dx dz dy 1 1 1 (xy/1Xdv dx dv dy dv f x Y y(x Y ly J1+1+y+x _
17、 ux2+y w2+v2(3)dw du dx du dy 1 1 -2=-+-=-e+-e-3xdx dx dx dy dx e +eJ e +eyex+3x2ev _ ev+3x2eev+ey ex+ev；,d du dx du dy du dz(4)=-|-1-d/dx dt dy d/dz d/=2 x(ez c os Z -e s i n /)+2y(er s i n /+e c os f)+2 z e=4 e2/.2 3.设/具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：(l)w=/(x2-/,e：r);(2)u=z)=肛，砂z).解：纵=+-y=2xf；+y e.O X学2 y)
18、+月.铲.x=-2yf；+xe%.du 1 1 ，一 =一/ox y ydu (x=./l -r +/2 1砂 I (3察+力O X浮=，.0 +4.x +力 =f3-xy=xyf3.2 4.设 2 =中 +工 尸(),=-证明:程=y+x F()(一dz l,/、1=x +x F ()一 =dy x1 X r,1_ =-fx+-h-z y z.y z +那+闻 ，*xz=xf；+xzf；,二斤(“)为可导函数，证明：Xdz dzx +y =z+xy.dx dy4)+F(w)=F(w)+-F()x+F(u).故dz dzx 4-y=xdx dyF(u)+y-yx+F(u)=xF(u)-xy-y
19、F()+盯+yFu)=xy+xF(u)-rxy=z+xy.25.设2=其中火)为可导函数，验证:1 dz 1 dz z-1-=.x dx y dy y2部 明 d z W,2x 2xyf证明：.苍=二=一 dz=f-y-f-2 y)f +2y2f力 f f2.1 dz I dz 2yf,f +2y2f 1 y 1 z,xdx y dy f y f yf f y2 y226 z=/(x 2+/),其中/具有二阶导数，求 至，要，二ox oxoy dy解：券=2步，=2城,ox dy尸=2/+2工 2犷 =2广+4”,dx2-=2xfn-2y=4xyf,oxoy由对称性知,=2/,+4/ff.27
20、.设/具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数：z=/(x,j);(2)z=/(xy2,x2y)；(3)z=/(sin x,cosy,ex+y).解：袅 工，.1 +t,=小,ox y y0 Z r ft 1 11 r n /IA =+f2 +-以+九 一fix y 八 y)d2z (x)1 ,1 ,=/2 V7 j /+/2 Vdz rt(x)x3y I J yd2z 2x t x(x 2x f.2 二一r J1 2，2 2 2=-r42y y y)y I1=工,K 2 9=y2f+2xyf：,dx.=(fn-y2+fn 2孙)+2 M +2xy(=2 力2,+；+4孙 九+4。2 /2”，
21、募=2 4+/(4.2孙+九3)+2也=2yf；+2xf；+2xyf；+2d 加 +5 =f2 xy+f-x2=2xyf+x2f,SyTT=2xf：+2xy(fi,2xy+九.F)+/=.4 +_L 丁2 2，22，y y%)14t1 1 r1_1 =_7 J2+-./22 7人，y)y y)yX n+hl-yf2-y2+fi2-2 xy)+xy(f2-2xy+f22-x2)J,J2-2xy+f22-x2)=lxf+4。2 工 i +4/班 +X%”.(3)=，,c o s X +$ex+y=c o s M+e+,O X-s i nxf+c o s x(/；.c o s x +九”-ex+y)
22、+e=e -s i n xfy+c o s2 切；+2ex+y c o s x f/+e2露叩九.(-s i n)+九-e叼+十 =e J 1 -c o s x s i n yfi；+e，c o s x R -ex+y s i n j自 (-Si)+/S=-s i n m +W，Sy步c o s yf；-s i n y%(s i n 历+e +e”=3 z2-：dz _R =-3yzyzdxF二3z2-3xy-)，2-x ydz _ Fy=-3xzxz办F3z2-3xyz 2-x ydx a dz3 0.设 F(x,y,z)=0 可以确定函数 x =x(y,z),y =(工,2)/=2(%),
23、证明：.dy dz dx证明：.&.dx dy dz(g,.,二 办 dz dx y F Jdz F_ _ _ X,瓦一瓦dx F；、(13 1.设/y +,z +V x y)3 z Qz0确定了函数z =z(x,y),其中P可微，求一，一.dx dy解：F T：.+g 0=-Fx7乙=4.0+、1 =用K，=或 +可.4 y j力=F一一一 F：&F:F；X2F8z_ Fy_ F yF F；-yF；办 F；y2F3 2.求山下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:2 2“、z =x +y ,+d y dz(1)求：-，-；x2+2/+3z2=20,d x d rxw 4-yv=(2)yu-x
24、v =1,0,du dv du dv求：-9 9 9 9dx dx dy dy(3)u-f(w x,v+；y),其 中 工g具有连续偏导数函数，求Q空u,加仪;v =g(w-x,v y),dx dx(4)x=e+sin v,du du dv dv求 一，一，一，一.y=eli-ucosv,dx dy dx dy解：（1）原方程组变为y2-z=-x22y2+3z2=20-x2方程两边对x求导，得4Vdr4)ch22 4=6 x 7 0,Z(2,-D =34(2,-1)=1兀(2，-1)=24=2,/(x j)=/(2,l)+(x 2)(2,1)+(夕 +1)4(2,1)+J (x 2)2 人(2,-1)+2(x 2)(y +1),启(2,-1)+(y +%(2,1)+(X-2)3A(2,-D=2+3(X-2)+(J/+1)+(X-2)2-(X-2)(+1)+(J；4-1)2+(X-2)3*3 5,将函数/*/)=j/在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解：=人|(I,D=V 1 卜 )=0,fy(A)=xyx 1(i,i)=(l)2y xyx n y+yx y=xyx 2(x-l)|(I J)=0,/(x j)=/=1+(y 1)+(x 1)3 1)+0(p2).