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1、第一章三角函数第一章三 角 函 数1.1 任意角和弧度制1.1.1任意角敖 学 教 法 分 析明 谋 标 分 条 解 读 现“教 法”教学助教 区I三 维目标1.知识与技能（1）理解任意角（正角、负角、零角）的概念、象限角与区间角的概念.（2）掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角.2.过程与方法借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题.3.情 感、态度与价值观（1）通过对角的概念的探究提高学生的推理能力.（2）通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值.重点、难点重点：任意角概念的理解：区间角
2、的集合的书写.难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写.教 学 方 案 设 计设教案流程细解导学*教案设计 区I教 学建议首先通过实际问题（拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广问题，引发学生的认知冲突，然后用具体例子，将初中学过的角和概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在自己已有经验（生活经验、数学学习经验）的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.教 学流程错误!。错 误!错误!。错误!。错误!今错误!。错误!今错误!彳 果 的 门 主/学理 教 材 自 查 自 测 固“基 础”n上学习区（见 学 生 用 书 第1页）
3、课标解读1.了解任意角的概念.2.理 解 终 边 相 同 角 的 含 义 及 其 表 示.（重点）一：1任意角【问题导 思】将 射 线。绕 着 点。旋 转 到 仍 位 置，有几种旋转方向？【提 示】有顺时针和逆时针两种旋转方向.1.定义角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.分类正 角、负角与零角正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零 角：一条射线没有作任何旋转形成的角.Mg.象限角【问题导 思】把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角 的 始 边 与x轴的非负半轴重合，旋转该角,则 其 终 边（除端点外）可能落在什么位置？【提
4、示】终边可能落在坐标轴上或四个象限内.在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角 的 始 边 与x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是第几象限角;轴 线 角：终 边 落在坐标轴上的角.终边相同的角【问题导思】30 ,39 0 ,7 5 0 ,30 36 0 （A Z）的角的终边有什么关系？【提示】相同.所 有 与 角a终边相同的角，连 同 角a在内，可构成一个集合S=1=。+A-36 0 ,A S Z）,即任一与角。终边相同的角，都可以表示成角。与整数个围鱼的和.彳果字互动探究破疑难师生互动提“对 航（见学生用书第1 页）角的基本概念，例卜列命题第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第象
5、限角；第二象限角是钝角；小于1 8 0的角是钝角、直角或锐角.其 中 不 正 确 的 序 号 为.【思路探究】解答本题可根据角的大小特征，位置特征进行判断.【自主解答】一330。角是第一象限角，但它是负角，所以不正确.1 20。角是第二象限角，39 0角是第一象限角，显然39 0。1 20,所以不正确.4 8 0。角是第二象限角，但它不是钝角，所以不正确.0角是小于1 8 0角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确.【答案】I规律方法I1 .解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别.2.判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要
6、严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可.变 式 训 练下列说法正确的是()A.锐角是第一象限角B.钝角比第三象限角小C.三角形的内角必为第一、二象限角D.小于9 0 的角都是锐角【解析】一100是第三象限角，但一100 90,故B错；9 0 角是直角三角形的内角，但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C错；一3 0 小于90,不是锐角，故D错.【答案】A 士 终边相同的角F I7 U I 已知角 a=2 010(1)把a改写成4 360+a e Z,0 360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求。，使。与。终边相同，且一360 W 720.【思路探究】先 求 出,判 断 角。所
7、在的象限，用终边相同的角表示0满足的不等关系，求 出 在 和0.【自主解答】(1)由2 0 10 除以360,得商为5,余数为210.二取-5,=210,a=5X360+210.又=210。是第三象限角，二a为第三象限角.与2 010终边相同的角:k 360+2 010(ASZ).令一360 W h 360+2 010 720(M Z),7 7解得一6 A 3(A-6 Z).所 以 仁 一6,5,4.将左的值代入A 360+2 0 1 0 中，得角 0 的值为一150,210,570.I规律方法I1.把任意角化为a+4 360(AGZ且0 W。360)的形式，关键是确定在.可以用观察法(。的绝
8、对值较小)也可用除法.2.要求适合某种条件且与己知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出A的值.旦1播夯若将例题中“角。=2 01 0 ”，改 为“。=-31 5 ”，其他条件不变，结果如何？【解】(1)用一31 5。除以36 0。商 为-1,余数为4 5 ,：.k=l,=4 5 ,因此=-36 0+4 5 ,二。是第一象限角.(2)与一31 5 终边相同的角:k 36 0 -31 5 (A e Z),令一36 0 Wh 36 0 -31 5 7 20(A G Z),1 23解得一6 在 3 6 0 +3 0 1 8 0 +1 50 a k 1 8
9、 0 +2 2 5,Ae Z C.|A-3 6 0 +1 50 a 3 6 0 +3 0 a k 1 8 0 +4 5,AG Z【思路探究】找出0 3 6 0 内阴+公 360影部分的角的集合 一 适合题意的角的集合A-eZ【自主解答】在 0 3 6 0 内落在阴影部分角的范围为大于150而小于225,所以在终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为。味 360+150 c zA-3600+225,2GZ.【答案】CI规律方法I1.先在一360 3 6 0 范围内确定区域角起止边界处角，再把端点处加上3 6 0 的整数倍即得.2.区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合
10、适的角度为 3 6 0 区间，写出落在阴影部分的角的集合，然后再在端点处加上周角的整数倍表示终边落在阴影区域内的角的集合.注意结果尽量表示为一个连续区间.变 五 训 练写出下图1一1一2 中阴影部分（不含边界）表示的角的集合.45图 1-1 一2【解】在一 180 1 8 0 内落在阴影部分角集合为大于一4 5 小 于 45,所以终边落在阴影部分（不含边界）的角集合为。|-4 5 3600 45+Z-3600,AGZ.易 讨 易 决 辨 析避陷阱释疑辨误脑“自 清技能提升 区I(见学生用书第2页)忽视象限角范围致误，典例若a是第二象限角，试确定2。、是第几象限角【错解】由题意得90 a 1 8
11、 0,所以有 1 8 0 2 a 3 6 0,a4 5 y 90.故有2。为第三象限角、第四象限角或终边在了轴非正半轴上角，为第一象限角.【错因分析】致错原因是把o是第二象限角范围误认为是大于90而小于1 8 0 ,而应是 a|90+k-3 6 0 a 3 6 0 3 6 0 (Ae Z),.*.1 8 0 +2k 3 6 0 2 a 3 6 0+2 4 3 6 0 (AG Z).故 2。是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角.a 由得 4 5 +A-1 8 0 y 90+J e 1 8 0 (AG Z),当 A 为偶数时,令A=2(e z),得4 5 +n 3 6 0 y 90+n
12、 3 6 0 (CZ),故券是第一象限角.当 A为奇数时，令 4=2+l(e z)得a4 5 +1 8 0+/?3 6 0 y 90+1 8 0+n-3 6 0 (e z),即 2 2 5 +n-3 6 0 y 360（0 W a360,AGZ）的形式是.【解析】-885=-1080+195=（-3）X360+195.【答案】195+(-3)X 3 6 0 4.如 果。为小于360。的正角，夕的4 倍角的终边与。的终边重合，求。的值.【解】依题意4 0=人 360+，且 0，360,0=k 120.取衣=1 或 4=2,；.=120 或 6=240.彳 果 后 知 能 检 测 课 下 测自 我
13、 许 诂 提 考 照”、选择题1.已 知 仁 第一象限角 ,8=锐角，占 小于9 0 的角，那么/、8、C关系是（）A.BAC C B.5U C CC.A C D.A=B=C【解析】锐角大于0 小于90,故 C8选项B正确.【答案】B2.把一1 485 转 化 为。+4 360（0 W a360,%eZ）的形式是（）A.450-4X 360 B.-45-4X 360C.-45-5X 360 D.3150-5X 360【解析】B、C选 项 中 a 不 在 0。-3 6 0 范围内，A选项的结果不是一 1 485,只有 D正确.【答案】D3.若。是第二象限角，则 180 。是（）A.第 一 象 限
14、 角 B.第二象限角C.第 三 象 限 角 D.第四象限角【解析】可借助于取特殊值法，取。=120,则 180-120=60.【答案】A4.若。与 的终边互为反向延长线，则有（）A.。=+180B.。=-180C.a=-8D.。=+（2*+1）180,k&Z【解析】。与 的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180的奇数倍，可得。=+（24+1）-180,A6Z.【答案】D5.以下命题正确的是（）A.第二象限角比第一象限角大B.A=a a=k-180,AGZ,6=|=490,k&Z,则/BC.若 公360 oA-360+180(A e Z),贝i。为第一或第二象限角D.终边在x轴上的角可表示为
15、A 360(AEZ)【解析】A不正确，如一210 180,z?eZ.：.A B,；.B 正确.又C中，。为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，：.C不正确，显然D不正确.【答案】B二、填空题6.(2013 哈尔滨 高-检测)与一2 002终 边 相 同 的 最 小 正 角 是.【解析】与一2 002。终边相同的角的集合为|=一2002+k-360,AdZ,与一2 0 02 终边相同的最小正角是当左=6时，=一2 002+6X360=158.【答案】1587.若将时钟拨慢5分钟，则分针转了 度，时针转了 度.【解析】拨慢时针为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为噜1=6 ,5分钟6030。
16、转过30,时针每分钟转过的度数为m=0.5,5分钟转过2.5.60【答案】30 2.58.(2013 哈尔滨高一检测)在四个角一20,-400,-2 000,6 0 0 中，第四象限的 角 的 个 数 是.【解析】一2 0 是第四象限的角；一400=360-4 0 ,也是第四象限的角；一2000=(-6)X 3 6 0 +160,是第二象限的角；600=360+240,是第三象限的角.所以第四象限的角的个数是2个.【答案】2个三、解答题9.若 角a的终边和函数 尸 一x的图象重合，试写 出 角a的集合.【解】在0 3 60 范围内所对应的两个角分别为135和315,.,终边为尸一X的角的集合是
17、 a I360+135,AGZ U a|a=4 360+315,A-GZ)=a I。=2%180+135,AEZ U a|a=(2A+1)180+135,kWZ=a|a=4 180+135,AeZ.10.在与530。终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)-720 到一360 的角.【解】与 530终边相同的角为4,360+530,k&l.(1)由一360 360+530 0,且 AGZ可得衣=一2,故所求的最大负角为一190.(2)由 0 360+530 360 a 360+90,AGZ.2 4 360 2 a 2k-360+180,AeZ,则 2。是第
18、一或第二象限角，或是终边在F 轴的正半轴上的角.180 y A 180+45,AeZ.当在为偶数时，春为第一象限角,当在为奇数时，孩为第三象限角,a.万为第一或第三象限角.4120 -k-120 +30,A eZ.a a当 A=3 (力 eZ)时，n 3600 /?360 +30,GZ,.77是第一象限角；O 0a a当 4=3+l(eZ)时，力 360 +120 /?360 +150,n Z,二彳是第二象限角；a a当 A=3/?+2(dZ)时，n 360 +240 n 360 +270,GZ,二三是第三oo象限角；为第一或第二或第三象限角.OI规律方法Ia1.解决此类问题，要先确定a 的范
19、围，进一步确定出。或一的范围，再根据左与n的关系进行讨论.2.一般地，要确定5 所在的象限，可以作出等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把圆周等分成4 个区域，从 x 轴的正半轴起，按逆时针方向把4个区域依次标上号码1、2、3、4,则标号是的区域就是。为第几象限时，且的终边也可能落在区域.n若a是第三象限角，则 180 -a是第几象限角？【解】:a是第三象限角，A 180 +A-3600 a 270+4 360 ,k&Z,-270-k -360 -a-180 一4 360 ,A dZ,-9 0-k -360 180 一。一八 360 (A GZ)./.180 -a是第四象限角.1.1.
20、2弧度制敖 学 教 法 分 析明谋标分条解读观“教 法”教学助教 区 I三 维目标1 .知识与技能(1)理角弧度的意义.(2)了解角的集合与实数集R之间可建立起一 对应的关系.(3)熟记特殊角的弧度数.2 .过程与方法能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题.3 .情 感、态度与价值观(1)通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神.(2)通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.重点、难点重点：弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.难点：“
21、角度制”与“弧度制”的区别与联系.敖 冬 方 案 设 计设教案流楹细解导峥*教案设计 区 I 教学建议首先通过类比引出弧度制，给 出 1 弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出弧度与角度的换算方法.在此基础上，通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究和解决问题的过程中，更好地形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础.教学流程错误！错误！今错误！=错误！。错误！今错误！分错误！一错误！1?希 自 主 学 学理教材自查自测画”基 础习n区匕学（见学生用书第3页）课标解读1 .
22、理 解“1 弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数.（重点）2 .了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.（难点）3 .掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式.（难点）.角度制与弧度制【问题导思】1 .在初中学过的角度制中，把圆周角等分成3 6 0 份，其中的一份是多少度？【提示】1 度.2 .在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？【提示】确定.1.角度制与弧度制的定义2.角的弧度数的计算角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规 定 1 度的角等于周角的看弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1 弧度的角，用符号r a d 表示，弧度制读作弧度以
23、弧度作为单位来度量角的单位制及如果半径为r的圆的圆心角。所对弧的长为1,那么，角。的弧度数的绝对值是|.角度制与弧度制的换算【问题导思】角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？【提示】利 用 1 弧度角的定义进行换算.1.角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3 6 0 =2ji _ r a d2 n r a d=3 6 0 180=2 radn rad180JI1 1OA ra d O.017 45 rad1 oil on1 rad=()57.30JI2.一些特殊角与弧度数的对应关系.萱0130456090120135150180270360c瓜0nnnnn2 n3 n5 n
24、JI3-2 n受18064323462.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为此弧长为/,。为其圆心角，则a为度数a为弧度数扇形的弧长a b R180。1=aR扇形的面积。兀S-360。S=；/7?=T CI 我彳果青互动探究政 疑 难 师 生 互 动 投“知 能”合作探究 区(见学生用书第4页)角度制与弧度制的互化，例 口将下列各角度与弧度互化.9(1)6 7.5 ；(2)1 1 2 3 0 ；(3)-J t ；(4)3.【思路探究】依据换算关系n r a d=1 8 0 .逐个角进行转化.【自主解答】(1)6 7.5 =*2 1 义6 7.5=等 1 2 出l o U oJI5 n(2)1 1
25、 2 3 0 =1 1 2.5 =r a d X 1 1 2.5=r a d.l o t)o9 9(3)-n r a d=7 X 1 8 0 =4 0 5 .4 4i o n(4)3 r a d=3 X (-)0=5 7.3 0 X 3=1 7 1.9 0 .JII规律方法I1 .在进行角度制和弧度制的换算时，应先将角度制下的含分、秒形式的角化为小数形式并以度为单位后再用公式“n r a d=1 8 0。”换算.2 .特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记.变 五 训 练将下列各角度与弧度互化：57一心；(3)-1 5 7。3 0,.5 5【解】诵7 1 r a d=y X 1 8 0 =
26、7 5。；7 7(2)-7 r a d =-T X 1 8 0 0 =一 2 1 0 ；66,、n(3)-1 5 7 3 0z=-1 5 7.5 =1 5 7.5X-；r a d=loll7-n r a d.o用弧度表示终边相同的角，例已 知 角a=2 0 1 0 .(1)将a改 写 成B+2 k (A W Z,0 W 2 加)的形式，并 指 出a是第几象限的角;(2)在区间-5”,0)上找出与。终边相同的角.【思路探究】(1)可 将。改 写 成 +2 4“Q e Z,0 W V 2 n)的形式，根 据 与。终边相同判断.(2)关键在于由-5口 W+2An V0求出衣的取值.【自主解答】(1)
27、2 0 1 0 =2 0 1 0 X高=*=5X 2 n +导,_ 7 n 3 n又3 1于所 以。与不终边相同,是第三象限的角.(2)与a终边相同的角可以写为r=W+24n(A G Z),6又一5 兀W Y 0,2 9 当 A=-3 时，r=一 n ；61 7当女=-2 时，r=-n；65当 k=-1 时，r=-五.6I规律方法I用弧度来表示终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连 同 角a在内，构成的集合用弧度可表示为 B=2 k s+。，A G Z),这 里a应为弧度数.在本例中，找出在区间 0,5 兀)上与。终边相同的角.7 n【解】与a终边相同的角可以写为B6上 2 仙(4 G Z)
28、,由 0 W V 5 兀得I n .7,235 n,A ,b IN 1Z又左 Z,*.k=Qy 1.当 A=0忖，=等，6当 A=1 时，=1*9.no扇形的弧长、面积公式的应用 例E1 (2013 宁德高-检测)已知扇形的周长为20 c m,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【思路点拨】先用半径r 表示弧长，再建立扇形面积S 与半径r 之间的函数关系，进而求出最大值.【自主解答】设扇形的半径为r,弧长为/,面积为S贝 ij J=2 0-2 r,.S=；=，(202力 r=-?+1 0 r=-(z-5)2+25(0 r2 n r a d（舍去）或 0=-r
29、a d.7 2=1.N易 钻 易 戾 辨 析邂陷阱择假辩诬脑“自 清.技隹提开 区 I(见学生用书第5页)因角度制与弧度制混用而出错卜典例将一1 4 8 5 化成20+a (O W a 2 n ,A Z)的形式为【错解】因为一 1 4 8 5 =-4 X3 6 0 -4 5=-4 X3 6 0 +(-3 6 0 +3 1 5 )=-5 X3 6 0 +3 1 5 ,所以一 1 4 8 5 化为2 4 花+。形式应为-1 0 n +3 1 5【答案】-1 0 +3 1 5【错因分析】只考虑了将一1 4 8 5 写成了”的组合形式，而忽视了对a的要求，忽视了角度和弧度在同一表达式中必须统一形式，这
30、是初学者极易犯的一个错误.【防范措施】在同一式子中，两种单位不能混用，如 4 5 +2 左 n (AW Z)与 4 3 6 0+T 都是不允许的.表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制.o【正解】由一 1 4 8 5 =-5 X3 6 0 +3 1 5 ,7所以一1 4 8 5 可以表示为-1 0 贝+a门.7【答案】-10+7 n41.明确1 弧度的含义是掌握本节问题的关键.2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：意loU=瑞弧度，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可.3.弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆.4.
31、引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.当 字 双 基 达 标陋 里 练 生 生 互 动 达 双 标交流学习 区I（见学生用书第5 页）1.下列叙述中正确的是（）A.1弧度是1 度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1 度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位【解析】根据弧度制的定义知D项正确.【答案】D3 n2.弧度化为角度是（）5A.110B.160C.108 D.218q 五 O【解析】三-=加 180=108.5 5【答案
32、】C3.（2013 三明高一检测）把 22 3 0 化 为 弧 度 的 结 果 是.【解析】22 30=22.5=智 迎=.loU o【答案】VO4.（2013 潍坊高一检测）已知一扇形的圆心角是72,半径等于20 c m,求扇形的面积.【解】设扇形弧长为/,二 巧？。=7 2 X*;=4（rad）,180 5*,*1=|a|r X 20=8 n（c m）.5S=；Zr=；8 冗 X 20=80 n(c m2).18后 知 能 检 测课下测自我评估投“考 航评n 区hM一、选择题1.（2013 重庆高一检测）已 知。=苧灭，贝|J a 的终边在（）A.第一象限 B.第二象限C.第 三 象 限
33、1）.第四象限【解析】7 =1 Jt G（y,n）。的终边在第二象限.【答案】B2 .时钟的分针在1 点到3点 2 0 分这段时间里转过的弧度数为（）1 4A.-nO【解析】1 4B.O7DF7C 诵 n显然分针在1 点到3点 2 0 分这段时间里，顺时针转过了两周又周的，用O1 1 4弧度制表示就是一4 J i -X 2 n =式.O o【答案】B3 .若 角。的终边在如图1 一1 一4 所示的阴影部分，则 角。的取值范围是（）1,2 n 7 n lB.9亍 。【解析】易知阴影部分的两条边界分别是等 和 耳 的 终 边,所 以 的取值范围是f,2 n 7 n 1 2 A n+2An+MZ .
34、【答案】D4.下列角的终边相同的是（）A.4 n与 2 A m 2，Z-eZ4 4B.2 五 .n2 4 几一工,k G Z与3 1 +JO J i-nC.与 4 兀+7,keZD.(2 A+1)人与 3 4 n ,【解析】选项B中，2A n卓，A G Z,与 n+T 的终边都与等的角的终边相同.OO O【答案】B5.（2013 玉溪高一检测）已知弧度数为2 的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是（）A.2 B.sin 22C.2sin 1 D.rsin 1【解析】设圆的半径为R,则 sin 1=4 故所求弧长为1=a,R=K sin 1122,;=sin 1 sin 1【答案】D
35、二、填空题6.yp ad=度，rad=-3 0 0 .【解析】古=*=15。n 5 五-300=-3 0 0 X =-loll o【答案】15 一 47.已知扇形的周长为10 c m,面积为4 c m 则扇形的圆心角a的弧度数为.f7+2r=10 n7=8 7=2【解析】由题意得 或，-7-r=4 r=l lr=4.a=8 或;.又,:0 o 2 兀，:.a=-【答案】I8.若 角e的终边与亭的终边相同，则在 0,2 内终边与9 角的终边相同的角是5 48 n0 2 n k 其 夕 2 n【解析】八 丁+2 ,代 Z 所以彳=丁+当 C。，1,2.3 时，了=下9 n 7 Ji记，919冗0，
36、且彳 0,2 Ji .【答案】2 兀 9 n 7 n 19-ib-,To三、解答题9.把下列角化为2 K +a(0 W a 2 K,%GZ)的形式:(1)等：(2)-315.O16 n 4 n 4 人【解】(1)工 一=4 门.0W-r 2”.OO 516 n 4 n F=4 +,、Ji 7 n n2)V-315=-3 1 5 X =-=-2 n +,180 4 4JI nV 0 2 n ,A-315=-2 n +4 410.0 B图 1 1 5如 图 1 15 已知扇形力出的圆心角为120。，半径长为6,求(1)下 的 长；扇形所含弓形的面积.【解】(1)1200=潦120五=彳2九,loU
37、 o2/.7=6X-n=4 n,o.下的长为4 n.丁 S扇 形1=,X 4 n X6=12 冗,如题干图所示有X A BX OD(D 为 A B 中点)=X2X6c os 30 X3=9/3.S 朗形 OAB-S,OAB=12n 93.即弓形的面积是12兀 一 珠.11.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km,一列火车用每小时30 km的速度通过，求火车10 S 转过的弧度数.25【解】,圆弧半径为R=2 km=2 000 m,速 度 r=30 k m/h=-m/s,o/.10 s 走过的弧长为一丁 m,.火 车 10 s 转过的弧度数250,1 10 1 一 丁2 000-2 4,
38、【知识拓展】(1)时钟问题在解决时钟中的进针与分针有关的角度问题时，要注意它们在单位时间内各转了多少圈.例如：2 小时40分钟后，则 分 针 所 转 的 弧 度 数 为.【解析】首先注意到分针转的方向为顺时针，即为负角.8又 2 小时40分 钟 小 时，0,则T=5 4 4 是第二象限角，则tany 3 3Q =一=-x-4女 4若 a V O,则 r=-5 a。是第四象限角，则3 4 3sin =一=，c os o tan ct=7.5 5 4(2)因 为 角。的 终 边 在 直 线 尸 上，所以可设P(a,#a)(a W 0)为 角。终边上任意一点.则 r=ya+_ yiai：=2 a|(
39、a#0).若a 0,则。为第一象限角，r=2 a,所以s i n=2 a =2a 1C 0 St a&五a v若 a 2t a n 4 0 5 -2 a A o s(l 0 8 0 )；(2)s i n (一 丁)+c o s-i t ,t a n 4 n .6 5【思路探究】利用诱导公式，把每个角化为 0,2 n)间的角，再利用特殊角的三角函数求值.【自主解答】(1)原式=a?s i n(4 X 3 6 0 +9 0 )+t a n(3 6 0 +4 5 )-2 a A o s(-3 X 3 6 0 )=a s i n 9 0 +Z;2t a n 4 5 2 a A c o s 0 0=a
40、+lf2ab=(a-6)：/(2)、s i n(z H n x)+.co s-z1 2-n t a n 4 n6 5n 1 2=s i n(-2 无+至)+c o s/n ,t a n 0JI 1=s i n/+0=5.I规律方法I1 .利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为 0,2 ”）内的三角函数,实现“负化正,大化小”，体现了数学中的化归（转化）思想.2 .一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值.变 式 训 练求下列各式的值:/2 5 ,/1 5 (l)c o s-n +t a n(n )；J 4(2)s i n 8 1 0 +t a n 1 1 2 5 0 +c o s 4
41、2 0 .9 5 1 5【解】(l)c o s+t a n(n )o q=c o s(8 n+t a n(4 J i“J T 1 3=c o s +t a n =-+1 =-O 土 乙 乙(2)原式=s i n(2 X 3 6 0。+9 0 )+t a n(3 X 3 6 0 +4 5 )+c o s (3 6 0 +6 0 )=s i n 9 0 0 +t a n 4 5 +c o s 600,1 5=1+1+-=-阈 礴三角函数线及其应用，例E在单位圆中画出适合卜列条件的角。的终边范围，并 由 此 写 出 角o的集合.(1)s i n a(2)c o s aW一【思路探究】根据三角函数线.
42、在单位圆中首先作出满足s i n。=半,1-2c o s 4-的角的终边，然后由已知条件确定角。的终边范围.【自主解答】（1）作 直 线y=手，交单位圆于4 8两点，连 接 的，0 B,则 力 与 必围成的区域（图（1）中阴影部分）即 为 角a的终边的范围.故满足条件的角。的集合为 a。+/,A S Z）.0 0(1)(2)(2)作直线x=一，交单位圆于G 两点，连 接 冗 与 如，则勿与勿围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角。的终边的范围.故满足条件的角。的集合为 4|2 4 冗O W 2 4 n+,A e z .o JI规律方法I1 .三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要
43、注意利用其来解决问题.2 .三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.变五训练求函数y=1 2 c o s x 1 的定义域.【解】由题意得：2c os x1 2 0,则有c os如图在x 轴上取点M使 阴=看 过 M作 x 轴的垂线交单位圆于点4,P?,连 接。凡则 OR与根围成的区域（如图中阴影部分）即为角x 的终边的范围.满足c os 的角的集合即y=d2c os x1的定义域为:.J l J T 、x|2An-女 工 +,AZ.o J易 林 易 识m析嵯陷阱择找辨误脑“自 才（见学
44、生用书第8 页）忽视三角函数的定义域致误卜典例求满足y=ysin tan x 的取值范围.【错解】由题意知，只需要sin x-tan x20,sin x）0,sin jfO,即，八 或 、Itan 栏 0,tan 号0,对可知x 为第一象限角或终边在x 轴或y 轴上的角.对可知x 为第四象限角或终边在x 轴或y 轴上的角.因此x 的取值范围为x|24n:W*V24n 或 24n+或 x=#，AeZ.【错因分析】求 一 4 s i n tan x的 x 取值范围时没有考虑tan x 的条件，致使思考问题不周全而出错.【防范措施】熟练掌握三种三角函数的定义域如下表所示:三角函数定义域s i n a
45、 a 1 a C R cos o a I a C R t an Q1 7|7 GR,a+,*z s i n x t an x，0,【正解】所求x应满足J n+kRZ s i n x 2 0,即 t a，1x于 +-keZ s i n 0,t an x O,或1JIxkn+keZ根据x所在象限情况可判断x的取值范围是x2k x2kn 或 2 4五 V x V 2 4 n +5或才=4兀，A Z.1 .三角函数的定义是以后学习i切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点.2 .诱导公式一指的是终边相同的角的同名三角函数
46、值相等，反之不一定成立，可结合三角函数的定义进行记忆.3 .三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想.4 .三角函数线的引入，为我们解决三角函数问题提供了几何方法，体现了数形结合的思想.其主要作用是解三角不等式、比较三角函数值的大小和求函数定义域.当 青 双 基 达 标陋堂练生生互动达双标”（见学生用书第8页）等于（A,2【解析】)=c o s(2 J r3 1.【答案】C2 .（2 0 1 3 包头高一检测）已知c o s 6-t a n
47、&0,那 么 角，是（）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角【解析】由 c o s t a n。cos 1.【答案】sin124已 知 角 a 的终边过点?（5,a）,且 tan=-于 求 sin+cosa的值.19【解】,角的终边过点 5,a）且 t a n。=一 三a 12：.a=-l2.5_ _ 12因此 r=|=452+3=13,sin a,1 o5cos a=,1 o.12,5 7故 sin a+cos a=77+77 77-10 J.J 1 o18后 知 能 检 测谛 下 测 自 我 评 诂 提 考 琳n I-Mif K I-、选择题)1
48、.已 知 角a终边经过2），则 cos o手B.1-2土D.1-2理3A.C【解析】由三角函数定义可知，角。的终边与单位圆交点的横坐标为角。的余弦值,故 c o sa=2 【答案】B2.已知J Ta=+2kn(Z r e Z),贝 I c o s 2 a 的值为()A.平1B-21C，-27【解析】c o s 2 /3.【答 案】B二、填空题6.(2013 沈 阳高一检测)c os 1 110的值为.【解 析】c os 1 110=c os(3X 360+30)=c os 30【答 案】乎7.当。为第二象限时，M也:_ cos?的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _.sin a c os a
49、【解 析】因 为a为第二象限角，所 以&n。=.co s a=-Lsin a c os a【答 案】28.角。的终边上有一点步(a,a),aWR且aW O,则sin a的值为【解 析】当 a0 时，a yfia,sin_ y _a m-=诟=2 当 a0,又：230是第三象限角，Ac os 230 0,A sin 105-c os 230 0.(2)240。是第三象限角,A sin 240 0；又 300。是第四象限角,A sin 3000 0.(3)V sin 兀=0.16Ac os,sin n=0.(4),4 是第三象限角，Ac os 4 0,Ac os 4 c os 50.10.化简求值
50、：(l)s in(-l 320)c os(l 110)+c o s(-l 020)sin 750；小/23、17n(2)c os()+tan-o q【解】(1)原式=s in(-4X360+120)c os(3X360+30)+c o s(-3X 360+60)sin(2X3600+30)=sin 120 c os 30+c os 60 sin 30.1 1=TX 2+2X2=1-原 式=c os+(4)X2 n +tan(+2X 2 n)=c o s y+ta n y=1+l=1.11.若 角。的终边与直线尸3x重合，且 sin o V O,又P(m,)是 角。终边上一点,LI 0P=A/1