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1、Fluid Mechanics流体力学流体力学 周立强*联系方式联系方式Tel:13974823920E-mail:网站介绍及搜索方法网站介绍及搜索方法网站介绍网站介绍搜索方法搜索方法ANSWERS英文关键词，对不明白的术语，可点击相关链接与论文；GOOGLE采用高级搜索，格式为PDF、PPT和DOC。矢量分析与场论高等教育出版社谢树艺（第二版）工程数学学习秘笈中南大学机电工程学院液压所中南大学机电工程学院液压所Fluid Mechanics目录目录流体力学的任务与研究对象流体力学的任务与研究对象流体力学的发展简史流体力学的发展简史第第1 1章章 流体力学的基本概念流体力学的基本概念第第2 2
2、章章 流体静力学流体静力学第第3 3章章 流体动力学流体动力学流体力学的任务与研究对象流体力学的任务与研究对象流体力学是研究流体运动规律及其应用的科学，是力学的一个重要分支。流体力学研究的对象液体和气体。固体有一定的体积和一定的形状；液体有一定的体积而无一定的形状；气体既无一定的体积也无一定的形状。固体、液体和气体的宏观表象差异：流体力学的发展简史流体力学的发展简史流体力学发展简史流体力学发展简史第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方向发展欧拉、伯努利
3、第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段公元前2286年公元前2278年大禹治水疏壅导滞（洪水归于河）（传说）公元前300年左右（秦帝国）郑国渠、都江堰、灵渠公元584年公元610年隋朝南北大运河、船闸应用；埃及、巴比伦、罗马、希腊、印度等地水利、造船、航海产业发展系统研究古希腊哲学家阿基米德论浮体（公元前250年）奠定了流体静力学的基础第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段1586年斯蒂芬水静力学原理1612年伽利略物体沉浮的基本原理1650年帕斯卡“帕斯卡原理”1686年牛顿牛顿内摩擦定律1738年
4、伯努利理想流体的运动方程即伯努利方程1775年欧拉理想流体的运动方程即欧拉运动微分方程第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方向发展欧拉（理论）、伯努利（实验）工程技术快速发展，提出很多经验公式1769年谢才谢才公式（计算流速、流量）1895年曼宁曼宁公式（计算谢才系数）1732年比托比托管（测流速）1797年文丘里文丘里管（测流量）理论1823年纳维，1845年斯托克斯分别提出粘性流体运动方程组（N-S方程）第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展理论分析与试验研究相结合量纲分析和相似性原理起重要作用 1877-1878年 Lord Raleigh在其声理论中阐述了“因次方法
5、”1883年雷诺雷诺实验（判断流态）1903年普朗特边界层概念（绕流运动）1911年，俄国人A.Federmann和Raibouchinsky分别发现了量纲分析的基本定理 1914年，美国人E.Buckingham引入了术语“-定理”1933-1934年尼古拉兹尼古拉兹实验（确定阻力系数）流体力学与相关的邻近学科相互渗透，形成很多新分支和交叉学科第1章 流体力学的基本概念1.1 流体力学的研究方法流体力学的研究方法理论研究方法 力学模型物理基本定律求解数学方程分析和揭示本质和规律实验方法相似理论实验建模实验（现代实验方法）数值方法计算机数值方法是现代分析手段中发展最快的方法之一。（研究生学习阶
6、段）理论分析方法、实验方法、数值方法相互配合，互为补充1.2 连续介质假设连续介质假设刚体：有形状、有体积液体：无形状、有体积气体：既无形状、也无体积1.2 连续介质假设连续介质假设contd.假设流体是由一个接一个、连续充满空间的具有确定质量的流体微团（或流体质点）组成的。微团之间无孔洞，在运动过程中相邻微团之间不能超越也不能落后，微团变形过程中相邻微团永远连接在一起。（连续性）其目的是在流体力学研究中，利用连续函数的概念和场论的方法。流体力学的模型连续介质流体微元具有流体宏观特性的最小体积的流体团理想流体不考虑粘性的流体不可压缩性=c1.3 作用在流体上的力作用在流体上的力 应力场应力场根
7、据作用方式的不同，可将力分为质量力和表面力。1.3.1质量力：如：重力、惯性力、电磁单位质量力单位质量力具有加速度量纲力作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比式中 ：流体微元体的质量；：作用在该微元体上的质量力；单位质量流体所受的质量力称为单位质量力，记作重力单位质量重力x图图1-1 作用在流体表面的作用在流体表面的质量力与表面力质量力与表面力zyP表面力惯性力单位质量惯性力1.3.2.表面力：应力切线方向：切向应力剪切力内法线方向：法向应力压强PAPnPt剪切力：流体相对运动时，因粘性而产生的内摩擦力表面力具有传递性外界对所研究流体表面的作用力。与所作用的表面积大小成正比图图1-1 1-1
8、 作用在流体表面的质量力与表面力作用在流体表面的质量力与表面力zyx小结：流体表面所受的力有两类：质量力；表面力。1.3.3.应力场：图1-2 一点处的应力MA B nt t图1-3 一点处的应力关系（四面体）O nzxyA B C MO zy-xC B 正面正面负面负面M（b）（a）对于图1-2，在外法线为n的面上的点M的的应力为：该应力可分解为如图1-3所示的分力：正面：负面：指外法线为n的面上见下页，过点M的法向应力和切向应力均为作用面法向单位向量n的函数。这是表面应力的一个重要特征。根据牛顿第三定律：x、y、z方向上的面积投影关系：（1-7）则最终作用在四面体四个微元面积上的总外表面力
9、分别为：作用在四面体上的外力还有质量力（包括惯性力）根据达朗伯原理：其中四面体ABC面的高（1-9）当四面体趋向于点M时，则（1-9）式可变为（1-11）应力在三个方向上的投影形式为（1-12）应力所在平面法线法向应力的方向将（1-12）改为矩阵形式（1-13）（1-14）切向应力静止和理想流体中的应力场静止和理想流体中的应力场由（1-14）（1-15）静止流体不显示粘性，理想流体模型无粘性。根据静止流体和理想流体的性质可知，流体静力学中的压强1.4 流体的性质及其模型的分类流体的性质及其模型的分类1.4.1易流动性 任何微小的剪切力都可以使流体连续变形的性质称为流体的易流动性。静止流体不能抵
10、抗剪切力，即不显示粘性。与固体相比，流体微团的易流动性，使其不能用位移和变形量本身来量度，而必须用速度和变形速度来量度。1.4.2 惯性连续介质范围分子效应范围振荡范围OM微元体图1-4 一点处密度的定义点密度对于均质流体1.4.3重力特征均质流体的重度，又称均质流体容重非均质流体任意一点的重度（1-23）fluid elementxyd dyxFV静止板恒定速度v二板的面积均为A图1-5 Planar Couette（库爱特粘度计）（库爱特粘度计）1.4.4 粘性 Viscosity 理想流体模型This ratio is used to define the shear viscosity
11、,（eit）.The shear viscosity may depend on temperature,pressure,and shear rate.velocity gradient or shear rate1687年，Isaac Newton 首先提出了流体粘度的模型。尽管Newton 定义的粘度是理想的。但对于诸如低分子液体、稀薄的气体，在许多条件下仍然适用；然而对于诸如聚合物、溶液、熔液、血液、油墨和胶体悬浮液不能用Newton定律进行描述。这样的流体被称为 non-Newtonian.1.4.5 粘性系数对于二维平面 Couette流,Newton 定义的粘度可以由下式给出（1
12、-27）Eq.(1-27),where is the shear stress,and,a function of temperature and pressure,is the coefficient of viscosity or simply the viscosity.absolute viscosity 因此对于Newtonian fluid =。注意：是 Newtonian-model 参数,其与温度和压力有关；而是一个更一般的材料特性，可以随剪切率做非线性变化。h与m概念不相同1.4.6 速度梯度的物理意义角变形速度（剪切变形速度）流体与固体在摩擦规律上完全不同固体：与正压力成正
13、比，与速度无关流体：与成正比O塑性流体胀塑性流体牛顿流体假塑性流体图1-7 牛顿流体与非牛顿流体The absolute viscosity of a fluid divided by its density.Also known as coefficient of kinematic viscosity（运动粘度，相对粘度）.1.4.7 kinematic viscosity 运动粘度（1-32）与温度有关单位与温度和压力有关；单位Relative Viscosity（相对粘度）It is calculated experimentally by measuring the time tha
14、t it takes for the pure solvent to pass through a certain tube,in certain conditions,and comparing it with the time it takes for the solution to pass through the same tube,in the same condition.The term Apparent Viscosity（表观粘度）is used when you calculate the viscosity of a non-Newtonian fluid by appl
15、ying equations that are derived（派生、起源）for the viscosity of a Newtonian fluid.So it is not the actual viscosity.kinematic viscosity contd.Engler degree（恩氏度）0E 中国、德国前苏联等用Saybolt Furol Second（赛氏秒)SSU 美国用Redwood（雷氏秒）R 英国用巴氏度 0B 法国用 恩氏粘度与运动粘度之间的换算关系=（7.310E-6.31/0E）10-6In China,a scale used as a measure
16、of kinematic viscosity.Symbol,E or E.Unlike the Saybolt and Redwood scales,the Engler scale is based on comparing a flow of the substance being tested to the flow of another substance,namely water.Viscosity in Engler degrees is the ratio of the time of flow of 200 cubic（立（立方）方）centimeters of the oil
17、 whose viscosity is being measured to the time of flow of 200 cubic centimeters of water at the same temperature(usually 20C but sometimes 50C or 100C)in a standardized Engler viscosity meter.The Engler degree is named for Carl Oswald Viktor Engler，Germany，(1842-1925).Engler degreekinematic viscosit
18、y contd.恩氏粘度用恩氏粘度计测定，即将200 ml被测液体装入恩氏粘度计中，在某一温度下，测出液体经容器底部直径为2.8小孔流尽所需的时间t1，与同体积的蒸馏水在20时流过同一小孔所需的时间t2（通常t2=52st2=52s）的比值，便是被测液体在这一温度时的恩氏粘度。Symbols SSU,SUS.USA A scheme（体系）for measuring viscosity,being the seconds required for 60 mL of fluid to pass through a specified orifice（节流孔）.The Saybolt Furol
19、Second is a variant used for heavier oils,being about ten times the SUS.The usual conversion from SUS to kinematic viscosity in centistokes is,for reading S Saybolt Furol Secondkinematic viscosity contd.Symbol Red,specifically Red I and Red II.UK A scheme for measuring viscosity,being the seconds re
20、quired for a defined volume of fluid to pass through a specified orifice,there being scales I and II;for lighter oils 1 sec Red I=4 to 7 centipoises;for heavier oils 1 sec Red II is about ten times the former.RedwoodPropertiesProperties ofof hydraulichydraulic fluidsfluids contd.contd.Viscosity:well
21、-knownTemperaturedependenceUbbelohde(厄布洛德)-Walther(沃尔顿):c,m,Kv are constants,T is in KtCorKlog-logscaleVogel-Cameron:A,B,C are constants,t is in CPropertiesProperties ofof hydraulichydraulic fluidsfluids (contd(contd.).)Pressure dependence of viscosity0,0viscosity at atmospheric pressure102030401,52
22、2,53pMPa30C40C50CT=80CEffect of Viscosity upon the Volumetric and Mechanical Efficiency of Hydraulic Pumps 例1-1：汽缸直径D=120mm，活塞直径d=119.6mm，活塞长度L=140mm，活塞往复运动的速度为1m/s，工作时的润滑油的=0.1Pas。求：作用在活塞上的粘性力。解：sDld因属于牛顿流体注意面积、速度梯度的取法消耗功率例1-2：旋转圆筒粘度计，外筒固定，内筒转速n=10r/min。内外筒间充入实验液体。内筒r1=19.3mm，外筒 r2=20mm，内筒高h=70mm，间
23、隙d=0.2mm，转轴上扭距M=0.0045Nm。求该实验液体的粘度。解：因属于牛顿流体1）对于外圆表面粘度计孔轴旋转hnr1r2d2）对于端面（圆盘旋转）OBd dzydr圆盘缝隙中的回转运动总力矩计算得1.4.8压缩（膨胀）性 不可压缩流体模型压缩系数在一定温度下，密度的变化率与压强的变化成正比流体的压缩性和热胀性因质量守恒Hookes law体积弹性模量E 的单位当压强一定，温度发生变化时热膨胀系数1.4.9 理想气体状态方程R气体常数空气R=8.31/0.029=287J/kgK等温过程：压缩系数等压过程：膨胀系数绝热过程：压缩系数低速（标准状态，v 0时，具有位置势能2.2.3 等压
24、面及其性质等压面及其性质等压面：平衡流体中压强相等的各点组成的面（平面或曲面）。等压面微分方程（2-12）等压面的性质：等压面也是等势面；质量力势函数等于常数等压面与质量力矢量正交；因此，等压面与单位质量力矢量垂直。等压面上的任意曲线例如，当质量力仅仅为重力时，平衡流体的等压面为水平面。C为常数。是一族水平面两种互不混合的流体处于平衡状态时，其相互接触的分界面是等压面；（请自行证明）2.3 重力场中流体静压强基本方程重力场中流体静压强基本方程 对于连续、均匀、不可压缩的流体而言，g=常数，则上式可改写为Oxzyz1z2z0zh在静止流体中任取1点和2点上面二式，为不可压缩、均质流体静压强基本方
25、程Oxzyz1z2z0zhp0对于任意一点：不可压缩、均质流体静压强计算公式Zero reference（零基准）（零基准）Although pressure is an absolute quantity,everyday pressure measurements,such as for tire pressure,are usually made relative to ambient air pressure（环境气压）.In other cases measurements are made relative to a vacuum（真空）or to some other ad ho
26、c（特别）reference.When distinguishing（区别）between these zero references,the following terms are used:Absolute pressure（绝对压力）is zero referenced against a perfect vacuum,so it is equal to gauge pressure（表压）plus atmospheric pressure（大气压）.Gauge pressure（表压）is zero referenced against ambient air pressure,so
27、it is equal to absolute pressure minus atmospheric pressure.Negative signs are usually omitted.Differential pressure（压差）is the difference in pressure between two points.测压两个基准绝对压力绝对压力绝对压力绝对压力以绝对零压为基准所测以绝对零压为基准所测以绝对零压为基准所测以绝对零压为基准所测相对压力相对压力相对压力相对压力以大气压力为基准所测以大气压力为基准所测以大气压力为基准所测以大气压力为基准所测The pressure
28、above the absolute zero value of pressure that theoretically obtains in empty space or at the absolute zero of temperature,as distinguished（区别）from gage pressure.absolute pressure The zero reference in use is usually implied by context,and these words are only added when clarification（说明）is needed.T
29、ire pressure and blood pressure are gauge pressures by convention（约定、习俗）,while atmospheric pressures,deep vacuum pressures,and altimeter（高度计）pressures must be absolute.Differential pressures are commonly used in industrial process systems.Differential pressure gauges have two inlet ports,each connec
30、ted to one of the volumes whose pressure is to be monitored（监控）.In effect,such a gauge performs the mathematical operation of subtraction through mechanical means,obviating（消除）the need for an operator or control system to watch two separate gauges and determine the difference in readings.Moderate（中等
31、的）vacuum pressures are often ambiguous（不明确）,as they may represent absolute pressure or gauge pressure without a negative sign.2.3.3 静压强的计算单位及静压强基本方程的意义静压强的计算单位及静压强基本方程的意义2.3.3.1 静压强的计算单位静压强的计算单位有三种。应力单位；（按压强定义）大气压单位；(N45，0C的海平面）液柱单位。以水和水银柱的高度表示The SI unit for pressure is the Pascal(Pa),equal to one
32、Newton per square meter(Nm-2 or kgm-1s-2).This special name for the unit was added in 1971;before that,pressure in SI was expressed in units such as N/m.When indicated,the zero reference is stated in parenthesis following the unit,for example 101 kPa(abs).The Pounds per square inch(psi)is still in w
33、idespread use in the US and Canada,notably（尤其）for cars.A letter is often appended to the psi unit to indicate the measurements zero reference;psia for absolute,psig for gauge,psid for differential,although this practice is discouraged by the NIST.(Pa)(bar)(at)(atm)(Torr)(psi)1Pa1N/m21051.01971059.86
34、921067.5006103145.041061bar100,000106dyn/cm21.01970.98692750.0614.50377441at98,066.50.9806651kgf/cm20.96784735.5614.2231atm101,3251.013251.03321atm76014.6961torr133.3221.33321031.35951031.31581031Torr;1mmHg19.3371031psi6,894.7668.94810370.30710368.04610351.7151lbf/in2Pressure Unitstechnical atmosphe
35、re真空度（托）1at=10m水柱例2-3 某设备内流体的绝对压强为0.3atm。求真空压强？解：真空压强最大真空度：G1G3G6h5h1h2h3h4水酒精例例2-42-4 如图2-9所示的装置中，h1=1.2m，h2=1m，h3=0.8m，h4=1m，h5=1.5m，大气压=101300Pa（1atm），水密度r r=1000=1000kg/m m3 3，酒精密度r r=790kg/m3，空气密度忽略不计。试求：1、2、3、4、5、6各点的绝对压强及三个压力表G1、G2、G3的示值。解：（1）G1=（2）=1atm=101300Pa（3）（4）2.3.3.2 静压强基本方程的意义zz2z1h
36、php2hp1p01图2-10 容器中静止的流体A（1）物理意义（能量意义）设A质点的质量为m，所受重力为mg。若质点A下降高度为z，则重力做功为mgz，即位置势能。若在点插入一真空管，则质点A将在压力作用下，上升至hp，hp=p/g g；则质点A具有压力势能 的压力势能。总势能=位置势能+压力势能总比能=总势能/重量从几何角度看：z 表示某点位置到基准面的高度，称为位置水头；表示某点压强作用下液柱高度，称为压强水头；称为静水头。在平衡流体中，各点的位置势能与压力势能可以相互转化，但总势能是一常数。对于任意两点，有如下关系（2）几何意义（只有长度量纲）Hs压强水头位置水头10mH2O静力水头线
37、测压管水头线2.3.4 静压强分布图静压强分布图hg ghhzh2 h1 ggh1ggh2hg ghh1h22.3.5 静压强测量测量方法有三种：金属式：压力表电测式：压力传感器表液柱式：压力表单管测压计单管测压计（测压管）图2-14 单管测压计h1h2A图2-15 U形管测压计若O U形管测压计h1h212h U形管差压计图2-17 U形管差压计若g g起始液面h1 斜管差压计A1高压接口p低压接口pah2hA2L起始面已知，求上升高度h微压计常数：微压计自校准零点起上升的长度：L微压计放大倍数：一般一般2.4.平衡流体作用于壁面上的总压力平衡流体作用于壁面上的总压力2.4.1 平面上平衡流
38、体的总压力hDOxyhyD图2-20 平面上平衡流体总压力分析其中 是浸水面积A对Ox轴的静力矩。总压力的大小作用在A面上流体的体积重量总压力的作用点（压力中心坐标的确定）设压力中心点D的坐标为（xD，,yD）1）yD的确定对Ox取矩其中，为面积A对x轴的惯性矩。即压力中心D位于平面A图形的形心C的下方。即压力中心永远低于平面形心。根据材料力学有关惯性矩的定理，有2）xD的确定参见p76，表2-23）总压力的作用方向方向：垂直于A，且过压力中心D点h2 h1 ggh1ggh2yD1yDFpFp1Fp2yD2papa图2-21 液体对矩形平壁的合力例2-7：求合力及压力中心。壁宽BO解：1）对于
39、左侧矩形平壁，有：2）对于右侧矩形平壁：3）求两侧总压力的合力：水平向右，作用在左侧总压力的方向：总压力的大小：总压力的作用点：设合力的作用点离左侧液面深为yD。对于点O（液面处）2.4.2 曲面上的平衡流体总压力yxzOdAxdAyh 取微元如图，面积为dA，微元总压力dFp与水平面成a角。微元所受总压力为：Vp：称作压力体该式说明：曲面总压力的垂直分力的数值等于压力体的液重，它的作用线通过压力体的重心。曲面总压力的x、z轴上的分力：曲面总压力的合力：曲面总压力的方向：曲面总压力的作用点：求出的交点，合力方向指向受压面，且与水平方向成角压力体的概念及垂直分力的方向xxh压力体液重并不一定是压
40、力体内实际具有的液体重力，只是一个虚构概念。2.4.3 浮力原理（液体作用在封闭曲面上的总压力）xyVp1Vp2V浮力：潜体，悬浮体沉体浮体思考题：1）一枚鸡蛋浮在盐水中，如图所示，问当容器做平稳等加速向上或向下运动时，鸡蛋的运动状态？（加速度A2,then V1V2,velocity increases in the direction of flow.Such a section is called a nozzle（喷嘴）.On the other hand,if A1V2 and velocity reduces in the direction of flow,this type o
41、f section is called as diffuser（喇叭口、）.3.2.3 二元、三元流动的连续性方程，有二元、三元流动的连续性方程contd.二元、三元流动的连续性方程，连续性方程的微分方程。其物理意义是：流体在单位时间内，流经单位控制体时，流出与流入的质量差与其自身质量变化的代数和为0。对于定常流动：对于不可压缩流体流动：体积不变质量不变例3-2有一速度分量为的速度场，设流体为不可压缩流体。（1）试说明这种流动是否满足不可压缩流体的连续性微分方程；（2）若满足，求其流线方程（a为常数）。解：（1）对于不可压缩流体，应满足因此满足连续性方程（2）求流线微分方程积分得：xy例3-3
42、三元不可压缩流场中，已知：，且已知z=0处，。试求流场中的表达式。解：对于不可压缩流体，应满足因z=0处，得C=0答：流场中uz的表达式为3.3 理想理想流体运动微分方程流体运动微分方程xyzO图3-8微元六面体受力分析单位质量力未画出对于x方向的受力：表面力：质量力：根据牛顿第二定律，有同理，可得若静态平衡方程3.4 理想理想流体运动微分方程的流体运动微分方程的Bernoulli积分积分In most flows of liquids,and of gases at low Mach number(Mach0.3),the mass density of a fluid parcel can
43、 be considered to be constant,regardless of pressure variations in the flow.For this reason the fluid in such flows can be considered to be incompressible and these flows can be described as incompressible flow.Bernoulli performed his experiments on liquids and his equation in its original form is v
44、alid（正确的）only for incompressible flow.Bernoullis equation Bernoullis Equation contd.For steady flow,the speed,pressure,and elevation（高程）of an incompressible and nonviscous fluid are related by an equation discovered by Daniel Bernoulli(17001782).3.4.1 Bernoulli equation for incompressible fluids The
45、 Bernoulli equation for incompressible fluids can be derived by integrating（积 分）the Euler equations,or applying the law of conservation of energy（能量守恒定律）in two sections along a streamline,ignoring viscosity,compressibility,and thermal effects.The simplest derivation is to first ignore gravity and co
46、nsider constrictions and expansions in pipes that are otherwise straight,as seen in Venturi effect.Venturi effectDaniel Bernoulli 对流体进行了如下假设：流体为理想流体，即无粘性质量力定常、有势；即流体不可压缩；即迹线与流线重合；即流线方程符合流体做定常流动；即得Bernoullis equation contd.From Eulers equation上述三个方程分别乘以dx，dy，dz，并相加，得积分，得Bernoullis equation 在定常有势质量力作用
47、下，理想不可压缩流体做定常流动时，保持不变。即，同一流线上的流体函数值质点，其具有的函数值相同。对于同一流线上的两点，有Bernoulli constantBernoullis equation contd.如果系统的质量力仅仅受到重力作用。则head equation3.4.2 Bernoulli 方程的物理意义与几何意义方程的物理意义与几何意义 每一项的量纲均为长度：elevation高程、扬程；位能（势能）：pressure head 压力水头；压强能：velocity head 速度水头；动能internal energystatic pressure+dynamic pressure
48、=total pressure The simplified form of Bernoullis equation can be summarized in the following memorable word equation:Bernoullis Equation contd.Bernoullis Equation contd.The significance of Bernoullis principle can now be summarized as total pressure is constant along a streamline.Furthermore,if the
49、 fluid flow originated in a reservoir,the total pressure on every streamline is the same and Bernoullis principle can be summarized as total pressure is constant everywhere in the fluid flow.However,it is important to remember that Bernoullis principle does not apply in the boundary layer.Bernoullis
50、 Equation contd.Bernoullis Equation contd.z1zz2驻点：物体前沿点，流体在此点的速度为0。Bp0，u0由Bernoulli方程，有方程，有总压管 That we have written an equation does not remove from the flow of That we have written an equation does not remove from the flow of fluids its charm or mystery or its surprise.fluids its charm or mystery o