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1、平面向量基本定理及向量的坐标表示1.(文)(2011 重庆文 )已知向量(1, ),(2,2),akb且ab与a共线，那么a b的值为 () A1B2C3D4 (理)在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点 ,ANABAC则() A.12B.13C.14D1 2(2011 嘉兴模拟 )已知,a b是不共线的向量, ,ABabACabR那么 A、B、C 三点共线的等价条件为() A2B1C1D13(2012 湖北省孝感模拟)在四边形ABCD 中,2 ,4,53 ,ABabBCab CDab其中,a b不共线，则四边形ABCD 为() A平行四边形B矩形C梯形D菱形4 如图, ABC中,A
2、DDB AEEC CD与BE交于 F， 设,ABa ACb AFxayb则( ,)x y为 () A.1 1(, )2 2B.2 2(, )3 3C.1 1( ,)3 3D.2 1(, )3 25已知向量(2cos,2sin),(0,2),(,),2ab则,a b() A.32B2C.2D 6 (文)已知,a b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足() ()0,acbc则|c的最大值是 () A1 B2 C.2 D.22(理)已知 O 为原点，点A、B 的坐标分别为A(a,0)、B(0，a)，其中常数a0，点 P 在线段 AB 上，且有 APtAB(0t1)，则 OA OP的最大值为
3、() Aa B2aC3aDa27在平行四边形ABCD 中,AE13AB,AF14AD，CE 与 BF 相交于 G 点若,ABa ADb则AG () A.2177abB.2377abC.3177abD.4277ab8(文 )(2010 深圳模拟 )如图，在 OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， OPxOAyOB，且 BP2PA，则 () Ax23，y13Bx13，y23Cx14，y34Dx34，y14精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - -
4、- - (理)已知 A(7,1)，B(1,4),直线 y12ax 与线段 AB 交于 C,且AC2CB,则实数 a 等于 () A2 B1 C.45D.539已知直线xya 与圆 x2y24 交于 A、B 两点，且 |OAOB| |OAOB|，其中 O 为坐标原点，则实数 a 的值为 () A2 B 2 C2 或 2 D.6或6 10 (2010 河 南 许 昌 调 研 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O为 原 点 ， 设 向 量,OAa OBb其 中(3,1),(1,3)ab若,OCab且 0 1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是() 答案 A 解析 OC a b(3
5、， 3 )，11(文)(2010 重庆诊断 )称( , )|d a bab为两个向量,a b间的“距离”若向量,a b满足；| 1b；ab；对任意的tR，恒有( , )d a b( ,)d a t b，则 () Aab B()aabC()babD()()abab( 理 )(2010 山 东 ) 定 义 平 面 向 量 之 间 的 一 种 运 算 “ ” 如 下 ： 对 任 意 的(, ),( , )am nbp q 令,abmqnpe下面说法错误的是() A若a与b共线，则0abeBabbaeeC对任意的 R，有()()ababeeD2222()()| |aba babe12.平面上有四个互异
6、的点A、B、C、D，满足() ()0,ABBCADCD则三角形 ABC 是() A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形13如图 ,在四边形ABCD 中00,1,90 ,135 ,ABBCCDBBCD记向量,ABa ACb则AD() A.22(1)2abB22(1)2abC22(1)2abD22(1)2ab14(文)(2011 杭州模拟 )已知向量(sin,1),(cos , 3),axbx且/ /,ab则tanx_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 -
7、- - - - - - - - - (理)已知2(2,3),(sin,cos),(,),22ab若/ /,ab则tanx_. 15(2012 西安五校第二次联考)梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分别是CD，AB 的中点，设,ABa AD b若,MNma nb则nm_. 16(文)如图，在 ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点， F 为 AB 上一点， 且4,ABAF若,ADxAF y AE则 x_，y_. (理)(2011 江苏徐州市质检)在 ABC 中，过中线AD 的中点 E 任作一条直线分别交AB、AC 于 M、N 两点，若,AMxAB ANyAC则min(4)
8、xy_17 已知正方形ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点，则DE CB_，DE DC的最大值为 _18已知 G 是 ABC 的重心， 直线 EF 过点 G 且与边 AB、AC 分别交于点,E F AEAB AFAC则11_. 19(2012 江西八校联考 )如图所示 ,设 P、Q 为ABC 内的两点 ,且2121,5534APABAC AQABAC则ABPABQSS_20(文)已知(0,0),(2,1),(1,3),OABOPOA t OB求：(1)t 为何值时，点P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第四象限？(2)四点 O、A、B、P 能否成为平行四边形的四
9、个顶点，说明你的理由(理)(2011 杭州市质检 )已知向量(1,2),(cos,sin),ab设(matb t为实数 )(1)若 4，求当|m取最小值时实数t 的值；(2)若,ab问： 是否存在实数, t使得向量ab和向量m的夹角为4,若存在 ,请求出, t若不存在 ,请说明理由21 设 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c， 已知 c2b， 向量3(sin,),(1,sin3 cos),2mAnAA且m与n共线(1)求角 A 的大小； (2)求ac的值22设,a b是不共线的两个非零向量，(1)若2,3,3 ,OAa b OBa b OC ab求证： A、B、C 三点
10、共线；16 题（理）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - (2)若8akb与2k ab共线，求实数k 的值；23(2011 衡阳期末 )平面内给定三个向量(3,2),( 1,2),(4,1),abc请解答下列问题：(1)求满足amb n c的实数 m、n；(2)若() / /(2),ak cba求实数 k；(3)若d满足()/ /(),dcab且|5,dc求d. 24(文)已知圆 C：(x3)2(y3)24 及定点 A(1,1)，M
11、为圆 C 上任意一点，点N 在线段 MA 上，且 MA2AN，求动点N 的轨迹方程(理)已知 是 ABC 的最大的内角设向量(cos ,sin),(sin 2 ,1cos2 ),(0, 1)abc定义( )()|,fabcb求( )f的最大值平面向量基本定理及向量的坐标表示1.(文)D(理)A 解析 本题考查向量的线性运算据已知 N 为 AM 的中点， 可得 AN12AM AB AC，整理得 AM2 AB2 AC，由于点M 在直线 BC 上，故有 2 2 1，即 12. 2D3C 4C 解析 设CF CD，E、D 分别为 AC、AB 的中点，BEBAAE a12b，BFBCCF(ba) (12
12、ab)12 1 a(1 )b，BE与BF共线，12 11112， 23，5 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - AFACCFb23CDb2312ab 13a13b，故 x13，y13. 5A解析 解法一：由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x2y24 位于第二象限的部分上(2 ) ，设其终点为P，则xOP ，a 与 b 的夹角为32 . 解法二： cosa，ba b|a| |b|4sin22 sin cos32， 2，3
13、2 2，又 a，b (0，)，a，b32 . 6(文 )C解析 由(ac)(bc)0 得 a b(ab) cc20，即 c2 (ab)c，故|c| |c|ab| |c|，即|c|ab|2，故选 C. (理)D 解析 APtAB，OPOAAPOAt(OBOA)(1t)OAtOB(aat，at) OA OPa2(1t)，0t1，OA OPa2. 7C8(文)A( 理)A 9C解析 以 OA、OB 为边作平行四边形OACB，则由 |OAOB|OAOB|得，平行四边形OACB 为矩形，OAOB.由图形易知直线y xa 在 y 轴上的截距为 2，所以选 C. 10A 答案 A 解析 OC a b(3 ，
14、 3 )，令OC(x，y)，则 xy(3 )( 3 )2( )0，点 C 对应区域在直线yx 的上方，故选A. 11(文)C(理)B12B 解析 (ABBC) (ADCD)(ABBC) (ADDC) (ABBC) AC(ABBC) (ABBC)|AB|2|BC|20，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 故|AB|BC|，即ABC 是等腰三角形13B 根据题意可得 ABC 为等腰直角三角形，由BCD135 ，得ACD135 45 90
15、 ，以 B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作 DEy 轴于点 E，则 CDE 也为等腰直角三角形，由CD1，得 CEED22，则 A(1,0),B(0,0)，C(0,1)，D(22，122)，AB(1,0)，AC(1,1)，AD(221,122)，令 AD AB AC，则有 221， 122，得 2， 122. AD2a(122)b. 14(文)13(理)3315(文)4 16(文)21 (理)(2011 江苏徐州市质检)在 ABC 中，过中线AD 的中点 E 任作一条直线分别交AB、AC 于 M、N 两点，若AMxAB，ANyAC，则 4x
16、y 的最小值为 _94如图所示，由题意知AD12(ABAC)，AE12AD，又 M，E，N 三点共线，所以AE AM(1 )AN(其中 0 1，则 4xy114 1tt4 t1(t1)14 t15494，当且仅当t32，即 23时取得等号1711 解析 本题考查平面向量的数量积，建立平面直角坐标系如图，则B(1,0)， C(1,1)，D(0,1)，设 E(x0,0)，则9 题 （理）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - CB(0， 1
17、)，DC(1,0)，DE(x0， 1)，DE CB(x0， 1)(0，1)1，DE DCx0，而 0 x01，DE DC的最大值为1. 点评 将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解183解析 连结 AG 并延长交 BC 于 D，G 是 ABC 的重心， AG23AD13(ABAC)，设EG GF，AGAE (AFAG)，AG11AE1AF，13AB13AC1AB1AC，113，113，131，131，113. 1945解析 根据题意， 设AM25AB，AN15AC，则由平行四边形法则，得APAMAN，且四边形 AMPN为平行四边形，于是NPAB，所以SABPSABC|AN|AC|15，同理，可得S
18、ABQSABC14.故SABPSABQ45. 17 题19 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 20(文)解析 (1)OPOAtOB(t2,3t1)若点 P 在 x 轴上，则3t10，t13；若点 P 在 y 轴上，则 t20，t 2；若点 P 在第四象限，则t203t10，2t13. (2)OA(2， 1)，PB(t1， 3t4)若四边形OABP 为平行四边形，则OAPB. t123t4 1无解 四边形 OABP 不可能为平行四
19、边形同理可知，当t1 时，四边形OAPB 为平行四边形，当t1 时，四边形OPAB 为平行四边形(理)解析 (1) 4，b(22，22)，a b322，|m|atb25t22ta bt23 2t5t3 22212，当 t322时， |m|取到最小值，最小值为22. (2)由条件得cos4ab atb|ab|atb|，|ab|ab26，|atb|atb25t2，(a b) (atb)5t，5t65t222，且 t5，t25t50，存在 t5 352满足条件 . 21解析 (1)mn，sinA(sinA3cosA)320，即 sin 2A61. A(0， )，2A6 6，116. 2A62. A3
20、. (2)由余弦定理及c2b、A3得， a2c22c22c2 ccos3，a234c2，ac32. 22解析 (1)AB(3ab)(2ab)a2b. 而BC (a3b)(3ab) 2a 4b 2AB，AB与BC共线，且有公共端点B， A、B、C 三点共线(2)8akb 与 ka2b 共线，存在实数 使得(8akb) (ka2b)? (8 k)a(k2 )b0，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - a 与 b 不共线，8k0，k2 0.
21、? 822? 2，k2 4. 23解析 (1)由题意得 (3,2)m(1,2)n(4,1)，所以m4n3，2mn2，得m59，n89.(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k1613. (3)设 d(x，y)，则 dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得4 x4 2 y1 0 x42 y125，解得x3y 1或x5y3，d(3，1)或 d(5,3)24(文)解析 设 N(x，y)，M(x0，y0)，则由 MA2AN得(1x0,1y0)2(x1，y1)，1x02x21y02y2，即x032xy032y，代入 (x3)2(y3)24
22、，得 x2y21. 点评 平面向量与解析几何结合是新的命题方向，解答此类问题关键是利用向量共线或垂直的关系建立点的坐标之间的关系式，然后用解析几何的方法解答请再练习下题：已知 C：(x2)2(y1)29 及定点 A(1,1)，M 是 C 上任意一点， 点 N 在射线 AM 上，且|AM|2|MN|，动点 N 的轨迹为 C，求曲线 C 的方程解答如下：设 N(x，y)，M(x0，y0)，N 在射线 AM 上，且 |AM|2|MN|，AM2MN或 AM 2MN，AM(x01，y01)，MN(xx0，yy0)，x012 xx0y012 yy0或x012 xx0y012 yy0，精品资料 - - -
23、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - x0132x1y0132y1或x02x1y02y1，代入圆方程中得(2x5)2(2y2)281 或(2x3)2(2y2)29. (理)解析 是 ABC 的最大内角3 ，|b|sin22 1cos224sin2 2sin ，f( )(ab) c|b|(cos sin2 ，sin 1cos2 ) (0， 1)2sin cos2 sin 12sin 2sin2 sin 2(sin 14)2183 ，0sin 1，从而，当sin 14时， f(x)取最大值18，(此时 arcsin14) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -