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1、1/18函数的奇偶性函数的奇偶性一、一、函数奇偶性的基本概念1偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。2.奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任一个，都有，那么函数就叫做奇函数。注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断之一是否成立。（2）在判断及的关系时，只需验证及=是否成立即可来确定函数的奇偶性。题型一 判断下列函数的奇偶性。，（2）（3）(4)(5)(6)(7)，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。（2
2、）常见的奇函数有：，（3）常见的奇函数有：，（4）若、都是偶函数,那么在及的公共定义域上，+为偶函数，为偶函数。当 时，为偶函数。（5）若，都是奇函数，那么在及的公共定义域上，+是奇函数，是奇函数，是偶函数，当0 时，是2/18偶函数。（6）常函数是偶函数，0 既是偶函数又是奇函数。（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数及一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数；若为偶函数,为奇（偶）函数，则都为偶函数；若为奇函数，为奇函数,则为奇函数;若为奇函数，为偶函数,则为偶函数.题型
3、二 三次函数奇偶性的判断已知函数，证明：（1）当时，是偶函数（2）当时，是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如，当，是偶函数；当，是奇函数。题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1 函数是偶函数，定义域为，则2 设是 定 义 在上 的 偶 函 数，则的 值 域 是3 已知是奇函数，则 的值为14 已知是偶函数，则 的值为1提 示：（1）上 述 题 型 的 思 路 是 用 函 数 奇 偶 性 的 定 义，。3/18（2）因为是填空题，所以还可以用。（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四 利用函数奇偶性的对称1 下列函
4、数中为偶函数的是（B）ABCD2 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 AA B C D3 下列函数中，为偶函数的是（C）A B C D4 函数的图像关于（C）A轴对称B 直线对称C 坐标原点对称D 直 线对称5 已知函数是上的奇函数，且，则=-46 已知函数是上的偶函数，则，则=-3提 示：（1）上 述 题 型 的 思 路 是 用 函 数 奇 偶 性 的 定 义，。(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。4/18(3)在原点有定义的奇函数必有。（4）已知函数是上的奇函数，则关于点对称。(5)已知是偶函数，则关于直线对称。题型五奇偶函数中的分段问题1 设为定义在上的奇函数，当时
5、，（为常数），则-32 已知是奇函数，且当时，求时，的表达式。3 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则=-454 已知是偶函数，当时，求5 设偶函数满足，则=提示：（1）已知奇函数，当，则当时，。（2）已知偶函数，当，则当时，。类型六 奇函数的特殊和性质1 已知函数，求的和为 42 已知，且，则=03 已知，=_-26_4 已知函数，若，则()提 示：已 知满 足，其 中是 奇 函 数，则 有。5/18题型七函数奇偶性的结合性质1 设、是上的函数，且是奇函数，是偶函数，则结论正确的是.是偶函数.|是奇函数.|是奇函数.|是奇函数2 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A是偶函
6、B是奇函数C|是偶函数D|是奇函数3 设函数及的定义域是且,是偶函数,是奇函数,且,求和的 解 析 式,，。提示：（1）已知是奇函数，则是偶函数。（2）已知是上的函数，且也是上的偶函数和也是上的奇函数，满足，则有，。题型八 函数的奇偶性及单调性1 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）ABCD2 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A），x R（B），x R 且 x06/18（C），x R（D），x R3 设，则（B）A 既是奇函数又是减函数 B 既是奇函数又是增函数 C 有零点的减函数 D 没有零点的奇函数4 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）5
7、已知偶函数在单调递减，若，则 的取值范围是.6 已知偶函数在区间单调增加，则满足的 取值范围是提示：（1）已知是奇函数，且在上是增（减）函数，则在上也是增（减）函数。（2）已知是偶函数，且在上是增（减）函数，则在上也是减（增）函数。（3）已知是偶函数，必有。题型九 函数的奇偶性的综合问题1 已知函数,当时，恒，且，又（1）求证：是奇函数；（2）求证：在 R 上是减函数；（3）求在区间上的最值。最大值 1，最小值-3。2 设，且有，7/18求 的取值范围。练习题一、判断下列函数的奇偶性（1）（2）（3）（4）（5）（5）（6）(7)(8)（9），(10)，(11)，(12)(13)，(14)，(
8、15)，(16),(17)二、利用函数的奇偶性求参数的值1 若函数是偶函数，求的值。02 若函数是奇函数，求的值。43 函数是奇函数，定义域为，则的值是9 4 若是奇函数，则5 若函数为偶函数，则实数_0_.6 设函数是偶函数，则实数_-1_7 若函数是奇函数，则 a=.8/188 若为奇函数,则实数_-2_.9 若函数为偶函数，则110 若是偶函数，则_.三、函数奇偶性定义的应用1 函数 y=的图像 A（A）关于原点对称（B）关于直线对称（C）关于轴对称（D）关于直线对称2 已知函数，则（B）A.B.为偶函数 C.D.不是偶函数3若是偶函数，则（为常数）(A)A.是偶函数B.不是偶函数C.是
9、常数函数D.无法确定是不是偶函数4 函数=则为（B）A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数5 已知为奇函数，则为（A）A 奇函数B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数6 已知点是偶函数图像上一点，则等（B）A.-3B.3C.1D.-17 若点在奇函数的图象上，则等于（D）A.0B.-1C.3D.-39/188 已 知是 奇 函 数,且.若,则_-1_.9 设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是（A）A 奇函数B 偶函数C 既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数10 设是上的奇函数，且的图象关于直线对称，则011 已知偶函数的图像关
10、于直线对称，则_3_.12 设函数对于任意都有，求证：是奇函数。13 已知，函数为奇函数，则-1，-714 已知奇函数的，且方程仅有三个根，则的值015 设函数是上为奇函数，且，在的值16 已知偶函数，求的个数 717 已知偶函数，求的个数 9四、函数奇偶性的性质1 已知是偶函数，且，则的值为 12 已知，则的值 43 已知其中为常数，若，则的值等于10/18(-10)4 已知，则的值-45 已知，则的值-46 已知，则的值 67 已知函数，则（）8 已知函数9 已知函数，则10 设函数的最大值为，最小值为，则=_2_11 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则11 在上的奇函数和偶函数满足(0
11、,且).若，则=12 若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（D）A B C D13 若函数为上的偶函数，且当时，则314 函数是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有11/18，则的值是 015 函数是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有，则的值是 016 若 函 数在上 是 奇 函 数,则的 解 析 式 为_.17 设是上的奇函数，且当时，则当时_18 已知定义在上的奇函数，当时，那么时，.19 函数在区间上的最大值为，最小值为，则4 20 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（1）21 设定义在上的奇函数，满足，那么的值 022 已知函数是
12、上的偶函数，当，都有，且当时，则有的值 1五、函数奇偶性和单调性的应用1 已知函数是偶函数，则的递减区间是2 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的12/18解集为（）3 已知函数，则（A）是偶函数，且在 R 上是增函数（B）是奇函数，且在 R 上是增函数（C）是偶函数，且在 R 上是减函数（D）是奇函数，且在 R 上是减函数4 已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为5 已知是定义在 R 上的偶函数，且.若当时，则.6 已知偶函数在单调递减，若，则 的取值范围是.7 已知偶函数在区间单调增加，则满足的 取值范围是8 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（D）ABCD9 设偶函数满足，
13、则10 已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若，则 的取值范围是_13/1811 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数 满足，则 的取值范围是（）12 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为13是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的 的取值范围是14 已知函数是偶函数，在上单调递减，则的单调递增区间是15 已知函数是偶函数，在上单调递减，则的单调递减区间为16 已知都是奇函数，如果的解集是，的解集为，则的解集为17 已 知 函 数是上 的 偶 函 数，且 在上 是 增 函 数，令，则的大小，18 已知函数是上的奇函数，若当时，则满足的解集，1
14、9 设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）20 设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的14/18，不 等 式恒 成 立，则实 数的 取 值 范 围是21 函数是 R 上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（B）ABCD22 R 上的偶函数满足：对任意的，有.则 A.（A）(B)(C)(D)23 设函数，则是（A）A奇函数，且在上是增函数B奇函数，且在上是减函数C偶函数，且在上是增函数D偶函数，且在上是减函数24 已知函数，则A在（0,2）单调递增B在（0,2）单调递减15/18Cy=的图像关于直线 x=1 对称Dy=的图像关于点（1,0）对称25 函数在单调递减，且为奇函数
15、若，则满足的 的取值范围是26 函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。27 已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则函数的最小值是（5）28 已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则-829 已知函数，求的解集30 已知上的奇函数，求的解集为六、函数奇偶性综合应用1 已 知 函 数是 定 义 在上 的 奇 函 数，当时，。若,则实数 的取值范围为2 已知函数是偶函数，且在上单调递增（）求的值，并确定的解析式；（），求16/18的定义域和值域答案：（），；（）3 已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义
16、域上单调递减；（3）求 的取值范围。4 已 知 函 数的 定 义 域 为，且 对 任 意，都 有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；（2）函数是奇函数。5 已知定义在上的奇函数满足(1)求的值；0(2)求证：函数的图像关于直线对称；(3)若在 区 间 0,2 上 是 增 函 数，试 比 较的 大小6 已知函数是奇函数，是偶函数.（1）求的值；（2）设，若对任意恒成立，求实数 的取值范围.7 已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）当时，求函数的值域.8 已知函数是定义域为的奇函数.17/18（1）求，的值；,（2）若对任意，不等式恒成立，求实数 的取值范围.9 已知定义域为的函数是奇函数（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并证明；（3）若对任意恒成立，求 的取值范围10 已知函数的图像关于原点对称（1）求的值；（2）若函数在区间上为减函数，求实数 的取值范围11 已知定义在上的函数是奇函数求的值；若对任意的，不等式恒成立，求实数 的取值范围12 设 为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。13 已知函数（）是奇函数，且在上是增函数，18/18（1）求的值；（2）当时，讨论函数的单调性。14 函数的定义域为，若及都是奇函数，则(D)(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数