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1、第二章圆锥曲线与方程:知识梳理知识梳理1、椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的与大于|1F2F|这个条件不可无视.假设这个距离之与小于|1F2F|，那么这样的点不存在；假设距离之与等于|1F2F|，那么动点的轨迹是线段1F2F.2.椭圆的标准方程：12222byax12222bxayab03.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，那么椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.2、椭圆的简单几何性质ab0.1 椭圆的几何性质：设椭圆方程12222byax,线段1A2A、1B2B2a 与 2b
2、，(2).离心率：ace 221ba0e1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径：exaMF1，exaMF2.2a=2b+2c典例剖析典例剖析(4).椭圆的的内外部点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab(5).焦点三角形21FPF经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF结合起来，建立12PFPF、12PFPF等关系椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程:典例剖析典例剖析题型一题型一 椭圆的定义应用椭圆的定义应用例例 1 1题型二题型二 椭圆标准方程的求法椭圆
3、标准方程的求法例例 2 2 椭圆的两个焦点为-2，0，2,0且过点53(,)22，求椭圆的标准方程椭圆的简单的几何性质椭圆的简单的几何性质典例剖析典例剖析题型一题型一 求椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等求椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等例例 1 1 椭圆22(3)(0)xmym m的离心率32e，求m的值及椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标例例 2 2 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设F1PF2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是()A22B212C22D21例例 3 3 椭圆 C 的焦点 F122，0与 F222，0，长轴长
4、6，设直线2 xy交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标:知识梳理知识梳理1 1、双曲线及其标准方程、双曲线及其标准方程1双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数 2a小于|1F2F|的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a|1F2F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边2a=|1F2F|，那么动点的轨迹是两条射线；假设 2a|1F2F1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又假设1MF2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值.2.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系
5、数是正数，那么焦点在 x 轴上；如果2y项的系数是正数，那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比拟分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质1.双曲线12222byax实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率ace 221ba离心率 e 越大，开口越大.2.双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.假设双曲线的渐近线方程是xnmy，即0 nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数.3焦半径公式21|()|aPFe xc，22|()|aPFexc.双曲线焦半径应
6、用举例双曲线焦半径应用举例双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。点 P(x0，y0)在双曲线22ax22by=1(a0，b0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点。假设点 P 在右半支上，那么|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0a；假设点 P 在左半支上，那么|PF1|=(ex0+a)，|PF2|=(ex0a)利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。一、求双曲线的标准方程例 1、设 F1、F2是双曲线22ax22by=1(a0，b0)的左、右两个焦点，l 为左准线，离心率 e=23，P(328,m)是左支上一点，P 到 l 的距离为 d，且 d，|PF
7、1|，|PF2|成等差数列，求此双曲线方程。分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知：d=32|PF1|，又|PF1|=(ex0+a)=14a,|PF2|=(ex0a)=14a,由得：d|PF2|=2|PF1|，即32(14a)(14a)=282a 得：a=2，c=3，b=5，故双曲线的方程为42x52y=1。评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。二、求值例 2双曲线92x162y=1 的两个焦点为 F1、F2，点 P 在双曲线上，假设 P F1P F2，那么点 P 到 x 轴的距离为_.分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出 P 点纵坐
8、标即可。解：不妨设 P 在双曲线上右支上，设 P(x0，y0)，那么|PF1|=ex0+a=335x0，|PF2|=ex0a=35x03，那么|PF1|2|PF2|2=|F1F2|2，即：(335x0)2(35x03)2=100，所以20 x=25369，又920 x1620y=1，所以20y=25256，所以点 P 到 x轴的距离为516。评注：利用双曲线的定义与焦半径公式，简单明了。三、求范围例 3如图，梯形 ABCD 中，|AB|=2|CD|，点 E 分有向线段AC所成的比为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点，当3243时，求双曲线离心率e的取值范围解：以直线 AB 为
9、x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，那么 CDy 轴，因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性可知，C、D 关于 y 轴对称设双曲线的焦距为 2c，那么 A、B、C 三点的横坐标分别为c、c、2c，那么点 E 的横坐标为 xE=12cc根据双曲线焦半径公式，有：|AE|=(exEa)=1ec)1(2eca，|BC|=exca=2eca，而 AC 与 AE 同号，从而|AEAC=AEAC=1|AC|=1|AE|=11ec)1(2eca=ec2ec1a，由双曲线的定义有|AC|BC|=2a，即(ec2ec1a)(2eca)=2a，两边同除以 a，并化简整理，得(11)eEMBED Equation.32=21，eEMBED Equation.32=112=213由3243，得 3114，解得 7eEMBED Equation.32107e10，故所求双曲线离心率e的取值范围是7，10 xyABODCE评注：但凡遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题，均可考虑使用焦半径公式四、其他问题例 4 在双曲线122y132x=1 的上支上有三点 A(x1，y1),B(