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1、第二章 圆锥曲线与方程:知识梳理1、椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可无视.假设这个距离之和小于|，那么这样的点不存在；假设距离之和等于|，那么动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程： 03.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，那么椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.2、椭圆的简单几何性质0.1椭圆的几何性质：设椭圆方程, 线段、2a和2b，(2).离心率： 0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径： ，.=+典例剖析(4).椭圆的的
2、内外部点在椭圆的内部(5).焦点三角形经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、2c，有关角结合起来，建立、等关系椭圆及其标准方程:典例剖析题型一 椭圆的定义应用例1 题型二 椭圆标准方程的求法例2 椭圆的两个焦点为-2，0，2,0且过点，求椭圆的标准方程椭圆的简单的几何性质典例剖析题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等例1 椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标例2 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设F1PF2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是( )A B C D例3 椭圆C的焦点F1，0和F2，0，长轴长6，
3、设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标:知识梳理1、双曲线及其标准方程1双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a小于|的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边2a=|，那么动点的轨迹是两条射线；假设2a|时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又假设时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值.2.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正数，那么焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比拟分母的大小来判断焦
4、点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质1.双曲线实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率离心率e越大，开口越大.2.双曲线的渐近线方程为或表示为.假设双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.3焦半径公式，.双曲线焦半径应用举例双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。点P(x，y)在双曲线= 1 (a0，b0)上，F， F分别为双曲线的左、右焦点。假设点P在右半支上，那么| PF| =x+ a ，| PF| =xa；假设点P在左半支上，那么| PF| =(x+ a) ，| PF| =(xa)利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例
5、，供参考。一、求双曲线的标准方程例1、 设F、F是双曲线= 1 (a0，b0)的左、右两个焦点，l为左准线，离心率e=，P(,m)是左支上一点，P到l的距离为d，且d，| PF|，| PF|成等差数列，求此双曲线方程。分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知：d =| PF|，又| PF| =(x+ a) = 14a, | PF| =(xa) = 14a,由得：d| PF| = 2| PF|，即(14a)(14a)=282a 得：a = 2， c =3， b =，故双曲线的方程为=1。评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。二、求值例2 双曲线
6、=1的两个焦点为F、F，点P在双曲线上，假设P FP F，那么点P到x轴的距离为_.分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出P点纵坐标即可。解：不妨设P在双曲线上右支上，设P(x，y)，那么| PF| =x+ a = 3x，| PF| =xa =x3，那么| PF| PF|= |FF|，即：(3x)(x3) =100，所以=，又=1，所以=，所以点P到x轴的距离为。评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。三、求范围例3 如图，梯形ABCD中，|AB| = 2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围解：以直线AB为x轴，
7、线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，那么CDy轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性可知，C、D关于y轴对称设双曲线的焦距为2c，那么A、B、C三点的横坐标分别为c、c、，那么点E的横坐标为x=xyABODCE根据双曲线焦半径公式，有：|AE| =(xa ) =a，|BC| =xa =a，而AC与AE同号，从而=|AC| =|AE| =a =a，由双曲线的定义有|AC|BC| = 2a，即(a)(a) = 2a，两边同除以a，并化简整理，得(1) = 2，=2由，得34，解得710，故所求双曲线离心率的取值范围是，评注：但凡遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题
8、，均可考虑使用焦半径公式四、其他问题例4 在双曲线=1的上支上有三点A(x，y),B(,6),C(x,y)与F(0，5)的距离成等差数列。求证：AC的垂直平分线经过某一定点。分析；利用焦半径及等差数列概念，列出等式，可解此题。证明：|AF| =eya，|BF|=6ea，|CF|= eya，由得：2|BF|=|AF|CF|，得：y y=26 = 12。设AC的中点M(x，6)，其中x=，又A，C在双曲线上，于是，两式相减得：13(yy)(yy)12(xx)(xx)= 0，得：13(yy)12xx=0，得：=，所以AC的垂直平分线方程为：y6=(xx)，即13xx(2y25)=0，故经过定点(0，
9、)。评注：点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。例5 双曲线= 1的左、右焦点分别为F、F，左准线为能否在双曲线的左支上找到一点P，使| PF|是P到的距离与| PF|的等比中项？假设能，试求出P点坐标；假设不能，请说明理由分析；此题为探索题目，一般可设存在点P，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。解：由a = 5，c =13，知 =，=设P(x，y)，P到的距离为d，那么| PF| =ax=5x，| PF|= ax= 5x，d =x=x 令| PF|= d| PF|，即(5x)= (x)(5x)，解得：x=或x=另一方面，因为P在左支上，所以x5 与矛盾故符合条件的P点不存在评注： 一般
10、的，是双曲线= 1左支上存在P点，使| PF|= d| PF|成立的充要条件。此题中双曲线离心率=，故符合条件的P点不存在 例如双曲线= 1的离心率，那么这样的P点一定存在。类似的可得：是双曲线= 1左支上存在P点，使2| PF|= d +| PF|成立的充要条件。通过以上几例，不难看到，适当的利用焦半径公式，以及双曲线的第二定义解答双曲线类问题确能起到事半功倍之效果。4双曲线的方程与渐近线方程的关系假设双曲线方程为渐近线方程：；假设渐近线方程为双曲线可设为；假设双曲线与有公共渐近线，可设为，焦点在x轴上，焦点在y轴上.双曲线焦点三角形面积：，高。双曲线的定义与标准方程:典例剖析题型一 双曲线
11、标准方程的判断题型二 求双曲线标准方程例2 双曲线过两点，求双曲线的标准方程例3双曲线的简单的几何性质典例剖析题型一 双曲线的性质例1双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.题型二 有共同渐近线的双曲线方程的求法例2 求与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程例3 设双曲线上两点A、B，AB中点M1，2,求直线AB方程；例4 代表实数，讨论方程所表示的曲线.题型三 直线与双曲线的位置关系例 不管b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x22y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围.知识梳理1抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直
12、线l上)定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线方程叫做抛物线的标准方程注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F,0，它的准线方程是；2抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率说明：1通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；2抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；3注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线及其标准方程题型一 求抛物线的标准方程例1 抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.抛物线的简单的几何性质题型一 焦点弦问题例 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.题型二 直线与抛物线的位置关系例 焦点在y轴上的抛物线被直线x2y1=0截得的弦长为，求这抛物线的标准方程.