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1、(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2c2我国古代学者把直角三角形较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间关系，是直角三角形重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形两边求第三边（在中，则，）（2）已知直角三角形一边及另两边关系，求直角三角形另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系问题3：勾股定理证明勾股定理证明方法很多，常见是拼图方法，用拼图方法验证勾股定理思路是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形面积不同表示方法，列出等式，推
2、导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形面积及小正方形面积和等于大正方形面积四个直角三角形面积及小正方形面积和为大正方形面积为 所以方法三：，化简得证4：勾股数能够构成直角三角形三边长三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）5、注意：（1）勾股定理证明实际采用是图形面积及代数恒等式关系相互转化证明。（2）勾股定理反映是直角三角形三边数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系题目。（3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在
3、应用过程中易犯主要错误。（4）推理格式： ABC为直角三角形 AC2+BC2=AB2. （或a2+b2=c2）（二）勾股定理逆定理如果三角形三边长分别为：a、b、c，且满足a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2及a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角直角三角形（若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角钝角三角形；若c2a2+b2，则ABC为锐角三角形）。（定理中，及只是一
4、种表现形式，不可认为是唯一，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边三角形是直角三角形，但是为斜边）3：勾股定理及勾股定理逆定理区别及联系区别：勾股定理是直角三角形性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理及其逆定理题设和结论正好相反，都及直角三角形有关。4：互逆命题概念如果一个命题题设和结论分别是另一个命题结论和题设，这样两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它逆命题。六、随堂练习1在中，、对边分别为、和若，则= ； 斜边上高为 .若，则= . 斜边上高为 .若，且，则= ，.斜边上高为 .若，且，则= ，.斜边上高为 .2正方形边长为3，则此正方形对角线长为 .3
5、正方形对角线长为4，则此正方形边长为 .4有一个边长为50正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆直径至少多长 5一旗杆离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，求旗杆折断之前有多高？6.如图，一个长梯子斜靠在一竖直墙上，这时距离为，如果梯子顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移吗？勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理1已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。2、已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD面积。3：在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC长为多少？4：已知如图，在ABC中，C=60，AB=，AC=4
6、，AD是BC边上高，求BC长。5、如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求证：（1） （2）（3） 以为三边三角形是直角三角形练习6.如图，ABC中，AB=AC，A=45，AC垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD=1，则BD等于( )A1 BC D7.已知一直角三角形斜边长是2，周长是2+，求这个三角形面积8.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积6.如图，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD长7.如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2
7、，求BPC度数8.已知ABC中，ACB=90，AC=3,BC=4,（1）AD平分BAC,交BC于D点。求CD长 （2）BE平分ABC,交AC于E，求CE长专题二 勾股定理证明abcl1、如图，直线上有三个正方形，若面积分别为5和11，则面积为（）（）4（）6（）16（）552、如图是2002年8月在北京召开第24届国际数学家大会会标中图案，其中四边形ABCD和EF都是正方形. 证：ABFDAE图图第3题图3、图是一个边长为正方形，小颖将图中阴影部分拼成图形状，由图和图能验证式子是（ ）A B C D专题三 网格中勾股定理1、如图1，在单位正方形组成网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其
8、中能构成一个直角三角形三边线段是（ ） ABC（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH （D）AB、CD、EF2、如图，正方形网格中，每个小正方形边长为1，则网格上三角形ABC中，边长为无理数边数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 33、（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形顶点，则ABC度数为（ ）A90 B60 C45 D304、如图，小正方形边长为1，连接小正方形三个得到，可得ABC，则边AC上高为（ ）A. B. C. D. 5、如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格顶点称为格点，请以图中格点为顶点画一个边长
9、为3、三角形所画三角形是直角三角形吗?说明理由6、如图，每个小正方形边长是1，在图中画出面积为2三个形状不同三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）专题四 实际应用建模测长1、如图（8），水池中离岸边D点1.5米C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它顶端B恰好落到D点，并求水池深度AC.2、有一个传感器控制灯，安装在门上方，离地高4.5米墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米学生，要走到离门多远地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市
10、A正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响最大风力为几级？专题五 梯子问题1、如果梯子底端离建筑物9米，那么15米长梯子可以到达建筑物高度是多少米？2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子顶端距地面有多高？（2）如果梯子顶端下滑了4米，那么梯子底
11、端在水平方向滑动了几米？ 3、如图，梯子AB斜靠在墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x及y大小关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定专题六 最短路线1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草 A、6B、5 C、4D、32、如图，一圆柱体底面周长为20，高AB为10，BC是上底面直径。一蚂蚁从点A出发，沿着圆柱侧面爬行到点C，试求出爬行最短路程。3、如图，有一个圆柱体，底面周长为20，高AB为10，在圆柱下底面A点处有一只蚂
12、蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它顶端C点处，那么它所行走路程是多少？AC4、如图，假如这是一个圆柱体玻璃杯， AD是杯底直径，C是杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点A处爬到杯子内壁到达高CD中点E处，最短该走多远呢？(杯子厚度不计）BA5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1米，且封闭正方体盒子外部顶点A向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行最短路程为多少米？6、如图，长方体长为15cm，宽为10cm，高 为20cm，点B到点C距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从A点爬到B点，需要爬行最短距离是多少？BCA2015107、如图，是一个三级台阶，它每一级长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和
13、B是台阶上两个相对顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点最短路程是多少？AB030.22.专题七 折叠三角形1、如图，一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且及AE重合，求CD长 2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形纸片，使A及B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE长吗？3、如图, ABC三边BC=3，AC=4、AB=5,把ABC沿最长边AB翻折后得到ABC，则CC长等于（ ）A. B. C. D.专题八 折叠四边形1、折叠矩形ABCD一边AD,点D落在BC边上点F处,已知A
14、B=8CM,BC=10CM,求（1）CF长 （2）EC长.2、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B及点D重合，折痕为EF，求（1）DE长；（2）EF长。ABCDEG第3题图F3.矩形纸片ABCD边长AB=4，AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A及点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分面积为_.4、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD面积为_5、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A及CD边上点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后及BC边交于点G。如果M为CD边中点，
15、且DE=6，求正方形ABCD面积6、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上A1，求第二次折痕BG长。专题九 旋转问题：1、如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求ABC边长.2、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上点，且EAF=45，试探究间关系，并说明理由. 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC中点，E、F分别是AB、AC边上点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF长。4、如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一点，求证：BD。 15 / 15