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1、1(一一)勾股定理勾股定理1：勾股定理勾股定理如果直角三角形直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c,那么 a2+b2c2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.弦弦勾勾股股要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：2222（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C 90，则c a b，b c a，a c2b2）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
2、，用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变abcab根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理bcc常见方法如下：acba方法一：4S S正方形EFGH1224ab(ba)c S正方形ABCD，2，化简可证DHEFbAcGaC方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积1S 4abc2 2abc22四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为BAaDb222222S (a b)a 2ab b大正方形面积为所以a b cccEabC111S梯形(ab)(ab)S梯形 2SADE SABE 2abc2222，化简得证
3、方法三：，B24：勾股数222能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a b c中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等22用含字母的代数式表示n组勾股数：n 1,2n,n 1（n 2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。（2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角
4、形边边关系的题目。（3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。A A（4）推理格式：ABC 为直角三角形 AC2+BC2=AB2.（或 a2+b2=c2）b bC Cc ca aB B（二）勾股定理的逆定理（二）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足 a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等
5、关系，若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为直角的直角三角形（若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为钝角的钝角三角形；若 c2a2+b2，则ABC 为锐角三角形）。3222（定理中a，b，c及a b c只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做
6、互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。六、随堂练习1在RtABC中，C 90，A、B、C的对边分别为a、b和c若a 2，b 4，则c=；斜边上的高为 .若b 3，c 4，则a=.斜边上的高为 .a3b若，且c 2 10，则a=，b _.斜边上的高为 .b1c2，且a 3 3，则c=，b _.斜边上的高为 .若2正方形的边长为 3，则此正方形的对角线的长为.3正方形的对角线的长为 4，则此正方形的边长为.4有一个边长为dm50 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长5一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，求旗杆折断之前有多高？46.如
7、图，一个3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理专题一：直接考查勾股定理1已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。2、已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。A AD DB BC C3：在ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为多少？A4：已知如图，在ABC 中，C=60，AB=4 3，AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。CDB5、如图，在
8、 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，设 AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。C1112b2h2（2）a b c h求证：（1）aADB（3）以a b，h，c h为三边的三角形是直角三角形练习6.如图，ABC 中，AB=AC，A=45，AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于 D、E，若 CD=1，则5BD 等于()A1 BC D7.已知一直角三角形的斜边长是 2，周长是 2+6，求这个三角形的面积8.如图RtABC，C 90AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CAB6.如图，ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是 BC 上一点，且 ADAC，求
9、 BD 的长7.如图，ABC 中，ACB=90，AC=BC，P 是ABC 内一点，满足 PA=3，PB=1，PC=2，求BPC 的度数8.已知ABC 中，ACB=90，AC=3,BC=4,（1）AD 平分BAC,交 BC 于 D 点。求 CD 长（2）BE 平分ABC,交 AC 于 E，求 CE 长B BB BD DA AC CA A6E EC C专题二勾股定理的证明1、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为 5和 11，则b的面积为（）（）4（）6（）16（）55abcl2、如图是2002 年 8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和
10、 EF 都是正方形.证：ABFDAEA AE EB BF FH HD DG GC C3、图是一个边长为(m n)的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）nmmnmn图22222第 3 题图(mn)(mn)4mn(mn)(m n)2mnA B图22222(mn)2mn m n(mn)(mn)m nC D专题三网格中的勾股定理1、如图 1，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EFA7CB2、如图，正方形网格中，每个小
11、正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的边数是（）AA 0 B 1 C 2 D 33、（2010 年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数为（）ACBA90 B60 C45 D304、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得ABC，则边 AC 上的高为（）33342555A.2 B.10 C.5 D.5CB5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为 3、直角三角形吗?说明理由6、如图，每个小正方形的边长是 1，在图中画出面积为 2 的三个形
12、状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）专题四实际应用建模测长、的三角形所画的三角形是1、如图（8），水池中离岸边D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是 0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.82、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向 220
13、 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿北偏东 30方向往 C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？专题五梯子问题91、如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？2、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（
14、2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？3、如图，梯子AB 斜靠在墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子的顶端A 沿 AC 方向下滑 x 米时，梯足 B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（）AA.x y B.x y C.x y D.不能确定B专题六最短路线C1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了（）步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草 A、6B、5 C、4D、32、如图，一圆柱体的底面周长为 20，高 AB 为 10，BC 是上底面的直径。一蚂蚁从点 A出发，沿
15、着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程。BCAD3、如图，有一个圆柱体，底面周长为20，高AB 为 10，在圆柱的下底面A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端 C 点处，那么它所行走的路程是多少？1 0C4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯，AD 是杯底直径，C 是杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点A处爬到杯子的内壁到达高CD的中点E处，最短该走多远呢？(杯BC子的厚度不计）5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为 1 米，且封闭的正方体盒子外部的顶点 A 向顶点 B 爬行，问B这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？AAED6、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20
16、cm，点B 到点 C 的距离为 5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？A A202010101515C CB B7、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 2m、0.3m、0.2m，A 和 B 是台阶上两个相对的顶点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到 B 点的最短路程是多少？.1 1B B0.20.2A A03032 2专题七折叠三角形1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8。现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长A A2、
17、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使 A 与 B 重合，折痕为 DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出 CE 的长吗？C CE EE EC CD DA AB BD DB B3、如图,ABC 的三边 BC=3，AC=4、AB=5,把ABC 沿最长边 AB 翻折后得到ABC，则 CC的长等于（）1262413A.5 B.5 C.5 D.5A ACCC CB B专题八折叠四边形1、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求（1）CF 的A AD D1 2E EC CB BF F长（2）EC 的长.2、在矩形纸片
18、ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为EF，求（1）DE 的长；（2）EF 的长。D DF FC CA AE EB BCC3.矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4，AD=2将矩形纸片沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_.GAE第 3 题图BDFC4、如图 2-3，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，已知 AB=3，BC=7，重合部分EBD 的面积为_5、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，
19、交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G。如果 M 为 CD 边的中点，且 DE=6，求正方形 ABCD 的面积D DMMC CG GE EF FA AB B1 36、矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为 EF，展开后再沿 BG 折叠，使 A 落在 EF上的 A1，求第二次折痕 BG 的长。专题九旋转问题：1、如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，PA=2,PB=2 3,PC=4,求ABC 的边长.2、如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，E、F 是 BC 上的点，且EAF=45，222试探究BE、CF、EF间的关系，并说明理由.C CB BE EAAF FA AD DG G3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。2224、如图所示，已知在ABC 中，AB=AC，BAC=90，D 是 BC 上任一点，求证：BDCD 2AD。1 41 5