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1、八年级上数学专题训练一八年级上数学专题训练一勾股定理典型题勾股定理典型题练习练习答案解析一、知识要点：一、知识要点：1 1、勾股定理、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2。公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。2 2、勾股定理的逆定理、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2+b2=c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：1的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大
2、边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3 3、勾股数、勾股数满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大一样的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：3 3，4 4，5 5(5(5，1212，1313)(6 6，8 8，1010)(7 7，2424，2525)(8 8，1515，1717)(9)(9，1212，1515)常用勾股数口诀记忆常见勾股数常见勾股数3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：我要爱一生6，8，10：连续的偶
3、数7，24，25：企鹅是二百五8，15，17：八月十五在一起特殊勾股数特殊勾股数连续的勾股数只有 3，4，5连续的偶数勾股数只有 6，8，104 4、最短距离问题：最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。两点之间线段最短。二、考点剖析二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影局部面积：1阴影局部是正方形；2阴影局部是长方形；3阴影局部是半圆2.如图，以 RtABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系3、如下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S2、S3，那么它们之间的关系是A.A.S S1 1-S
4、 S2 2=S S3 3B.B.S S1 1+S S2 2=S S3 3C.C.S S2 2+S+S3 3 1，那么它的斜边长是D DA A、2n2nB B、n+1n+1C C、n n2 21 1D D、1n27 7、在 RtABC 中，a,b,c 为三边长，那么以下关系中正确的选项是A.A.222abcB.B.222acbC.C.222cba8 8、RtABC 中，C=90C=90，假设a+b=14cma+b=14cm，c=10cmc=10cm，那么 RtABC 的面积是A AA A、24242cmB B、36362cmC C、48482cmD D、60602cm【解析】此题考察的是勾股定理
5、，完全平方公式，直角三角形的面积公式要求 RtABC 的面积，只需求出两条直角边的乘积根据勾股定理，得 a2+b2=c2=100根据勾股定理就可以求出 ab 的值，进而得到三角形的面积a+b=14a+b2=1962ab=196-a2+b2=96，那么 RtABC 的面积是9 9、x x、y y 为正数，且x x2 2-4-4+y y2 2-3-32 2=0=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为CA、5B、25C、7D、15【解析】试题分析：此题可根据“两个非负数相加和为 0，那么这两个非负数的值均为 0解出 x、y 的值，然后运用勾
6、股定理求出斜边的长斜边长的平方即为正方形的面积依题意得：，斜边长，所以正方形的面积应选 C考点：此题综合考察了勾股定理及非负数的性质点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高1、如图 1 所示，等腰中，是底边上的高，假设，求 AD 的长；ABC 的面积考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题角的问题1 1、以下各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是A.A.4
7、4，5 5，6 6B.B.2 2，3 3，4 4C.C.1111，1212，1313D.D.8 8，1515，17172 2、假设线段 a，b，c 组成直角三角形，那么它们的比为A A、2 23 34 4B B、3 34 46 6C C、5 512121313D D、4 46 67 73 3、下面的三角形中：ABC 中，C=AB；ABC 中，A：B：C=1：2：3；ABC 中，a：b：c=3：4：5；ABC 中，三边长分别为 8，15，17其中是直角三角形的个数有D A1 个B2 个C3 个D4 个4 4、假设三角形的三边之比为21:122，那么这个三角形一定是A.等腰三角形B.直角三角形5
8、5、a，b，c 为ABC 三边，且满足(a(a2 2b b2 2)(a)(a2 2+b+b2 2c c2 2)0 0，那么它的形状为CA.直角三角形B.等腰三角形6 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是(C)A 钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7 7、假设ABC 的三边长 a,b,c 满足222abc20012a16b20c，试判断ABC 的形状。a a+b+b+c+c+200=12a+16b+20c+200=12a+16b+20ca-6a-6+b-8b-8+(c-10)+(c-10)-200+200=0-200+200=0a-6a-6+b-8b-8+
9、(c-10)+(c-10)=0=0那么那么 a-6=0a-6=0、b-8=0b-8=0、c-10=0,c-10=0,得得 a=6a=6、b=8b=8、c=10,c=10,a a+b+b=c=c,三角形是直角三角形。三角形是直角三角形。8 8、ABC 的两边分别为 5,125,12，另一边为奇数，且a+b+ca+b+c是 3 的倍数，那么 c应为，此三角形为。考点：勾股定理的逆定理分析：根据三角形的三边关系知，求得第三边 c 应满足 12-5=7c5+12=17，又因为这个数及 a+b 的和又是 3 的倍数，那么可求得此数，再根据直角三角形的判定方法判定三角形解答：解：12-5=7c5+12=1
10、7，c 又为奇数，满足从 7 到 17 的奇数有 9，11，13，15，及 a+b 的和又是 3 的倍数，a+b+c=30，c=1352+122=132，ABC 是直角三角形点评：此题考察了由三角形的三边关系确定第三边的能力，还考察直角三角形的判定隐含了整体的数学思想和正确运算的能力9 9：求：求（1）假设三角形三条边的长分别是 7,24,257,24,25，那么这个三角形的最大内角是90度。考点：勾股定理的逆定理分析：根据三角形的三条边长，由勾股定理的逆定理判定此三角形为直角三角形，那么可求得这个三角形的最大内角度数解答：解：三角形三条边的长分别为 7，24，25，72+242=252，这个
11、三角形为直角三角形，最大角为 90这个三角形的最大内角是 90 度点评：此题考察勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可2 2三角形三边的比为 1 1：3：2 2，那么其最小角为300。考点五考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题1、某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，那么在AB段楼梯所铺地毯的长度应为2+23米分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台阶的高度之和恰好是直角三角形 ABC 的直角边 BC 的长度
12、，所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形 ABC 的直角边 AC 的长度，只需利用勾股定理，求 得这两条线段的长即可。考点六、利用列方程求线段的长方程思想考点六、利用列方程求线段的长方程思想、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？设旗杆高度 h(h+1)=5+hABCh=12旗杆高 12 米2、一架长m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底m如图，如果梯子的顶端沿墙下滑m，那么梯子底端将向左滑动米利用勾股定理计算原来墙高。-23、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离
13、为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离大于1 米，答:解:底端滑动大于 1(1 分)，理由:在 RtACB 中，BC2+AC2=AB2，BC=681022(2 分)又AA=1，AC=7，在 RtACB中，BC=5171022，(2 分)BB=BC-BC=51-67-6=1，底端滑动大于 1m.(1 分)4、在一棵树 1010 m m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m20m 处的池塘A 处；另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？分析：如下图，其中一只猴子从共 30m，另一只猴子从也
14、共走了 30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。，由题意知解：如图，设，解之得中，答：这棵树高 15m。【点拨】：此题的关键是依题意正确地画出图形，在此根底上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。?C?A?D?B5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸单位：mm计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 100mmAC=120-60=60BC=140-60=80AB=100mm6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了10米从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答解：过点 D 作
15、DEAB 于 E，连接 BD在 RtBDE 中，DE=8 米，BE=8-2=6 米根据勾股定理得 BD=10 米7、如图 18-15 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走 8km8km，又往北走 2km2km，遇到障碍后又往西走 3km3km，再折向北方走到 5km5km 处往东一拐，仅1km1km就找到了宝藏，问：登陆点A处到宝藏埋藏点B处的直线距离是多少？解析：试题分析：要求 AB 的长，需要构造到直角三角形中连接 AB，作 BC 垂直于过 A 的水平线于 C在直角三角形 ABC 中，得 AC=8-3+1=6，BC=5+2=7再运用勾股定理计算即可过点 B 作 BCAC，垂足
16、为 C观察图形可知 AC=AF-MF+MC=8-3+1=6，BC=2+5=7答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是考点：勾股定理的应用点评：解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解注意所求距离实际上就是 AB 的长60120140B60AC第 5 题图 7考点七：折叠问题考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6AC=6，BC=8BC=8，将ABC 折叠，使点B 及点 A 重合，折痕为 DE，那么 CD 等于讲完知识点梳理后作做问题延伸题举一反三：BE 的长？求折痕 DE 的长？A.425B.322C.47D.35解：由题意得 DB=AD；设 CD=xcm，那
17、么AD=DB=8-xcm，C=90，解得 x=，即 CD=cm应选 C知识点梳理知识点梳理1 1、翻折变换折叠问题2、等腰三角形的性质3、勾股定理的性质一、翻折变换折叠问题1、折叠问题翻折变换实质上就是轴对称变换2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系4、在矩形纸片折叠问题中，重合局部一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为 x，然后根据
18、轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解二、等腰三角形的性质定理：1.等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合简写成“等腰三角形的三线合一垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高及底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。9.等腰三角形中腰大于高。10.等腰三角形底边
19、延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高。2、如下图，ABC 中，C=90C=90，ABAB 的垂直平分线交 BCBC于 M，交 AB 于 N，假设 AC=4AC=4，MB=2MCMB=2MC，求 AB 的长解：连接 AMMN 是 AB 的垂直平分线，AMN BMN，MA=MB，B=BAMMB=2MC，MA=2MC，CAM=30，即CMA=60CMA=B+BAM 且B=BAM，B=30，AB=2AC=163、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,AB=8CM,BC=10CMAB=8CM,BC=10CM,求 CFCF和 ECEC。解：由翻折的性质可得：AD=
20、AF=BC=10，在 RtABF 中可得：BF=6，FC=BC-BF=4，设 CE=x，EF=DE=8-x，那么在 RtECF 中，ABCEFDEF2=EC2+CF2，即 x2+16=8-x2，解可得 x=3，故 CE=3cm解析：根据翻折的性质，先在 RTABF 中求出 BF，进而得出 FC 的长，然后设 CE=x，EF=8-x，从而在 RTCFE 中应用勾股定理可解出 x 的值，即举一反三：1、BF 的长？2、ECF 的面积？3、求折痕 AE 的长知识点梳理知识点梳理1 1、翻折变换折叠问题2、矩形的性质3、勾股定理的性质平行四边形轴对称图形，它有 2 条对称轴。4、如图，在长方形 ABC
21、D 中，DC=5DC=5，在 DC 边上存在一点 E，沿直线 AE 把ABC折叠，使点 D 恰好在 BC 边上，设此点为 F，假设ABFABF 的面积为 3030，求折叠的AED 的面积分析：根据三角形的面积求得 BF 的长，再根据勾股定理求得 AF 的长，即为 AD 的长；设DE=x，那么 EC=5-x，EF=x根据勾股定理列方程求得 x 的值，进而求得AED 的面积解：由折叠的对称性，得 AD=AF，DE=EF由 SABF=BFAB=30，AB=5，得 BF=12在 RtABF 中，由勾股定理，得所以 AD=13设 DE=x，那么 EC=5-x，EF=x，FC=1，在 RtECF 中，EC
22、2+FC2=EF2，即5-x2+12=x2解得故点评：此题主要是能够根据轴对称的性质得到相等的线段，能够熟练根据勾股定理列方程求得未知的线段5、如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9AD=9，宽 AB=3AB=3，将其折叠，使点 D 及点 B重合，那么折叠后 DE 的长是多少？举一反三：题干不变，求折痕 EF 的长？利用直角三角形 ABE 可求得 BE，也就是 DE 长，构造 EF 为斜边的直角三角形，进而利用勾股定理求解解：连接 BD 交 EF 于点 O，连接 DF根据折叠，知 BD 垂直平分 EF根据 ASA 可以证明DOEBOF，得 OD=OB那么四边形 BEDF 是菱形设 DE=x，
23、那么 CF=9-x在直角三角形 DCF 中，根据勾股定理，得：x2=9-x2+9解得：x=5在直角三角形 BCD 中，根据勾股定理，得 BD=3，那么 OB=在直角三角形 BOF 中，根据勾股定理，得 OF=，那么 EF=6、如图，在长方形 ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置，CE 及 AD 交于点 F。1试说明：AF=FCAF=FC；2如果 AB=3AB=3，BC=4BC=4，求 AF 的长举一反三：试说明EF=DF)试题分析：1观察图形，可得 AE=DC，又FEA=DFC，AEF=CDF，由全等三角形判定方法证AEFCDF，即得 EF=DF，从而得到 AFFC.2在 Rt
24、CDF 中应用勾股定理即可得.试题解析：1证明：由矩形性质可知，AE=AB=DC，根据对顶角相等得，EFA=DFC，而E=D=90，由 AAS 可得，AEFCDF。AFFC.2设 FA=x，那么 FC=x，FD=，在 RtCDF 中，CF2=CD2+DF2，即，解得 x=.考点:1.翻折变换折叠问题;2.矩形的性质;3.全等三角形的判定及性质;4 勾股定理.7、如图 2 所示，将长方形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处，CE=3cmCE=3cm，AB=8cmAB=8cm，那么图中阴影局部面积为_ 原题图不标准重新画一个图解：设 AD=x，那么 AF=x在
25、RtABF 中，解得8、如图 2-3，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，AB=3AB=3，BC=7BC=7，重合局部EBD 的面积为_举一反三：假设AD=8，AB=4，求重叠局部即BED 的面积？=10)S SBEDBED=DEDE ABAB，所以需求 DE 的长根据CBD=DBC=BDA 得 DE=BE，设 DE=x，那么 AE=7-x根据勾股定理求 BE 即 DE 的长解：ADBC矩形的性质，DBC=BDA两直线平行，内错角相等；CBD=DBC反折的性质，CBD=BDA等量代换，DE=BE等角对等边；设 DE=x，那么 AE=7-x在ABE 中，x2=3
26、2+7-x2解得 x=729SDBE=217293=1487故答案是：14879 9、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 及 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后及 BC 边交于点 G。如果 M 为 CD 边的中点，求证：DEDE：DMDM：EM=3EM=3：4 4：5 5举一反三：如果 DM：MC=3：2，那么 DE：DM：EM=()=8：15：17析：1正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为 a，DE 为 x，那么根据折叠知道 DM=，EM=EA=a-x，然后在 RtDEM 中就可以求出 x，这样 DE，D
27、N，EM 就都用 a 表示了，就可以求出它们的比值了；解：1证明：设正方形边长为 a，DE 为 x，那么 DM=，EM=EA=a-x在 RtDEM 中，D=90，DE2+DM2=EM2x2+2=a-x2x=EM=DE：DM：EM=3：4：5；知识点梳理知识点梳理四边形、平行四边形轴对称图形，它有 4 条对称轴。6.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线及边的夹角是45。10、如图 2-5，长方形 ABCDABCD 中，中，AB=3AB=3，BC=4BC=4，假设将该矩形折叠，使 C 点及 A点重合，那么折叠后痕迹 EFEF 的长为 B B 分析：先连接 AF，由于矩形关
28、于 EF 折叠，所以 EF 垂直平分 AC，那么就有AF=CF，又 ABCD 是矩形，那么 AB=CD，AD=BC，在 RtABF 中，设 CF=x，利用勾股定理可求出 CF=，在 RtABC 中，利用勾股定理可求 AC=5，在 RtCOF 中再利用勾股定理可求出 OF=，同理可求 OE=，所以 EF=OE+OF=解答：解：连接 AF点 C 及点 A 重合，折痕为 EF，即 EF 垂直平分 AC，AF=CF，AO=CO，FOC=90又四边形 ABCD 为矩形，B=90，AB=CD=3，AD=BC=4设 CF=x，那么 AF=x，BF=4-x，在 RtABC 中，由勾股定理得AC2=BC2+AB
29、2=52，且 O 为 AC 中点，AC=5，OC=AC=AB2+BF2=AF232+4-x2=x2x=FOC=90，OF2=FC2-OC2=2-2=2OF=同理 OE=即 EF=OE+OF=点评：此题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分，以及矩形性质，勾股定理等知识11、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm10cm，宽为 4cm4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上不及 A、D 重合，在 AD上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 及点 C？假设能，请你求出这时 AP 的长；假设不能，请说明理由.再次移动
30、三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 及 DC 的延长线交于点 Q，及 BC 交于点 E，能否使CE=2cmCE=2cm？假设能，请你求出这时 AP 的长；假设不能，请你说明理由.1设两直角边 PH，PF 能分别通过点 B 及点 C，HPF=90，PB2+PC2=BC2=100 又设 PA=x，A=D=90，在ABP，PDC 中PA2+AB2=PB2，PD2+CD2=PC2PA+PD=AD=10，AB=CD=4x2+16+(10-x)2+16=PB2+PC2=100化简得:x2-10 x+16=0即(x-5)29，所以 x-53，解之得
31、:x1=2，x2=8210，810当 PA=2cm 或 8cm 时，三角板两直角边 PH，PF 分别通过点 B，C.2如图2，过点 E 作 EGAD 于点 G，PGE=90根据题意得：DG=CE=2，EG=CD=4BE+CE=BC=10BC=8在PBE 中，BPE=90 PB2+PE2=BE2=64又A=D=90 AP2+AB2=PB2，PG2+PG2+EG2=PE2而 AB=EG=4，设 AP=X，那么 PG=8-xx2+16+(8-x)2+16=64 化简得:x2-8x+16=0解之得:x1=x2=4答：当 AP=4 时，PH 经过点 B，PF 及 BC 交于点 E，且 CE=2cm.12
32、、如下图，ABC 是等腰直角三角形，AB=ACAB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDEDFDF，假设 BE=12BE=12，CF=5CF=5求线段 EF 的长。举一反三：如图，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF。(1)请说明：DE=DF；(2)请说明：BE2+CF2=EF2；(3)假设 BE=6，CF=8，求DEF 的面积。(直接写结果)答案：解：1连接 AD因为ABC 是等腰直角三角形，且 D 为斜边 BC 中点所以，ADBC且 AD 平分BAC，AD=BD=CD所
33、以，DAE=C=45又 DEDF所以，EDA+FDA=90而，CDF+FDA=90所以，EDA=CDF那么，在ADE 和CDF 中：DAE=DCFC=45已证DA=DC已证EDA=CDF已证所以，ADECDF所以，AE=CF，DE=DF。2因为 AE=CF，AB=AC所以 AB-AE=AC-CF即 BE=CFRtAEF 中，A=90 度所以所以。3DEF 的面积为 25。13、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPNQPN3030，点 A 处有一所中学，APAP160m160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN
34、 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为 18km/h18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？【答案】分析：作 AHMN 于 H，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AH=PA=80m，由于这个距离小于 100m，所以可判断拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校受到噪音影响；然后以点A 为圆心，100m 为半径作A 交 MN 于 B、C，根据垂径定理得到 BH=CH，再根据勾股定理计算出BH=60m，那么 BC=2BH=120m，然后根据速度公式计算出拖拉机在线段 BC 上行驶所需要的时间解答：解：学校受到噪音影响理由如下：作 AHMN
35、 于 H，如图，PA=160m，QPN=30，AH=PA=80m，而 80m100m，拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校受到噪音影响，以点 A 为圆心，100m 为半径作A 交 MN 于 B、C，如图，AHBC，BH=CH，在 RtABH 中，AB=100m，AH=80m，BH=60m，BC=2BH=120m，拖拉机的速度=18km/h=5m/s，拖拉机在线段 BC 上行驶所需要的时间=24秒，学校受影响的时间为 24 秒点评：此题考察了直线及圆的位置关系：设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，直线 l 和O相交dr；直线 l 和O 相切d=r；当直线 l 和O
36、 相离dr也考察了垂径定理、勾股定理以及含 30 度的直角三角形三边的关系考点八：应用勾股定理解决勾股树问题考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，那么正方形 A A，B B，C C，D D 的面积的和为25根据题意仔细观察可得到正方形 A，B，C，D 的面积的和等于最大的正方形的面积，最大的正方形的边长那么不难求得其面积解：由图可看出，A，B 的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；C，D 的面积和等于及其相邻的三角形的斜边的平方，即等于最大正方形的另一直
37、角边的平方，那么 A，B，C，D 四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，因为最大的正方形的边长为 5，那么其面积是 25，即正方形 A，B，C，D 的面积的和为 25故答案为 252、ABC是边长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是解：根据勾股定理，第 1 个等腰直角三角形的斜边长是，第 2 个等腰直角三角形的斜边长是 2=2，第 3 个等腰直角三角形的斜边长是 2=3，第 n 个等腰直角三角形的
38、斜边长是n解析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论考点九、图形问题考点九、图形问题1 1、如图 1，求该四边形的面积2 2、如图 2，在ABC中，A A=4545，ACAC=2 2，ABAB=3 3+1+1，那么边 BC 的长为23 3、某公司的大门如下图,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3=2.3，=2=2,现有一辆装满货物的卡车,高为,宽为,问这辆卡车能否通过公司的大门并说明你的理由ABCDEFG?4?3?12?13?B?C?D?A.注意：答案所标字母顺序及题干不一样考点：勾股定理分析：因为上部是以 AB 为直径的半圆，O 为 AB 中点，同时也为半圆
39、的圆心，OG 为半径，OF 的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出 GF 的长度EF 的长度等于 BC 的长度如果 EG 的长度大于 2.5 货车可以通过，否那么不能通过解答：解：能通过，理由如下：设点 O 为半圆的圆心，那么 O 为 AB 的中点，OG 为半圆的半径，如图，直径 AB=2，2=0.8，在 RtOFG 中，FG2=OG2-OF2=122=0.36；EG=0.6+2.3=2.92.5能通过点评：此题考点：勾股定理的应用首先根据题意化出图形OG 长度为半圆的半径，OF 为货车宽的一半，根据勾股定理可求出 FG 的长度从而可求出 EG 的长度判断 EG长度及 2.5 的大小关系，如
40、果 EG 大于 2.5 可以通过，否那么不能通过4 4、将一根长 2424 的筷子置于地面直径为 5 5，高为 1212 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h h，那么 h h 的取值范围。先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可解：当筷子及杯底垂直时 h 最大，h 最大=24-12=12cm当筷子及杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小，如下图：此时，AB=13cm，故 h=24-13=11cm故 h 的取值范围是 11cmh12cm5、如图，铁路上 A、B 两点相距 25km25km，C C、D D 为两村庄，DA垂直 AB 于 A，CB 垂直 AB 于 B，AD=15kmAD=1
41、5km，BC=10kmBC=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，那么 E 站建在距 A 站多少千米处？由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形 DAE 和直角三角形CBE 中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，AD2+AE2=BE2+BC2，设 AE 为 x，那么 BE=25-x，将BC=10 代入关系式即可求得解：C、D 两村到 E 站距离相等，CE=DE，在 RtDAE 和 RtCBE 中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，AD2+AE2=BE2+BC2设 AE 为 x，那么 B
42、E=25-x，将 BC=10，DA=15 代入关系式为 x2+152=25-x2+102，整理得，50 x=500，解得 x=10，E 站应建在距 A 站 10km 处考点十：其他图形及直角三角形考点十：其他图形及直角三角形1、如图是一块地，AD=8mAD=8m，CD=6mCD=6m，D=90D=90，AB=26mAB=26m，BC=24mBC=24m，求这块地的面积。考点十一：及展开图有关的计算考点十一：及展开图有关的计算1、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD的外表上，求从顶点 A 到顶点 C的最短距离解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短知，线段 AC1即为最短路线正方
43、体的边长为 1，AC1=举一反三：举一反三：、如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由 A 出发，在盒子的外表上爬到点 C1，AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是_cm解析：题中由 A 出发，在盒子的外表上爬到点 C1，有两种爬法，即从前面到上面和从前面到右面，将两种爬法所经过的面分别展开，构成两个长方形，连接 AC1，用勾股定理求出距离再比拟即可解：1如图 2，经过上面，AC1=cm2如图 3，经过右面，AC1=cm，所以此题答案为cm如图，长方体的长 BE=17cm，宽 AB=7cm，高 BC=7cm，一只小蚂蚁从长方体外表由 A 点爬到 D 点去吃食物，那么小
44、蚂蚁走的最短路程是_cm解析：蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视或正视和侧视二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比拟大小即可求得最短路程解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，那么这个长方形的长和宽分别是 24 和 7，那么所走的最短线段是=25；第二种情况：把我们看到的左面及上面组成一个长方形，那么这个长方形的长和宽分别是 17 和 14，所以走的最短线段是=；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，那么这个长方形的长和宽分别是 10 和 4，所以走的最短线段是=25；三种情况比拟而言，第二种情况最短故答案为：知识点梳理：知识点梳理：平面展开最短路径问题求解方法：
45、解决此类问题时，要先确定好该路径的起点终点，以及立方体的平面展开图，借助勾股定理来求得路径的长度。由于展开的方法可以多种，因此对于路径的求解也是有多种方法，在这里必定有一个最小值，此值为最短路径。2、如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，那么最少要爬行cm3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进展电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线分析：设正方形的边长为 a，计算出各
46、种情况时正方形的面积，然后进展比拟从而解得解答：解：方案4最省电线，提示：设正方形边长为 a，那么方案需用线 3a，方案需用线 3a，方案需用线a，如下图：AD=a，AG=，AE=，GE=，EF=a-2GE=a-方案需用线故方案最省线点评：此题考察了正方形的性质，设其正方形边长，分别计算出各自的面积，进展比拟而得AB考点十二、航海问题考点十二、航海问题1 1、一轮船以 1616 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 1212 海里/时的速度从 A 港向西北方向航行，经过小时后，它们相距_海里根据题意画出图形，根据题目中 AB、AC 的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解
47、答解：如图，由图可知 AC=161.5=24 海里，AB=121.5=18 海里，在 RtABC 中，BC=302 2、如图，某货船以 2424 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的M M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东东 6060的方向上。该货船航行 3030 分钟分钟到达 B处，此时又测得该岛在北偏东 3030的方向上，在 C 岛周围 9 9 海里海里的区域内有暗礁，假设继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。分析：过点 C 作 CDAD 于点 D，分别在 RTCBD、RTCAD 中用式子表示 CD、AD，再根据求得 BD、CD 的长，从而再将 CD 于
48、9 比拟，假设大于 9 那么无危险，否那么有危险解答：解：过点 C 作 CDAD 于点 D，EAF=60，FBC=30，CAB=30，CBD=60在 RTCBD 中，CD=BD在 RTCAD 中，AD=CD=3BD=240.5+BD，BD=6CD=669，货船继续向正东方向行驶无触礁危险点评：解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线知识点梳理知识点梳理解直角三角形的应用方向方向角的定义：指北或指南方向线及目标方向线所成的小于 90的角叫做方位角。方位角问题的实际应用题解法：直接或间接把问题放在直角三角形中，解题时应善于发现直角三角形，用三角函数
49、等知识解决问题。3、如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 15km/h 的速度向 D 移动，城市 A 到 BC 的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？考点十三、网格问题考点十三、网格问题1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 1，那么网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是C解：根据题意得：AC=5，AB=，BC=，所以边长为无理数的边数有 2
50、 个A A0 0B B1 1C C2 2D D3 32 2、如图，正方形网格中的ABC，假设小方格边长为 1 1，那么ABC 是 A 3 3、如图，小方格都是边长为 1 的正方形,那么四边形 ABCD 的面积是()解：如图：小方格都是边长为 1 的正方形，四边形 EFGH 是正方形，SEFGH=EFFG=55=25SAED=DEAE=12=1，SDCH=CHDH=24=4，SBCG=BGGC=23=3，SAFB=FBAF=33=4.5S四边形 ABCD=SEFGH-SAED-SDCH-SBCG-SAFB=25-1-4-3-4.5=12.5应选 B?B?C?A?D?B?C?AABC D C B