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1、说明：本卷中，说明：本卷中，AT表示矩阵表示矩阵 A 的转置，的转置，T表示向量表示向量的转置，的转置，E 表示单位矩阵，表示单位矩阵，|A|表示方阵表示方阵 A 的行列式，的行列式，A-1表示方阵表示方阵 A 的逆矩阵，的逆矩阵，rA表示矩阵表示矩阵 A 的秩的秩.一、单项选择题本大题共一、单项选择题本大题共 10 小题，每题小题，每题 2 分，共分，共 30 分分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。内。错选、多项选择或未选均无分。111103422
2、2,1111304zyxzyx则行列式B.132A.38D.C.22.设 A，B，C 为同阶可逆方阵，那么ABC-1=B.C-1B-1A-1A.A-1B-1C-1D.A-1C-1B-1C.C-1A-1B-13.设1，2，3，4是 4 维列向量，矩阵 A=1，2，3，4.如果|A|=2，那么|-2A|=B.-4A.-32D.32C.44.设1，2，3，4是三维实向量，那么B.1一定可由2，3，4线性表出A.1，2，3，4一定线性无关D.1，2，3一定线性无关C.1，2，3，4一定线性相关5.向量组1=1，0，0，2=1，1，0，3=1，1，1的秩为B.2A.1D.4C.36.设 A 是 46 矩
3、阵，rA=2，那么齐次线性方程组 Ax=0 的根底解系中所含向量的个数是B.2A.1D.4C.37.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 只有零解，那么以下结论正确的选项是B.Ax=b其中 b 是 m 维实向量必有唯一解A.mnD.Ax=0 存在根底解系C.rA=m8.设矩阵 A=，那么以下向量中是 A 的特征向量的是B.1，1，3TA.1，1，1TD.1，0，-3TC.1，1，0T9.设矩阵 A=的三个特征值分别为1，2，3，那么1+2+3=B.5A.4D.7C.6的 矩 阵 为233222312121912464xxxxxxxxx10.三 元 二 次 型 f x1，x2，x3=B.A.D.C.
4、二、填空题本大题共二、填空题本大题共 10 小题，每题小题，每题 2 分，共分，共 20 分分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式=_.12.设 A=，那么 A-1=_.13.设方阵 A 满足 A3-2A+E=0，那么A2-2E-1=_.14.实数向量空间 V=x1,x2,x3|x1+x2+x3=0的维数是_.15.设1，2是非齐次线性方程组 Ax=bA52-41=_.16.设 A 是 mn 实矩阵，假设 rATA=5，那么 rA=_.17.设线性方程组有无穷多个解，那么 a=_.18.设 n 阶矩阵 A 有一个特征值 3
5、，那么|-3E+A|=_.19.设向量=1，2，-2，=2，a，3，且及正交，那么 a=_.的秩为_.323121232232184434),(xxxxxxxxxxxf20.二次型三、计算题本大题共三、计算题本大题共 6 小题，每题小题，每题 9 分，共分，共 54 分分21计算 4 阶行列式 D=.22.设 A=，判断 A 是否可逆，假设可逆，求其逆矩阵 A-1.23.设向量=3，2，求T101.24.设向量组1=1，2，3，6，2=1，-1，2，4，3=-1，1，-2，-8，4=1，2，3，2.1求该向量组的一个极大线性无关组；2将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.一、单项选择题本
6、大题共一、单项选择题本大题共 20 小题，每题小题，每题 1 分，共分，共 20 分分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。内。错选、多项选择或未选均无分。1.2 阶行列式=m,=n,那么=A.m-nB.n-mC.m+nD.-m+nA,B,C 均为 n 阶方阵，AB=BA，AC=CA，那么 ABC=A.ACBB.CABC.CBAD.BCAA 为 3 阶方阵，B 为 4 阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，那么行列式|B|A|之值为A=，B=，P
7、=，Q=，那么 B=A.PAB.APC.QAD.AQA 是一个 34 矩阵，以下命题中正确的选项是A 中存在 2 阶子式不为 0，那么秩A=2A 中所有 3 阶子式都为 0，那么秩A=2C.假设秩A=2，那么 A 中所有 3 阶子式都为 0D.假设秩A=2，那么 A 中所有 2 阶子式都不为 0错误的选项是1,2,3线性无关，1,2,3，线性相关，那么A.1必能由2,3，线性表出B.2必能由1,3，线性表出C.3必能由1,2，线性表出D.必能由1,2,3线性表出A 为 mn 矩阵，mn,那么齐次线性方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 A 的秩mmnnA 为可逆矩阵，那么及 A 必有一样
8、特征值的矩阵为A.ATB.A2C.A-1D.A*的正惯性指数为212322212xxxxxfx1,x2,x3=二、填空题本大题共二、填空题本大题共 10 小题，每题小题，每题 2 分，共分，共 20 分请在每题的空格中填上正确答案。错分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。填、不填均无分。11.行列式的值为_.,那么 ATB=_.1002A=,B=3，那么=_.3,-1,0,2T,=3,1,-1,4T，假设向量满足 2,那么|A-1|=_.n1A 为 n 阶可逆矩阵，且|A|=A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，假设 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，那么
9、|A|=_.16.齐次线性方程组的根底解系所含解向量的个数为_.n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是-3，那么矩阵必有一个特征值为_.A=的特征值为 4，1，-2，那么数 x=_.A=是正交矩阵，那么 a+b=_。fx1,x2,x3=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_。三、计算题本大题共三、计算题本大题共 6 小题，每题小题，每题 9 分，共分，共 54 分分D=的值。B=2，1，3，C=1，2，3，求1A=BTC；2A2。求向量组的秩及一个极大线性,T4T3T2T1(1,1,1,1)(-1,1,-3,0(1,2,0,1)(2,1,3,1)无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其
10、余向量。A=，B=.1求 A-1；2解矩阵方程 AX=B。a 为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的根底解系表示全部解。A=的三个特征值分别为 1，2，5，求正的常数 a 的值及可逆矩阵 P，使 P-1AP=。四、证明题此题四、证明题此题 6 分分A，B，A+B 均为 n 阶正交矩阵，证明A+B-1=A-1+B-1。试卷说明：在本卷中，试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵表示矩阵 A 的转置矩阵；的转置矩阵；A*表示表示 A 的伴随矩阵；的伴随矩阵；R(A)表示表示矩阵矩阵 A 的秩；的秩；|A|表示表示 A 的行列式；的行列式；E 表
11、示单位矩阵。表示单位矩阵。1.设 3 阶方阵 A=1，2，3，其中i(i=1,2,3)为 A 的列向量，假设|B|=|1+22，2，3|=6，那么|A3设 A=，那么|2A*1，2，3，4都是 3 维向量，那么必有B.1，2，3，4线性相关A.1，2，3，4线性无关D.1不可由2，3，4线性表示C.1可由2，3，4线性表示5假设 A 为 6 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 的根底解系中解向量的个数为 2，那么D5B 3C4R(A)=A26 设 A、B 为 同 阶 矩 阵，且 R(A)=R(B)，那 么 A A 及 B 相 似DA 及 B 合同B|A|=|B|CA 及 B 等价B 2C 37设
12、 A 为 3 阶方阵，其特征值分别为 2，l，0 那么|A+2E|=A0D24BBA 及8假设 A、B 相似，那么以下说法错误的选项是AA 及 B 等价DA 及 B 有一样特征合同 C|A|=|B|B 0C 29假设向量=(1，-2，1)及=(2，3，t)正交，那么 t=A-2D4BA 半10设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 2，l，0，那么AA 正定DA 半负定正定 CA 负定二、填空题(本大题共 10 小题,每题 2 分，共 20 分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。A=,B=，那么 AB=_.12设 A 为 3 阶方阵，且|A|=3，那么|3A-l|=_.13三元
13、方程 x1+x2+x3=0 的构造解是_.14设=(-1，2，2)，那么及反方向的单位向量是_15设 A 为 5 阶方阵，且 R(A)=3，那么线性空间 W=x|Ax=0的维数是_，l，那么|5A-1|=_2116设 A 为 3 阶方阵，特征值分别为-2，17假设 A、B 为同阶方阵，且 Bx=0 只有零解，假设 R(A)=3，那么 R(AB)=_-x2x3所对应的矩阵是_.22x-2x1x2+21x18二次型 f(x1，x2，x3)=，且 R(A)=2,那么 Ax=b 的通解是_.321，2=321Ax=b 有解1=，那么 A=T的非零特征值是_.321=三、计算题(本大题共 6 小题，每题
14、 9 分，共 54 分)21计算 5 阶行列式 D=X 满足方程 X=求 X.的构造解.1=1，2，3，4，2=0，-1，2，3，3=2，3，8，11，4=2，3，6，8的秩.所对应的特征值，并写出对应于这个特=1，1，-1T，求 a,b 及A=的一个特征向量征值的全部特征向量.为标准形，并写出所用的正交变换.32232221422xxxxxf(x1,x2,x3)=四、证明题本大题共 1 小题，6 分27设1，2，3是齐次线性方程组 Ax=01，1+2，2+3也是 Ax=0 的根底解系.说明说明:在本卷中在本卷中,AT表示矩阵表示矩阵 A 的转置矩阵的转置矩阵,A*表示矩阵表示矩阵 A 的伴随
15、矩阵的伴随矩阵,E 是单位矩阵是单位矩阵,|A|表示表示方阵方阵 A 的行列式的行列式,r(A)表示矩表示矩 A 的秩的秩.一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 10 小题，每题小题，每题 2 分分,共共 20 分分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。内。错选、多项选择或未选均无分。1.设 A 为 3 阶矩阵,|A|=1,那么|-2AT|=(),B=(1,1),那么 AB=()112.设矩阵 A=D.11A.0B.(1,-1)C.3.设
16、 A 为 n 阶对称矩阵,B 为 n 阶反对称矩阵,那么以下矩阵中为反对称矩阵的是()*=,那么 A-1=()21D.21C.21B.21A.不是初等矩阵的是()D.A.B.C.6.设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,那么必有()D.AB+BA 可逆 A.A+B 可逆B.AB 可逆C.A-B 可逆1=(1,2),2=(0,2),=(4,2),那么()A.1,2,线性无关B.不能由1,2线性表示C.可由1,2线性表示,但表示法不惟一D.可由1,2线性表示,且表示法惟一8.设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的全部特征值为 0,1,1,那么齐次线性方程组(E-A)x=0 的根底解系所含解向量的个数为(
17、)为()9.设齐次线性方程组有非零解,那么10.设二次型 f(x)=xTAx 正定,那么以下结论中正确的选项是()A.对任意 n 维列向量 x,xT二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 10 小题，每题小题，每题 2 分，共分，共 20 分分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。的值为_.211012.A=,那么|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_.13.设矩阵 A=,P=,那么 AP3=_.14.设 A,B 都是 3 阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,那么|A-1B|=_.1,=(1,2,3),2=(3,-1,2),3=(2,
18、3,k)线性相关,那么数 k=_.16.Ax=b 为 4 元线性方程组,r(A)=3,1,2,3为该方程组的 3 个解,且那么该线性方程组的通解是_._.)P,P(,201,231则内积17.P 是 3 阶正交矩,向量18.设 2 是矩阵 A 的一个特征值,那么矩阵 3A 必有一个特征值为_.19.及矩阵 A=相似的对角矩阵为_.20.设矩阵 A=,假设二次型 f=xTAx 正定,那么实数 k 的取值范围是_.三、计算题三、计算题(本大题共本大题共 6 小题，每题小题，每题 9 分，共分，共 54 分分)21.求行列式 D=求满足矩阵方程 XA-B=2E 的矩阵 X.,000012021B,1
19、0000101022.设矩阵 A=的秩为 2,求 k 的值.k202,k62,311,1114321.012b,121011322A(1)求 A-1;(2)求解线性方程组 Ax=b,并将 b 用 A 的列向量组线性表出.25.3 阶矩阵 A 的特征值为-1,1,2,设 B=A2+2A-E,求(1)矩阵 A 的行列式及 A 的秩.(2)矩阵 B 的特征值及及 B 相似的对角矩阵.26.求二次型 f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形.四、证明题四、证明题(此题此题 6 分分).12=E,证明 A 的特征值只能是说明：本卷中，AT表示矩阵 A 转置
20、，det(A)表示方阵 A 的行列式，A-1表示方阵 A 的逆矩的内积，E 表示单位矩阵，)表示向量，阵，(一、单项选择题(本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无D47B45C461设 A 是 4 阶方阵，且 det(A)=4，那么 det(4A)=()A44D-A+EBA-EC-A-E2A2+A+E=0，那么矩阵 A-1=()AA+E3设矩阵 A，B，C，X 为同阶方阵，且 A，B 可逆，AXB=C，那么矩阵 X=()DCB-1A-1AA-1CB-BCA-1B-1CB-1A-1
21、C4设 A 是 sn 矩阵(sn)，那么以下关于矩阵 A 的表达正确的选项是()DAAT是 ss 对称矩阵AATA 是 ss 对称矩 BATA=AATC(ATA)T=AAT5是四维向量，那么()4，3，2，1，5设5一定线性相关4，3，2，l，5一定线性无关 B4，3，2，l，A5线4，3，2，1一定可以由4线性表出 D3，2，1，5一定可以由C性表出6设 A 是 n 阶方阵，假设对任意的 n 维向量 X 均满足 AX=0，那么()AA=0D0秩(A)nBA=EC秩(A)=n7设矩阵 A 及 B 相似，那么以下结论不正确的选项是()DA 及 B 的特征向量一定一 A秩(A)=秩(B)BA 及
22、B 等价 CA 及 B 有一样的特征值样EMBED Equation.31为 矩 阵 A=的 三 个 特 征 值，那 么3，2，18 设D30B20C24=()A1032的 秩 为()A 1323121232221222xxxxxxxxx9 二 次 型 f(x1，x2，x3)=D4 B2C310设 A，B 是正定矩阵，那么()DA-B 一定 AAB 一定是正定矩阵 BA+B 一定是正定矩阵 C(AB)T一定是正定矩阵是负定矩阵二、填空题(本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分)11设 A=，k 为正整数，那么 Ak=12设 2 阶可逆矩阵 A 的逆矩阵 A-1=，那么矩阵 A=_13
23、设同阶方阵 A，B 的行列式分别为-3，5，那么 detAB=_.,那 么=3+满 足 2=-3，1，5，7 ，向 量=(6,-2,0,4),14 设 向 量=_.15实数向量空间 V=(x1,x2,xn)|3 x1+x2+xn=0的维数是_16矩阵 A=的秩=_.=_.217是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，那么 A321,17设18设方阵 A 有一个特征值为 0，那么 det(A3)=_.19设 P 为正交矩阵，假设Px,Py=8,那么x,y=_.是正定二次型，那么 t 满足_.31212322212224xxxtxxxx20设 f(x1，x2，x3)=三、计算题本大题共 6 小题，每
24、题 9 分，共 54 分bacc2c2b2cabb2a2a2cba21计算行列式22判断矩阵 A=是否可逆，假设可逆，求其逆矩阵=(-1，2，-7，-4=(3，1，1，1),3=(2，5，-6，-5),2=(1，2，-1，-2),123求向量组3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来的一个根底解系及其构造解03204230532432143214321xxxxxxxxxxxx24求齐次线性方程组25求矩阵 A=的特征值和特征向量26写出以下二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型32312122216223xxxxxxxxf(x1，x2，x3)=四、证明题(本大题共 1
25、 小题，6 分)27设方阵 A 满足(A+E)2=E，且 B 及 A 相似，证明：B2+2B=0说明：AT表示矩阵 A 的转置矩阵，A*表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式。1.以下等式中，正确的选项是120120035035D.A.B.C.D.0B.2C.1 2.设矩阵 A A=，那么矩阵 A A 的列向量组的秩为A.3-2-b1=3，-8，假设有常数 a,b 使 a3=1，-2，2=-1，4，1 3.设向量=0,那么3 D.a=1,b=2A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2=4，9，0的极大线4=3，6，0，3=2，4，0，2
26、=1，2，0，1 4.向量组性无关组为3，2 D.2，1 C.3，1 B.4，1 A.5.以下矩阵中，是初等矩阵的为D.A.B.C.6.设 A、B 均为 n 阶可逆矩阵，且 C=，那么 C-1是D.A.B.C.7.设 A A 为 3 阶矩阵，A A 的秩 r(A A)=3，那么矩阵 A A*的秩 r(A A*)=A.0B.1C.2D.343=3 是可逆矩阵 A A 的一个特征值，那么矩阵有一个特征值等于A.8.设43D.34C.34B.=0 的特征向量为9.设矩阵 A=，那么 A 的对应于特征值D.0，1，1TA.0，0，0TB.0，2，-1TC.1，0，-1T10.以下矩阵中是正定矩阵的为D
27、.A.B.C.二、填空题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分11.行列式=_A=，B=1，2，3，那么 BA=_._.A，B 为 n 阶方阵，且 AB=E，A-1B=B-1A=E，那么 A2+B2=_.的单位化向量为_.=1，2，3，4，那么，那么|A3|=_.12A 的行列式|A|=_.+3=1，0，-1那么=1，-3，3，A 的各行元素之和均为 0，且 A 的秩为 n-1，那么齐次线性方程组 Ax=0 的通解为_.19.设 1，2，n 是 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值，那么矩阵 A 的行列式|A|=_.20.二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩为
28、_.三、计算题本大题共 6 小题，每题 9 分，共 54 分21.矩阵 A=，B=，求：1ATB；2|ATB|.A=，B=，C=，且满足 AXB=C，求矩阵 X.=4,5,6,4T的秩及一4=3,4,3,4T，3=1,1,1,2T，2=(1,2,1,0)T，1 23.求向量组个极大线性无关组.是否有解，有解时求出它的解.12341234134xx3xx12xxx4x2x4x5x1=-1，0，1T，2=1，1，0T，1 两两3，2，1，使3；2求2，1 化为正交的2，1 1用施密特正交化方法将正交.，求所用的正2212y2y，经正交变换 x=Py 化成了标准形 f=22212313xxx2x x
29、26.二次型 f=交矩阵 P.四、证明题本大题共 6 分27.设 A 为 5 阶反对称矩阵，证明|A|=0.D49B-7C7=A-49TAA1设，那么D32B-8C8A-322A，那么4A 2设 A 为 3 阶方阵，且3设 A，B 为 n 阶方阵，且 AT=-A，BT=B，那么以下命题正确的选项是DB2+A 是对称阵A A+BT=A+BB ABT=-ABCA2是对称矩阵4设 A，B，X，Y 都是 n 阶方阵，那么下面等式正确的选项是D假设 A+X=B，A假设 A2=0，那么 A=0B AB2=A2B2C假设 AX=AY，那么 X=Y那么 X=B-AD4 B2C35设矩阵 A=，那么秩A=A1D
30、2B-1C06假设方程组仅有零解，那么 k=A-2B 1C 27实数向量空间 V=x1，x2，x3|x1+x3=0的维数是A0D3=有 无 穷 多 解，那 么12323232132(3)(4)(2)xxxxxxx8 假 设 方 程 组D4B2C3A19设 A=，那么以下矩阵中及 A 相似的是DABC，那么 fA正定 B不定 C负定2212323(,)f x x xxx10设实二次型D半正定11设 A=(-1,1,2)T，B=(0,2,3)T,那么|ABT|=_.为 A 的列向量，且|A|=2，那么(1,2,3)ii，其中123,A 12设三阶矩阵_.122123,13设，且秩(A)=3，那么
31、a,b,c 应满足_.14矩阵的逆矩阵是_.15三元方程 x1+x3=1 的通解是_.16A 相似于，那么|A-E|=_.17矩阵的特征值是_.18及矩阵相似的对角矩阵是_.19设 A 相似于，那么 A4_.20二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是_.三、计算题本大题共 6 小题，每题 9分，共 54 分21计算 4 阶行列式 D=.22设 A=，而 X 满足 AX+E=A2+X，求 X.的秩，并给出该向量组的一123412532101,32751253234123求向量组：个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.为何值时，齐次方程组有非零解
32、？并求其全部非零解.24当是 A 的2(2,2,1)T、1(1,1,1)T251,1,-1 是三阶实对称矩阵 A 的三个特征值，向量的特征向量.31 的特征向量，求 A 的属于121对应于26求正交变换 Y=PX，化二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形.四、证明题本大题 6 分也线性无关.1121323，线性无关，证明123，27设全国全国 2021 年年 10 月自学考试月自学考试线性代数线性代数(经管类经管类)试题试题说明：在本卷中，AT表示矩阵 A 的转置矩阵，A*表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 表示单位矩表示方阵 A 的行列式，r(A)表示矩阵 A
33、的秩。A阵。一、单项选择题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。A 的行列式为 2，那么()14B.A.-114C.的根的个数为()0f x 那么方程212()222122,323235xxxf xxxxxxx那么必有,ABA 为 n 阶方阵，将 A 的第 1 列及第 2 列交换得到方阵 B，假设0ABB.0AA.0ABD.0A C.A,B 是任意的 n 阶方阵，以下命题中正确的选项是22()()AB ABABB.222()2ABAABBA.222()ABA BD.()()()
34、()AEAEAEAEC.那么矩阵 A 的秩为0,0,1,2,3,iiabi其中1 11 21 32 1222 33 13 23 3,abababa ba ba ba ba ba bAA 的秩为 4，那么 A 的伴随矩阵 A*的秩为=1，-2，3及=2，k，6正交，那么数 k 为B.-4A.-108.线性方程组无解，那么数 a=()12A.12C.()A那么2(2)(3),EAA 的特征多项式为B.-6A.-18是正定矩阵，那么 A 的 3 个特征值可能为()ijaAB.-1，-2，3A.-1，-2，-3D.1，2，3C.-1，2，3二、填空题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分请在
35、每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设行列式其第 3 行各元素的代数余子式之和为_._.AB那么,aabbaabbAB_.()rAB那么103()2,020,103rABA 是 43 矩阵且14.向量组1，2,2，3 3，4的秩为_.1，2，r可由向量组1，2，,s线性表示，那么 r 及 s 的关系为_._.那么0,16.设方程组有非零解，且数EMBED Equation.DSMT4T1(1,2,3,4),的三个解1，2，3，x AbT23(3,5,7,9),r()3.A 那么方程组的通解是_.那么 A 的全部特征值为_.250,AAA 的秩为 2，且对应的特征向量为那么数 a=
36、_.2,A 的特征值为-1，1，2，那么该二次型的标准形为_.T123(,),f x xxxxA三、计算题本大题共 6 小题，每题 9 分，共 54 分求18,2.AB均为 3 维列向量，且23,其中2323(,2,3),(,),AB.AB11101110221011.1104321X1=1，1，1，3T，2=-1，-3，5，1T，3=3，2，-1，p+2T，4=3，2，-1，p+2T问 p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设 3 元线性方程组,1确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？2当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解要求用其一个特解和
37、导出组的根底解系表示.2.BA及方阵11A 的特征值为1求 B 的特征值；2求 B 的行列式.为标准形，并写出所作的可逆线性变换.2221231231223(,)22412f x xxxxxx xx x四、证明题(此题 6 分)0.AA 是 3 阶反对称矩阵，证明全国全国 20212021 年年 1 1 月自考月自考?线性代数(经管类)?试题试题课程代码：04184的长度，|表示向量 说明：本卷中，A-1表示方阵 A 的逆矩阵，r(A)表示矩阵 A 的秩，|的转置，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式.T表示向量 一、单项选择题一、单项选择题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 2
38、0 分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。=111213313233213122322333333aaaaaaaaaaaa1设行列式=2，那么B-3A-6D6C32设矩阵 A，X 为同阶方阵，且 A 可逆，假设 AX-E=E，那么矩阵 X=BE-AAE+A-1DE-A-1CE+A3设矩阵 A，B 均为可逆方阵，那么以下结论正确的选项是B不可逆A可逆，且其逆为D可逆，且其逆为C可逆，且其逆为k线性无关的充分必要条件 2，1，k是 n 维列向量，那么 2，1，4设是k中任意两个向量线性无关 2，1，A向量组k0 2+lk 1+
39、l2 B存在一组不全为 0 的数 l1，l2，lk，使得 l1k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 2，1，C向量组k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 2，1，D向量组=那么2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),TT 5向量B-2，0，-1，1TA 0，-2，-1，1TD 2，-6，-5，-1TC 1，-1，-2，0T6实数向量空间 V=(x,y,z)|3x+2y+5z=0的维数是B2A1D4C3是其导出组 Ax=0 的解，那么以下结论正确的 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，7设选项是是 Ax=b 的解+B是 Ax=0 的解+A是 Ax=0 的解-D是 Ax=b 的解-C，
40、那么 A-1的特征值为1 1,32 48设三阶方阵 A 的特征值分别为1 1 1,2 4 3B12,4,3AD2,4,31 1,32 4C9设矩阵 A=，那么及矩阵 A 相似的矩阵是BADC10以下关于正定矩阵表达正确的选项是B正定矩阵的行列式一定小于零A正定矩阵的乘积一定是正定矩阵D正定矩阵的差一定是正定矩阵C正定矩阵的行列式一定大于零二、填空题二、填空题本大题共 10 小题，每空 2 分，共 20 分请在每题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11设 det(A)=-1，det(B)=2，且 A，B 为同阶方阵，那么 det(AB)3)=_12设 3 阶矩阵 A=，B 为 3 阶非零矩
41、阵，且 AB=0，那么 t=_13设方阵 A 满足 Ak=E，这里 k 为正整数，那么矩阵 A 的逆 A-1=_14实向量空间 Rn的维数是_15设 A 是 mn 矩阵，r(A)=r,那么 Ax=0 的根底解系中含解向量的个数为_16非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是_是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，那么 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，而 17设=_(32)A18设方阵 A 有一个特征值为 8，那么 det-8E+A=_19设 P 为 n 阶正交矩阵，x 是 n 维单位长的列向量，那么|Px|=_的正惯性指数是_222123123121 323(,)56422f x x
42、xxxxx xx xx x20二次型三、计算题三、计算题本大题共 6 小题，每题 9 分，共 54 分21计算行列式22设矩阵 A=，且矩阵 B 满足 ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵 B求其一个极大线性无1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),23设向量组关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来24设三阶矩阵 A=，求矩阵 A 的特征值和特征向量25求以下齐次线性方程组的通解26求矩阵 A=的秩四、证明题四、证明题本大题共 1 小题，6 分27设三阶矩阵 A=的行列式不等于 0，证明：线性无关131112121222323313233
43、,aaaaaaaaa 接下来是答案答案局部答案局部第第 25252727 题题 答案暂缺答案暂缺2021 年年 4 月自考线性代数经管类历年试卷参考答案月自考线性代数经管类历年试卷参考答案试卷说明：在本卷中，试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵表示矩阵 A 的转置矩阵的转置矩阵行列对换行列对换；A*表示表示 A 的伴随矩的伴随矩重要重要*AA阵阵；A-1=求 A-1和 A*时，可用这个公式，A*太复杂了自己看看r(A)表示矩阵表示矩阵 A 的的秩；秩；|A|表示表示 A 的行列式的行列式；E 表示单位矩阵。表示单位矩阵。,每一项都乘每一项都乘 2一、单项选择题一、单项选择题表示矩阵，矩阵乘矩阵还是
44、矩阵；表示矩阵，矩阵乘矩阵还是矩阵；|表示行列式，计算后为一表示行列式，计算后为一个数值，个数值，行列式相乘为数值运算行列式相乘为数值运算在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。号内。错选、多项选择或未选均无分。A=1，2，3，其中ii=1,2,3为 A 的列向量，假设|B|=|1+22，2，3|=6，那么|A|=(C)B.-6ii=1,2,3为 A 的列向量，3 行 1 列A.-12=(A)=3*-2*10*3=-180A 为 3 阶方阵且|A-1|=
45、2，那么|2A|=(C)=23|A|=8*1/2=421A.1，2，3，4都是 3 维向量，那么必有(B)n+1 个个 n 维向量线性相关维向量线性相关B.1，2，3，4线性相关A.1，2，3，4线性无关D.1不可由2，3，4线性表示C.1可由2，3，4线性表示A 为 6 阶 方 阵，齐 次 线性 方 程 组 Ax=0 的 根 底 解 系 中 解向 量 的 个 数 为 2，那 么r(A)=(C)B.3n-r(A)=解向量的个数解向量的个数A.2=2,n=6PTAP=B,r(A)=r(B)A、B 为同阶方阵，且 r(A)=r(B)，那么(C)A 及及 B 合同合同P 可逆可逆B.|A|=|B|A
46、.A 及 B 相似D.A 及 B 合同C.A 及 B 等价A 为 3 阶方阵，其特征值分别为特征值分别为 2,1,0那么|A+2E|=(D)，|A|=所有特征值所有特征值的积的积=0B.2A+2E 的特征值为的特征值为 2+2,1+2,0+2,即即A.04,3,2，|A+2E|=4*3*2A、B 相似，那么以下说法错误的选项是(B)B.A 及 B 合同A.A 及 B 等价D.A 及 B 有一样特征值C.|A|=|B|r(A)=r(B)；假设假设 AB，BC，那么，那么 A|A|=|B|A、B 特征值一样特征值一样A、B 相似相似C代表等价代表等价,即即 1*2-T0=1，-2,1 及=(2，3
47、，t)正 交，那 么 t=(D)2*3+1*t=0，t=4B.0A.-2A 的特征值分别为 2,1,0，那么(B)，所有特征值都大于所有特征值都大于 0，正定；，正定；A.A 正定B.A 半正定所有特征值都小于所有特征值都小于 0，负定；，负定；C.A 负定D.A 半负定所有特征值都大于等于所有特征值都大于等于 0，半正定；同理半负，半正定；同理半负定；其他情况不定定；其他情况不定二、填空题本大题共二、填空题本大题共 10 小题，每题小题，每题 2 分，共分，共 20 分分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。A=,B=，那 么 AB=
48、A 的 每 一 行 及的 每 一 行 及 B 的 每 一 列 对 应 相 乘 相 加的 每 一 列 对 应 相 乘 相 加表示第二行第一表示第二行第一21a=下标依次为行列，如下标依次为行列，如3*22*03*1 2*13*12*00*2 1*00*1 1*00*1 1*02*24*02*14*12*14*0 =列的元素。列的元素。A 为三行两列的矩阵即为三行两列的矩阵即 3 2 的矩阵，的矩阵，B 为为 2 3 的矩阵，那么的矩阵，那么 AB为为 3 3 的矩阵，对应相乘放在对应位置的矩阵，对应相乘放在对应位置=91A那么|3A-1|=33|A-1|=27*A 为3阶方阵，且|A|=3，1+
49、x2+x3=1 的通解是_.扩大为，再看答案扩大为，再看答案=-1，2，2，那么及反方向的单位向量是_跟高中单位向量一样跟高中单位向量一样_.A 为 5 阶方阵，且 r(A)=3，那么线性空间 W=x|Ax=0的维数是_.，1，那么|5A-1|=_同同 12 题题_.21A 为3阶方阵，特征值分别为-2，A、B 为 5 阶方阵，且 Ax=0 只有零解，且 r(B)=3，那么 r(AB)=_.0，那么，那么 A 可逆，即可逆，即 AA-1=E，E 为单位矩阵。为单位矩阵。Ax=0 只有零解只有零解假设矩阵假设矩阵 A 的行列式的行列式|A|0，故，故 A 可逆可逆|A|假设假设 A 可逆，那么可逆，那么 r(AB)=r(B)=3，同理假设，同理假设 C 可逆，那么可逆，那么 r(ABC)=r(B)22131223222xxx xx x18.实对称矩阵实对称矩阵 A=所对应的二次型 f(x1,x2,x3)=实对称矩阵实对称矩阵 A对应于各项的系数对应于各项的系数且 r(A)=2，那么 Ax=b 的通解是_.3 2 1，2=321Ax=b 有解1=，那么 A=T的非零特征值是_.321=三、计算题本大题共三、计算题本大题共 6 小题，每题小题，每题 9 分，共分，共 54 分分D=X 满足方程X=求 X.