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1、第 2 章一维随机变量 习题 2一.填 空 题：1.设 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 是 x P x F，则 用 F(x)表 示 概 0 x P=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解：00 0 x F x F2.设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 x ar c t gx x F121则P 0 1=_ _ _ _14_ _ _ _ _。解：P 0 0，则 C 的 值 应 是 _ _ _ e _ _ _ _ _。解：e C C ekCkC k PKKKK K1 1!1!10 0 05 设 随 机 变 量 的 分 布 律 是 4,3,2,1,21 k A k Pk则
2、2521 P=0.8。解：A A k Pk161516181412141 令15161 A 得A 16156.若 定 义 分 布 函 数 x P x F，则 函 数 F(x)是 某 一随 机 变 量 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是F(x)单 调 不 减，函 数 F(x)右 连 续，且 F()=0，F(+)=17.随 机 变 量),a(N 2，记 a P)(g，则 随 着的 增 大，g()之 值 保 持 不变。8.设 N(1，1)，记 的 概 率 密 度 为(x)，分 布 函 数 为F(x)，则 1 1 P P0.5。9、分 别 用 随 机 变 量 表 示 下 列 事 件(1)观 察
3、 某 总 机 每 分 钟 内 收 到 的 呼 唤 次 数，试 用 随 机 变 量 表示 事 件.“收 到 呼 唤 3 次”3 X，“收 到 呼 唤 次 数 不 多 于 6次”k X Xk 606(2)抽 查 一 批 产 品，任 取 一 件 检 查 其 长 度，试 用 随 机 变 量 表 示 事件.“长 度 等 于 1 0 c m”=10 X；“长 度 在 1 0 c m 到 1 0.1 c m 之 间”=.1 10 10 X(3)检 查 产 品 5 件，设 A 为 至 少 有 一 件 次 品，B 为 次 品 不 少 于 两件，试 用 随 机 变 量 表 示 事 件解:0 X A 没 有 次 品
4、 2 X B 次 品 少 于 两 件1 0、一 袋 中 装 有 5 只 球，编 号 为 1,2,3,4,5，在 袋 中 同 时 取 3 只，以 x 表 示 取 出 的 3 只 球 中 的 最大 号 码，则 X 的 分 布 律 为:二.计 算 题：1、将 一 颗 骰 子 抛 掷 两 次，以1X表 示 两 次 所 得 点 数 之 与，以2X表 示两 次 中 得 到 的 小 的 点 数，试 分 别 写 出2 1,X X的 分 布 律.1X2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1kp3613623633643653663653643633623612、设 在 1 5 只 同 类 型 的 零 件 中
5、有 2 只 次 品，在 其 中 取 3 次，每 次 任取 一 只，作 不 放 回 抽 样，以 X 表 示 取 出 次 品 的 只 数.求 X 的 分 布律；.X 0 1 2kp352235123513、(1)设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为：0,2,1,0 k,!ka k X Pk 为 常 数，试 确 定 常 数a.解:因 0 kk k0 k 0 k1!ka!ka k X P1 ae,故 e aX 3 4 5kp101103106(2)设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为：N,2,1 k,Na k X P，试 确定 常 数a.4、飞 机 上 载 有 3 枚 对 空 导 弹，若
6、每 枚 导 弹 命 中 率 为 0.6，发 射 一 枚导 弹 如 果 击 中 敌 机 则 停 止，如 果 未 击 中 则 再 发 射 第 二 枚，再 未 击 中再 发 射 第 三 枚，求 发 射 导 弹 数 的 分 布 律.X 1 2 3kp0.6 0.2 4 0.1 65、汽 车 需 要 通 过 有 4 盏 红 绿 信 号 灯 的 道 路 才 能 到 达 目 的 地。设 汽车 在 每 盏 红 绿 灯 前 通 过(即 遇 到 绿 灯)的 概 率 都 是 0.6；停 止 前 进(即遇 到 红 灯)的 概 率 为 0.4，求 汽 车 首 次 停 止 前 进(即 遇 到 红 灯，或 到 达目 的 地
7、)时，已 通 过 的 信 号 灯 的 分 布 律.解：汽 车 在 停 止 前 进 时 已 通 过 的 信 号 灯 数 是 一 个 随 机 变 量，用x 表 示 x 可 取 值 为 0,1,2,3,4，又 设 A 的 表 示 事 件：汽 车 将 通 过 时第 i 盏 信 号 灯 开 绿 灯，4,3,2,1 n由 题 意4.0)(,6.0)(nnA P A P 0 x表 示 已 通 过 的 信 号 灯 数 是 0(即 第 一 盏 信 号 灯 是 红 灯),故4.0(0 1 A P x P 1 x表 示 已 通 过 的 信 号 灯 数 是 1(即 第 一 盏 信 号 灯 是 绿 灯，而 第二 盏 是
8、 红 灯),故4.0 6.0)()()(1 2121 A P A P A A P x P.同 理4.0 6.0)()()()(2 232 132 1 A P A P A P A A A P x P于 是 x 的 分 布 律 为 4 k,6.03,2,1,0 k,4.0 6.0 k x P4k即x 0 1 2 3 4kp0.4 0.2 0.1 0.0 0.16、自 动 生 产 线 调 整 以 后 出 现 废 品 的 机 率 为p，生 产 过 程 中 出 现 废 品时 立 即 重 新 进 行 调 整，求 两 次 调 整 之 间 生 产 的 合 格 品 数 的 分 布 律.x 0 1 2 k kpp
9、p p)1(p p2)1(p pk)1(7、一 大 楼 内 装 有 5 个 同 类 型 的 供 水 设 备。调 查 表 明 在 任 一 时 刻 t 每个 设 备 被 使 用 的 概 率 为 0.1，问 在 同 一 时 刻：(1)恰 有 两 个 设 备 被 使 用 的 概 率 是 多 少？0729.0)9.0()1.0(2 3 2 25 C x P(2)至 少 有 3 个 设 备 被 使 用 的 概 率 是 多 少？(3)至 多 有 3 个 设 备 被 使 用 的 概 率 是 多 少？(4)至 少 有 1 个 设 备 被 使 用 的 概 率 是 多 少？8、设 事 件 A 在 每 一 次 试 验
10、 中 发 生 的 概 率 为 0.3，当 A 发 生 不 少 于 3次 时，指 示 灯 发 出 信 号，(1)进 行 了 5 次 独 立 试 验，求 指 示 灯 发 出 信 号 的 概 率.(2)进 行 7 次 独 立 试 验，求 指 示 灯 发 出 信 号 的 概 率.解：(1)P 5 次 独 立 试 验,指 示 灯 发 出 信号=163.0)3.0(7.0)3.0()7.0()3.0(5 554 452 3 35 C C C(2)P 7 次 独 立 试 验,指 示 灯 发 出 信 号 9、设 某 批 电 子 管 正 品 率 为43，次 品 率 为41，现 对 这 批 电 子 管 进 行 测
11、试，只 要 测 得 一 个 正 品，管 子 就 不 再 继 续 测 试，试 求 测 试 次 数 的 分布 律.解：解：设 测 试 次 数 为 x，则 随 机 变 量 x 的 可 能 取 值 为：,3,2,1，当k x 时，相 当 于 前1 k次 测 得 的 都 是 次 品 管 子，而 第k 次 测 得 的 是 正 品 管 子 的 事 件，1 0、每 次 射 击 命 中 率 为 0.2，必 须 进 行 多 少 次 独 立 射 击，才 能 使 至少 击 中 一 次 的 命 中 率，(1)不 小 于 0.9？(2)不 小 于 0.9 9？解：已 知 n 次 独 立 射 击 中 至 少 击 中 一 次
12、 的 概 率 为n nP)8.0(1)2.0 1(1；(1)要 使9.0)8.0(1 nP，必 须3.108.0 lg1.0 lg n，即 射 击 次 数 必 须不 小 于11 n次.(2)要 使99.0)8.0(1 nP，必 须64.208.0 lg01.0 lg n，即 射 击 次 数 必须 不 小 于21 n次1 1、站 为 3 0 0 个 用 户 服 务，在 一 小 时 内 每 一 用 户 使 用 的概 率 等 于 0.0 1，试 用 泊 松 定 理 近 似 计 算，在 一 小 时 内 有 4 个 用 户 使用 的 概 率.解：由 二 项 分 布 得k n k knq p C k x
13、P 296 4 4300)99.0()01.0(4 C x P 现 用 泊 松 定 理 近 似 计 算，3 01.0,300 n p p n,故168.0!43 4 3 4 ex P1 2、某 一 繁 忙 的 汽 车 站，每 天 有 大 量 汽 车 通 过，设 每 辆 汽 车 在 一 天的 某 段 时 间 内 出 事 故 的 概 率 为0.0 0 0 1，在 某 天 的 该 段 时 间 内 有 1 0 0 0 辆 汽 车 通 过，问 出 事 故的 次 数 不 小 于 2 的 概 率 是 多 少？(利 用 泊 松 定 理 计 算)解：设 x 为 发 生 事 故 的 次 数，则k k kC k x
14、 P 10001000)9999.0()0001.0(用 泊 松 定 理 计 算，1.0 0001.0 1000 n p1 3 设 X 服 从 泊 松 分 布，且 已 知 2 1 X P X P，求 4 X P解：!kek x Pk，由 2 1 x P x P，得!2!12 e e，1 4、.求 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 为 kb k P，(k=1，2，)，的充 分 必 要 条 件。解：由 1EMBED Equation.3 kb k P 0 且 1 k P1 k b 1 b 1 b b b0 kk1 kk bb 111 11 b且 b 01 5 设 服 从 参 数=1 的 指 数 分 布，求 方 程 4 x2+4 x+2=0 无 实 根 的 概 率。解：0)2(16 162 知