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1、第2章一维随机变量 习题2一. 填空题：1.设 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 是 ， 则 用 F (x) 表 示 概 = _。 解：2.设 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 为 则 P 0x1 = _。 解： P 0x0， 则 C 的 值 应 是 _ e-l_。解： 5 设 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是 则 = 0.8 。解： 令 得 6.若 定 义 分 布 函 数 ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是 F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F ( ) =
2、0 ， F ( + ) = 17. 随机变量，记， 则随着的增大，之值 保 持 不 变 。8. 设 x N ( 1， 1 )，记x 的概率密度为 j( x ) ，分布函数为 F ( x )，则 0.5。9、分别用随机变量表示下列事件(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件.“收到呼唤3次” ，“收到呼唤次数不多于6次”(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件.“长度等于10cm” = ；“长度在10cm到10.1cm之间” = (3)检查产品5件，设A为至少有一件次品，B为次品不少于两件，试用随机变量表示事件.解: 10 、一袋中装有5只球，编号为1
3、,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x表示取出的3只球中的最X345 大号码，则X的分布律为: 二. 计算题：1、将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以表示两次中得到的小的点数，试分别写出的分布律.234567891011122、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数.求X的分布律；.X0123、(1)设随机变量X的分布律为：为常数，试确定常数.解: 因 , 故 (2)设随机变量X的分布律为：，试确定常数. 4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果未击中则再发射第二枚，再未
4、击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.X1230.60.240.165、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的分布律.解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x表示x可取值为0,1,2,3,4，又设A的表示事件：汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯，由题意表示已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯),故表示已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故.同理于是x的分布律为即x012340.4
5、0.240.1440.08640.12966、自动生产线调整以后出现废品的机率为，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.x012k7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2)至少有3个设备被使用的概率是多少？(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？(4)至少有1个设备被使用的概率是多少？8、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率.(2)进行7次独立试验，求指示灯发出
6、信号的概率.解：(1)5次独立试验,指示灯发出信号=(2)7次独立试验,指示灯发出信号 9、设某批电子管正品率为，次品率为，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.解：解：设测试次数为x，则随机变量x的可能取值为：，当时，相当于前 次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子的事件，10、每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？解：已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；(1)要使，必须，即射击次数必须不小于次.(2)要使，必须，即射击次数必须不小于次11、电话站为30
7、0个用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，试用泊松定理近似计算，在一小时内有4个用户使用电话的概率.解：由二项分布得现用泊松定理近似计算，,故12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？ (利用泊松定理计算)解：设x为发生事故的次数，则用泊松定理计算，13设X服从泊松分布，且已知，求解：，由，得，14、. 求离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 律 为 ， ( k = 1， 2， )， 的 充 分 必 要 条 件。解：由且 且 b 01
8、5 设x服从参数l = 1的指数分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0无实根的概率 。 解： 知 故 16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 且 知 x 在 区 间 ( 2，3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1，2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ，试 确 定 常 数 A ，B 。解：由 条 件 即 知 有 又 由 即 解 得 A = ，B = 17、设有函数 试说明能否是某随机变量的分布函数.解：不 能 因 为 当 时 ， j ( x ) = sin x 0 故 在 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非
9、 负 。18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为： 试问他的计算结果是否正确？ 答：不正确19、在区间上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x的分布函数.解：P 0 0 )解: 正 方 体 体 积 h = x 3 函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数 h 的 概 率 密 度 为 31. 设 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 求 随 机 变 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ， 当 x
10、在 ( 0 ， + )上 变 化 时 ， y 在 ( ， + ) 上 变 化 ， 于 是 h 的 概 率 密 度 为 32. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 x 服 从 N(m , s2)， 并 规 定 | x m | m时 产 品 合 格 ， 问 m取 多 大 时 ， 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (1.65) = 0.05, (0.06) = 0.475 .解：P | x m | m = 0.95，此式等价于 Pmm x m + m = 0.9因 为 x 服 从 N(m , s2 )， 故 Pmm x m + m = 查 表 得 m = 1.96s 故 m 取 1.96s 时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到 95%。11 / 12