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1、三角函数及解三角形练习题一解答题（共16小题）1在ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小2已知3sintan=8，且0（）求cos；（）求函数f（x）=6cosxcos（x）在0，上的值域3已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点（）求实数a的值；（）求f（x）的单调递增区间4已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意xR，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在，上的值域5已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求f（x）的
2、单调递增区间6已知函数f（x）=sin（x+）（0，）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为（）求和的值；（）若f（）=（），求cos（+）的值7已知向量=（cosx，sinx），=（3，），x0，（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值8已知函数的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2ac）cosB=bcosC，求的取值范围9函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且MBC的面积为（）求
3、函数f（x）的解析式；（）若f（）=，求cos2的值10已知函数（）求f（x）的最大值及相应的x值；（）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cosMPN的值11设函数f（x）=sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）=0（）求；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在，上的最小值12在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+（）证明：a+b=2c；（）求cosC的最小值13如图，A、B、C、D为平面四边
4、形ABCD的四个内角（）证明：tan=；（）若A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值14已知函数f（x）=sin2xcos2x（）求f（x）的最小周期和最小值；（）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象当x时，求g（x）的值域15已知函数f（x）=sin（x）sinxcos2x（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在，上的单调性16已知函数f（x）=sin（3x+）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若是第二象限角，f（）=cos（+）cos2，求cossin的值17设
5、f（x）=2sin（x）sinx（sinxcosx）2（）求f（x）的单调递增区间；（）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值18已知函数f（x）=sin（x）+cos（x），g（x）=2sin2（）若是第一象限角，且f（）=，求g（）的值；（）求使f（x）g（x）成立的x的取值集合19已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，2）（）求m，n的值；（）将y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（
6、x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1（2017遂宁模拟）在ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小【分析】对已知式平方，化简，求出sin（A+B）=，确定A+B的值，利用三角形的内角和求出C的大小【解答】解：两边平方 （3sinA+4cosB）2=36 得9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36 （4sinB+3cosA）2=1 得16sin2B+9cos2A+24sinBcosA=1 +得：（9sin2A+9cos2A）+（16co
7、s2B+16sin2B）+24sinAcosB+24sinBcosA=37 即 9+16+24sin（A+B）=37 所以sin（A+B）=，所以A+B= 或者若A+B=，则cosA3cosA31，则4sinB+3cosA1 这是不可能的 所以A+B=因为A+B+C=180 所以 C=【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题2（2017浙江模拟）已知3sintan=8，且0（）求cos；（）求函数f（x）=6cosxcos（x）在0，上的值域【分析】（）利用同角三角函数的基本关系求得cos的值（）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，
8、求得函数在0，上的值域【解答】解：（）3sintan=3=8，且0，cos0，为锐角=8，求得cos=，或cos=3（舍去），sin=，综上可得，cos=（）函数f（x）=6cosxcos（x）=6cosx（cosx+sinx） =2cos2x+4sinxcosx=cos2x+1+2sin2x=3（cos2x+sin2x）=3cos（2x），在0，上，2x，f（x）在此区间上先增后减，当2x=0时，函数f（x）取得最大值为3，当2x=时，函数f（x）取得最小值为3cos（）=3cos=1，故函数在0，上的值域为1，3【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题3（201
9、7海淀区一模）已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点（）求实数a的值；（）求f（x）的单调递增区间【分析】（）利用函数的零点的定义，求得实数a的值（）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间【解答】解：（）由题意可知，即，即，解得（）由（）可得=，函数y=sinx的递增区间为，kZ由，kZ，得，kZ，所以，f（x）的单调递增区间为，kZ【点评】本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性，属于中档题4（2017衡阳三模）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（
10、x）对任意xR，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在，上的值域【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数f（x），再由周期公式计算得答案；（2）由已知条件求出g（x）=sin（2x+）+，当x，时，则2x+，由正弦函数的值域进一步求出函数g（x）在，上的值域【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x=sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1=sin2x+，f（x）的最小正周期T=；（2）函数g（x）对任意xR，有g（x）=f（x+），g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，当x，时，则2x+，则sin（2x+）1，即g（x），
11、解得g（x）1综上所述，函数g（x）在，上的值域为：，1【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了函数值域的求法，是中档题5（2016北京）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求f（x）的单调递增区间【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=由T=，得=1；（2）由（1）得，f（x）=再由，得f（x）的单调递增区间为（kZ）【点评】本题考查y=A
12、sin（x+）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题6（2014重庆）已知函数f（x）=sin（x+）（0，）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为（）求和的值；（）若f（）=（），求cos（+）的值【分析】（）由题意可得函数f（x）的最小正周期为 求得=2再根据图象关于直线x=对称，结合可得 的值（）由条件求得sin（）=再根据的范围求得cos（）的值，再根据cos（+）=sin=sin（）+，利用两角和的正弦公式计算求得结果【解答】解：（）由题意可得函数f（x）的最小正周期为，=，=2再根据图象关于直线x=对称，可得 2+=k+，kz结合可得 =（）f（）=（），
13、sin（）=，sin（）=再根据 0，cos（）=，cos（+）=sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=+=【点评】本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题7（2017江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，），x0，（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）=（cosx，sinx），=（3，），cosx=3sinx，tanx
14、=，x0，x=，（2）f（x）=3cosxsinx=2（cosxsinx）=2cos（x+），x0，x+，1cos（x+），当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值2【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题8（2017锦州一模）已知函数的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2ac）cosB=bcosC，求的取值范围【分析】（1）根据图象求出A， 和，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦定理化简，求出B，根据三角内角定理可得A的范围，利用函数
15、解析式之间的关系即可得到结论【解答】解：（1）由图象知A=1，=2，f（x）=sin（2x+）图象过（），将点代入解析式得，故得函数（2）由（2ac）cosB=bcosC，根据正弦定理，得：（2sinAsinC）cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin（B+C），2sinAcosB=sinAA（0，），sinA0，cosB=，即B=A+C=，即那么：，故得【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键同时考查了正弦定理的运用化简利用三角函数的有界限求范围，属于中档题9（2017丽水模拟）函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示，
16、M为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且MBC的面积为（）求函数f（x）的解析式；（）若f（）=，求cos2的值【分析】（）依题意，由SMBC=2|BC|=|BC|=可求得其周期T=2=，解得=1，再由f（0）=2sin=，可求得，从而可求函数f（x）的解析式；（）由f（）=2sin=，可求得sin，再利用二倍角的余弦即可求得cos2的值【解答】解：（）因为SMBC=2|BC|=|BC|=，所以周期T=2=，解得=1，由f（0）=2sin=，得sin=，因为0，所以=，所以f（x）=2sin（x+）；（）由f（）=2sin=，得sin=，所以cos2=12sin2=【点
17、评】本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，求得与是关键，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题10（2017延庆县一模）已知函数（）求f（x）的最大值及相应的x值；（）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cosMPN的值【分析】（）化简函数（x）为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的x值；（）化简函数g（x），过D作MDx轴于D，根据三角函数的对称性求出PMN=90，再求cosMPN的值【解答】解：（）函数=sin2x+cos2xsin2x（1分）=；（3分）f（x）的最大值为f（x）max=1，（4分）此
18、时，（5分）解得；（6分）（）函数=sin2（x）+=sin（x+），（7分）过D作MDx轴于D，如图所示；PD=DM=1，PMN=90，（9分）计算PM=，MN=2PM=2，PN=，（11分）（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问题，是综合题11（2017山东）设函数f（x）=sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）=0（）求；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在，上的最小值【分析】（）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（
19、）=0求出的值；（）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x，时g（x）的最小值【解答】解：（）函数f（x）=sin（x）+sin（x）=sinxcoscosxsinsin（x）=sinxcosx=sin（x），又f（）=sin（）=0，=k，kZ，解得=6k+2，又03，=2；（）由（）知，f（x）=sin（2x），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+）的图象，函数y=g（x）=sin（x）；当x，时，x，sin（x），1，当x=时，g（x）取得最小值是=【
20、点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题12（2016山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+（）证明：a+b=2c；（）求cosC的最小值【分析】（）由切化弦公式，带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；（）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c22ab，并由不等式a2+b22ab得出c2ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而
21、得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值【解答】解：（）证明：由得：；两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；，带入（1）得：；a+b=2c；（）a+b=2c；（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；a2+b2=4c22ab，且4c24ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b0；由余弦定理，=；cosC的最小值为【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b22ab的应用，不等
22、式的性质13（2015四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角（）证明：tan=；（）若A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值【分析】（）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可（）通过A+C=180，得C=180A，D=180B，利用（）化简tan+tan+tan+tan=，连结BD，在ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可【解答】证明：（）tan=等式成立（）由A+C=180，得C=180A，D=180B，由（）可知：tan+tan+tan+tan=，连结BD，在ABD中，有BD2=AB
23、2+AD22ABADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在BCD中，有BD2=BC2+CD22BCCDcosC，所以AB2+AD22ABADcosA=BC2+CD22BCCDcosC，则：cosA=于是sinA=，连结AC，同理可得：cosB=，于是sinB=所以tan+tan+tan+tan=【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用14（2015重庆）已知函数f（x）=sin2xcos2x（）求f（x）的最小周期和最小值；（）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图
24、象当x时，求g（x）的值域【分析】（）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x），从而可求最小周期和最小值；（）由函数y=Asin（x+）的图象变换可得g（x）=sin（x），由x，时，可得x的范围，即可求得g（x）的值域【解答】解：（）f（x）=sin2xcos2x=sin2x（1+cos2x）=sin（2x），f（x）的最小周期T=，最小值为：1=（）由条件可知：g（x）=sin（x）当x，时，有x，从而sin（x）的值域为，1，那么sin（x）的值域为：，故g（x）在区间，上的值域是，【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（x+）的图象
25、变换，属于基本知识的考查15（2015重庆）已知函数f（x）=sin（x）sinxcos2x（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在，上的单调性【分析】（）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值（）根据2x0，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性【解答】解：（）函数f（x）=sin（x）sinxx=cosxsinx（1+cos2x）=sin2xcos2x=sin（2x），故函数的周期为=，最大值为1（）当x 时，2x0，故当02x时，即x，时，f（x）为增函数；当2x时，即x，时，f（x）为减函
26、数【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题16（2014四川）已知函数f（x）=sin（3x+）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若是第二象限角，f（）=cos（+）cos2，求cossin的值【分析】（1）令 2k3x+2k+，kz，求得x的范围，可得函数的增区间（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（+），又f（）=cos（+）cos2，可得sin（+）=cos（+）cos2，化简可得 （cossin）2=再由是第二象限角，cossin0，从而求得cossin 的值【解答】解：（1）函数f（x）=sin（3x+），令 2k3x+2k+，k
27、Z，求得 x+，故函数的增区间为，+，kZ（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（+），又f（）=cos（+）cos2，sin（+）=cos（+）cos2，即sin（+）=cos（+）（cos2sin2），sincos+cossin=（coscossinsin）（cossin）（cos+sin）即 （sin+cos）=（cossin）2（cos+sin），又是第二象限角，cossin0，当sin+cos=0时，tan=1，sin=，cos=，此时cossin=当sin+cos0时，此时cossin=综上所述：cossin=或【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题第21页（共21页）