《2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第05讲：向量问题二含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第05讲：向量问题二含解析.pdf（49页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第05讲：向量问题二（解析版）第四讲：向量问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析
2、几何中常用的向量的运算，包括：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。1、垂直当直线A B J.3 C 时，利用向量进行数量积的翻译，即 A 8.8 C =0,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况）2、向量模长当|-川=|。+加 时，通过平方推导，转化为。方=0,即翻译成垂直.3、定角求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译，向量的数量积，即e0=0.4、直角，锐角和钝角当 为直角时，则。2=0；当 为锐角时，则 410；当v ,b 为钝角时,则【考点剖析】考点一：已知垂直求参例 1.已知椭圆C的中心在原点，焦点在X 轴上，椭圆长轴两个端
3、点间的距离与两个焦点之间的距离的差为2(夜-1),且椭圆的离心率为正.2(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)作直线/交C于尸、。两点，且 求 直 线/的 方 程.2 2,、变式训练1：已 知 椭 圆 标 准 方 程 为 方=1(“0),椭圆的左右焦坐标分别为6与(1,0),离心率 为 正，过点K直线/与椭圆交于P，Q两点.2(1)求椭圆的方程；(2)若耳P1K。，求直线/的方程.变式训练2：在平面直角坐标系xOy中，0 为坐标原点.动点P 与定点F(-2,0)的距离和它到定直线的距离的比为常数2,动点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 的直线加交曲线C 于 A,8
4、两点，若 NAO8=90。，求直线，的方程.变式训练3：已知抛物线C：y 2=2 p x 5 0)的焦点为尸，点A(4,M 在抛物线C 上，且CMF的面积为gp2(。为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)直线/：丫 =履+1与抛物线C 交于“，N 两点，若O M L O N,求直线/的方程.考点二：垂直(证明)例 1.已知抛物线c：y 2 =2 p x(p o)的焦点与椭圆：.+(=1 的一个焦点重合.(1)求抛物线c的方程；(2)若直线/：x =m y +4 交抛物线C于A(X|,y J,8 和丫?)两点，0为原点，求证：O A _ L O B.r2 v23变式训练1：已知椭圆C：=
5、+与=1(。%0)的左右顶点分别为A(-2,0),4(2,0),右焦点为尸，点7(1,彳)a b-2在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)尸为椭圆上不与A，&重合的任意一点，直 线 分 别 与 直 线 x=4 相交于点M,N,求证：F M 1 F N.变式训练2：已知抛物线C：yJ2px(p 0)经过点(1,2).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设过点6 2,0)的直线/与抛物线C交于A,5两点，若 罚=2瑞，轴.垂足为N,求证:PM PN.变式训练3：已知抛物线C：9=2*(0),斜率为1的直线/过抛物线C的焦点，与抛物线C交于A,B两点，且|蝴=8.(1)求抛物线C的方程；(
6、2)设点过点P作直线PM,PN与抛物线C相切，切点分别为，N ,证明：P MLPN.考点三：向量模长相等(垂直)例 1.设椭圆E：+，=I(a 6 0)的 离 心 率 为 争 点(啰)在 椭 圆 E上.(1)求椭圆E的方程；(2)设E的右顶点为D,若直线/与椭圆E交于A 8两点(A B不是左右顶点)且满足 D A +DB=DA-DB,求原点O 到直线/距离的最大值.2 2变式训练1：设椭圆E：T+4=l(a 6 0)过M(2,夜)，N(#,l)两点，0 为坐标原点a h-(1)求椭圆E的方程；设 E 的 右 顶 点 为 D,若直线/：丫 =依+?与椭圆E交 于 A,B 两 点(A,B 不是左右
7、顶点)且满足DA+DB=DA-DB,证明:直线1 过定点，并求该定点坐标.变式训练2：已知双曲线C:1-?=l(a 0力0)的左焦点为F,右顶点为A,渐近线方程为y =6 x,a b 尸到渐近线的距离为6.(1)求 C的方程；(2)若直线/过F,且与C交于R。两 点(异 于。的两个顶点)，直线x=r 与直线ARAQ的交点分别为M,N .是否存在实数f,使得忖+尸 N卜卜仞-尸必？若存在，求出f 的值；若不存在，请说明理由.变式训练3：已知椭圆：+=1,焦 点 为 、尸 2,过 x 轴上的一点M(m,O)(m e/?)作直线/交椭圆100 2 5于 A 8两点.若 点”在椭圆内，求 多 边 形
8、的 周 长;求|A M|的最小值/(加)的表达式；(2)是否存在与x 轴不重合的直线/,使得|。4 +2 08 卜|。4-2 0 成立？如果存在，求出机的取值范围；如果不存在，请说明理由.考点四：定角(直角)例1.已知椭圆C:+耳=1(8 0)的短轴的两个端点分别为A(0,l),8(0,-l),离 心 率 为 亚a b3(1)求椭圆c的方程；(2)设点N(0,-3),点 为 椭 圆C上异于A,8的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线y =3交于点P,直线M B与直线.y =3交于点Q,求证：D P N Q 为定值.2 2变式训练1：已知椭圆C：+=l(a 0)的离心率为g,右焦点为尸，点4
9、 ,0),且|A F|=1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线/(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线M 4,N 4分别与直线*=4交于点P,Q,求N P F。的大小.2 变式训练2：已知椭圆C:3(r=i(a%0)经 过 点 加 1,其离心率为变，设直线/：y =履+?与椭2圆C相交于A、B 两点.(1)求椭圆C的方程;2(2)已知直线/与圆/+丁=相切，求 N A O 8 的 大 小(。为坐标原点).-2变式训练:3：设 片,工分别是椭圆C：a +Al(a 80)的左、右焦点，是椭圆C的上顶点，A E F 再 是等边三角形，短轴长为2 6.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A,8分别
10、为椭圆左右顶点，位于轴两侧的P,。分别是椭圆C和圆/+/=从上的两个动点，且直线产。与 x 轴平行，直线分别与y轴交于证明：N M Q N =9。.考点五：锐角和钝角例 1.已知点(-1,当 在 椭 圆 ：:5 +方=l(a匕 0)上，E的离心率为冬(1)求 E的方程；(2)设过定点4 0,2)的直线/与E交于不同的两点B,C,且N C O 8 为锐角，求/的斜率的取值范围.2 2变式训练1：已知椭圆。：+4 =1(。人0)的长轴长为2 夜，短轴长为2.a b(1)求椭圆C的焦点坐标；(2)直线my =x-l 与椭圆C相 交 于 两 点，点 P为椭圆C的左焦点，若 N Z S B 为锐角，求实
11、数机的取值范围.f v2变式训练2：如图所示，椭圆C：+与=1（。6 0）的左右顶点分别为A、4,上下顶点分别为4、B?,a b四 边 形 的 面 积 为4,周长为4逐.直 线/：=日+也 与椭圆交于不同的两点尸和Q.（1）求椭圆的方程：（2）若O?_L OQ,求火的值.（3）若N P O Q为锐角，求女的取值范围.变式训练3：已知椭圆C：2+g=l（4 b 0）的短轴长为2拉，离心率为白.（1）求椭圆C的标准方程;（2）直线/平行于直线y =2无，且与椭圆C交于A,B两个不同的点，若44 08为钝角，求直线/在x轴上的a截距机的取值范围.【当堂小结】1、知识清单：(1)椭圆，双曲线，抛物线的
12、基本性质；(2)线段垂直的向量数量积点乘为零；(3)直角，锐角和钝角的向量表示；2、易错点：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示;3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1.已知抛物线C:y2=2 p x(p 0),点P(2,4)在抛物线C 上.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线/：y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若 O P_LO Q,求m 的值.2.已知椭圆C：捺+卷=1（、0）经过点为（0,2）,且e考（I）求椭圆c的方程;（2）若 直 线 与 椭 圆C相切于点M,与直线x=x。相交于点N.已知点P（-2,0）,且P M L P
13、 N,求此时吃的值.3.已知抛物线。：丫2=20犬（20）过点4（4,4）,尸是抛物线C的焦点，直线融交抛物线C于另一点8,O为坐标原点.（1）求抛物线C的方程和焦点F的坐标；（2）抛物线C的准线/上是否存在点N使A N J_8N,若存在请求出N点坐标，若不存在请说明理由.4 .已知双曲线C的中心在原点，抛 物 线 产=2 代的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点(1,6),又知直线/：丫 =履+1 与双曲线C相交于A8两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若O A J.O 8，求实数上值.5 .已知抛物线C：/=2/(。0)的焦点是圆/+/-2彳=。与x 轴的一个交点.(1)求抛物线C的方
14、程；(2)若过点(8,0)的直线/与抛物线C交于不同的两点A、B,O为坐标原点，证明：O A1OB.2 26.己知椭圆C:二+=l（a b 0）的左焦点F（-2,0）,右顶点A（3,0）.a b（1）求C的方程；（2）设B为C上一点（异于左、右顶点），M 为线段48的中点，O为坐标原点，直线OM与直线/=-1交于点N,求证：ABA.NF.7 .已知椭圆C：5 +，=l（a b 0）的离心率为孝，A、&分别为椭圆左、右顶点，用、层分别为椭圆上、下顶点，且四边形A四&鸟的面积为4.（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（-*。）的直线/与椭圆C相交于尸、Q（异于点4、4）两点，证明：r2 v28.设椭
15、圆E：y +5=1（。60）过用(6，N V 4 两点，0为坐标原点、7(1)求椭圆E的方程；(2)椭 圆 E的右顶点为D,直线/：y =+?与 椭 圆 E交 于 A、B两 点(A、B不是左右顶点),若其满足 DA+DB=DA-DB,且直线1 与以原点为圆心半径为;的圆相切，求直线1 的方程.9.设 椭 圆 吟 +/=1(4 匕 0)的离心率为乎，点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)设 E的右顶点为D,若直线/与椭圆E交于A,B两点(A,B不是左右顶点)且满足网+。=向-用求原点0到直线1 距离的最大值.1 0.已知椭圆C：5+=l（a b 0）经过一点左、右焦点分别为跖 鸟，P是椭圆上
16、一动点，当 用垂直于x 轴时，归周=摄（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点K，斜率为k的直线1 交椭圆于48两点，且N A Q B 为钝角（0为坐标原点），求 k的取值范围.2 21 1.如图，曲线c 由上半椭圆G：与+=i（a b o,y z o）和部分抛物线G：y=-f+i（y 4）连接而成，a bC“C2的公共点为A B,其中G 的离心率为9.广（1）求。力的值；/T（2）过点B的直线/与G，G 分别交于尸,Q（均异于点A,B）,若N P 4 Q 为钝角，求直 八:线/的斜率的范围.第四讲：向量问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；应用
17、目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。1、垂直当直线3 c 时，利用向量进行数量积的翻译，
18、即 A8.8C=0,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况）2、向量模长当历时，通过平方推导，转化为。万=0,即翻译成垂直.3、定角求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译，向量的数量积，即e/?=0.4、直角，锐角和钝角当 。力 为直角时，则 1 1 =0；当 4,方为锐角时，则 a-60；当为钝角时，则【考点剖析】考点一：已知垂直求参例 1.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为2(夜-1),且椭圆的离心率为也.2(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)作直线/交C 于尸、。两点，且O PLO Q 求直线/的方程.【答案】(1)
19、+y2=1 ：(2)x=-y +.2 2解析：(1)由题意可得：2a-2c=2(&-l),即a-c =应-1，又由e=也，即 =也，2 a 2所以a=&,c=,所以6=，2 一。2=i,所以椭圆C 的方程为三+)，2=1;2(2)易知直线/的斜率不为0 且可能不存在，故设直线/的方程为X=?y+1,代入椭圆方程与+丁=1整理可得：(M+2)丁 +2冲 _ 1 =0,设产、。两点坐标为(,M),(%，为)，则有 乂+%=F7T m+2 m+2%-x2=(g +1)(冲2 +D=22yM+皿,+%)+lm2 2m2.3m2.=s-+1=s +1，+2 in1+2 +2由 O P_LO Q,则有 O
20、P OQ=(),3m2 1OPOQ=xl-x2+yly2=-7 +1-T-T=0m+2 m+2整理可得：2加2=1,所 以=2所以直线/的方程为x=土,y+1.r2,2变式训练1：已知椭圆标准方程为左+方=1(4 6 0),椭圆的左右焦坐标分别为6(-1,0),片(1,0),离心率 为 巫，过点外直线/与椭圆交于P,。两点.2(1)求椭圆的方程；(2)若月P l Q,求直线/的方程.【答案】（1）y+/=l;（2）x-5 y-l=O 或 x+y-l =O.解析：（1）由己知得c =l,e =也，a 2C T=2/2 =（22 C2=1,所以椭圆标准方程为+y 2=l.（2）当直线/的斜率不存在
21、时，直线/”=1,得尸（1，孝），2,一孝），此时不满足PKQ；设直线/方程为y=（xT）,设P（F，%）、。（七,丫2），y=k（x-Y）联 立 方 程 组/+y-=11 2 -/.（1 +-4 犬%+2 公-2 =0 ,4k2 2k2-2耳尸，耳 Q,，P.。=0,所以（方+1）（+1）+%丫2=0，化 简 得+1）也 9+（1 公）（芭+）+1 +%=0,（公+1产段+（-2）凄+&2+1=0,，2 二+1 2 k2+1化简得7/_ 1 =0,解得k=立 或k=_ ,7 7直线/的方程是=,*-1）.故直线/的方程为天一近丁一1 =0 或x+V 7 y-l =0.变式训练2：在平面直角坐
22、标系xO y中，。为坐标原点.动点户与定点F（-2,0）的距离和它到定直线/:x=_ g的距离的比为常数2,动点尸的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点尸的直线加交曲线C于 4 8两点，若/4。8 =9 0。，求直线机的方程.【答案】入g；半k 半或,半,一半7(X+2)2+/解析：(1)设点尸(用力，由题意得 i一 ,x+-2式子左右同时平方，并化简得，3/y2=3.所以曲线。的方程为V f =1.3(2)当直线机的斜率不存在时，直线机的方程为x=-2,此时直线，”与曲线C的交点坐标为4(-2,3),B(-2,-3).OAOB=(-2,3)-(-2,-3)=-50所以OA与OB不垂
23、直，即NAO8H90。，不符合题意.当直线机的斜率存在时，设直线m的方程为、=%(犬+2),4(4乂),3(毛,%)，/上=1联立,3 一 ，得(3-公卜2 4公x 4犷3=0.y=k(x+2)由 3-/#0和4=(4k2)2+4(3-)(2+3)0,得左*6.X j+x24Z:2 止+3寸,为 任=-三Fx.%=3（%+2乂Z+2）=3中2 +2（芭 +）+4=9k23-k2因为NAO8=90。，所以OAJ_O8.所以 OA.OB=片 色+y.%=_ W+型r=0 12/1/2 3-k2 3-k2 3-k2解得半所以直线阳的方程为y=x+2）,BnV15 2获 t 岳 2屏即 y=一x+SK
24、 y=-x-5 5-5 5变式训练3：已知抛物线C：y2 =2 p x(p 0)的焦点为F，点4 4,M在抛物线C上，且C M F的面积为g p?(。为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)直线/：丫 =+1与抛物线C交于M,N两点，若O M L O N,求直线/的方程.【答案】y2=4x；(2)y=-*l.m2=8/7,解析：(1)由 题 意 可 得1 21=-p2,解得P =2.故抛物线C的方程为丁=4.(2)设%(占,%).y=kx+,.联立1 2 ,整理得/产+(2 Z-4)x+l =0.y=4x,2*-4 1由题意可知k w O,则占+%2=p ,不=出.因为。所以O M-O N
25、 =x w +x%=0，贝|七 +(+1)(履2 +1)=(公+1)玉&+&(&+赴)+=0,即(k +1)+k2k-4+1 =0,整理得1 47T+1 =0,故直线/的方程为y=-!+i.考点二：垂直(证明)-)2例1.已知抛物线C：y2=2 p x(p 0)的焦点与椭圆：工+匕=1的一个焦点重合.4 3(1)求抛物线。的方程；若直线/：X=冲+4交抛物线C于A(X，yJ,W毛,%)两点，0为原点，求证：0 4,0 8.【答案】V=4 x；(2)证明见解析.解析：（1）.椭圆：?+=1 的焦点坐标为（1,0）,.e=i,即 p=2.2.,抛物线C的方程为：/=4%.x=my+4、2 =j 消
26、去x,整理得y2 -2 一 1 6 =0.工 y%=7 6.16X,X2=（必%）2 =,即 xx2=1 6,OA-OB=%1%,4-yy2=0,O A 1 OB.r2 23变式训练1：已知椭圆C：=+2=1(a 6 0)的左右顶点分别为4(-2,0),4(2,0),右焦点为F，点7(1,；)a b 2在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)尸为椭圆上不与AM?重合的任意一点，直线4 R4 P分别与直线x=4 相交于点M,N,求证：F M 1FN.2 2【答案】(1)工+汇=1;(2)证明见解析4 3解析：(1)由题知：a =2,3 I 9将点7(1,)代入方程得：-+r=l,解得。、3,2
27、 1 椭圆c的标准方程为三+汇=1.4 3(2)由 知 c =L/(L0).设则空+空=1,4 3直线P的方程为k 治=/a-%),令x=4,则 加=煞，即用(4,-),直线&尸的方程为y-%=f a-%),xo-z令x=4,则W=气，即N(4,鼻)F M-F N =(3,a)-(3,%)=3x3+冬x碧%2%2 A。1+2%2 X。+2%-21 2 x3(1-%=9+U-=9+-；_=9+(-9)=0-4-4:F M A.FN，即 W V.变式训练2：已知抛物线C：y2=2 p x(p 0)经过点(1,2).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设过点P(2,0)的直线/与抛物线C交于A
28、,8两点，若 罚=2 潴，M N J.y 轴.垂足为N,求证：PM PN.【答案】(1)抛物线C的方程为y 2=4 x,其准线方程为x =-1；(2)证明见解析.解析：由抛物线)2=2 p x 经过点(1,2),得4=2p,即p =2.所以抛物线C的方程为V=4 x,其准线方程为x =-l.(2)由题意知，直线/的斜率不为0,设直线/的方程为x =m y+2.将犬=+2 代入丁=4 x,消去x 得 y2-4机),-8=0,显然A =1 6 M+3 2 0,设 A(X 1,yJ,B(x2,y2),则%+%=4 机，%月=-8.A M=g A B,是线段A3的中点，设材则”詈=?=21+2,加=号
29、=2，：.M(2 m2+2,2m),又M N _ L y 轴，所以垂足N 的坐标为N(0,2 m).则 P M =(2m2,2m),PN=(-2,2m),所以P M-P N =-4疗+4/=o ,所以PM LPN.变式训练3：已知抛物线C：y2=2px(p0),斜率为1 的直线/过抛物线C的焦点，与抛物线C交于A ,B两点，且|钻|=8.(1)求抛物线C的方程:(2)设点尸-1,1 ,过点P作直线PM,P N与抛物线C相切，切点分别为M,N ,证明：P M L P N.【答案】(1)丁=4-(2)证明见解析.解析：(D由抛物线C：丁=2 2必0)可得抛物线焦点尸(0),设直线/的方程为：y=x
30、-3,A(X 1,yJ、8(,%)，y=x n2由 b 0)的离心率为孝，点(得)在 椭 圆E上.(1)求椭圆E的方程；设E的右顶点为D,若直线I与椭圆E交于A 8两点(A,8不是左右顶点)且满足|/M+=p A-求原点O到直线I距离的最大值.工？6【答案】上+丁=1；*4 5解析：（1）依题意 =且，因 为=从+/,所 以a 2将（得）代入椭圆提+左=1,则可解得;二;所以椭圆E的方程为工+丁=1.由（1）知。（2,0）,设 4（玉,弘）,8（孙 必），e（-2,2）,由|4+=|/4_ 目知，DA-DB=。，即（2一 2）（一2）+乃为=0，即 为 一2（玉+彳2）+力，2 +4=0,当直
31、线/垂直X 轴时，*：*,且 日+短=1,故5%2 1 6%+1 2 =0,故9=、或 2 （舍去），此时点。到/的距离为1;当直线/的斜率存在时，设/：y=+，y=k x+tn联立方程2,得(1 +4公)/+8的a+4m 2 一 4=0,+y 2=i由 0 得机2 V 4k?+1,且%+/=4r -41 +i +4k由 xx2-2(%j +)+4=0 得(1 +l 2 卜 +(A m 2)(X(+x2)+m2+4=0,将玉+工 2 =一4m-4-7 ,X X2=-:1+4-1 2 1+4%即5 m 2+1 6 6 +1 2 二=(),.(，+2 k)(5 m+6 k)=0,所以机=-2 A
32、(舍去)或，=-女综上，点。至心的距离最大值为g.2 2变式训练1：设椭圆E:+4 =l（a b 0）过M（2,a）,N（#,l）两点，0为坐标原点（1）求椭圆E的方程；设 E 的 右 顶 点 为 D,若直线/：、=+?与 椭 圆 E交 于 A,B两 点（A,B不是左右顶点）且满足DA+DB=DA-DB,证明:直线1 过定点，并求该定点坐标.【答案】（1）,+=1；（2）证明见解析，（手,0）2 2解析：（1）因为椭圆 E:二+与=1 （a,b 0）过 M（2,&）,N（#,l）两点,a b1 1，解得;，得：2=1所以椭圆E的方程为工+d =1.1 1 b2=4 8 4lb2 421F+47
33、6/以所 由（1）知 0（2 应,0）,设 4（%,%）,8区,必）由|。4+。8卜 必 一/可知，D A L D B，所以，DA D B =0即：（g-2 夜）（一2 后）+乂%=0所以(1 +%2)4+出”2 虚)(%+x2)+m2+8=0 (X)联立直线和椭圆方程，消去y,得：（1+2&2+必皿+2 川-8=0由 0,得用,0 力 0）的左焦点为F,右顶点为A,渐近线方程为y =6 x,F到渐近线的距离为石.（1）求 C的方程;（2）若直线/过下，且与C交于P,。两 点（异于。的两个顶点），直线x=f 与直线AR A。的交点分别为M,N .是否存在实数f,使得|F M+F N 卜,加-尸
34、必？若存在，求出f 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（l）x2-=l；（2）存在，f =-；r2.12.解析：（1）双曲线c：2r=1（0 力o）一条渐近线方程为y =L，焦点F(-c,O),则焦点到准线的距离d=b c la2+b2=b,由F到渐近线的距离为G可知：b =粗,由渐近线方程为y =G x知：2 =6,故。=1,a所以双曲线方程为：=1;3(2)设直线1的方程为1=加)，-2,x=m y-2联立 2 y2，整理得：(3加2 1)2一1 2m +9 =0,I 3设 P。,)。每，)，而 4 1,0),尸(-2,0),ni I 2m 9则乂+必=不丁R i%二不丁;，3m-1 3
35、m-14-3/H2-4所以玉+马=m(yt+y2)-4 =-,&*2=myly2-2m(y+必)+4 =,3帆 -1 -3m-1假设存在实数t,使 得|尸 加+刑=忖 -刑，则 之 例 依=0,故由AP方程：y=7(x-i),令*=，得X,-1 芭 一 1同理AQ方程：、=*一1),令=，得 亿 上7。1),工2 一 工2 -%X 2一所以 F M FN=(/+2,告1仇+2,(1)=0,即2+于微寸3=。,9则 +2)2+.飞-(r-l)2=o,3”-4 4 i-5 +13tn-1 3 r-l即(r+2)2_ Q _ l)2=o,解得t =_ g,故存在实数f =-；,使得,M +F N卜|
36、根-叫2 2变式训练3：已知椭圆n+-=1,焦点为耳、尸2,过X轴上的一点(7,0)(meR)作直线/交椭圆1 0 0 25于A 8两点.若 点”在椭圆内，求多边形4七86的周长;求|A M|的最小值相）的表达式；（2）是否存在与x 轴不重合的直线/,使得|。4 +20 8 卜|。4-2。目成立？如果存在，求出机的取值范围；如果不存在，请说明理由.nr 1 5 ,/5【答案】（1）4 0；1 4 M L =0-八5”,-2V 5 u 2/5,+a）1 0 +7 M,-1 0 W -22 2解析：（1）由椭圆n 工 +二=1 知，2=1 0 0,=2 5,所以a =1 0 力=5,c =5 6,
37、1 0 0 25根据椭圆的定义知，多 边 形 然 8 工的周长为：、倏=|A|+|A 闾+|跖|+忸闻=4 a =4 0.设 A（x,y）,则|A M|=+y2=+25-、=J+（x.粤+2 5-，其中一1 0 4 x 4 1 0,T 0，10 即 胆 10,I AM/=1 0)=10-机，当 年-10即一 10?-葭，AMnm=/(10)=10+加，综上：|4 M|m.n=10-/n,y w o ,化简得 i o o +25 n2 m2.设 A(X 1,y),B(x2,y2),则2ni n i rr-100若|04 +20B|=|0A-20B 成立,即 10A+20B|2=|0A-20B|2
38、,等价于 O A O B =0.所以%超 +%=.y y2+m)(ny2+m)=0,(1+n2)y,y2+mn(y+y2)+tn-=0,1 +2-w-2-1-0-0-m n-2-m-n-rn =2 0 八,)4+/4+H2化简得“2 =20+20 2 2 0,即/=4 2 一1，代入100+25 2 济 中，100+25(+病恒成立,所以2 2 2 5或机W -2 5，所以实数m的取值范围是卜*-2君2百,+o o).考点四：定角(直角)例1.已知椭圆C：?+，=l(a 6 0)的短轴的两个端点分别为A(),l),8(0,-l),离 心 率 为 华(1)求椭圆C的方程；(2)设点N(0,-3)
39、,点M为椭圆C上异于AB的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线)=3交于点尸，直线M B与直线)，=3交于点Q,求证：BP NQ为定值.【答案】(1)+2=1；(2)证明见解析3 解析：(1)由题意可得b =l,e =啦，c2=a2-h2,a 3解得。2=3,所以椭圆的方程为：+/=1;3(2)设直线M 4 的方程为：y=kx+,(AHO)则过原点的直线且与直线M 4 平行的直线为y =日,因为尸是直线y =区 与 y =3的交点，所 以 唳,3因 为 直 线.的 方 程 与 椭 圆 方 程 争 y 联立:y=kx+l整理可得：(1+3公 濡+6 履=0,可得/=6k1+3氏 2-6k2,
40、1-3公-7+1=-T，1+3公 1+3公即M6k 1-3 储1 +3 1 +3 2),因为 8(0,-1),直线M B 的方程为：=-1,3ky=1 f y =3联 立.3k,解得：，由题意可得。(7 22,3),x=-2ky =3 i所以 N Q=(-12,6),柝=G,6),所以 N Q-N P=-12A x +6 x 6 =0,即 N QJ.N P,所以 N P N Q =9 0。，即 D P N Q 为定值;ko 2变式训练1：已知椭圆。：+左=1(。比 0)的 离 心 率 为 右 焦 点 为 尸，点4。,0),且|A F|=1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F的直线/(不与x
41、轴重合)交椭圆C 于点”,N,直线加4,也 4 分别与直线犬=4 交于点匕。，求N P F Q 的大小.2 2【答案】三+21=1；(2)Z PF Q=9 04 3c l【分析】(1)由 题 意 得 =2,求出a,c,然后求解b,即可得到椭圆方程.a-c =,(2)当直线1 的斜率不存在时，验证F P-F Q=(),即/PF Q=9 0.当直线1 的斜率存在时，设 1：y=k(x -1),其中 k#0.联立得(4 k 2+3)x 2-8 k 2x+4 k 2-1 2=0.由题意，知()恒成立，3x+4)广=12,设 M(x l,y l),N (x 2,y 2),利用韦达定理，结合直线M A 的
42、方程为了 =、(-2).求出尸4,巨、玉-2 1 X.-2J.利用向量的数量积，转化求解即可.(1)2由题意得，a la-c=,解得 a=2,c =l,从而=,2 2所以椭圆C 的方程为三+匕=1.4 3(2)当直线 1 的斜率不存在时，有P(4,-3),Q(4,3),F (1,0),则 F P=(3,-3),/0 =(3,3),故 FP F0 =0,即/PF Q=9 0。.当直线1 的斜率存在时，设 1：y=k (x -1),其中k W O.联立,得(4 k 2+3)x 2-8 k 2x+4 k 2-12=0.3x +4 y 2=12,由题意，知 A0 恒成立，设 M(x l,y l),N(
43、x 2,y 2),则+彳2=-1-止+34 s-12直线MA 的方程为y=、(x-2),A1 Z令 x=4,得 力=自，即P(4,普,同理可得Q 14,白芭-2 1x,-2；I -2)所以五尸=(3,念，6 2 =(3，志).高常曲卷中+芸舞到4k24 k 2-12 8 k 24k2+3 4/+3+1=9 H-4-2 一 12 16 公4 r+3 -4（2+36 0)经过点M 1,孝，其 离心率为孝，设直线/：=履+也与椭圆。相交于A、8两点.(1)求椭圆C的方程;2己知直线/与圆x?+丁=相切，求 N A。5 的 大 小(。为坐标原点).【答案】三+丁=1：N A 0 8 =g.22f c
44、7 2a 2解析：(1)由 已 知 可 得=1,解得小=1a2=b2+c2 卜=1故椭圆C的 方 程 为 争 丁=12(2)因为直线/与圆/+)，2=相切，且直线/的方程为y=f c r +w,所以七5即 3租 2=2（公+1）,y=k x+m联 立 片 2_,整理得（1 +2 公 产+4.+2病-2 =0,丁，=A =16 k2m2-4（1 +26）（2 相 2 _2）0,设 A（X，M）、WW，%），则占+X2=-T T =十 ZK 4-1故 y%=（履1 +?）（仇 +机）k2xxx2+k mx1+/）+机2 =r1 +2k贝 lj OA1OB xx2=2m2-2 m2-2k2 3m2-
45、2k2-2-1-+-2-+1+2 公-1+2/T T=0,Z A O B =.29 2变式训练:3：设 分 别 是 椭 圆 C:+l(a0)的左、右焦点，E 是椭圆C的上顶点，八 环 鸟 是等边三角形，短轴长为2 G.（1）求椭圆C的方程；（2）已知AB 分别为椭圆左右顶点，位于）轴两侧的P,。分别是椭圆。和 圆/+丫 2=上的两个动点，且直线产。与 x 轴平行，直线AR8P分别与y 轴交于M,N,证明：ZMQN=90.【答案】（1）上+3=1；（2）证明见解析.4 3解析：（1）QAEF因是等边三角形,b=gc,a=2c fb=,b2=3,c2=l,t z2=4 ,椭圆c的方程为=1；4 3
46、（2）设尸点坐标（%,%），Q点坐标“，%），4 P 直线方程为y=U、（x+2）,x 0 +2坐标为（0,2 答），/.3尸直线方程为y=（X -2）,%-2二.N 坐标为（。,尹 ）,z-xou i m r 2 v i i u u r y v2-x 0 2+x0Liini uuir _ 4V2QNQM=t2+y l+-,4-不P,。分别在椭圆和圆上，。2 +y；=3,%1 +义1=1,4 3umi uiiur _ 4V2.Q NQ M=/+y：+=O,4-工/.4MQN=9 0 .考点五：锐角和钝角例 L已知点（T 净 在 椭 圆&/+?如小。）上,E 的离心率为当（1）求 E 的方程；（
47、2）设过定点A（0,2）的直线/与E 交于不同的两点B,C,且 N C O B 为锐角，求/的斜率的取值范围.【答案】(1)+/=1；(2)-2,-?,1,2.4I 2 J I 2)解析：(1)点 卜 在 椭 圆 0 +方=1(a b 0)上，二=1,又椭圆的离心率为巫，e =3,2 a 2a=2由 标=加+。2解得，b=,C =5/3 轨迹 E:二+V=i；4(2)依题意可知，直线/的斜率存在且不为零，.,.设/：y=h+2,B(xt,yi),C(x2,y2),y=kx+2兰 二，化简整理有：(1+4公)/+16履+12 =0,彳+)一 =(16%)2 4 8(1+必2)0得攵正或攵 0,3
48、 2 3-1 -+-4-公7 +-1 -+-4-左 72 -1-+-4-%1 2+12k2-3 2炉 +4 +1 6公=1 6-4公 0,2 Z 2,-2 k-或 k0)的长轴长为2&，短轴长为2.(1)求椭圆C的焦点坐标；(2)直线加y =x-l与椭圆C相交于A3两点，点尸为椭圆C的左焦点，若“方为锐角，求实数机的取值范围.【答案】（1,0）；（-C 疗）解析：（1）.椭圆C i g +a ab 的长轴长为2立，短轴长为2*.a=/2,b=1即可得：c=ja2 b2=4 2 1 =1 ,焦点坐标为（1,0）.（2）设 A、B坐标为（不乂）,（马,%），椭圆的左焦点F（T,0）,-2。土 21
49、=联 立/环 _,消去X的：（加2+2）/+2%一1 =0my=x 1.2m 1 x+%=一 =，%=一 一m+2 tn+2%+七=胆（必 +%）-2=-4 ,x/2=（/wy+1）（，+1）=2,2：m+2 m 4-2E4=（芭 +l,y）,尸 8=（w+l,%）,.,为 锐 角，；././。，即（苦+1）（+1）+乂%。.2-2m2 4 1 ,7-m2 八 ；-+-；+1=；0nr+2 m+2 nr+2 nr+2解得：J7 m 6 0）的左右顶点分别为A、4,上下顶点分别为4、B?,a b四 边 形 的 面 积 为 4,周长为4石.直 线/：=日+也 与椭圆交于不同的两点尸和Q.（1）求椭
50、圆的方程；（2）若O?_L O Q,求火的值.（3）若 NPOQ为锐角，求女的取值范围.【答案】+/=1；（2）k=；（3）kw4 27。解析：（1）四边形4片人生的面积为勿力=4,周长为4 巧存=4 后，又。6 0,解得。=2,b =,故椭圆的方程为三+丁=1；4 -（2）将），=依+0代入椭圆方程，整理得（1 +4 人 21+8孤日+4 =（），=1 2 8 2-1 6（4/+1）=1 6（4 父 _ 1）0,解得&2 1,4设 P（X I,y）、Q（X2,y2）,由方程，得x+x =一 冬 空，士“:一 ,1 +4 公 1 +4 Z又 y%=（悔+0）（%+0）=公内天 +血+%）+2