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1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第10讲：斜率问题二（解析版）第十讲：斜率问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的性质，注重设直线的方程，并联立方程组解决问题；拓展目标：能够熟练应用题干信息，将文字翻译成式子求解斜率.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、弦长公式若在直线上，代入化简，得;2、过定点的直线方程（1）当直线斜率存在时，当直线斜率不存在时，；（2）当直线斜率不为零时，当直线斜率为零时，；3、当时
2、，线段的中垂线：【考点剖析】考点一：求斜率1（直线方程）例1已知椭圆：，直线经过椭圆的左焦点与其交于点，.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）已知点，直线，与直线分别交于点，若，求直线的方程.变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点为(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且，求的值变式训练:2：已知椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）若直线过的右焦点交于两点，求直线的方程变式训练3：过平面上点作直线，的平行线分别交轴于点，且.（1）求点的轨迹方程；（2）若过点的直线与轨迹交于，两点，若，求直线的方程.考点二：求斜率2（直线方程）例1已知椭圆的离心率为，依次连结的四个顶点构
3、成的四边形面积为.（1）求的方程；（2）设的左，右焦点分别为，经过点的直线与交于，两点，且，求的斜率.变式训练1：已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)过作斜率为的直线分别交双曲线的两条渐近线于两点，若，求的值.变式训练2：已知动点M到点F（0，）的距离与它到直线的距离相等(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P（，1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程变式训练3：动点M到点的距离比它到直线的距离小，记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知圆，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为，求直线A
4、B的方程.考点三：求斜率3（中垂线）例1已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出直线；若不存在，说明理曲.变式训练2：已知双曲线：（，）过点，且与双曲线：有相同的渐近线(1)求双曲线的方程；(2)若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程变式训练2：已知双曲线（）的一个焦点是，离心率.(1)求双
5、曲线的方程；(2)若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程变式训练3：已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆C的长轴长与焦距比为，过的直线l与C交于A、B两点(1)当l的斜率为1时，求的面积；(2)当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长和面积；（2）垂直平分线；（3）平分垂直的应用和证明；2、易错点：弦长公式的计算，垂直平分线的表示；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1已知抛物线，其通径为4(1)求抛物线的标
6、准方程；(2)过抛物线焦点F作直线l，使得直线l与抛物线交于P、Q两点，且满足弦长，求直线l的斜率2椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程3已知椭圆：的一个顶点为，焦距为(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值4已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程;（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点过点作直线与椭圆交于两点，若，求直线的斜率.5已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的右焦点为，过点作
7、两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于，两点，证明：.6已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值.7在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线经过点(1)求抛物线的方程；(2)已知抛物线关于轴对称，过焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交的准线于点若，求直线的方程8已知椭圆的离心率为在椭圆C上，且异于点A（1）求椭圆C的方程；（2）若，求直线的方程第十讲：斜率问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；应用目标：掌握椭圆
8、，双曲线，抛物线的性质，注重设直线的方程，并联立方程组解决问题；拓展目标：能够熟练应用题干信息，将文字翻译成式子求解斜率.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、弦长公式若在直线上，代入化简，得;2、过定点的直线方程（1）当直线斜率存在时，当直线斜率不存在时，；（2）当直线斜率不为零时，当直线斜率为零时，；3、当时，线段的中垂线：【考点剖析】考点一：求斜率1（直线方程）例1已知椭圆：，直线经过椭圆的左焦点与其交于点，.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）已知点，直线，与直线分别交于点，若，求直线的方程.【答
9、案】（1），；（2）或.解析：（1）由题设得，又，所以，所以椭圆的方程为，所以椭圆的离心率为.（2）依题意，设，.当直线无斜率时，方程为，所以，由平面几何知识可以得到，不合题意，当直线有斜率时，设，由得，则，直线的方程为，令，得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，解得或，所求直线的方程为或.变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点为(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且，求的值【答案】(1)；(2)解析：（1）由离心率，则，又上顶点，知，又，可知，椭圆E的方程为；（2）设直线l：，设，则，整理得：，即，即，解得：或（舍去）变式训练:2：已知椭圆过点（1）求椭圆的方程；（
10、2）若直线过的右焦点交于两点，求直线的方程【答案】（1）；（2）.解析：（1）由题意可得，椭圆的方程为（2）当直线斜率不存在时，由椭圆的方程可知：椭圆的右焦点坐标为：，所以直线方程为：，代入椭圆方程中，得，不妨设，不合题意；设直线，由得：，即解得，直线的方程为变式训练3：过平面上点作直线，的平行线分别交轴于点，且.（1）求点的轨迹方程；（2）若过点的直线与轨迹交于，两点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.解析：（1）设，显然不为原点，由题设，令，得再由，令，得又，即化简整理得：所以点的轨迹方程（2）由题设知直线的斜率显然存在，故设其方程为，则，从而又所以故直线的方程为.考点二：求斜率2
11、（直线方程）例1已知椭圆的离心率为，依次连结的四个顶点构成的四边形面积为.（1）求的方程；（2）设的左，右焦点分别为，经过点的直线与交于，两点，且，求的斜率.【答案】（1）；（2）或.解析：（1）依题意可得：解得，所以椭圆的方程为.（2）由题可知：直线的斜率存在且不为零，故设直线的方程为，设，由（1）可知：，则，因为，所以，化简得，所以，得.联立消去得，由得，则，解得或，故的斜率为或.变式训练1：已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)过作斜率为的直线分别交双曲线的两条渐近线于两点，若，求的值.【答案】(1)；(2)解析：(1)设，则，又，所以，得，所以双曲线的渐
12、近线方程为.(2)由已知直线的倾斜角不是直角，设，则的中点为，由，可知，所以，即，因为的方程为，双曲线的渐近线方程可写为，由消去y，得，所以，所以，因为，所以，即.变式训练2：已知动点M到点F（0，）的距离与它到直线的距离相等(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P（，1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程【答案】(1)；(2)解析：(1)设M（x，y），则解得所以该抛物线的方程为(2)方法一：依题意，切线的斜率存在，设切线的方程为：，与抛物线方程联立，得，令，得或从而或，解得或，所以切点A（1，），B（2，2），直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，整理得方法二
13、：由可得，所以， 设切点为（），则切线的斜率，又切线过点P（，1），所以，整理得，解得或，所以切点的坐标为A（1，），B（2，2），所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，整理得变式训练3：动点M到点的距离比它到直线的距离小，记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知圆，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为，求直线AB的方程.【答案】(1):；(2)解析：(1)由题意得动点M到点的距离等于到直线的距离，所以曲线C是以为焦点，为准线的抛物线.设，则，于是C的方程为.(2)由（1）可知，设，PA的两点式方程为.由，可得.因为PA与D相切，所以，整理得
14、.因为，可得.设，同理可得.于是直线AB的方程为.考点三：求斜率3（中垂线）例1已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，解析：(1)依题意有解得，.椭圆的方程为.(2)假设在线段的中垂线上，联立消去y得.设，则，.的中点坐标为.，即，解得.存在时，点在线段的中垂线上.变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出直线；若不存在，说明理
15、曲.【答案】(1)；(2)存在，解析：(1)由题意可得，解得，所以椭圆的方程为(2)由（1）得，假设存在满足条件的直线：，代入椭圆方程整理可得，设，则，可得，则线段的中点坐标为， 所以，则，解得：，所以存在直线，且直线的方程为变式训练2：已知双曲线：（，）过点，且与双曲线：有相同的渐近线(1)求双曲线的方程；(2)若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程【答案】(1)；(2)解析：(1)双曲线的渐近线方程为，所以，因为点在双曲线上，所以，所以，故双曲线的方程为；(2)设，联立方程组，得，则，所以的中点坐标为由得，且因为线段的垂直平分线过点，所以 ，可得或（舍去），故直线
16、的方程为变式训练2：已知双曲线（）的一个焦点是，离心率.(1)求双曲线的方程；(2)若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程【答案】(1)；(2)解析：(1)由已知得，所以，所以所求双曲线方程为.(2)设直线的方程为，点，联立整理得.(*)设的中点为，则，所以线段垂直平分线的方程为，即，与坐标轴的交点分别为，可得，得，此时(*)的判别式，故直线的方程为.变式训练3：已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆C的长轴长与焦距比为，过的直线l与C交于A、B两点(1)当l的斜率为1时，求的面积；(2)当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求
17、直线l的方程【答案】(1)12；(2)解析：（1）依题意，因，又，得，椭圆C的方程为，设、，当时，直线l：，将直线与椭圆方程联立，消去x得，解得，（2）设直线l的斜率为k，由题意可知，直线方程为，由，消去y得，恒成立，设线段AB的中点，则，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为，则，得，整理得：，等号成立时故当截距m最小为时，此时直线l的方程为【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长和面积；（2）垂直平分线；（3）平分垂直的应用和证明；2、易错点：弦长公式的计算，垂直平分线的表示；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1已知抛物线
18、，其通径为4(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线焦点F作直线l，使得直线l与抛物线交于P、Q两点，且满足弦长，求直线l的斜率【答案】(1)；(2)解析：(1)由题意知：抛物线通径为，即，所以，抛物线的标准方程为(2)由（1）知：抛物线焦点，当时，显然不满足，当时，设直线l方程为，联立，得，则，所以，即，2椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程【答案】(1)；(2)或解析：（1）由椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为，可得半焦距且，解得，又由，所以椭圆方程为.（2）由（1）得，圆的方程为，设，当直线的斜率不存在时，不合题意
19、； 当直线的斜率存在时，设直线，由直线与曲线相切可得，所以，联立方程组，可得，所以，所以， 解得或，所以直线或.3已知椭圆：的一个顶点为，焦距为(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值【答案】(1)；(2)解析：（1）依题意可得，又，所以，所以椭圆方程为；（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得4已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程;（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点过
20、点作直线与椭圆交于两点，若，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.解析：由题意知离心率满足，所以，又因为点在椭圆上，所以，解得，所以，故椭圆的标准方程为.由得，所以直线的方程为，与轴的交点为.由，得而，因此.当与轴垂直时，不合题意.当与轴不垂直时，设其方程为，联立方程得，消去可得，设，则由得，所以显然不为两式相除得所以解得.5已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的右焦点为，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于，两点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.解析：（1）因为椭圆的离心率为，即，又因为椭圆过点，所以，解得椭圆的方程为.（2）证明：设直线的方程为.因为
21、直线与直线的倾斜角互补，所以直线的方程可设为.联立得.设，则，.同理可得.又，所以.6已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值.【答案】(1)；(2)解析：(1)设，则，又，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为.(2)由已知直线的倾斜角不是直角，设，则的中点为，由，可知，所以，即，因为的方程为，双曲线的渐近线方程可写为，由消去y，得，所以，所以，因为，所以，即.7在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线经过点(1)求抛物线的方程；(2)已知抛物线关于轴对称，过焦点的直线交于两点，
22、线段的垂直平分线交直线于点，交的准线于点若，求直线的方程【答案】(1)或；(2)或解析：(1)当焦点在轴时，设抛物线：将点坐标代入得，此时抛物线的方程为当焦点在轴时，设抛物线：，将点坐标代入得，此时抛物线的方程为综上，抛物线的方程为或(2)当抛物线的焦点在轴时，其方程为直线的斜率不存在时，不符合题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，与抛物线的交点为，由消去得，线段的中点为，直线的方程为令，得，由得，解得，直线的方程为或8已知椭圆的离心率为在椭圆C上，且异于点A（1）求椭圆C的方程；（2）若，求直线的方程【答案】（1）；（2）解析：（1）依题意，解得故椭圆C的方程为；（2），直线为线段的垂直平分线，则直线的方程为，设直线的方程为，由，得：，解得，设，由韦达定理得，设的中点为，所以；所以又在直线上，代入得，解得，综上所述，直线的方程为