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1、第五章第五章 不定积分不定积分 5.1不定积分的概念与性质 5.2换元积分法 5.3分部积分法 5.4有理函数及三角函数有理式的积分1 1 回顾回顾:微分学的基本问题是微分学的基本问题是“已知一个函数已知一个函数,如何求它的导数如何求它的导数.”积分学包括两个基本部分积分学包括两个基本部分:不定积分和定积分不定积分和定积分.本章研究不定积分的概念、本章研究不定积分的概念、性质和基本积分方法性质和基本积分方法.那么那么,如果已知一个函数的导数如果已知一个函数的导数,要求原要求原来的函数来的函数,这类问题这类问题,是是微分法的逆问题微分法的逆问题.这这就产生了就产生了积分学积分学.2 2问题问题:
2、若已知某一函数若已知某一函数 F(x)的导数为的导数为(x),求这个函数求这个函数.则称则称F(x)是已知函数是已知函数(x)在该区间在该区间I上的一个原函数上的一个原函数.一一.原函数的定义原函数的定义定义定义1 1 设设(x)定义在区间定义在区间I上上,若存在函数若存在函数F(x),使得对使得对 5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质有有例例 因为因为，所以，所以因为所以3 3定理定理1 1 若函数若函数(x)在区间在区间I上连续上连续,则则(x)在区间在区间I上的上的原函原函数一定存在。数一定存在。简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.(证明略)原函
3、数存在性定理原函数存在性定理:定理定理2 2 设设F(x)是函数是函数(x)在区间在区间I上的一个原函数上的一个原函数,则对任则对任何常数何常数C,F(x)+C也是函数也是函数(x)的原函数的原函数.证证 因为因为问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？所以所以F(x)+C 也是函数也是函数(x)的原函数的原函数.4 4定理定理3 3 设设F(x)和和G(x)都是函数都是函数(x)的原函数的原函数,则则 F(x)G(x)C(常数常数)证证由拉格朗日由拉格朗日定理知定理知由此可见由此可见:若若 F(x)是是(x)的一个原函数
4、的一个原函数,则表达式则表达式 F(x)+C 可表示可表示(x)的所有原函数。的所有原函数。二二.不定积分的定义不定积分的定义定义定义2 2 函数函数(x)的全体原函数称为的全体原函数称为(x)的不定积分的不定积分.记为记为显然，若显然，若F(x)是函数是函数(x)的一个原函数的一个原函数,则则 5 5任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量例如例如6 6例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求7 7例例3 求下列不定积分求下列不定积分8 8三三.不定积分的几何意义不定积分的几何意义而而 是是(x)的原函数一般表达式的原函数一般表达式,所以它对应的图所以
5、它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族形是一族积分曲线，称它为积分曲线族,其特点是其特点是:(1)积分曲线族中任意一条曲线可积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条由其中某一条(如如y=F(x)沿沿 y 轴平行轴平行移动移动|c|个单位而得到个单位而得到.(如图如图)当当c0时时,向上移动向上移动;当当c 0时时,向下移动向下移动.oxyxy=F(x)|c|9 9oxyxy=F(x)(2)即即横坐标相同点横坐标相同点处处,每条积分曲线上每条积分曲线上相应点的相应点的切线斜率相等切线斜率相等,都为都为(x).从而相应点的切线相互平行从而相应点的切线相互平行.注:当需要从积分曲线族中求出当需要
6、从积分曲线族中求出过点过点 的一条积分曲线时的一条积分曲线时,则只须把则只须把 代入代入 y=F(x)+C 中解出中解出 C 即可即可.1010例例4 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数的倒数,且过点且过点 求此曲线方程求此曲线方程.解解 设所求曲线为设所求曲线为 y=(x),则则故所求曲线为故所求曲线为 y=ln|x|+21111四、四、不定积分的性质不定积分的性质1212五、五、基本积分表基本积分表13131414导数公式表导数公式表积分公式表积分公式表以上基本积分公式是求不定积分的基础以上基本积分公式是求不定积分的基础,必须
7、记牢！必须记牢！1515例例5 求下列不定积分1616直接积分法直接积分法:利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接积分法积分法.用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分.例例6 求下列不定积分求下列不定积分17171818例例8 一种流感病毒每天以种流感病毒每天以 的速率增加的速率增加,其其中中t是首次爆发后的天数是首次爆发后的天数,如果第一天有如果第一天有50个病人个病人,试问在试问在第第10天有多少个人被感染？天有多少个人被感染？解解 设在第设在第t天有天有Q(t)个人被感染个人被感染,则则 19
8、19由题意知当由题意知当 t=1时时,Q(t)=50.代入上式可解出代入上式可解出 C =69,则则即在第即在第10天有天有10931个人被感染个人被感染.2020练习题练习题无穷多无穷多 常数常数 全体原函数全体原函数 积分曲线积分曲线 积分曲线族积分曲线族 平行平行 连续连续 21212222 能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.一一.凑微分法凑微分法(第一换元法第一换元法)例例 计算计算分析分析:此不定积分在积分表中此不定积分在积分表中查不到查不到.5.2 5.2 换元换元积分法积分法为了求出更多函数的不定积分为了求出更多函数的不定积分,下面
9、建立一些有效的积分法下面建立一些有效的积分法.这是因为被积函数这是因为被积函数cos2x的变量是的变量是“2x”,与积分变量与积分变量“x”不同不同.但如果能把被积表达式改变一下但如果能把被积表达式改变一下,使得使得被积函数的变量被积函数的变量与与积分变量积分变量变得相同变得相同,那么就可用公式那么就可用公式求出此不定积分求出此不定积分.(u是是x的函数的函数)2323注注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用可采用 恒等变形恒等变形将原来的微分将原来的微分dx凑成新的微分凑成新的微分d d()()使原积分变成可直接用积分公式来计算使原积分变成可
10、直接用积分公式来计算.这种方法称为这种方法称为凑微分法凑微分法.其理论依据为其理论依据为2424定理定理4 4 证证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.注注1 1.定理定理4 4中中,若若u u为自变量时为自变量时,当然有当然有 当当u 换为换为(x)时时,就有就有成立成立.不定积分的这一性质称为不定积分的这一性质称为积分形式的不变性积分形式的不变性.注注2 2.凑微分法的关键是凑微分法的关键是“凑凑”,凑的目的是把凑的目的是把被积函数的被积函数的中间变量中间变量变得与变得与积分变量积分变量相同相同.即即成立成立.2525(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式根据被积
11、函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则依据恒等变形的原则,把把 dx凑成凑成d(x).如如(2)把被积函数中的某一因子与把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分凑成一个新的微分d(x).如如“凑微分凑微分”的方法有的方法有:2626例例1 求下列各不定积分求下列各不定积分结论结论1:272728282929以下常见的凑微分公式！以下常见的凑微分公式！30303131例例2 求不定积分求不定积分结论结论2:同理可得同理可得3232例例3 求下列各式的不定积分求下列各式的不定积分3333结论结论3:3434或原式或原式同理可得同理可得3535例例4 求下列各式的不定积分同
12、理可得结论结论4:一般地一般地,对形如对形如这样的不定积分这样的不定积分当当n为偶数时应先降次后再积分；当为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分为奇数时应先凑微分再积分；3636一般地一般地,对形如对形如这样的不定积分这样的不定积分若若nm，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；若同若同为为偶，偶，则则化化为为3737对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.3838(5)(5)求求解解还有其他方法吗？还有其他方法吗？3939练习练习两次凑微分两次凑微分4040例例5 5 求求解解法法1解解法法2解解法
13、法3注注:对于同一个不定积分对于同一个不定积分,采用的方法不同采用的方法不同,有时得到的有时得到的原函数的表达式就完全不同原函数的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间但这些不同的表达式之间仅相差一个常数仅相差一个常数.如如4141解解例例6 6 设设 求求 .令令4242二二.第二第二换元法（作代换法）换元法（作代换法）注注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换但作变换从而从而注注:这种经过适当选择变量代换这种经过适当选择变量代换x=(t)将积分将积分求出此积分后回代求出此积分后回代t 的的方法称为第二换元积分法方法称为第二换元积分法.化为
14、积分化为积分(较易积出较易积出)4343定理定理5 设函数设函数(x)连续连续,x=(t)单调可微单调可微,且且 ,而而证明证明在此方法中要注意两个问题在此方法中要注意两个问题:1.函数函数 的原函数存在的原函数存在.2.要求代换式要求代换式x=(t)的反函数存在且唯一的反函数存在且唯一.则则4444注注1:第二第二换元积分法是换元积分法是先换元先换元,再积分再积分,最后回代最后回代.这与凑微分法这与凑微分法(先凑后换元先凑后换元)不一样不一样.注注2:第二换元积分法第二换元积分法主要主要用来求解被积函数为用来求解被积函数为无理函数无理函数的的不定积分不定积分.换元的目的是将无理函数的不定积分
15、转换为有理函数的积分换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分.分两类讲分两类讲:1.根号里是一次式的根号里是一次式的,即即2.根号里是二次式的根号里是二次式的,即即 等等。1.被积函数含有被积函数含有 的因子时的因子时,可令可令例例1 求下列积分求下列积分化简函数后再积分化简函数后再积分.45454646解解4747但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况作不同的三角代换作不同的三角代换,作法如下：作法如下：2.被积函数含有被积函数含有 的因子时的因子时,可作三角变换可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化利用三角
16、函数恒等式使二次根式有理化.例例2 求下列各积分求下列各积分4848tax如图如图49495050tax如图解 x=atant,t(-,)，则dx=a dt,=asect,因此有因此有5151tax则 dx=asecttantdt,=atant,故思考：求思考：求5252例例3 3 求求解解 令令5353例例4 4 求求令令解解3.倒代换倒代换 当被积函数的分母的次数较高时，可采用倒代换当被积函数的分母的次数较高时，可采用倒代换 5454例例5 求5555解解 由题意知由题意知则则例例6 (1)设函数设函数(x)的一个原函数是的一个原函数是arctanx,求不定积分求不定积分5656(2)若己
17、若己知知,求求：通过上述几种积分方法的学习通过上述几种积分方法的学习,将以下几个公式补充将以下几个公式补充在积分表里：在积分表里：57575858定理定理5 设函数设函数u=u(x)及及v=v(x)具有连续的导数具有连续的导数,则则5.3 分部积分法分部积分法 Integration by Parts直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问题题;但对形如但对形如等类型的不定积分等类型的不定积分,下面利用两个函数下面利用两个函数乘积乘积的求导法则来推得的求导法则来推得分部积分法分部积分法.证证 由由 d(uv)=vdu+udv,得得 u
18、dv=d(uv)vdu,对此式两边同时求不定积分对此式两边同时求不定积分,得得采用这两种方法却无效采用这两种方法却无效.5959而不定积分而不定积分 易于计算易于计算,则可采用分部积分公式则可采用分部积分公式,使计算大为简化使计算大为简化.注注1:不定积分不定积分 不易计算不易计算,例例1 求求解解 (1)设设 由分部积分公式得由分部积分公式得6060(2).要比要比 容易积出容易积出.注注2:分部积分法是基本积分法之一分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两种常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分不同类型函数乘积的积分这类积分在具体计算过程中这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定
19、如何正确地选定u和和v却显得非却显得非常重要常重要.一般说来要考虑以下两点一般说来要考虑以下两点:(1).v要容易求得要容易求得;后一后一积积分更分更难难求求6161例例2 求求一般按一般按“反对幂指三反对幂指三”的顺序的顺序,后者先凑入后者先凑入的方法确定的方法确定 u 和和 v.6262比原积分更难积出比原积分更难积出.例例3 求下列不定积分求下列不定积分否则若否则若 63636464练习练习：6565参考答案参考答案：6666例例4 求求这是一个关于这是一个关于 的方程的方程,移项并两边同除以移项并两边同除以2,得得注注:有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用有些不定积分需要将积分
20、的几种方法综合起来使用.还有不同的解法吗？还有不同的解法吗？6767例例5 求求解解 令令先换元再分部积分先换元再分部积分先凑微分再分部积分先凑微分再分部积分6868(3)设设 f(x)有连续的二阶导函数，求有连续的二阶导函数，求 6969是是 f(x)的一个原函数的一个原函数,求求解解 因为因为(4)已知已知是是f(x)的一个原函数的一个原函数所以所以7070例例6求不定积分求不定积分解解综合练习题综合练习题7171例例7 求不定积分求不定积分解解7272例例7求不定积分求不定积分解解原式原式7373例例8求不定积分求不定积分解解令令则则还有解法吗？还有解法吗？先分部积先分部积分再换元分再换
21、元7474例例9解法解法 1求求先分部积分先分部积分,设设则则于是于是再设再设则则于是于是后换元后换元.7575代入上式代入上式,得得例例9解法解法 1求求7676解法解法 2 先换元先换元,例例9求求后分部积分后分部积分.设设则则再设再设则则7777例例10解解求求已知已知 的一个原函数是的一个原函数是根据题意根据题意再注意到再注意到两边同时对两边同时对 求导求导,得得7878例例11解解求不定积分求不定积分令令则则于是于是原式原式其中其中7979例例12解解求不定积分求不定积分先折成两个不定积分先折成两个不定积分,再利用分部积分法再利用分部积分法.原式原式8080例例13解解求不定积分求不
22、定积分8181例例14解解求求其中其中 为正整数为正整数.用分部积分法用分部积分法,当当 时有时有即即于是于是8282例例14解解求求其中其中 为正整数为正整数.用分部积分法用分部积分法,当当 时有时有于是于是以此作递推公式以此作递推公式,即可得即可得并由并由8383例例15解解利用分部积分计算利用分部积分计算选选于是于是8484例例15解解利用分部积分计算利用分部积分计算选选于是于是方便方便.注注:本题选本题选比选比选更能使解题更能使解题8585一、有理函数的积分一、有理函数的积分有理函数的定义有理函数的定义:两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数.其中其中、都是非负整数都是非负整
23、数;及及都是实数都是实数,并且并且假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式:(1)这有理函数是真分式这有理函数是真分式;(2)这有理函数是假分式这有理函数是假分式.8686一、有理函数的积分一、有理函数的积分利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和个真分式之和.例例8787 1.由代数学知,任何多项式 在实数范围内总能分解成一次因式和二次质因式的乘积,即其中 为常数;k,s ,为正整数,且2.任何一个真分式 均可唯一地分解为若干个最简分式之和.注意注意8888一、有理函数的积分一、有理函数的积分(1)分母中若有因式分母中
24、若有因式则分解后为则分解后为(其中其中都是常数都是常数)若若分解后有分解后有(2)分母中若有因式分母中若有因式其中其中则分解后为则分解后为真分式化为最简分式之和的一般规律真分式化为最简分式之和的一般规律:8989一、有理函数的积分一、有理函数的积分则分解后为则分解后为(都是常数都是常数)若若分解后有分解后有注注:求有理函数积分的关键是求有理函数积分的关键是分式化为最简分式之和分式化为最简分式之和.利用待定系数法将真利用待定系数法将真9090例例1分解有理分式分解有理分式解解设设整理得整理得即即9191例例2分解有理分式分解有理分式解解设设代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取并将并将 值
25、代入值代入()取取取取(*)9292例例3分解有理分式分解有理分式解解两边同乘以两边同乘以 得得:令令得得再将上式两边求导再将上式两边求导:9393例例3分解有理分式分解有理分式解解令令得得同理同理,两边同乘以两边同乘以令令得得所以所以9494一、有理函数的原函数一、有理函数的原函数将有理函数化为部分分式之和后将有理函数化为部分分式之和后,只出现三类情况只出现三类情况:(1)多项式多项式;(2)(3)讨论情况讨论情况(3):而而其中其中9595有理函数的原函数有理函数的原函数而而其中其中时时,9696一、有理函数的原函数一、有理函数的原函数上述三类积分均可积出上述三类积分均可积出,且原函数都是
26、初等函数且原函数都是初等函数.绪论绪论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.时时,9797例例4 求不定积分求不定积分解解根据根据例例1的结果的结果原式原式9898例例5求不定积分求不定积分解解 根据根据例例2的结果的结果原式原式9999例例6求不定积分求不定积分解解根据例根据例5的结果的结果,有有100100解解根据上述方法根据上述方法,有有101101解解102102例例7求不定积分求不定积分解法解法1103103例例7求不定积分求不定积分解法解法2比较比较 同次幂的系数得同次幂的系数得解得解得故故104104例例7求不定积分求不定积分解法解法2 比较比较 同次幂的系
27、数得同次幂的系数得解得解得故故105105三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算成的函数称之成的函数称之.构构记为记为令令则则106106三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分令令则则万能置换公式万能置换公式完完107107例例8求不定积分求不定积分解解由万能置换公式由万能置换公式原式原式108108例例8求不定积分求不定积分解解原式原式109109例例9求不定积分求不定积分解一解一利用万能置换公式利用万能置换公式原式原式110110例例9求不定积分求不定积分解二解二 修改万能置换公式修改万能置换公式,令令原式原
28、式111111例例9求不定积分求不定积分解三解三 不用万能置换公式不用万能置换公式原式原式结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,最佳方法最佳方法,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.故三角有理式的计算中先考虑其他手故三角有理式的计算中先考虑其他手便知万能置换不一定是便知万能置换不一定是段段,112112例.解例.解113113在本章在本章结结束之前，我束之前，我们还们还要指出：要指出：对对初等函数来初等函数来讲讲，在其，在其定定义义区区间间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数，如初等函数，如,等，就都不是初等函数，等，就都不是初等函数，这这就是就是说说，这这些些积积分分不能用初等不能用初等函数明函数明显显表示表示出来，我出来，我们们常称常称这样这样的的积积分分为为“积积不出来不出来”的的积积分分114114一、一、115115练习练习116116DD117117DB118118DB119119DB120120DC121121三.计算题1.3.2.()()()4.()5.()122122