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1、6.4 三角形的中位线定理 为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益如图，有一块三角形的蛋糕，准备平如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的均分给四个小朋友，要求四人所分的形状形状大小相同大小相同，请设计合理的解决方案。，请设计合理的解决方案。温馨提示温馨提示连结三角形连结三角形两边中点两边中点的线段叫的线段叫三角形的中位线三角形的中位线三角形有三角形有三三条中位线条中位线三角形的
2、三角形的中位线中位线和三角形的和三角形的中线中线不同不同EDFACB获取新知获取新知你还能画出几条三角形的中位线？你还能画出几条三角形的中位线？为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益 （1 1）相同之处相同之处都和都和边的边的中点中点有关；有关；（2 2）不同之处：）不同之处：三角形中位线三角形中位线的的两个端点两个端点都是都是边的中点边的中点；三角形中线三角形中线只有只有一个端点一个端点是是边的中点，
3、边的中点，另一另一端点是三角形的顶点。端点是三角形的顶点。CBAED概念对比概念对比CBAD中线中线DCDC中位线中位线DEDE 理解三角形的中位理解三角形的中位线定义的两层含义线定义的两层含义:如果如果DEDE为为ABCABC的中位线，那么的中位线，那么 D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的的 。如果如果D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点，的中点，那么那么DEDE为为ABCABC的的 ；CBAED中位线中位线中点中点猜一猜：猜一猜：ABC的中位线的中位线DE与与BC的的关系怎样？（从位置和数量关系怎样？（从位置和数量关系猜想）关系猜想）获取新知获取新知DEBC,即：
4、三角形的中位线即：三角形的中位线平行平行于第三边，于第三边，并且等于第三边的并且等于第三边的 一半。一半。你能验证你的猜想吗？A AB BC CD DE E为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益 怎样将一张三角形硬纸片剪成两部怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分分,使分成的两部分能拼成一个平行四使分成的两部分能拼成一个平行四边形边形?请动手试一试请动手试一试!为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完
5、善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益F 四边形四边形BCFD是平行四边形吗是平行四边形吗?说说说你的理由说你的理由!为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益已知：已知：如图：在如图：在ABC中，中，D是是AB的中点，的中点，E是是AC的中点。的中点。求证：求证
6、：DEBC,DE=BC.21DABCEF分析分析:延长延长ED到到F,使使DF=ED,连接连接CF 易证易证ADECFE，得得CF=AE,A=ACF 又可得又可得CF=BE,CF/BE 所以四边形所以四边形BCFE是平行四边形是平行四边形 则有则有DE/BC,DE=EF=BC 三角形的中位线三角形的中位线平行平行且且等于等于第三边的一半第三边的一半.几何语言几何语言：DEDE是是ABCABC的中位线的中位线CEDBA证明证明平行平行问题问题证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的两倍两倍或或一半一半用用途途如图所示，已知四边形如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是分别是DC，B
7、C上的点，上的点，E，F分别是分别是AP，RP的中点，当点的中点，当点P在在BC上从点上从点B向点向点C移动移动而点而点R不动时，不动时，那么下列结论成立的是（那么下列结论成立的是（）A线段线段EF的长逐渐增大的长逐渐增大 B线段线段EF的长逐渐减少的长逐渐减少 C线段线段EF的长不变的长不变 D线段线段EF的长不能确的长不能确定定C初试身手初试身手初试身手初试身手ACBEDF初试身手初试身手若若ADE=65ADE=65，则，则B=B=度，为什么？度，为什么？若若BC=8cmBC=8cm，则，则DE=DE=cmcm，为什么？，为什么？65654 4若若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，
8、则，则DEF的周长的周长=_如如图，在图，在ABC中，中，D、E、F分别是分别是AB、AC、BC的中点的中点9cm9cm若若 ABC的周长为的周长为24，DEF的周长是的周长是_12121、三、三角形三条中位线围成的三角形角形三条中位线围成的三角形的的周长周长与原三角形的与原三角形的周长周长有什么关系有什么关系？探究活动探究活动2、三角形三条中位线围成的三角形的、三角形三条中位线围成的三角形的面积面积与原三角与原三角形的形的面积面积有什么关系？有什么关系？图中有图中有_个平行四边形个平行四边形若若 ABC的面积为的面积为24，DEF的面积是的面积是_3 36 6为为了了规规范事范事业单业单位聘
9、用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益设 计 方 案：F（中点）（中点）(中点中点)DE(中点中点)ABC为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益 A A、B B两点被池塘隔开，如何才两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？能知道它们之间的
10、距离呢？M MN N 在在ABAB外选一点外选一点C C，连结，连结ACAC和和BCBC，并分别找出，并分别找出ACAC和和BCBC的中点的中点M M、N N，如果测得，如果测得MN=20mMN=20m，那么，那么A A、B B两点的距离是多少？为什么？两点的距离是多少？为什么？C C C CB B B BA A A A2020202040404040在在ABC中，中，E、F、G、H分别为分别为AC、CD、BD、AB的中点，若的中点，若AD=3，BC=8，则四边形，则四边形EFGH的周长是的周长是。ABDCEFGH11为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适
11、应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益 已知：在四边形ABCD中，ADBC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点 求证PMNPNM已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点的中点.猜想四边形猜想四边形EFGH的形状并证明。的形状并证明。ABCDEFGHE，F是是AB，BC的中点，你联想到什么？的中点，你联想到什么？要使要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？成为一个三角形的中位线应怎样添
12、加辅助线？证明：如图，连接证明：如图，连接AC EF是是ABC的中位线的中位线同理得：同理得：四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形典例示范典例示范 答：答：四边形四边形EFGH为平行四边形。为平行四边形。为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益 （1）顺顺次次连连结结对对角角线线相相等等的的四四边边形形各各边边中中点点所所得得的四边形是什么？的四边形是什么？（3）顺次连结）顺次连结对角线相等对角线
13、相等且垂直且垂直的四边形各边中点的四边形各边中点所得的四边形是什么？所得的四边形是什么？（2）顺顺次次连连结结对对角角线线垂垂直直的的四四边边形形各各边边中中点点所所得得的四边形是什么？的四边形是什么？菱形菱形矩形矩形正方形正方形ABCDABCDFEGH为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益结结论论原四边形两条对角线原四边形两条对角线连接四边中点所得四边形连接四边中点所得四边形互相垂直互相垂直矩形矩形相
14、等相等菱形菱形互相垂直且相等互相垂直且相等正方形正方形既不互相垂直也不相等既不互相垂直也不相等平行四边形平行四边形 实际上，顺次连接四边形各边中点所得实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是到的四边形一定是平行四边形平行四边形，但，但它是否特它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关或者是否相等，与是否互相平分无关.它的对角线是否垂直它的对角线是否垂直或者是否相等或者是否相等它的它的对角线对角线是否垂直是否垂直或者是否相等或者是否相等为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应
15、应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益 （1）顺顺次次连连结结平平行行四四边边形形各各边边中中点点所所得得的的四四边边形形是是什么？什么？（2）顺次连结）顺次连结菱形菱形各边中点各边中点所得的四边形是什么？所得的四边形是什么？平行四边形平行四边形矩形矩形（3）顺顺次次连连结结正正方方形形各各边边中中点所得的四边形是什么？点所得的四边形是什么？正方形正方形为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事
16、业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益（4）顺次连结）顺次连结矩形矩形各边中点所得的四各边中点所得的四边形是什么？边形是什么？为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益例2已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证(1)四边形EFGH是平行四边形。(2)(2)请请增加一个条件使得四增加一个条件使得四边
17、形边形ADFEADFE为菱形。为菱形。(3)3)请请增加一个条件使得四增加一个条件使得四边形边形ADFEADFE为矩形。为矩形。A AB BC CD DE EF FGGHH(4)4)4)4)能能能能不能只增加一个条件使得四边形不能只增加一个条件使得四边形不能只增加一个条件使得四边形不能只增加一个条件使得四边形ADFEADFEADFEADFE为正方形为正方形为正方形为正方形。例例1 1 求证三角形的一条中位线与第三边上求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分的中线互相平分已知：如图所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC求证：AE、DF互相平分C C例例:求证三角形的一条中位线与第三
18、边求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分上的中线互相平分已知：如图所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC求证：AE、DF互相平分证明证明 连结连结DE、EF ADDB，BEEC，DEAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）同理EFAB四边形ADEF是平行四边形AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）例例3 3：已知：已知 ABCDABCD中，中，ACAC、BDBD相交于相交于点点O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、OBOB、CDCD、ODOD的的中点。中点。求证求证：HEFHEFFGHFGH。为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，
19、建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益作业：作业：1.P32练习第练习第1题，习题第题，习题第2题（书上）题（书上）2.完成练习册及资料上相对应的题。完成练习册及资料上相对应的题。为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益梦想的力量梦想的力量当我充满自信地
20、，朝着梦想的方向迈进当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活成功，会在不期然间忽然降临！成功，会在不期然间忽然降临！为为了了规规范事范事业单业单位聘用关系，建立和完善适位聘用关系，建立和完善适应应社会主社会主义义市市场经济场经济体制的事体制的事业单业单位工作人位工作人员员聘用制度，保障用人聘用制度，保障用人单单位和位和职职工的合法工的合法权权益益一个不注意小事情的人，永远不会成功大事业。一个不注意小事情的人，永远不会成功大事业。卡耐基卡耐基一个能思考的人，才真是一个力量无边的人。一个能思考的人，才真是一个力量无边的人。巴尔扎克巴尔扎
21、克一个人的价值，应当看他贡献了什么，而不应当看他取得了什么。一个人的价值，应当看他贡献了什么，而不应当看他取得了什么。爱因斯坦爱因斯坦一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。雨果雨果一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。高尔基高尔基生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。马克思马克思浪费别人的时间是谋财害命，浪费自己的时间是慢性自杀。浪费别人的时间是谋财害命，浪费自己的时间是慢性自杀。列宁列宁哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。鲁迅鲁迅完成工作的方法，是爱惜每一分钟。完成工作的方法，是爱惜每一分钟。达尔文达尔文没有伟大的愿望，就没有伟大的天才。没有伟大的愿望，就没有伟大的天才。巴尔扎克巴尔扎克读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。笛卡尔笛卡尔成功艰苦的劳动正确的方法少谈空话。成功艰苦的劳动正确的方法少谈空话。爱因斯坦爱因斯坦